Установившиеся колебания.
Вернемся к уравнениям колебательного контура (11.3) и (11.4) и рассмотрим случай, когда в контур включена внешняя переменная э. д. с. $\mathscr{E}$, зависящая от времени по гармоническому закону:
\[
\mathscr{E}=\mathscr{E}_{m} \cos \omega t .
\]

Этот закон занимает особое положение благодаря свойствам самого колебательного контура сохранять гармонический вид колебаний при действии внешней гармонической э. д. с.

В данном случае уравнение колебательного контура записывается как
\[
L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} t}+R I+\frac{q}{C}=\mathscr{E}_{m} \cos \omega t,
\]
или
\[
\ddot{q}+2 \beta \dot{q}+\omega_{0}^{2} q=\left(\mathscr{E}_{m} / L\right) \cos \omega t .
\]

Решение этого уравнения, как известно из математики, представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (без правой части) и частного решения неоднородного уравнения.

Нас будут интересовать только установившиеся колебания, т. е. частное решение этого уравнения (общее решение однородного уравнения экспоненциально затухает, и по прошествии некоторого времени оно практически исчезает, обращается в нуль). Нетрудно убедиться, что это решение имеет вид
\[
q=q_{m} \cos (\omega t-\psi),
\]

где $q_{m}$ – амплитуда заряда на конденсаторе; $\psi$ – раз. ность фаз между колебаниями заряда и внешней э. д. с. $\mathscr{C}$ (11.25). Как мы увидим, $q_{m}$ и $\psi$ определяются только

свойствами самого контура и вынуждающей э. д. с. $\mathscr{E}$, причем оказывается, что $\psi>0$, поэтому $q$ всегда от стает по фазе от $\mathscr{E}$.

Чтобы определить постоянные $q_{m}$ и $\psi$, надо подставить (11.28) в исходное уравнение (11.27) и преобразовать полученное выражение. Мы же поступим несколько иначе (в целях достижения большей простоты) : сначала найдем ток I и затем его выражение подставим в исходное уравнение (11.26). Попутно будет решен и вопрос с постоянными $q_{m}$ и $\psi$.
Продифференцировав (11.28) по $t$, найдем
\[
I=-\omega q_{m} \sin (\omega t-\psi)=\omega q_{m} \cos (\omega t-\psi+\pi / 2) .
\]

Запишем это выражение так:
\[
I=I_{m} \cos (\omega t-\varphi),
\]

где $I_{m}$ – амплитуда тока; $\varphi$ – сдвиг по фазе между током и внешней э. д. с. $\mathscr{E}$,
\[
I_{m}=\omega q_{m}, \quad \varphi=\psi-\pi / 2 .
\]

Наша задача найти $l_{m}$ и $\varphi$. С этой целью мы поступим следующим образом. Представим исходное уравнение (11.26) в виде
\[
U_{L}+U_{R}+U_{C}=\mathscr{E}_{m} \cos \omega t,
\]

где слева записана сумма напряжений на индуктивности $L$, сопротивлении $R$ и емкости $C$. Таким образом, мы видим, что сумма этих напряжений равна в каждый момент внешней э. д. с. $\mathscr{E}$. Учитывая соотношения (11.30), запишем:
\[
\begin{array}{c}
U_{R}=R I=R I_{m} \cos (\omega t-\varphi), \\
U_{C}=\frac{q}{C}=\frac{q_{m}}{C} \cos (\omega t-\psi)=\frac{I_{m}}{\omega C} \cos \left(\omega t-\varphi-\frac{\pi}{2}\right), \\
U_{L}=L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} t}=-\omega L I_{m} \sin (\omega t-\varphi)=\omega L I_{m} \cos \left(\omega t-\varphi+\frac{\pi}{2}\right) .
\end{array}
\]

Векторная диаграмма.
Из последних трех формул видно, что $U_{R}$ находится в фазе с током $I, U_{C}$ отстает по фазе от $I$ на $\pi / 2$, а $U_{L}$ опережает $I$ на $\pi / 2$. Все это можно наглядно представить с помощью векторной ди аграммы, изобразив амплитуды напряжений
\[
U_{R m}=R I_{m}, \quad U_{C m}=I_{m} / \omega C, \quad U_{L m}=\omega L I_{m}
\]

и их векторную сумму, равную согласно (11.31) вектору величины $\mathscr{E}_{m}$ (рис. 11.4).

Рис. 11.4
Рис. 11.5

Из прямоугольного треугольника этой диаграммы легко получить следующие выражения для $I_{m}$ и $\varphi$ :
\[
\begin{array}{c}
I_{m}=\frac{\mathscr{\mathscr { O }}_{m}}{\sqrt{R^{2}+(\omega L-1 / \omega C)^{2}}}, \\
\operatorname{tg} \varphi=\frac{\omega L-1 / \omega C}{R} .
\end{array}
\]

Задача, таким образом, решена.
Заметим в заключение, что полученная нами векторная диаграмма оказывается весьма полезной при решении многих конкретных вопросов. Она позволяет наглядно, легко и быстро анализировать различные ситуации.

Резонансные кривые.
Так называют графики зависимостей от частоты $\omega$ внешней э. д. с. $\mathscr{E}$ амплитуд следующих величин: тока $I$, заряда $q$ на конденсаторе и напряжений $U_{R}, U_{t}$ и $U_{L}$, определяемых формулами (11.32)(11.34).

Резонансные кривые для силы тока $I_{m}(\omega)$ показаны на рис. 11.5. Как видно из выражения (11.35), амплитуда силы тока имеет максимальное значение при $\omega L-1 / \omega C=$ $=0$. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура:
\[
\omega_{/ \text {рез }}=\omega_{0}=1 / \sqrt{L C} \text {. }
\]

Максимум при резонансе оказывается тем выше и острее, чем меньше коэффициент затухания $\beta=R / 2 L$.

Резонансные кривые для заряда на конденсаторе $q_{m}(\omega)$ показаны на рис. 11.6 (резонансные кривые для напряжения $U_{(: m}$ на конденсаторе имеют такой же вид). Максимум амплитуды заряда достигается при резонансной частоте
\[
\omega_{q \text { pe3 }}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-2 \beta^{2}},
\]

Рис. 11.6
Рис. 11.7

которая по мере уменьшения $\beta$ все больше приближается к $\omega_{0}$. Для получения выражения (11.38) надо представить $q_{m}$ согласно ( 11.30 ) как $q_{m}=I_{m} / \omega$, где $I_{m}$ дается формулой (11.35). Тогда
\[
q_{m}=\frac{\mathscr{Z}_{m} / L}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+4 \beta^{2} \omega^{2}}} .
\]

Максимум этой функции, или, что то же самое, минимум подкоренного выражения, найдем, приравняв производную по $\omega$ от подкоренного выражения к нулю. Отсюда и получим резонансную частоту (11.38).

Теперь посмотрим, как перераспределяются амплитуды напряжений $U_{R}, U_{C}$ и $U_{L}$ в зависимости от частоты $\omega$ внешней э. д. с. Эта картина изображена на рис. 11.7.

Резонансные частоты для $U_{R}, U_{C}$ и $U_{L}$ определяются следующими формулами:
\[
\begin{array}{c}
\omega_{R \text { pe3 }}=\omega_{0}, \\
\omega_{C_{\text {рез }}}=\omega_{0} \sqrt{1-2\left(\beta / \omega_{0}\right)^{2}}, \\
\omega_{L \text { ре } 3}=\omega_{0} / \sqrt{1-2\left(\beta / \omega_{0}\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Чем меньше $\beta$, тем ближе резонансные частоты всех величин к значению $\omega_{0}$.

Резонансные кривые и добротность $Q$.
Форма резонансных кривых определенным образом связана с добротностью $Q$ контура. Особенно простой эта связь оказывается для случая слабого затухания, т. е. при $\beta^{2} \ll \omega_{0}^{2}$. В этом случае
\[
U_{C_{\text {рез }}} / \mathscr{E}_{m}=Q
\]

(рис. 11.7). Действительно, при $\beta^{2} \ll \omega_{0}^{2}$ величина $\omega_{\text {рез }} \approx$ $\approx \omega_{0}$ и согласно (11.33) и (11.35) $U_{C \text { рез }}=I_{m} / \omega_{0} C=$ $=\mathscr{E}_{m} / \omega_{0} C R$, или $U_{C_{m} \text { рез }} / \mathscr{C}_{m}=\sqrt{L C} / C R=(1 / R) \sqrt{L / C}$, а это, как показывает сравнение с формулой (11.22), и есть $Q$.

Таким образом, добротность контура (при $\beta^{2} \ll \omega_{0}^{2}$ ) показывает, во сколько раз максимальное значение амплитуды напряжения на конденсаторе (ина индуктивности) превышает амплитуду внешней э. д. с.

Добротность контура связана и с другой важной характеристикой резонансной кривой – ее шириной. Оказывается, при $\beta^{2} \ll \omega_{0}^{2}$
\[
Q=\omega_{0} / \delta \omega,
\]

где $\omega_{0}$ – резонансная частота; $\delta \omega-$ ширина резонансной кривой на «высоте», равной 0,7 от максимальной, т. е. в резонансе.

Резонанс.
Явление резонанса в нашем случае – это возбуждение сильных колебаний при частоте внешней э. д. с. или напряжения, равной или близкой к собственной частоте колебательного контура. Резонанс используют для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. На этом основана вся техника радиоприема. Для того чтобы радиоприемник принимал интересующую нас радиостанцию, его необходимо настроить, т. е. изменением $C$ и $L$ колебательного контура добиться совпадения его собственной частоты с частотой электромагнитных волн, излучаемых радиостанцией.

С явлением резонанса связана и опасность: внешняя э. д. с. или напряжение могут быть малы, однако при этом напряжения на отдельных элементах контура (на емкости или индуктивности) могут достигать опасного для жизни значения. Об этом необходимо всегда помнить!