При переходе от одной системы отсчета к другой поля E и B определенным образом преобразуются. Законы этого преобразования устанавливаются в специальной теории относительности, причем довольно сложным образом. По этой причине мы не будем воспроизводить здесь соответствующие выводы, а сосредоточим внимание на содержании этих законов, на вытекающих из них следствиях, а также на том, как следует пользоваться этими законами при решении некоторых конкретных вопросов.

Постановка вопроса.
Пусть имеются две инерциальные системы отсчета: $K$-система и движущаяся относительно нее со скоростью ${\mathbf{v}}_0$ система $K^{\prime }$. В некоторой пространственно-временной точке $K$-системы отсчета известны значения полей $\mathbf{E}$ и В. Какими будут значения полей ${\mathbf{E}}^{\prime }$ и ${\mathbf{B}}^{\prime }$ в той же самой пространственно-временной точке в $K^{\prime }$-системе отсчета? Напомним, что одной и той же пространственновременной точкой называют такую, координаты и время которой в обеих системах отсчета связаны между собой преобразованиями Лоренца*.

Ответ на этот вопрос, как уже было сказано, дает теория относительности, которая показывает, что законы преобразования полей выражаются следующими формулами:

Здесь символами $\Vert$ и $\perp$ отмечены продольные и поперечные (по отношению к вектору ${\mathbf{v}}_0$ ) составляющие электрического и магнитного полей, $\beta =v_0/c,c-$ скорость света в вакууме $(c^2=1/{\epsilon }_0{\mu }_0)$.
$$\ast x^{\prime }=\frac{x-v_{0}t}{\sqrt{1-{\left(v_0/c\right)}^2}},y^{\prime }=y_1{z}^{\prime }=z,t^{\prime }=\frac{t-x{v}_0/c^2}{\sqrt{1-{\left(v_0/c\right)}^2}}.$$

Эти же формулы, записанные в проекциях, имеют вид:

где предполагается, что оси координат $X$ и $X^{\prime }$ направлены вдоль вектора ${\mathbf{v}}_0$, ось $Y^{\prime }$ параллельна оси $Y$, ось $Z^{\prime }-$ оси $Z$.

Из уравнений (8.1) и (8.2) видно, что каждый из векторов ${\mathbf{E}}^{\prime }$ и ${\mathbf{B}}^{\prime }$ выражается как через $\mathbf{E}$, так и через В. Это свидетельствует о единой природе электрического и магнитного полей. Каждое из них в отдельности не имеет абсолютного смысла: об электрическом и магнитном полях можно говорить лишь с обязательным указанием системы отсчета, в которой эти поля рассматриваются.

Подчеркнем, что свойства электромагнитного поля, выраженные в законах его преобразования, являются локальными: значения ${\mathbf{E}}^{\prime }$ и ${\mathbf{B}}^{\prime }$ в некоторой пространственновременной точке $K^{\prime }$-системы отсчета однозначно определяются только через значения Е и В в той же пространственно-временной точке $K$-системы отсчета.

Необходимо обратить внимание еще на следующие особенности законов преобразования полей:
1. В отличие от поперечных составляющих E и В, которые изменяются при переходе к другой системе отсчета, продольные составляющие не изменяют ся — во всех системах отсчета они оказываются одинаковыми.

2. Векторы Е и В связаны друг с другом в разных системах отсчета в высшей степени симметричным образом. Это особенно полно обнаруживается в форме записи законов преобразования через проекции полей [см. (8.2)].

3. Если надо получить формулы обратного преобразования (от $K^{\prime }$ к $K$ ), то достаточно в формулах (8.1) и (8.2) заменить все штрихованные величины на нештрихованные (и наоборот), а также — знак перед $v_0$.

Частный случай преобразования полей ( $v_0\ll c$ ).
Если $K^{\prime }$-система движется относительно $K$-системы со скоростью $v_0\ll c$, то корень в знаменателе формул (8.1) можно заменить на единицу, и мы будем иметь
$$\begin{array}{ll}{\mathbf{E}}_{\Vert }^{\prime }={\mathbf{E}}_{\Vert },& {\mathbf{B}}_{\Vert }^{\prime }={\mathbf{B}}_{\Vert },\\ {\mathbf{E}}_{\perp }^{\prime }={\mathbf{E}}_{\perp }+\left[{\mathbf{v}}_0\mathbf{B}\right],& {\mathbf{B}}_{\perp }^{\prime }={\mathbf{B}}_{\perp }-\left[{\mathbf{v}}_0\mathbf{E}\right]/c^2.\end{array}$$

Отсюда следует, что
Заметим, что первую из формул (8.4) можно получить непосредственно и очень просто. Пусть в $K$-системе в некоторый момент $t$ заряд $q$ имеет скорость ${\mathbf{v}}_0$. Действующая на него сила Лоренца $\mathbf{F}=q\mathbf{E}+q\left[{\mathbf{v}}_0\mathbf{B}\right]$. Перейдем в инерциальную $K^{\prime }$-систему, движущуюся относительно $K$-системы с той же скоростью, что и заряд $q$ в момент $t$, т. е. со скоростью ${\mathbf{v}}_0$. В этот момент заряд $q$ неподвижен в $K^{\prime }$-системе, и сила, действующая на покоящийся заряд, является чисто электрической: ${\mathbf{F}}^{\prime }=q{\mathbf{E}}^{\prime }$. При $v_0\ll c$, как в нашем случае, сила инвариантна $({\mathbf{F}}^{\prime }=\mathbf{F})$, откуда и следует первая из формул (8.4).

Формулу же для преобразования магнитного поля можно получить только с помощью теории относительности в результате довольно громоздких выкладок.

Рассмотрим простой пример на применение формул (8.4).

Пример.
Большая металлическая пластинка движется с постоянной нерелятивистской скоростью у в однородном магнитном поле В (рис. 8.1). Найти поверхностную плотность зарядов, возникающих на плоскостях пластинки из-за ее движения.

Перейдем в систему отсчета, связанную с пластинкой. Согласно первой из формул (8.4) в этой системе отсчета будет наблюдаться постоянное однородное электрическое поле
$${\mathbf{E}}^{\prime }=[vB].$$

Оно будет направлено к нам. Под действием этого внешнего поля произойдет смещение зарядов так, что на обращенной к нам поверхности пластинки выступят положительные заряды, а на противоположной поверхности — отрицательные.

Поверхностная плотность $\sigma$ этих зарядов будет такой, чтобы создаваемое ими поле внутри пластинки полностью компенсировало внешнее поле ${\mathbf{E}}^{\prime }$, ибо при равновесии результирующее электрическое поле внутри пластинки должно быть равно нулю. Имея в виду соотношение (1.11), получим
$$\sigma ={\epsilon }_0{E}^{\prime }={\epsilon }_{0}vB.$$

Заметим, что при решении этого вопроса можно было рассуждать и иначе — с точки зрения системы отсчета, где пластинка движется со скоростью v. В этой системе отсчета внутри пластинки будет электрическое поле. Оно возникает вследствие действия магнитной части силы Лоренца, вызывающей смещение всех электронов в пластинке за плоскость рис. 8.1. В результате передняя поверхность пластинки оказывается заряженной положительно, задняя — отрицательно, и внутри пластинки появляется электрическое поле, причем такое, что электрическая сила $q\mathbf{E}$ компенсирует магнитную часть силы Лоренца $q[\mathbf{v}\mathbf{B}]$, откуда $\mathbf{E}=-[\mathbf{v}\mathbf{B}]$. Это поле связано с поверхностной плотностью заряда той же формулой $\sigma ={\epsilon }_{0}vB$.
Оба подхода к решению данного вопроса одинаково законны.

Релятивистская природа магнетизма.
Из формул преобразования полей (8.1) и (8.2) вытекает весьма замечательный вывод: возникновение магнитного поля является чисто релятивистским эффектом, следствием наличия в природе предельной скорости $c$, равной скорости света в вакууме.

Если бы эта скорость была бесконечной (соответственно и скорость распространения взаимодействий), никакого магнетизма вообще не существовало бы. В самом деле, рассмотрим свободный электрический заряд. В системе отсчета $K$, где он покоится, существует только электрическое поле. А это значит согласно (8.1), что в любой другой $K^{\prime }$ системе отсчета, если бы $c\to \mathrm{\infty }$, никакого магнитного поля $B^{\prime }$ не возникало бы. Оно возникает только из-за конечности $c$, т. е. в конечном счете вследствие релятивистского эффекта.

Релятивистская природа магнетизма является универсальным физическим фактом, и его происхождение обусловлено отсутствием магнитных зарядов.

В отличие от большинства релятивистских явлений магнетизм во многих случаях обнаруживается сравнительно легко, например магнитное поле проводника с током. Причина подобных благоприятных обстоятельств обусловлена тем, что магнитное поле может создаваться очень большим числом движущихся зарядов при условии почти полного исчезновения электрического поля из-за практически идеального баланса числа электронов и протонов в проводниках. В этих случаях магнитное взаимодействие оказывается преобладающим.

Почти полная компенсация электрических зарядов и позволила физикам изучить релятивистские эффекты (т. е. магнетизм) и открыть правильные законы. По этой причине после создания теории относительности законы электромагнетизма в отличие от законов Ньютона не пришлось уточнять.

Поле не движется, а изменяется.
Поскольку электрическое и магнитное поля появляются в разных соотношениях

при изменении системы отсчета, следует проявлять определенную осторожность в обращении с полями Е и В. Скажем, уже вопрос о силе, действующей на заряд со стороны движущегося магнитного поля, не имеет сколько-нибудь точного содержания. Сила определяется значениями величин Е и В в точке нахождения заряда. Если в результате движения источников полей Е и В их значения в этой точке будут меняться, изменится и сила, в противном случае движение источников на значении силы не отразится.

Таким образом, при решении вопроса о силе, действующей на заряд, необходимо знать $\mathbf{E}$ и В в точке нахождения заряда и его скорость $\mathbf{v}$, причем все эти величины должны быть взяты относительно интересующей нас инерциальной системы отсчета.

Если же когда и говорят о «движущемся» поле, то это нужно понимать просто как краткий и удобный способ словесного описания изменяющегося поля в определенных условиях и ничего более.

Насколько надо проявлять осторожность в обращении с полем при переходе из одной системы отсчета к другой, станет ясно хотя бы уже из такого простого примера.

Пример.
Заряженная частица покоится между полюсами магнита, неподвижного в К-системе отсчета. Перейдем в $K^{\prime }$-систему, которая движется вправо (рис. 8.2) с нерелятивистской скоростью ${\mathbf{v}}_0$ — относительно К-системы. 1. Можно ли утверждать, что в $K^{\prime }$-системе заряженная частица движется в магнитном поле? 2. Найти силу, действующую на эту частицу в $K^{\prime }$ системе.

1. Да, частица движется в магнитном поле. Но, заметим, в магнитном поле, а не относительно магнитного поля.
Имеет смысл говорить о движении частицы относительно системы отсчета, магнита и других тел, но только не относительно магнитного поля. Последнее просто не имеет физического смысла. Все это касается не только магнитного, но и электрического поля.

Рис. 8.2

2. Чтобы найти силу, надо учесть, что в $K^{\prime }$-системе появится и электрическое поле ${\mathbf{E}}^{\prime }=\left[{\mathbf{v}}_0\mathbf{B}\right]$, оно направлено на нас (рис. 8.2). В $K^{\prime }$-системе заряд будет двигаться влево со скоростью $-{\mathbf{v}}_0$, причем это движение будет происходить в скрещенных электрическом и магнитном полях. Пусть для определенности заряд частицы $q>0$, тогда сила Лоренца в $K^{\prime }$-системе
$${\mathbf{F}}^{\prime }=q{\mathbf{E}}^{\prime }+q[-{\mathbf{v}}_0\mathbf{B}]=q(\left[{\mathbf{v}}_0\mathbf{B}\right]-\left[{\mathbf{v}}_0\mathbf{B}\right])=0.$$
что, впрочем, можно было и сразу сказать исходя из факта инвариантности силы при нерелятивистских преобразованиях из одной системы отсчета в другую.