Электроемкость уединенного проводника.
Рассмотрим какой-либо уединенный проводник, т. е. проводник, удаленный от других проводников, тел и зарядов. Опыт показывает, что между зарядом $q$ такого проводника и его потенциалом $\phi$ (потенциал на бесконечности мы условились считать равным нулю) существует прямая пропорциональность: $\phi \sim q$. Следовательно, $q/\phi$ не зависит от заряда $q$, для каждого уединенного проводника это отношение имеет свое значение. Величину
$$C=q/\phi$$

называют электроемкостью уединенного проводника (сокращенно е м костью). Она численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу. Емкость зависит от размеров и формы проводника.

Пример.
Найти емкость уединенного проводника, имеющего форму шара радиусом $R$.

Для этого, как видно из формулы (2.10), надо мысленно зарядить данный проводник зарядом $q$ и вычислить его потенциал $\phi$. Согласно (1.23) потенциал шара
$$\phi ={\int }_R^{\mathrm{\infty }}{E}_r\mathrm{d}r=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}{\int }_R^{\mathrm{\infty }}\frac{q}{r^2}\mathrm{d}r=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{R}.$$

После подстановки полученного результата в (2.10) найдем
$$C=4\pi {\epsilon }_{0}R.$$

За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Қл. Эту единицу емкости называют ф а адом ( $\mathrm{\Phi })$.

Фарад — очень большая величина: емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом 9 млн. км, что в 1500 раз больше радиуса Земли (емкость Земли $C=0,7$ мФ). На практике чаще всего приходится встречаться с емкостями в интервале от 1 мкФ до 1 пФ.

Конденсаторы.
Если проводник не уединен, то его емкость будет существенно увеличиваться при приближении к нему других тел. Это обусловлено тем, что поле данного проводника вызывает перераспределение зарядов на окружающих телах — появление индуцированных зарядов. Пусть заряд проводника $q>0$. Тогда отрицательные индуцированные заряды оказываются ближе к проводнику, нежели положительные. Поэтому потенциал проводника, являющийся алгебраической суммой потенциала собственных зарядов и зарядов, индуцированных на других телах, уменьшится при приближении к нему других незаряженных тел. А значит, его емкость увеличится.

Это позволило создать систему проводников, которая обладает емкостью, значительно большей, чем уединенный проводник, и притом не зависящей от окружающих тел. Такую систему называют конденсатором. Простейший конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), расположенных на малом расстоянии друг от друга.

Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, его обкладки располагают так относительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапливающимися на них зарядами, было сосредоточено прақтически полностью внутри конденсатора. Это означает, что линии вектора E, начинающиеся на одной обкладке, должны заканчиваться на другой, т. е. заряды на обкладках должны быть одинаковы по модулю и противоположны по знаку ( $q$ и $-q$ ).

Основной характеристикой конденсатора является его емкость. В отличие от емкости уединенного проводника под емкостью конденсатора понимают отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между обкладками (эту разность называют напряжением):

Под зарядом $q$ конденсатора имеют в виду заряд, расположенный на положительно заряженной обкладке.

Естественно, емкость конденсатора измеряют также в фарадах.

Емкость конденсатора зависит от его геометрии (размеров и формы обкладок), от зазора между ними и от заполняющей конденсатор среды. Найдем выражения для емкости некоторых конденсаторов, считая, что между обкладками находится вакуум.

Емкость плоского конденсатора.
Этот конденсатор состоит из двух параллельных пластин, разделенных зазором шириной $h$. Если заряд конденсатора $q$, то согласно (1.11) напряженность поля между его обкладками $E=$ $=\sigma /{\epsilon }_0$, где $\sigma =q/S,S$ — площадь каждой пластины. Следовательно, напряжение между обкладками
$$U=Eh=qh/{\epsilon }_{0}S.$$

После подстановки этого выражения в (2.12) получим
$$C={\epsilon }_{0}S/h$$

Этот расчет был проведен без учета искажения поля у краев пластин (без учета краевых эффектов). Емкость реального плоского конденсатора определяется полученным выражением тем точнее, чем меньше зазор $h$ по сравнению с линейными размерами пластин.

Емкость сферического конденсатора.
Пусть радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора равны соответственно $a$ и $b$. Если заряд конденсатора $q$, то напряженность поля между обкладками определяется по теореме Гаусса:
$$E_r=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}.$$

Напряжение на конденсаторе
$$U={\int }_a^b{E}_r\mathrm{d}r=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}).$$

Отсюда легко видеть, что емкость сферического конденсатора
$$C=4\pi {\epsilon }_0\frac{ab}{b-a}.$$

Полезно убедиться, что в случае малого зазора между обкладками, т. е. при условии $b-a\ll a$ (или $b$ ), полученное выражение переходит в (2.13) — в выражение для емкости плоского конденсатора.

Емкость цилиндрического конденсатора. Рассуждая так же, как и в случае со сферическим конденсатором, получим
$$C=\frac{2\pi {\epsilon }_{0}l}{\ln (b/a)}.$$

где $l$ — длина конденсатора; $a$ и $b$ — радиусы внутренней и наружной цилиндрической обкладок. Здесь так же, как и в предыдущем случае, при малом зазоре между обкладками полученное выражение переходит в (2.13).

Вопроса о влиянии среды на емкость конденсатора мы коснемся в $\mathrm{\$}3.7$.

Задачи

2.1. О нахождении потенциала. Точечный заряд q находится на расстоянии $r$ от центра О незаряженного сферического проводящего слоя, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно а и $b$. Найти потенциал в точке $O$, если $r<a$.

Решение и В результате электростатической индукции на внутренней поверхности слоя выступят, допустим, отрицательные заряды, а на наружной — положительные (рис. 2.9). Согласно принципу суперпозиции искомый потенциал в точке $O$ можно представить как
$$\phi =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{q}{r}+\oint \frac{{\sigma }_{-}\mathrm{d}S}{a}+\oint \frac{{\sigma }_{+}\mathrm{d}S}{b}),$$

где первый интеграл берется по всем индуцированным зарядам на внутренней поверхности слоя, а второй интеграл — по всем зарядам на внешней поверхности слоя. Из этого выражения следует:
$$\phi =\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{r}-\frac{1}{a}+\frac{1}{b}).$$

Заметим, что так просто потенциал в полости можно найти только в точке $O$, поскольку только от этой точки все индуцированные заряды одного знака находятся на одинаковом расстоянии и их распределение (нам не известное) не играет роли.

Рис. 2.9
Рис. 2.10

2.2. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причем на внутренней сфере радиусом $R_1$ находится заряд $q_1$. Какой заряд $q_2$ следует поместить на внешнюю сферу радиусом $R_2$, чтобы потенциал внутренней сферы стал равным нулю? Как будет зависеть при этом потенциал ч от расстояния $r$ до центра системы? Изобразить примерный график этой зависимости, если $q_1<0$.

Решение.
Запишем выражения для потенциала вне системы $\left({\phi }_{\mathrm{II}}\right)$ и в области между сферами $\left({\phi }_1\right)$ :
$${\phi }_{11}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1+q_2}{r},{\phi }_1=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1}{r}+{\phi }_0.$$

где ${\phi }_0$ — некоторая постоянная. Ее значение легко найти из граничного условия: при $r=R_2$ потенциал ${\phi }_{11}={\phi }_{\mathrm{I}}$. Отсюда
$${\phi }_0=q_2/4\pi {\epsilon }_0{R}_2\text{. }$$

Из условия ${\phi }_1\left(R_1\right)=0$ находим $q_2=-q_1{R}_2/R_1$. Зависимость $\phi (r)$ будет иметь вид (рис. 2.10):
$${\phi }_{\mathrm{II}}=\frac{q_1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{1-R_2/R_1}{r},{\phi }_{\mathrm{I}}=\frac{q_1}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{1}{r}-\frac{1}{R_1}).$$

2.3. Сила, действующая на поверхностный заряд. $\mathrm{He}$ заряженный металлический шар радиусом $R$ поместили во внешнее однородное электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индуцированный заряд $c$ поверхностной плотностью $\sigma ={\sigma }_0\cos \theta$, где ${\sigma }_0$ — положительная

Рис. 2.11
Рнс, 2.12

постоянная, Ө — полярный угол. Найти модуль результирующей электрической силы, которая действует на заряд одного знака.

Решение.
Согласно (2.5) на элементарную площадку d $S$ действует электрическая сила
$$\mathrm{dF}=1/2\sigma \mathrm{E}S.$$

Из соображений симметрии ясно, что искомая результирующая сила $\mathbf{F}$ направлена по оси $Z$ (рис. 2.11) и поэтому ее можно представить как сумму (интеграл) проекций элементарных сил (1) на ось $Z$ :
$$\mathrm{d}{F}_z=\mathrm{d}F\cos \theta .$$

В качестве площадки $\mathrm{d}S$ целесообразно сразу же взять элементарный пояс, для которого $\mathrm{d}S=2\pi R\sin \vartheta \cdot R\mathrm{d}\vartheta$. Учитывая, кроме того, что $E=\sigma /{\epsilon }_0$, преобразуем (2) к виду
$$\mathrm{d}{F}_z=\left(\pi {\sigma }^2{R}^2/{\epsilon }_0\right)\sin \theta \cos \theta \mathrm{d}\theta =-\left(\pi {\sigma }_0^2{R}^2/{\epsilon }_0\right){\cos }^3\theta \mathrm{d}(\cos \theta ).$$

Проинтегрировав это выражение по полусфере (т. е. по $\cos \theta$ от 1 до 0 ), получим
$$F=\pi {\sigma }_0^2{R}^2/4{\epsilon }_0.$$

2.4. Метод изображений. Точечный заряд q находится на расстоянии $l$ от безграничной проводящей плоскости. Oпределить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости как функцию расстояния $r$ от основания перпендикуляра, опущенного из заряда q на плоскость.

Решение Согласно (2.2) поверхностная плотность зарядов на проводнике связана с электрическим полем вблизи проводника (в вакууме), как $\sigma ={\epsilon }_0{E}_n$. Следовательно, задача сводится к нахождению поля $E$ вблизи проводящей плоскости.

Методом изображений получаем, что в точке $P$ (рис. 2.12), находящейся на расстоянии $r$ от точки $O$, поле вблизи плоскости:
$$E=2E_q\cos \alpha =2\frac{q}{4\pi {\epsilon }_{\theta }{x}^2}\frac{l}{x}.$$

Значит,
$$\sigma =-\frac{ql}{2\pi {(l^2+r^2)}^{3/2}},$$

где знак минус показывает, что индуцированный заряд противоположен по знаку точечному заряду $q$.

Рис. 2.13
Рис. 2.14

2.5. Точечный заряд q находится на расстоянии от безграничной проводящей плоскости. Найти работу, которую совершит электрическая сила, действующая на заряд q при его медленном удалении на очень большое расстояние от плоскости.

Решение е. По определению работа этой силы при элементарном перемещении $\mathrm{d}x$ (рис. 2.13)

$$\delta A=F_x\mathrm{d}x=-\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_0(2x{)}^2}\mathrm{d}x,$$

где выражение для силы получено с помощью метода изображений. Проинтегрировав это уравнение по $x$ от $l$ до $\mathrm{\infty }$, найдем
$$A=-\frac{q^2}{16\pi {\epsilon }_0}{\int }_l^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathrm{d}x}{x^2}=-\frac{q^2}{16\pi {\epsilon }_{0}l}.$$

Замечание. Попытка решить эту задачу другим способом — через потенциал — приводит к неверному результату (он вдвое отличается от полученного нами). Это связано с тем, что соотношение $A=q({\phi }_1-{\phi }_2)$ справедливо только для потенциального поля. В системе же отсчета, связанной с проводящей плоскостью, электрическое поле индуцированных зарядов не потенциально: перемещение заряда $q$ приводит к изменению распределения индуцированных зарядов, и их поле оказывается зависящим от времени.

2.6. Тонкое проводящее кольцо радиусом $R$, имеющее заряд $q$, расположено параллельно проводящей безграничной плоскости на расстоянии ( от нее. Найти: 1) поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично относительно кольца; 2) потенциал электрического поля в центре кольца.

Решение.
Легко догадаться, что в соответствии с методом изображений фиктивный заряд $-q$ должен быть расположен на таком же кольце, но по другую сторону проводящей плоскости (рис. 2.14). Действительно, только в этом случае потенциал на средней плоскости между этими кольцами равен нулю, т. е. совпадает с потенциалом проводящей плоскости. Теперь воспользуемся известными нам формулами.

1. Для нахождения $\sigma$ в точке $O$ необходимо согласно (2.2) найти напряженность $E$ поля в этой точке (рис. 2.14). Выражение для $E$ от одного кольца на оси было получено в примере 1 (см. с. 11). В нашем случае это выражение надо удвоить. В результате
$$\sigma =\frac{ql}{2\pi {(R^2+l^2)}^{3/2}}.$$
2. Потенциал в центре кольца равен алгебраической сумме потенциалов в этой точке, создаваемых зарядами $q$ и — $q$ :
$$\phi =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{q}{R}-\frac{q}{\sqrt{R^2+4l^2}}).$$

2.7. Три разноименных точечных заряда расположены так, как показано на рис. 2.15, а, где АОВ — прямой угол, образованный двумя проводящими полуплоскостями. Модуль каждого заряда равен-|q|, расстояния между ними указаны на рисунке. Найти: 1) суммарный заряд, индуцированный на проводящих полуплоскостях; 2) силу, действующую на заряд — $q$.

Решение. Полуплоскости, образующие угол $AOB$, уходят в бесконечность, поэтому их потенциал $\phi =0$. Нетрудно сообразить, что системой, у которой эквипотенциальные поверхности с $\phi =0$ совпадают с проводящими полуплоскостями, является та, которая показана на рис. 2.15 , 6 . Рис. 2.15 Поэтому действие зарядов, индуцированных на проводящих полуплоскостях, эквивалентно действию фиктивного точечного заряда $-q$, помещенного в нижний левый угол пунктирного квадрата.

1. Ответ на этот вопрос мы уже получили: $-q$.
2. Сведя систему к четырем точечным зарядам, легко найтн и искомую силу как (см. рис. $2.15,6$ )
$$F=F_2-F_1=\frac{2\sqrt{2}-1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q^2}{2a^2}.$$

2.8. Емкость параллельных проводов. Два длинных прямых провода с одинаковым радиусом сечения расположены в воздухе параллельно друг другу. Расстояние между осями проводов в п раз больше радиуса сечения каждого провода. Найти емкость проводов на единицу их длины при условии, что $\eta \gg 1$.

Решение. Зарядим мысленно оба провода одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами так, чтобы на единицу длины приходился заряд $\lambda$. Тогда, по определению, искомая емкость
$$C_{\text{eд }}=\lambda /U,$$

и все дальнейшее сводится к нахождению разности потенциалов между проводами.

Из рис. 2.16, на котором показаны графики зависимостей потенциалов ${\phi }_{+}$и ${\phi }_{-}$от положительно и отрицательно заряженных проводов, нетрудно понять, что искомая разность потенциалов
$$U=\left|\mathrm{\Delta }{\phi }_{+}\right|+\left|\mathrm{\Delta }{\phi }_{-}\right|=2\left|\mathrm{\Delta }{\phi }_{+}\right|.$$

Напряженность электрического поля, создаваемого одним из проводов на расстоянии $x$ от его оси, можно легко найти с помощью теоремы Гаусса: $E=\lambda /2\pi {\epsilon }_{0}x$. Тогда
$$\left|\mathrm{\Delta }{\phi }_{+}\right|={\int }_a^{b-a}E\mathrm{d}x=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{b-a}{a},$$

где $a$ — радиус сечения провода; $b$ — расстояние между осями проводов.
Из (1), (2) и (3) следует, что
$$C_{\text{eд }}=\pi {\epsilon }_0/\ln \eta ,$$

здесь учтено, что $b\gg a$.

2.9. Четыре одинаковые металлические пластины расположены в воздухе на одинаковом расстоянии $h$ друг от друга, причем наружные пластины соединены между собой проводником. Площадь каждой пластины S. Найти емкость этой системы (между точками 1 и 2, рис. 2.17).

Решение.
Сообщим пластинам 1 и 2 соответственно заряды $q_0$ и $-q_0$. Под действием возникшего между этими пластинами поля рассеяния (краевой эффект) произойдет перемещение заряда в замыкающем проводнике, после чего пластина $A$ зарядится отрицательно, а пластина $B$ — положительно. В пространстве между всеми пластинами возникает электрическое поле и соответствующее распределение потенциала ф (рис. 2.18). Заметим, что из симметрии системы следует, что потенциалы в ее середине, а также на наружных пластинах равны нулю.
По определению емкость системы в данном случае
$$C=q_0/U,$$

где $U$ — разность потенциалов между точками 1 и 2 , ее и надо найти. Из рис. 2.18 видно, что разность потенциалов между средними пластинами, т. е. $U$, вдвое больше разности потенциалов между крайней парой пластин (как слева, так и справа). Это же относится и к напряженности поля:
$$E=2E^{\prime }.$$

А так как $E\sim \sigma$, то мы можем утверждать, что в соответствии с (2) заряд $q_0$ на пластине 1 делится на две части: $1/3q_0$ на левой стороне пластины $l$ и $2/3q_0$ — на правой стороне. Поэтому

$$U=Eh=\sigma h/{\epsilon }_0=2q_{0}h/3{\epsilon }_{0}S,$$

и емкость системы (между точками 1 и 2) равна
$$C=\frac{3{\epsilon }_{0}S}{2h}.$$

Рис. 2.18
Рис. 2.19

2.10. Распределение индуцированного заряда. Точечный заряд q находится между двумя большими параллельными проводящими пластинами 1 и 2, отстоящими друг от друга на расстоянии l. Найти полные заряды $q_1$ и $q_2$, наведенные на каждой из пластин, если пластины соединены проводом и заряд $q$ расположен на расстоянии $l_1$ от левой пластины $l$ (рис. 2.19.a).

Решение. Воспользуемся принципом суперпозиции. Поместим мысленно на плоскости $P$ где-то еще такой же заряд $q$. Ясно, что это удвоит поверхностный заряд на каждой пластине. Если же на поверхности $P$ равномерно распределить некоторый заряд с поверхностной плотностью $\sigma$, то электрическое поле станет простым для расчета (рис. 2.19, б).

Пластины соединены проводом, поэтому разность потенциалов между ними равна нулю. Отсюда
$$E_{1x}{l}_1+E_{2x}(l-l_1)=0$$

где $E_{1x}$ и $E_{2x}$ — проекции вектора $\mathbf{E}$ на ось $X$ слева и справа от плоскости $P$ (рис. 2.19,6).
С другой стороны, очевидно, что
$$\sigma =-({\sigma }_1+{\sigma }_2),$$

где согласно (2.2) ${\sigma }_1={\epsilon }_0{E}_{1n_1}={\epsilon }_0{E}_{1x}$ и ${\sigma }_2={\epsilon }_0{E}_{2n_2}=-{\epsilon }_0{E}_{2x}$ (знак минус, так как нормаль ${\mathbf{n}}_2$ противоположна орту оси $X$ ).
Исключив $E_{1x}$ и $E_{2x}$ из этнх уравнений, получим
$${\sigma }_1=-\sigma (l-l_1)/l,{\sigma }_2=-\sigma l_1/l.$$

Аналогичный вид имеют и формулы для искомых зарядов $q_1$ и $q_2$ через заряд $q$.
Решение же этой задачи с помощью метода изображений

весьма затруднительно: необходим бесконечный ряд фиктивных зарядов, располагающихся по обе стороны от нашего заряда $q$, и нахождение поля такой системы оказывается слож. ной задачей.