Некоторые простые следствия.
Из формул преобразования (8.1) вытекают в ряде случаев простые и вместе с тем полезные соотношения.

1. Если в $К$-системе имеется только электрическое поле $\mathbf{E}$ (а магнитное $\mathbf{B}=0$ ), то между полями $\mathbf{E}^{\prime}$ и $\mathbf{B}^{\prime}$ в $K^{\prime}$-системе существует такая связь
\[
\mathbf{B}^{\prime}=-\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{E}^{\prime}\right] / c^{2} .
\]

Действительно, если $\mathbf{B}=0$, то $\mathbf{E}_{\perp}^{\prime}=\mathbf{E}_{\perp} / \sqrt{1-\beta^{2}}$ и $\mathbf{B}_{\text {घ }}^{\prime}=$ $=0, \mathbf{B}_{\perp}^{\prime}=-\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{E}\right] / c^{2} \sqrt{1-\beta^{2}}=-\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{E}^{\prime}\right] / c^{2}$, где учтено, что в векторном произведении можно писать как $\mathbf{E}$, так и $\mathbf{E}_{\perp}$ (это же относится и к штрихованным величинам). Приняв во внимание, что $\mathbf{B}^{\prime}=\mathbf{B}_{\|}^{\prime}+\mathbf{B}_{\perp}^{\prime}=\mathbf{B}_{\perp}^{\prime}$, приходим к формуле (8.5).
2. Если в $K$-системе имеется только магнитное поле в (а электрическое $\mathbf{E}=0$ ), то в $K^{\prime}$-системе
\[
\mathbf{E}^{\prime}=\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{B}\right] \text {. }
\]

В самом деле, если $\mathbf{E}=0$, то $\mathbf{B}_{\perp}^{\prime}=\mathbf{B}_{\perp} / \sqrt{1-\beta^{2}}$ и $\mathbf{E}_{\|}^{\prime}=0$, $\mathbf{E}_{\perp}^{\prime}=\left[\mathbf{v}_{0} \mathbf{B}\right] / \sqrt{1-\beta^{2}}$. Заменив в последнем векторном произведении $\mathbf{B}$ на $\mathbf{B}_{\perp}$ и затем $\mathbf{B}_{\perp}^{\prime}$ на $\mathbf{B}^{\prime}$, приходим к формуле (8.6).

Из формул (8.5) и (8.6) вытекает следующий важный вывод: если в К-системе имеется лишь о д н о из полей (E или В), то в $K^{\prime}$-системе электрическое и магнитное поля взаимно перпендикулярны ( $\mathbf{E}^{\prime} \perp \mathbf{B}^{\prime}$ ). Заметим, что обратное утверждение справедливо не всегда, а лишь при определенных дополнительных ограничениях, накладываемых на модули векторов Е и В.

И последнее замечание. Ввиду того что в уравнения (8.5) и (8.6) входят только величины, относящиеся к одной и той же системе отсчета, эти уравнения легко применять к полям, изменяющимся в пространстве и времени. Хорошим примером может служить поле равномерно движущегося точечного заряда.

Поле свободно движущегося релятивистского заряда.
Формулы преобразования полей представляют большой интерес прежде всего в том отношении, что выражают собой удивительные свойства электромагнитного поля. Но, кроме того, они важны и в чисто практическом отношении, позволяя иногда проще решать некоторые вопросы.
Например, задача о нахождении поля равномерно движущегося точечного заряда может быть решена путем преобразования чисто кулоновского поля, которое наблюдается в системе отсчета, связанной с самим зарядом. Расчет показывает (см. задачу 8.10), что линии Е поля свободно движущегося точечного заряда $q$ имеют вид, показанный на рис. 8.3, где $\mathbf{v}$— скорость заряда. Изображенная здесь картина соответствует мгновенной «фотографии» конфигурации электрического поля. Вектор Е в произвольной точке $P$ системы отсчета направлен вдоль радиуса-вектора $r$, проведенного из точки, где находится заряд в данный момент, в точку $P$.
Модуль вектора $\mathbf{E}$ определяется формулой
\[
E=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{r^{2}} \frac{1-\beta^{2}}{\left(1-\beta^{2} \sin ^{2} \vartheta\right)^{3 / 2}},
\]

где $\beta=v / c ; \vartheta-$ угол между радиусом-вектором $\mathbf{r}$ и вектором $\mathbf{v}$ — скоростью заряда.

Электрическое поле «сплющивается» в направлении движения заряда (см. рис. 8.3), причем в тем большей степени, чем ближе скорость заряда $v$ к скорости $c$. Следует также иметь в виду, что поле, показанное на этом рисунке, «перемещается» вместе с зарядом, вследствие чего поле $\mathbf{E}$ в системе отсчета, относительно которой заряд движется, изменяется со временем.

Зная поле E, можно найти и поле В в этой же системе отсчета:
\[
\mathbf{B}=\frac{1}{c^{2}}[\mathbf{v E}]=\frac{\mu_{0}}{4 \pi} \frac{q[\mathbf{v r}]}{r^{3}} \frac{1-\beta^{2}}{\left(1-\beta^{2} \sin ^{2} \vartheta\right)^{3 / 2}} .
\]

Эта формула является следствием соотношения (8.5), в котором произведена замена штрихованных величин на нештрихованные и одновременно $\mathbf{v}$ на — v.

При $v \ll c(\beta \ll 1)$ выражения (8.7) и (8.8) переходят соответственно в (1.2) и (6.3).