Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Электроемкость уединенного проводника. называют электроемкостью уединенного проводника (сокращенно е м костью). Она численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. Емкость зависит от размеров и формы проводника. Пример. Для этого, как видно из формулы (2.10), надо мысленно зарядить данный проводник зарядом $q$ и вычислить его потенциал $\varphi$. Согласно (1.23) потенциал шара После подстановки полученного результата в (2.10) найдем За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Қл. Эту единицу емкости называют ф а адом ( $\Phi)$. Фарад – очень большая величина: емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом 9 млн. км, что в 1500 раз больше радиуса Земли (емкость Земли $C=0,7$ мФ). На практике чаще всего приходится встречаться с емкостями в интервале от 1 мкФ до 1 пФ. Конденсаторы. Это позволило создать систему проводников, которая обладает емкостью, значительно большей, чем уединенный проводник, и притом не зависящей от окружающих тел. Такую систему называют конденсатором. Простейший конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), расположенных на малом расстоянии друг от друга. Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, его обкладки располагают так относительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапливающимися на них зарядами, было сосредоточено прақтически полностью внутри конденсатора. Это означает, что линии вектора E, начинающиеся на одной обкладке, должны заканчиваться на другой, т. е. заряды на обкладках должны быть одинаковы по модулю и противоположны по знаку ( $q$ и $-q$ ). Основной характеристикой конденсатора является его емкость. В отличие от емкости уединенного проводника под емкостью конденсатора понимают отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между обкладками (эту разность называют напряжением): Под зарядом $q$ конденсатора имеют в виду заряд, расположенный на положительно заряженной обкладке. Естественно, емкость конденсатора измеряют также в фарадах. Емкость конденсатора зависит от его геометрии (размеров и формы обкладок), от зазора между ними и от заполняющей конденсатор среды. Найдем выражения для емкости некоторых конденсаторов, считая, что между обкладками находится вакуум. Емкость плоского конденсатора. После подстановки этого выражения в (2.12) получим Этот расчет был проведен без учета искажения поля у краев пластин (без учета краевых эффектов). Емкость реального плоского конденсатора определяется полученным выражением тем точнее, чем меньше зазор $h$ по сравнению с линейными размерами пластин. Емкость сферического конденсатора. Напряжение на конденсаторе Отсюда легко видеть, что емкость сферического конденсатора Полезно убедиться, что в случае малого зазора между обкладками, т. е. при условии $b-a \ll a$ (или $b$ ), полученное выражение переходит в (2.13) – в выражение для емкости плоского конденсатора. Емкость цилиндрического конденсатора. Рассуждая так же, как и в случае со сферическим конденсатором, получим где $l$ – длина конденсатора; $a$ и $b$ – радиусы внутренней и наружной цилиндрической обкладок. Здесь так же, как и в предыдущем случае, при малом зазоре между обкладками полученное выражение переходит в (2.13). Вопроса о влиянии среды на емкость конденсатора мы коснемся в $\$ 3.7$. Задачи 2.1. О нахождении потенциала. Точечный заряд q находится на расстоянии $r$ от центра О незаряженного сферического проводящего слоя, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно а и $b$. Найти потенциал в точке $O$, если $r<a$. Решение и В результате электростатической индукции на внутренней поверхности слоя выступят, допустим, отрицательные заряды, а на наружной – положительные (рис. 2.9). Согласно принципу суперпозиции искомый потенциал в точке $O$ можно представить как где первый интеграл берется по всем индуцированным зарядам на внутренней поверхности слоя, а второй интеграл – по всем зарядам на внешней поверхности слоя. Из этого выражения следует: Заметим, что так просто потенциал в полости можно найти только в точке $O$, поскольку только от этой точки все индуцированные заряды одного знака находятся на одинаковом расстоянии и их распределение (нам не известное) не играет роли. Рис. 2.9 2.2. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причем на внутренней сфере радиусом $R_{1}$ находится заряд $q_{1}$. Какой заряд $q_{2}$ следует поместить на внешнюю сферу радиусом $R_{2}$, чтобы потенциал внутренней сферы стал равным нулю? Как будет зависеть при этом потенциал ч от расстояния $r$ до центра системы? Изобразить примерный график этой зависимости, если $q_{1}<0$. Решение. где $\varphi_{0}$ – некоторая постоянная. Ее значение легко найти из граничного условия: при $r=R_{2}$ потенциал $\varphi_{11}=\varphi_{\mathrm{I}}$. Отсюда Из условия $\varphi_{1}\left(R_{1}\right)=0$ находим $q_{2}=-q_{1} R_{2} / R_{1}$. Зависимость $\varphi(r)$ будет иметь вид (рис. 2.10): 2.3. Сила, действующая на поверхностный заряд. $\mathrm{He}$ заряженный металлический шар радиусом $R$ поместили во внешнее однородное электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд $c$ поверхностной плотностью $\sigma=\sigma_{0} \cos \theta$, где $\sigma_{0}$ – положительная Рис. 2.11 постоянная, Ө – полярный угол. Найти модуль результирующей электрической силы, которая действует на заряд одного знака. Решение. Из соображений симметрии ясно, что искомая результирующая сила $\mathbf{F}$ направлена по оси $Z$ (рис. 2.11) и поэтому ее можно представить как сумму (интеграл) проекций элементарных сил (1) на ось $Z$ : В качестве площадки $\mathrm{d} S$ целесообразно сразу же взять элементарный пояс, для которого $\mathrm{d} S=2 \pi R \sin \vartheta \cdot R \mathrm{~d} \vartheta$. Учитывая, кроме того, что $E=\sigma / \varepsilon_{0}$, преобразуем (2) к виду Проинтегрировав это выражение по полусфере (т. е. по $\cos \theta$ от 1 до 0 ), получим 2.4. Метод изображений. Точечный заряд q находится на расстоянии $l$ от безграничной проводящей плоскости. Oпределить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости как функцию расстояния $r$ от основания перпендикуляра, опущенного из заряда q на плоскость. Решение Согласно (2.2) поверхностная плотность зарядов на проводнике связана с электрическим полем вблизи проводника (в вакууме), как $\sigma=\varepsilon_{0} E_{n}$. Следовательно, задача сводится к нахождению поля $E$ вблизи проводящей плоскости. Методом изображений получаем, что в точке $P$ (рис. 2.12), находящейся на расстоянии $r$ от точки $O$, поле вблизи плоскости: Значит, где знак минус показывает, что индуцированный заряд противоположен по знаку точечному заряду $q$. Рис. 2.13 2.5. Точечный заряд q находится на расстоянии от безграничной проводящей плоскости. Найти работу, которую совершит электрическая сила, действующая на заряд q при его медленном удалении на очень большое расстояние от плоскости. Решение е. По определению работа этой силы при элементарном перемещении $\mathrm{d} x$ (рис. 2.13) \[ где выражение для силы получено с помощью метода изображений. Проинтегрировав это уравнение по $x$ от $l$ до $\infty$, найдем Замечание. Попытка решить эту задачу другим способом – через потенциал – приводит к неверному результату (он вдвое отличается от полученного нами). Это связано с тем, что соотношение $A=q\left(\varphi_{1}-\varphi_{2}\right)$ справедливо только для потенциального поля. В системе же отсчета, связанной с проводящей плоскостью, электрическое поле индуцированных зарядов не потенциально: перемещение заряда $q$ приводит к изменению распределения индуцированных зарядов, и их поле оказывается зависящим от времени. 2.6. Тонкое проводящее кольцо радиусом $R$, имеющее заряд $q$, расположено параллельно проводящей безграничной плоскости на расстоянии ( от нее. Найти: 1) поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично относительно кольца; 2) потенциал электрического поля в центре кольца. Решение. 1. Для нахождения $\sigma$ в точке $O$ необходимо согласно (2.2) найти напряженность $E$ поля в этой точке (рис. 2.14). Выражение для $E$ от одного кольца на оси было получено в примере 1 (см. с. 11). В нашем случае это выражение надо удвоить. В результате 2.7. Три разноименных точечных заряда расположены так, как показано на рис. 2.15, а, где АОВ – прямой угол, образованный двумя проводящими полуплоскостями. Модуль каждого заряда равен-|q|, расстояния между ними указаны на рисунке. Найти: 1) суммарный заряд, индуцированный на проводящих полуплоскостях; 2) силу, действующую на заряд – $q$. Решение. Полуплоскости, образующие угол $A O B$, уходят в бесконечность, поэтому их потенциал $\varphi=0$. Нетрудно сообразить, что системой, у которой эквипотенциальные поверхности с $\varphi=0$ совпадают с проводящими полуплоскостями, является та, которая показана на рис. 2.15 , 6 . Рис. 2.15 Поэтому действие зарядов, индуцированных на проводящих полуплоскостях, эквивалентно действию фиктивного точечного заряда $-q$, помещенного в нижний левый угол пунктирного квадрата. 1. Ответ на этот вопрос мы уже получили: $-q$. 2.8. Емкость параллельных проводов. Два длинных прямых провода с одинаковым радиусом сечения расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между осями проводов в п раз больше радиуса сечения каждого провода. Найти емкость проводов на единицу их длины при условии, что $\eta \gg 1$. Решение. Зарядим мысленно оба провода одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами так, чтобы на единицу длины приходился заряд $\lambda$. Тогда, по определению, искомая емкость и все дальнейшее сводится к нахождению разности потенциалов между проводами. Из рис. 2.16, на котором показаны графики зависимостей потенциалов $\varphi_{+}$и $\varphi_{-}$от положительно и отрицательно заряженных проводов, нетрудно понять, что искомая разность потенциалов Напряженность электрического поля, создаваемого одним из проводов на расстоянии $x$ от его оси, можно легко найти с помощью теоремы Гаусса: $E=\lambda / 2 \pi \varepsilon_{0} x$. Тогда где $a$ – радиус сечения провода; $b$ – расстояние между осями проводов. здесь учтено, что $b \gg a$. 2.9. Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на одинаковом расстоянии $h$ друг от друга, причем наружные пластины соединены между собой проводником. Площадь каждой пластины S. Найти емкость этой системы (между точками 1 и 2, рис. 2.17). Решение. где $U$ – разность потенциалов между точками 1 и 2 , ее и надо найти. Из рис. 2.18 видно, что разность потенциалов между средними пластинами, т. е. $U$, вдвое больше разности потенциалов между крайней парой пластин (как слева, так и справа). Это же относится и к напряженности поля: А так как $E \sim \sigma$, то мы можем утверждать, что в соответствии с (2) заряд $q_{0}$ на пластине 1 делится на две части: $1 / 3 q_{0}$ на левой стороне пластины $l$ и $2 / 3 q_{0}$ – на правой стороне. Поэтому \[ и емкость системы (между точками 1 и 2) равна Рис. 2.18 2.10. Распределение индуцированного заряда. Точечный заряд q находится между двумя большими параллельными проводящими пластинами 1 и 2, отстоящими друг от друга на расстоянии l. Найти полные заряды $q_{1}$ и $q_{2}$, наведенные на каждой из пластин, если пластины соединены проводом и заряд $q$ расположен на расстоянии $l_{1}$ от левой пластины $l$ (рис. 2.19.a). Решение. Воспользуемся принципом суперпозиции. Поместим мысленно на плоскости $P$ где-то еще такой же заряд $q$. Ясно, что это удвоит поверхностный заряд на каждой пластине. Если же на поверхности $P$ равномерно распределить некоторый заряд с поверхностной плотностью $\sigma$, то электрическое поле станет простым для расчета (рис. 2.19, б). Пластины соединены проводом, поэтому разность потенциалов между ними равна нулю. Отсюда где $E_{1 x}$ и $E_{2 x}$ – проекции вектора $\mathbf{E}$ на ось $X$ слева и справа от плоскости $P$ (рис. 2.19,6). где согласно (2.2) $\sigma_{1}=\varepsilon_{0} E_{1 n_{1}}=\varepsilon_{0} E_{1 x}$ и $\sigma_{2}=\varepsilon_{0} E_{2 n_{2}}=-\varepsilon_{0} E_{2 x}$ (знак минус, так как нормаль $\mathbf{n}_{2}$ противоположна орту оси $X$ ). Аналогичный вид имеют и формулы для искомых зарядов $q_{1}$ и $q_{2}$ через заряд $q$. весьма затруднительно: необходим бесконечный ряд фиктивных зарядов, располагающихся по обе стороны от нашего заряда $q$, и нахождение поля такой системы оказывается слож. ной задачей.
|
1 |
Оглавление
|