Теперь мы должны разобраться в тех физических причинах, которые приводят к возникновению э. д. с. индукции, и попытаться вывести закон индукции (9.1) из того, что нам уже известно. Рассмотрим последовательно два случая.

Контур движется в постоянном магнитном поле.
Прежде всего обратимся к контуру с подвижной перемычкой длиной $l$ (рис. 9.3). Пусть он находится в однородном
магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. Начнем двигать перемычку вправо со скоростью v. С такой же скоростью начнут двигаться и носители тока в перемычке – электроны. В результате на каждый электрон начнет действовать вдоль перемычки магнитная си-
Рис. 9.3
ла $\mathbf{F}=-e[\mathbf{v B}]$ и электроны начнут перемещаться по перемычке вниз потечет ток, направленный вверх. Это и есть индукционный ток. Перераспределившиеся заряды (на поверхности проводников) создадут электрическое поле, которое возбудит ток и в остальных участках контура.

Магнитная сила $\mathbf{F}$ играет роль сторонней силы. Ей соответствует поле $\mathbf{E}^{*}=\mathbf{F} /(-e)=[\mathbf{v B}]$. Заметим, что это выражение можно получить и с помощью формул преобразования полей (8.4).

Циркуляция вектора E* по контуру дает по определению величину э. д. с. индукции. В нашем случае
\[
\mathscr{B}_{i}=-v B l \text {, }
\]

где знак минус поставлен в связи с принятым правилом знаков: нормаль $\mathbf{n}$ к поверхности, натянутой на наш контур, мы выбрали за плоскость рис. 9.3 (в сторону поля В), и поэтому по правилу правого винта положительное направление обхода контура – по часовой стрелке, как показано на рисунке. При этом стороннее поле E* направлено против положительного направления обхода контура и $\mathscr{E}_{i}$ – величина отрицательная.

Произведение $v l$ в (9.4) есть приращение площади, ограниченной контуром, в единицу времени ( $\mathrm{d} S / \mathrm{d} t$ ), поэтому $v B l=B \mathrm{~d} S / \mathrm{d} t=\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t$, где $\mathrm{d} \Phi$ – приращение магнитного потока сквозь площадь контура (в нашем случае $\mathrm{d} \Phi>0$ ). Таким образом,
\[
\mathscr{E}_{i}=-\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t .
\]

Можно в общем виде доказать, что закон (9.1) справедлив для любого контура, движущегося произвольным образом в постоянном неоднородном магнитном поле (см. задачу 9.2).

Итак, возбуждение э. д. с. индукции при движении контура в постоянном магнитном поле объясняется действием магнитной силы $\sim[\mathbf{v B}]$, которая возникает при движении проводника.

Заметим попутно, что идея схемы (рис. 9.3) лежит в основе действия всех индукционных генераторов тока, в которых ротор с обмоткой вращается во внешнем магнитном поле.

Контур покоится в переменном магнитном поле.
Возникновение индукционного тока и в этом случае свидетельствует о том, что изменяющееся во времени магнитное поле вызывает в контуре появление сторонних сил. Но что это за силы? Какова их природа? Ясно, что это не магнитные силы $\sim[\mathbf{v B}]$ : привести в движение покоившиеся $(\mathbf{v}=0$ ) заряды эти силы не могут. Но других сил, кроме $q \mathbf{E}$ и $q$ [vB], нет! Остается заключить, что индукционный ток обусловлен возникающим в проводе электрическим полем Е. Именно это поле и ответственно за появление э. д. с. индукции в неподвижном контуре при изменении во времени магнитного поля.

Максвелл предположил, что изменяющееся во времени магнитное поле приводит к появлению в пространстве электрического поля независимо от наличия проводящего контура. Последний лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного тока существование этого электрического поля.

Таким образом, согласно Максвеллу изменяющееся со временем магнитное поле порождает электрическое поле. Циркуляция вектора Е этого поля по любому неподвижному контуру определяется как
\[
\oint \mathbf{E} \mathrm{d} l=-\frac{\partial \Phi}{\partial t} .
\]

Здесь символ частной производной по времени $(\partial / \partial t)$ подчеркивает тот факт, что контур и натянутая на него поверхность неподвижны. Так как поток $\Phi=\int \mathbf{B} \mathrm{d} \mathbf{S}$ (интегрирование проводится по произвольной поверхности, натянутой на интересующий нас контур), то
\[
\frac{\partial}{\partial t} \int \mathbf{B} \mathrm{d} \mathbf{S}=\int \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \mathrm{~d} \mathbf{S} .
\]

В этом равенстве мы поменяли местами операции дифференцирования по времени и интегрирования по поверхности, поскольку контур и поверхность неподвижны. Тогда уравнение (9.6) можно представить в виде
\[
\oint \mathbf{E} \mathrm{d} \mathbf{I}=-\int \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \mathrm{~d} \mathbf{S} .
\]

Данное уравнение имеет ту же структуру, что и уравнение (6.17),

быть преобразовано в дифференциальную форму так же, как и уравнение $(6.26)$. И в результате мы получим
\[
\boldsymbol{
abla} \times \mathbf{E}=-\partial \mathbf{B} / \partial t .
\]

Это уравнение выражает локальную связь между электрическим н магнитным полями: изменение поля В во времени в данной точке определяет ротор поля $\mathbf{E}$ в этой же точке. Отличие же $\boldsymbol{
abla} \times \mathbf{E}$ от нуля свидетельствует о наличии самого электрического поля.

Тот факт, что циркуляция электрического поля, возбуждаемого изменяющимся со временем магнитным полем, отлична от нуля, означает, что это электрическое поле не потенциально. Оно, как и магнитное поле, является вихрев в таким образом, электрическое поле может быть как потенциальным (в электростатике), так и вихревым.

В общем случае электрическое поле $\mathbf{E}$ может слагаться из электростатического поля и поля, обусловленного изменяющимся во времени магнитным полем. Поскольку циркуляция электростатического поля равна нулю, уравнения (9.6) – (9.8) оказываются справедливыми и для общего случая, когда поле $\mathbf{E}$ представляет собой векторную сумму этих двух полей.

Бетатрон.
Вихревое электрическое поле нашло замечательное применение в индукционном ускорителе электронов – бетатроне. Этот ускоритель состоит из тороидальной откачанной камеры, расположенной между полюсами электромагнита (рис. 9.4). Изменение тока в обмотке электромагнита создает переменное магнитное поле, которое вызывает вихревое электрическое поле, ускоряющее электроны, и одновременно удерживает электроны на равновесной круговой орбите определенного радиуса (см. задачу 9.5). Так как электрическое поле вихревое, направление силы, действующей на электроны, все время совпадает с направлением движения и электроны непрерывно увеличивают свою энергию. За время нарастания магнитного поля ( мс) электроны успевают сделать до миллиона оборотов и приобретают энергию, которая может достигать 400 МэВ (скорость электродов при таких энергиях становится почти равной $c$ – скорости света в вакууме).

Индукционный ускоритель (бетатрон) подобен трансформатору, у которого роль вторичной обмотки из одного витка играет пучок электронов.

Заключение.

Итак, закон электромагнитной индукции (9.1) справедлив, когда магнитный поток сквозь контур меняется за счет движения контура или за счет изменения маг-

Рис. 9.4

нитного поля со временем (или когда происходит и то и другое). Вместе с тем для объяснения закона в этих двух случаях пришлось использовать два совершенно разных явления: для движущегося контура – действие магнитной

силы $~[\mathbf{v B}]$, а для меняющегося во времени поля $\partial \mathbf{B} / \partial t$ – представление о возникающем вихревом электрическом поле Е.

Ввиду того что никакого единого глубокого принципа, объединяющего оба явления, не видно, мы должны воспринимать закон электромагнитной индукции как совместный эффект двух совершенно различных явлений. Оба эти явления, вообще говоря, независимы друг от друга, и тем не менее – что удивительно – э. д. с. индукции в контуре всегда равна скорости изменения магнитного потока сквозь контур.

Иначе говоря, в тех случаях, когда меняется и поле в во времени, и конфигурация или расположение контура в поле, э. д. с. индукции надо рассчитывать по формуле (9.1), где справа стоит полная производная $\mathrm{d} Ф / \mathrm{d} t$ по времени, автоматически учитывающая оба фактора. В связи с этим закон (9.1) можно представить в таком виде:
\[
\oint \mathbf{E} \mathrm{d} \mathbf{l}=-\frac{\partial \Phi}{\partial t}+\oint[\mathbf{v}] \mathrm{d} \mathbf{l} .
\]

Выражение, стоящее в правой части этого равенства, представляет собой полную производную – $\mathrm{\Phi} \Phi / \mathrm{d} t$. Здесь первое слагаемое связано с изменением магнитного поля во времени, второе – с движением контура. Происхождение второго слагаемого более подробно объяснено в задаче 9.2.

Возможные затруднения.
Иногда приходится сталкиваться с ситуациями, где закон электромагнитной индукции в форме (9.1) оказывается неприменимым (в основном из-за трудностей, связанных с выбором самого контура). В этих случаях необходимо обращаться к основным законам – силе Лоренца $q \mathbf{E}+q[\mathbf{v B}]$ и закону $\boldsymbol{
abla} \times \mathbf{E}=$ $=-\partial \mathbf{B} / \partial t$. Именно они во всех случаях выражают физическое содержание закона электромагнитной индукции. Вот два поучительных примера.
Пример 1. Проводящую ленту перемещают со скоростью $v$ через область, в которой имеется магнитное поле В (рис. 9.5). Этой областью на рисунке является отмеченный точками кружок, дде поле В направлено на нас. Гальванометр Г подключен к неподвижным контактам (стрелкам), с которыми соприкасается движущаяся лента. Будет ли гальванометр показывать наличие тока?

Вопрос на первый взгляд кажется не простым, поскольку здесь затруднительно выбрать сам контур: не ясно, где его «замкнуть» в ленте и как этот участок контура должен вести себя при движении ленты. Однако если мы обратимся к силе Лоренца, то станет сразу же понятно, что электроны в движущейся ленте

будут смещаться вверх, и это даст ток в цепи, направленный по часовой стрелке.

Заметим, что идея этого опыта легла в основу создания магнитогидродинамического генератора (МГДГ), в котором используется метод прямого превращения внутренней (тепловой) энергии в электрическую. Вместо проводящей ленты там с большой скоростью продувают плазму (она состоит из электронов и положительных ионов). В остальном все обстоит так же, как и для проводящей ленты.

Рис. 9.5
Рис. 9.6

Пример 2.
На рис. 9.6 отмеченный точками кружок показывает область, в которой локализовано постоянное магнитное поле В (оно направлено перпендикулярно плоскости рисунка). Эта область охватывается неподвижным металлическим кольцом К. Переместив скользящие контакты на другую сторону кольца, мы введем магнитный поток Ф в замкнутый контур, содержащий гальванометр $\Gamma$ ( 1 – исходное положение, 2 – конечное). Покажет ли при этом гальванометр импульс тока?

Применяя формально закон (9.1), мы должны заключить, что индукционный ток будет. Однако это не так! Тока нет, ибо здесь и $\partial \mathbf{B} / \partial t$, и сила Лоренца равны нулю: поле В постоянное и замкнутый контур перемещается в области, где нет магнитного поля. Таким образом, здесь нет ни одной из двух физических причин, лежащих в основе закона электромагнитной индукции.

О кажущемся парадоксе.
Мы знаем, что сила, испытываемая электрическим зарядом в магнитном поле, перпендикулярна его скорости и потому никакой работы не совершает. Между тем при движении проводника с током (движущиеся заряды!) силы Ампера, несомненно, совершают работу (электромотор!). В чем здесь дело?

Это кажущееся противоречие исчезает, если учесть, что движение проводника в магнитном поле неизбежно сопровождается явлением электромагнитной индукции. И именно потому, что в проводнике индуцируется э. д. с., совершающая работу над зарядами, полная работа сил магнитного поля (работа силы Ампера и работа э. д. с.

индукции) равна нулю. В самом деле, при элементарном перемещении контура с током в магнитном поле силы Ампера совершают (см. §6.8) работу
\[
\delta A_{A}=I \mathrm{~d} \Phi,
\]
a э. д. с. индукции за это же время выполняет работу
\[
\delta A_{i}=\mathscr{E}_{i} I \mathrm{~d} t=-I \mathrm{~d} \Phi,
\]

где учтено, что $\mathscr{E}_{i}=-\mathrm{d \Phi} / \mathrm{d} t$. Из последних двух формул видно, что полная работа
\[
\delta A_{A}+\delta A_{i}=0 .
\]

Итак, в работу сил магнитного поля входит не только механическая работа (обусловленная силами Ампера), но и работа э. д. с., индуцируемой при движении контура. Обе работы равны по модулю и противоположны по знаку, поэтому их сумма и равна нулю.

Работа сил Ампера совершается не за счет энергии внешнего магнитного поля, а за счет источника, поддерживающего ток в контуре. При этом источник совершает дополнительную работу п р от и в э. д. с. индукции $\delta A^{\text {доп }}=$ $=-\mathscr{E}_{i} I \mathrm{~d} t=I \mathrm{~d} Ф$, которая оказывается одинаковой с работой $\delta A_{A}$ сил Ампера.

Работа $\delta A$, которая совершается при перемещении контура против тормозящих амперовых сил (они возникают благодаря появлению индукционного тока в соответствии с правилом Ленца), преобразуется в работу э. д. с. индукции:
\[
\delta A=-\delta A_{A}=\delta A_{i} .
\]

C энергетической точки зрения в этом заключается сущность действия всех индукционных генераторов тока.