О локализации энергии.
Формула (4.4) определяет электрическую энергию $W$ любой системы через заряды и потенциалы. Но, оказывается, энергию $W$ можно выразить также и через величину, характеризующую само электрическое поле,- через напряженность Е. Убедимся в этом сначала на простейшем примере плоского конденсатора, пренебрегая искажением поля у краев пластин (краевым эффектом). Подстановка в формулу $W=C U^{2} / 2$ выражения $C=\varepsilon \varepsilon_{0} S / h$ дает
\[
W=\frac{C U^{2}}{2}=\frac{\varepsilon \varepsilon_{0} S U^{2}}{2}=\frac{\varepsilon \varepsilon_{0}}{2}\left(\frac{U}{h}\right)^{2} S h .
\]

А поскольку $U / h=E$ и $S h=V$ (объем между обкладками конденсатора), то
\[
W=1 / 2 \varepsilon_{0} \varepsilon E^{2} V .
\]

Полученная формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем $V$.

В общей теории доказывается, что энергию $W$ можно выразить через Е (в случае если диэлектрик и зотропн й) по формуле

Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в объеме $\mathrm{d} V$. Это подводит нас к весьма важной и плодотворной физической идее о локализации энергии в самом поле. Данное предположение нашло опытное подтверждение в области переменных во времени полей. Только там встречаются явления, которые можно истолковать на основе идеи о локализации энергии в поле. Именно переменные поля могут существовать независимо от возбудивших их электрических зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. И опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию – уже это заставляет нас признать, что носителем энергии является само поле.

Из последних двух формул следует, что электрическая энергия распределена в пространстве с объемной плотностью

Заметим, что эта формула справедлива только в случае и 3 отропногокта, для которого выполняется соотношение $\mathbf{P}=x \varepsilon_{0} \mathbf{E}$. Для анизотропных диэлектриков дело обстоит сложнее.

Еще об обосновании формулы (4.9).
Энергия уединенного заряженного проводника, как известно, есть $W=q \varphi / 2$. Покажем, что это так, исходя из идеи о локализации энергии в поле.
Рассмотрим произвольный положительно заряженный проводник. Выделим мысленно бесконечно малого сечения трубку, ограниченную линиями вектора E (рис. 4.2), и в ней возьмем элементарный объем $\mathrm{d} V=\mathrm{d} S \mathrm{~d} l$. В этом объеме заключена энергия
\[
\frac{E D}{2} \mathrm{~d} S \mathrm{~d} l=\frac{D \mathrm{~d} S}{2} E \mathrm{~d} l .
\]

Теперь найдем энергию, локализованную во всей выделенной нами трубке. Для этого проинтегрируем последнее выражение, учитывая, что произведение $D \mathrm{~d} S$ одииаково во всех сечениях трубки, и поэтому его можно вынести за знак интеграла:
\[
\mathrm{d} W=\frac{D \mathrm{~d} S}{2} \int_{A}^{\infty} E \mathrm{~d} l=\frac{D \mathrm{~d} S}{2} \varphi,
\]

где $A$ – начало трубки.
Остается сделать последний шаг – проинтегрировать полученное выражение по всем трубкам, и мы найдем энергию, локализованную во всем поле. Принимая во внимание, что потенциал $\varphi$ одинаков у торцов всех трубок (они ведь начинаются на поверхности проводника), запишем
\[
W=\frac{\varphi}{2} \oint D \mathrm{~d} S,
\]

где интегрирование проводится по замкнутой поверхности, совпадаюцей с одной из эквипотенциальных поверхностей. По теореме Гаусса этот интеграл равен заряду $q$ на проводнике, и мы получим окончательно
\[
W=q \varphi / 2,
\]

что и требовалось доказать.
Рассмотрим два примера, иллюстрирующих возможности и преимущества, которые дает использование идеи о локализации энергии в поле.

Пример 1.
Точечный заряд $q$ находится в центре шарового слоя из однородного диэлектрика с проницаемостью в. Внутренний и наружный радиусы слоя равны соответственно а и $b$.

Найти электрическую энергию, заключенную в данном диэлектрическом слое.

Мысленно выделим в диэлектрике очень тонкий концентрический сферический слой радиусом от $r$ до $r+\mathrm{d} r$. Энергия, локализованная в этом слое:
\[
\mathrm{d} W=\frac{\varepsilon_{0} \varepsilon E^{2}}{2} 4 \pi r^{2} \mathrm{~d} r,
\]

где $E=q^{2} / 4 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon r^{2}$. Проинтегрировав предыдущее выражение по $r$ от $a$ до $b$, получим
\[
W=\frac{q^{2}}{8 \pi \varepsilon_{0} \varepsilon}\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right) .
\]

Пример 2.
Найти работу, которую надо совершить против электрических сил, чтобы удалить диэлектрическую пластинку из плоского заряженного конденсатора. Предполагается, что заряд q конденсатора остается неизменным и диэлектрик заполняет все пространство между обкладками. Емкость конденсатора без диэлектрика равна С.

Работа против электрических сил в этой системе пойдет на приращение ее электрической энергии:
\[
A=\Delta W=W_{2}-W_{1},
\]

где $W_{1}$ – энергия поля между обкладками конденсатора при наличии диэлектрика; $W_{2}$ – то же, но при отсутствии диэлектрика. Имея в виду, что модуль вектора $\mathbf{D}$ не изменится в результате извлечения пластины, т. е. $D_{2}=D_{1}=\sigma$, запишем
\[
A=W_{2}-W_{1}=\left(\frac{D^{2}}{2 \varepsilon_{0}}-\frac{D^{2}}{2 \varepsilon_{0} \varepsilon}\right) V=\frac{q^{2}}{2 C}\left(1-\frac{1}{\varepsilon}\right),
\]

где $V=S h$ и $C=\varepsilon_{0} S / h ; S$ и $h$ – площадь каждой обкладки и расстояние между ними.

Работа поля при поляризации диэлектрика.
Анализируя формулу (4.10) для объемной плотности энергии, мы замечаем, что при одном и том же значении $E$ величина w при наличии диэлектрика оказывается в $\varepsilon$ раз больше, чем при отсутствии диэлектрика. На первый взгляд это кажется странным: ведь напряженность поля в обоих случаях мы поддерживаем одной и той же. Как мы сейчас увидим, все дело в том, что при создании поля в диэлектрике оно совершает дополнительную работу, связанную с поляризацией. И под энергией поля в диэлектрике следует понимать в с э энергию, которую нужно затратить на возбуждение электрического поля, а она склады-
вается из собственной электрической энергии и той дополнительной работы, которая совершается при поляризации диэлектрика.

Чтобы в этом убедиться, подставим в (4.10) вместо D величину $\varepsilon_{0} \mathbf{E}+\mathbf{P}$, тогда
\[
w=\frac{\varepsilon_{0} E^{2}}{2}+\frac{\mathbf{E P}}{2} .
\]

Первое слагаемое здесь совпадает с плотностью энергии поля Е в вакууме. Остается проверить, что «дополнительная» энергия $\mathbf{E P} / 2$ связана с поляризацией диэлектрика.
Подсчитаем работу, которую совершает электрическое поле на поляризацию Рис. 4.3 единицы объема диэлектрика, т. е. на смещение зарядов $\rho_{+}^{\prime}$ и $\rho^{\prime}{ }_{-}$соответственно по и против поля – при возрастании напряженности от $\mathbf{E}$ до $\mathbf{E}+\mathrm{d} \mathbf{E}$. Пренебрегая членами второго порядка малости, запишем
\[
\delta A=\rho_{+}^{\prime} \mathbf{E} \mathbf{d}_{+}+\rho_{-}^{\prime} \mathbf{E} \mathbf{d}_{-},
\]

где $\mathrm{d} \mathbf{l}_{+}$и $\mathrm{d} \mathbf{l}_{-}$- дополнительные смещения при увеличении поля на $\mathrm{d} \mathbf{E}$ (рис. 4.3). Учитывая, что $\rho_{-}^{\prime}=-\rho_{+}^{\prime}$, получаем
\[
\delta A=\rho_{+}^{\prime}\left(\mathrm{d}_{+}-\mathrm{d}_{-}\right) \mathbf{E}=\rho_{+}^{\prime} \mathrm{d} \mathbf{l} \cdot \mathbf{E},
\]

где $\mathrm{d} \mathbf{l}=\mathrm{dl}_{+}-\mathrm{d} \mathbf{l}-$ дополнительное смещение положительных зарядов относительно отрицательных. Согласно (3.4) $\rho_{+}^{\prime} \mathrm{dl}=\mathrm{d} \mathbf{P}$, и
\[
\delta A=\mathbf{E} \mathbf{d} \mathbf{P} .
\]

Так как $\mathbf{P}=x \varepsilon_{0} \mathbf{E}$, то
\[
\delta A=\mathbf{E} \cdot x \varepsilon_{0} \mathrm{~d} \mathbf{E}=\mathrm{d}\left(\frac{x \varepsilon_{0} E^{2}}{2}\right)=\mathrm{d}\left(\frac{\mathbf{E P}}{2}\right) .
\]

Отсюда вся работа на поляризацию единицы объема диэлектрика
\[
A=\mathbf{E P} / 2,
\]

что совпадает со вторым слагаемым формулы (4.11). Таким образом, объемная плотность энергии $w=$ $=\mathrm{ED} / 2$ включает в себя собственную энергию поля $\varepsilon_{0} E^{2} / 2$ и энергию $\mathbf{E P} / 2$, связанную с поляризацией вещества.