Магнитная энергия тока.
Замкнем неподвижную цепь, содержащую индуктивность $L$ и сопротивление $R$, на источник тока с э. д. с. $\mathscr{E}_{0}$. В контуре, как мы уже знаем, начнет возрастать ток. Это приводит к появлению э. д. с. самоиндукции $\mathscr{E}_{s}$. Согласно закону Ома $R I=\mathscr{E}_{0}+\mathscr{E}_{s}$, откуда
\[
\mathscr{E}_{0}=R I-\mathscr{E}_{s} .
\]

Найдем элементарную работу, которую совершают сторонние силы за время dt. Для этого умножим предыдущее равенство на $I \mathrm{~d} t$ :

Учитывая смысл каждого слагаемого и соотношение $\mathscr{E}_{s}=$ $=-\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t$, запишем
\[
\delta A_{\text {crop }}=\delta Q+I \mathrm{~d} \Phi .
\]

Мы видим, что в процессе установления тока, когда поток Ф меняется и dФ $>0$ (если $I>0$ ), работа, которую совершает источник $\mathscr{E}_{0}$, оказывается больше выделяемой в цепи джоулевой теплоты. Часть этой работы (дополнительная работа) совершается п р от и в э. д. с. самоиндукции. Заметим, что после того как ток установится, $\mathrm{d} \Phi=0$ и вся работа источника $\mathscr{E}_{0}$ будет идти только на выделение джоулевой теплоты.

Итак, дополнительная работа, совершаемая сторонними силами против э. д. с. самоиндукции в процессе установления тока:

Это соотношение имеет общий характер. Оно справедливо и при наличии ферромагнетиков, так как при его выводе не вводилось никаких предположений относительно магнитных свойств окружающей среды.

Теперь (и далее) будем считать, что ферромагнетики отсутствуют. Тогда $\mathrm{d} \Phi=L \mathrm{~d} I$ и
\[
\delta A^{\text {доп }}=L I \mathrm{~d} I .
\]

Проинтегрировав это уравнение, получим $A^{\text {доп }}=L I^{2} / 2$. По закону сохранения энергии любая работа идет на приращение какого-то вида энергии. Мы видим, что часть работы сторонних сил ( $\left.\boldsymbol{g}_{0}\right)$ идет на увеличение внутренней

энергии проводников (с ней связано выделение джоулевой теплоты) и другая часть – в процессе установления тока – на что-то еще. Это «что-то» есть не что иное, как магнитное поле, именно его появление и связано с появлением тока.

Таким образом, мы приходим к выводу, что при отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью $L$, по которому течет ток $I$, обладает энергией

Эту энергию называют магнитной энергией тока или собственной энергией тока. Она может быть целиком превращена во внутреннюю энергию проводников, если отключить источник $\mathscr{E}_{0}$ так, как показано на рис. 9.7: быстро повернуть ключ $К$ из положения б в положение $a$.

Энергия магнитного поля.
Формула (9.29) выражает магнитную энергию тока через индуктивность и ток (при отсутствии ферромагнетиков). Однако и здесь, как и в случае электрической энергии заряженных тел, энергию можно выразить непосредственно через магнитную индукцию B. Убедимся, что это так сначала на простейшем примере длинного соленоида, пренебрегая искажением поля на его торцах (краевыми эффектами). Подстановка в формулу (9.29) выражения $L=\mu \mu_{0} n^{2} V$ дает
\[
W=1 / 2 L I^{2}=1 / 2 \mu \mu_{0} n^{2} I^{2} V .
\]

А так как $n I=H=B / \mu \mu_{0}$, то
\[
W=\frac{B^{2}}{2 \mu \mu_{0}} V=\frac{\mathbf{B} \mathbf{H}}{2^{.}} V \text {. }
\]

Эта формула справедлива для однородного поля, заполняющего объем $V$ (как в нашем случае с соленоидом).

В общей теории показывается, что энергию $W$ можно выразить через векторы В и н в любом случае (но при отсутствии ферромагнетиков) по формуле

Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в элементе объемом $\mathrm{d} V$. Отсюда, как и в случае электрического поля, мы приходим к выводу, что магнитная энергия также локализована в пространстве, занимаемом магнитным полем.

Из формул (9.30) и (9.31) следует, что магнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью

Отметим, что полученное выражение относится лишь к тем средам, для которых зависимость В от н линейная, т. е. $\mu$ в соотношении $\mathbf{B}=\mu \mu_{0} \mathbf{H}$ не зависит от $\mathbf{H}$. Другими словами, выражения (9.31) и (9.32) относятся только к пара- и диамагнетикам. К ферромагнетикам они не применимы*.

Отметим также, что магнитная энергия – величина существенно положительная. Это легко усмотреть из последних двух формул.

Еще об обосновании формулы (9.32).
Убедимся в справедливости этой формулы, рассуждая в «обратном» порядке, а именно покажем, что если формула (9.32) справедлива, то магнитная энергия контура с током $W=L I^{2} / 2$.

С этой целью рассмотрим магнитное поле произвольного контура с током I (рис. 9.13). Представим все поле разделенным на элементарные трубки, образующие которых являются линиями вектора В. Выделим в одной из таких трубок элементарный объем $d V=d / d S$ В соответствии с формулой (9.32) в этом объеме локализована энергия $1 / 2 B H d$ d $S$.

Теперь найдем энергию $\mathrm{d} W$ в объеме всей элементарной трубки. Для этого проинтегрируем последнее выражение вдоль оси трубки. Поток $\mathrm{d} \Phi=B \mathrm{~d} S$ сквозь сечение трубки постоянен вдоль всей трубки, поэтому dФ можно вынести за знак интеграла:
\[
\mathrm{d} W=\frac{\mathrm{d} \Phi}{2} \oint H \mathrm{~d} l=I \frac{\mathrm{d} \Phi}{2} .
\]

Рис. 11.3
где использована теорема о циркуляции вектора H (в нашем случае проекция $H_{t}=H$ ).
И наконец, просуммируем энергию всех элементарных трубок:
\[
W=1 / 2 J \int \mathrm{d} \Phi=I \Phi / 2=L I^{2} / 2,
\]

где $\Phi$ – полный магнитный поток, охватываемый контуром с током, Ф $=L I$. Это и требовалось показать.

Определение индуктивности из выражения энергии.
Мы ввели индуктивность $L$ как коэффициент пропорциональности между полным магнитным потоком Ф и током I. Существует, однако, и другая возможность расчета $L$ из выражения энергии. В самом деле, из сопоставления формул (9.31) и (9.29) следует, что при отсутствии ферромагнетика
\[
L=\frac{1}{I^{2}} \int \frac{B^{2}}{\mu \mu_{0}} \mathrm{~d} V .
\]

Нахождение $L$ таким путем свободно от неопределенности, связанной с вычислением магнитного потока Ф в формуле (9.14) – см. с. 215 . К каким расхождениям иногда приводит определение $L$ по формуле (9.33) и из выражения потока (9.14), показано в задаче 9.9 на примере коаксиального кабеля.