Наиболее общим методом определения сил в магнитном поле является энергетический. В этом методе используют выражение для энергии магнитного поля.

Ограничимся случаем, когда система состоит из двух контуров с токами $I_{1}$ и $I_{2}$. Магнитная энергия такой системы может быть представлена в виде
\[
W={ }^{1} / 2\left(I_{1} \Phi_{1}+I_{2} \Phi_{2}\right) .
\]

где $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$ — полные магнитные потоки, пронизывающие контуры 1 и 2 соответственно. Это выражение нетрудно получить из формулы (9.34), если представить последнее слагаемое как сумму $1 / 2 L_{12} I_{1} I_{2}+1 / 2 L_{21} I_{2} I_{1}$, а затем учесть, что
\[
\Phi_{1}=L_{1} I_{1}+L_{12} I_{2}, \quad \Phi_{2}=L_{2} I_{2}+L_{21} I_{1} .
\]

Согласно закону сохранения энергии работа $\delta A^{*}$, которую совершают источники тока, включенные в контуры 1 и 2 , идет на теплоту $\delta Q$, на приращение магнитной энергии системы dW (из-за движения контуров или изменения токов в них) и на механическую работу $\delta A_{\text {мех }}$ (вследствие перемещения или деформации контуров):
\[
\delta A^{*}=\delta Q+\mathrm{d} W+\delta A_{\text {мех }} .
\]

Мы предположили, что емкость контуров пренебрежимо мала, и поэтому электрическую энергию учитывать не будем.

В дальнейшем нас будет интересовать не вся работа источника тока $\delta A^{*}$, а только та ее часть, которая совершается против э. д. с. индукции и самоиндукции (в каждом контуре). Эта работа (мы назвали ее дополнительной) равна

что для каждого контура $\mathscr{E}_{i}+\mathscr{E}_{s}=-đ \Phi / \mathrm{d} t$, перепишем, выражение для дополнительной работы в виде
\[
\delta A^{\text {доп }}=I_{1} \mathrm{~d} \Phi_{1}+I_{2} \mathrm{~d}_{2} .
\]

Именно эта часть работы источников тока (работа против э. д. с. индукции и самоиндукции), связанная с изменением потоков $\Phi_{1}$ и $\Phi_{2}$, и идет на приращение магнитной энергии системы и на механическую работу:
\[
I_{1} \mathrm{~d} \Phi_{1}+I_{2} \mathrm{~d} \Phi_{2}=\mathrm{d} W+\delta A_{\text {мех }} .
\]

Эта формула является основной для расчета механической работы $\delta A_{\text {мех }}$, а из нее и сил в магнитном поле.

Из формулы (9.41) можно получить и более простые выражения для $\delta A_{\text {мех }}$, если считать, что в процессе перемещения остаются неизменными или все магнитные потоки сквозь контуры, или токи в них. Рассмотрим это более подробно.

1. Если потоки постоянны, $\Phi_{k}=$ const, то из (9.41) сразу следует, что

где символ Ф подчеркивает, что приращение магнитной энергии системы должно быть вычисленно при постоянных потоках через контуры. Полученная формула аналогична соответствующей ей (4.15) для работы в электрическом поле.

2. Если токи постоянны, $I_{k}=$ const, то

Действительно, при $I_{k}=$ const из формулы (9.37) следует, что
\[
\left.\mathrm{d} W\right|_{I}=1 / 2\left(I_{1} \mathrm{~d} \Phi_{1}+I_{2} \mathrm{~d} \Phi_{2}\right),
\]
т. е. в этом случае приращение магнитной энергии системы равно согласно (9.40) половине дополнительной работы источников э. д. с. Другая половина этой работы идет на совершение механической работы. Иначе говоря, при постоянстве токов $\left.\mathrm{d} W\right|_{l}=\delta A_{\text {мех }}$, что и требовалось показать.

Необходимо подчеркнуть, что оба полученные нами выражения (9.42) н (9.43) определяют механическую работу одной и той же силы, т. е. можно написать:
\[
\mathbf{F} \mathrm{d} \mathbf{l}=-\left.\mathrm{d} W\right|_{\Phi}=\left.\mathrm{d} W\right|_{I} .
\]

Для вычисления силы с помощью этих формул, конечно, нет необходимости подбирать такой режим, при котором обязательно оставались бы постоянными или магнитные потоки, или токи. Надо просто найти приращение $d W$ магнитной энергии системы при условии, что либо $\Phi_{k}=$ $=$ const, либо $I_{k}=$ const, а это является чисто математической операцией.

Ценность полученных выражений (9.42) и (9.43) в их общности: они пригодны для системы, состоящей из любого числа контуров — одного, двух и т. д.

Рассмотрим несколько примеров на применение этих формул.

Пример 1.
Сила в случае одного контура с током. Имеется контур с током, у которого $A B$ — подвижная перемычка (рис. 9.15). Индуктивность этого контура зависит определенным образом от координаты х, т. е. известно $L(x)$. Найти силу Ампера, действующую на перемычку, двумя способами: при $I=\mathrm{const}$ и при $\Phi=$ const.

В нашем случае магнитную энергию системы можно представить согласно (9.29):
\[
W=L I^{2} / 2=\Phi^{2} / 2 L,
\]

где $\Phi=L I$. Переместим перемычку, например, вправо на $\mathrm{d} x$. Так как $\delta A_{\text {мех }}=F_{x} \mathrm{~d} x$, то
\[
F_{x}=\left.\frac{\partial W}{\partial x}\right|_{1}=\frac{I^{2}}{2} \frac{\partial L}{\partial x},
\]

или
\[
F_{x}=-\left.\frac{\partial W}{\partial x}\right|_{\Phi}=\frac{\Phi^{2}}{2 L^{2}} \frac{\partial L}{\partial x}=\frac{I^{2}}{2} \frac{\partial L}{\partial x},
\]
т. е. расчет по обеим формулам согласно (9.44) дает один и тот же результат.

Пример 2.
Взаимодействие двух катушек с токами. На немагнитный сердечник (рис. 9.16) надеты катушки I и 2 с токами $I_{1}$ и $I_{2}$. Пусть взаимная индуктивность катушек зависит от расстояния х между ними по известному закону $L_{12}(x)$. Найти силу взаимодействия между катушками.

Рис. 9.15
Рис. 9.16

Магнитная энергия системы из двух катушек дается формулой (9.34). Для определения силы взаимодействия будем пользоваться выражением (9.43). Сместим катушку 2 на расстояние $\mathrm{d} x$ при неизменных токах $I_{1}$ и $I_{2}$. Соответствующее приращение магнитной энергии системы
\[
\left.\mathrm{d} W\right|_{I}=I_{1} I_{2} \mathrm{~d} L_{12}(x) .
\]

Так как элементарная механическая работа $\delta A_{\text {мех }}=F_{2 x} \mathrm{~d} x$, то согласно (9.43) получим
\[
F_{2 x}=I_{1} I_{2} \frac{\partial L_{12}(x)}{\partial x} .
\]

Пусть токи $I_{1}$ и $I_{2}$ подмагничивают друг друга, тогда $L_{12}>0$ и при $\mathrm{d} x>0$ приращение $\mathrm{d} L_{12}<0$, т. е. $F_{2 x}<0$. Следовательно, сила, действующая на катушку 2 со стороны катушки $I$, является силой притяжения: вектор $\mathbf{F}_{2}$ направлен влево на рисунке.

Пример 3.
Магнитное давление на обмотку соленоида.
Увеличим мысленно радиус сечения соленоида на $\mathrm{d} r$, coxpaняя при этом неизменным ток $I$ через обмотку. Тогда силы Ампера совершат работу $\delta A_{\text {mех }}=\left.\mathrm{d} W\right|_{I}$. В нашем случае
\[
\delta A_{\text {мех }}=p S \mathrm{~d} r \text {, }
\]

где $p$ — искомое давление, $S$ — боковая поверхность соленоида;
\[
\left.\mathrm{d} W\right|_{i}=\mathrm{d}\left(\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} V\right)=\frac{B^{2}}{2 \mu_{0}} S \mathrm{~d} r .
\]

Здесь учтено, что при $I=$ const и $B=$ const. Из равенства двух этих выражений находим
\[
p=B^{2} / 2 \mu_{0} .
\]

Магнитное давление.
Полученное в последнем примере выражение для давления можно обобщить на случай, когда по разные стороны от поверхности с током (током проводимости или током намагничивания) магнитное поле

разное — В и $_{2}$. В этом случае, оказывается, магнитное давление
\[
p=\left|\frac{\mathbf{B}_{1} \mathbf{H}_{1}}{2}-\frac{\mathbf{B}_{2} \mathbf{H}_{2}}{2}\right| .
\]

причем дело обстоит так, как если бы область с большей плотностью магнитной энергии была бы областью большего давления.

Соотношение (9.45) является одним из основных в магнитогидродинамике, изучающей поведение электропроводящих жидкостей (в электротехнике и астрофизике).
Задачи

— 9.1. Э. д. с. индукции.
Провод, имеющий форму параболы $y=k x^{2}$, находится в однородном магнитном поле $\mathbf{B}$, перпендикулярном плоскости $X Y$. Из вершины параболы перемещают посту. пательно и без начальной скорости перемычку с постоянным ускорением а (рис. 9.17). Найти э. д. с. индукции в образовавшемся контуре как функцию координаты $y$.

Решение. По определению $\mathscr{\mathscr { C }}_{i}=-\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t$. Выбрав нормаль $\mathbf{n}$ к плоскости контура в направлении вектора $\mathbf{B}$, запишем: $\mathrm{d} \Phi=B \mathrm{~d} S$, где $\mathrm{d} S=2 x \mathrm{~d} y$. Теперь учтем, что $x=\sqrt{y / k}$, тогда $\mathscr{C}_{1}=-B \cdot 2 \sqrt{y / k} \mathrm{~d} y / \mathrm{d} t$.

При движении с постоянным ускорением скорость $\mathrm{d} y / \mathrm{d} t=\sqrt{2 a y}$, поэтому
\[
\mathscr{E}_{i}=-B y \sqrt{8 a / k} .
\]

Из полученной формулы видно, что $\mathscr{C}_{i} \propto y$. Знак минус показывает, что $\mathscr{C}_{i}$ на рисунке действует против часовой стрелки.

— 9.2. Контур движется произвольным образом.
Замкнутый проводящий контур перемещают произвольным образом (при этом даже деформируя) в постоянном неоднородном магнитном поле. Показать, что закон электромагнитной индукции (9.1) будет выполняться и в этом случае.

Решение. Рассмотрим элемент контура dl, который в данный момент движется со скоростью v в магнитном поле В. Согласно формулам преобразования полей (8.4) в системе отсчета, связанной с данным элементом, будет наблюдаться электрическое поле $\mathbf{E}=[\mathbf{v B}]$. Заметим, что это выражение можно получить и с помощью силы Лоренца, как было сделано в основном тексте перед формулой (9.4).

Циркуляция вектора $\mathbf{E}$ по всему контуру по определению есть э. д. с. индукции:
\[
\mathscr{g}_{i}=\oint[\mathrm{vB}] \mathrm{dl} .
\]

Рис. 9.17
Рис. 9.18

Теперь найдем соответствующее приращение магнитного потока сквозь контур. С этой целью обратимся к рис. 9.18. Пусть за время $\mathrm{d} t$ наш контур переместился из положения $\Gamma_{1}$ в положение $\Gamma_{2}$. Если в первом положении магнитный поток через поверхность $S_{1}$, натянутую на контур, был равен $\Phi_{1}$, то соответствующий магнитный поток во втором положении контура может быть представлен как $\Phi_{1}+\mathrm{d} \Phi$, т. е. как поток через поверхность $S+\mathrm{d} S$. Здесь $\mathrm{d \Phi}$ — интересующее нас приращение магнитного потока сквозь узкую полоску $\mathrm{d} S$, ограниченную контурами $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$.
C помощью рис. 9.18 запишем
\[
\mathrm{d} \Phi=\int \mathbf{B} \mathrm{d} \mathbf{s}=\int \mathbf{B}[\mathrm{d} \mathbf{r}, \mathrm{d} \mathbf{l}]=-\oint[\mathrm{d} \mathbf{r}, \mathbf{B}] \mathrm{d} \mathbf{l} .
\]
3десь: 1) направление нормали $\mathbf{n}$ согласовано с направлением обхода контура — вектором dl (правовинтовая система); 2) направление вектора ds — элемента площади полоски — согласовано с выбором нормалей $\mathbf{n} ; 3$ ) использована циклическая перестановка в смешанном произведении:
\[
\mathbf{a}[\mathbf{b c}]=\mathbf{b}[\mathbf{c a}]=\mathbf{c}[\mathbf{a b}]=-[\mathbf{b a}] \mathbf{c} .
\]

Разделив выражение (2) на $\mathrm{d} t$, найдем
\[
\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t=-\oint[\mathbf{v B}] \mathrm{d} \mathbf{l},
\]

где $\mathbf{v}=\mathrm{dr} / \mathrm{d} t$. Остается сравнить (3) с (1), откуда и следует, что $\mathscr{E}_{i}=-\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t$.

— 9.3. Плоская спираль с большим числом $N$ витков, плотно прилегающих друг к другу, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости спирали (рис. 9.19). Наружный радиус витков спирали равен а. Магнитное поле изменяется во времени по закону $B=B_{0}$ sin $\omega t$. Найти амплитудное значение э. д. с. индукции, наведенной в спирали.

Решение.
Ввиду того что каждый виток спирали практически не отличается от окружности, в нем наводится э. д. с. индукции
\[
\varepsilon_{i}=-\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t=-\pi r^{2} B_{0} \omega \cos \omega t,
\]

где $r$ — радиус рассматриваемого витка. На интервал значений радиуса $\mathrm{d} r$ приходится число витков $\mathrm{d} N=(N / a) \mathrm{d} r$. Витки соединены последовательно, поэтому полная э. д. с. индукции в спирали
\[
\mathscr{E}_{i}=\int \varepsilon_{i}(r) \mathrm{d} N .
\]

Проинтегрировав, получим следующее выражение для амплитудного значения э. д. с. индукции:
Рис. 9.19
\[
\mathscr{E}_{i m}={ }^{1} /{ }_{3} \pi a^{2} N B_{0} \omega .
\]

— 9.4. Внутри длинного соленоида находится катушка из $N$ витков с площадью поперечного сечения $S$. Катушку поворачивают с постоянной угловой скоростью $ю$ вокруг оси, совпадающей с ее диаметром и перпендикулярной оси соленоида. При этом магнитное поле в соленоиде меняется во времени как $B=B_{0}$ sin $\omega t$. Найти э.д. с. индукции в катушке, если в момент $t=0$ ось катушки совпадала с осью соленоида.

Решение. В момент $t$ полный магнитный поток сквозь катушку
\[
\Phi=N B S \cos \omega t=N B_{0} S \sin \omega t \cdot \cos \omega t=1 / 2 N B_{0} S \sin 2 \omega t .
\]

Согласно закону электромагнитной индукции
\[
\mathscr{C}_{i}=-\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t=-1 / 2 N B_{0} S \cdot 2 \omega \cos 2 \omega t=-N B_{0} S \omega \cos 2 \omega t .
\]

— 9.5. Бетатронное условие. Показать, что электроны в бетатроне будут двигаться по орбите постоянного радиуса $r_{0} \mathrm{npи}$ условии, что магнитное поле на орбите $B_{0}$ равно половине сред. него по площади внутри орбиты значения магнитного поля $\langle B\rangle$. т. е. $B_{0}=1 / 2\langle B\rangle$.

Решение. Представим релятивистское уравнение движения электрона
\[
\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t=e \mathbf{E}+e\left[\mathbf{v} \mathbf{B}_{0}\right],
\]

где $\mathbf{E}$ — вихревое электрическое поле, в проекциях на касательную $\vec{\tau}$ и нормаль $\mathbf{n}$ к траектории. Для этого запишем импульс электрона как $\mathrm{p}=p \vec{\tau}$ и найдем его производную по времени:
\[
\frac{\mathrm{dp}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} t} \overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}+p \frac{\mathrm{d} \overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} t} \overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}+m \frac{v^{2}}{r_{0}} \mathbf{n},
\]

где учтено, что $\mathbf{p}=m \mathbf{v}, m-$ релятивистская масса, и $\mathrm{d} \vec{\tau} / \mathrm{d} t=$ $=\left(v / r_{0}\right) \mathbf{n}$, в чем нетрудно убедиться с помощью рис. 9.20. Действительно, $\mathrm{d} \overrightarrow{\boldsymbol{\tau}}=\mathrm{d} \varphi \cdot \mathbf{n}=\left(v \mathrm{~d} t / r_{0}\right) \mathbf{n}$, и дальнейшее очевидно.
Кроме того, согласно закону электромагнитной индукции

\[
\begin{array}{r}
2 \pi r_{0} E=|\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t|, \text { где } \Phi=\pi r_{0}^{2}\langle B\rangle . \text { Отсюда } \\
E=\frac{r_{0}}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle B\rangle .
\end{array}
\]

Теперь запишем уравнение (1) с учетом формул (2) и (3) в проекциях на касательную и нормаль к траектории:
\[
\begin{array}{c}
\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} t}=e E=e \frac{r_{0}}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle B\rangle . \\
m \frac{v^{2}}{r_{0}}=e v B_{0} .
\end{array}
\]

Последнее уравнение можно переписать после сокращения на $v$ иде
\[
p=e r_{0} B_{0} .
\]

Продифференцируем это уравнение по времени, приняв во внимание, что $r_{0}=$ const:
\[
\frac{\mathrm{d} p}{\mathrm{~d} t}=e r_{0} \frac{\mathrm{d} B_{0}}{\mathrm{~d} t} .
\]

Из сравнения выражений (5) и (4) получаем
\[
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} B_{0}=\frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\langle B\rangle .
\]

В частности, последнее условие будет выполнено, если
\[
B_{0}=1 / 2\langle B\rangle .
\]

фактически это достигается путем изготовления полюсных наечников специального вида (в форме усеченных конусов).

Рис. 9.20
Рис. 9.21

— 9.6. Индукционный ток. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой длинный проводник с постоянным током $I_{0}$ лежат в одной плоскости (рис. 9.21). Индуктивность рамки L, ее сопротивление $R$. Рамку повернули на $180^{\circ}$ вокруг оси $O O^{\prime}$

и остановили. Найти количество электричества, протекшее рамке. Расстояние $ь$ между осью $О O^{\prime}$ и прямым проводником предполагается известным.

Решение.
Согласно закону Ома в процессе поворота рамки ток $I$ в ней определяется по формуле
\[
R I=-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}-L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} t} .
\]

Поэтому искомое количество электричества
\[
q=\int I \mathrm{~d} t=-\frac{1}{R} \int(\mathrm{d} \Phi+L \mathrm{~d} I)=-\frac{1}{R}(\Delta \Phi+L \Delta I) .
\]

Поскольку рамку после поворота остановили, ток в ней прекратился и, следовательно, $\Delta I=0$. Остается выяснить, чему равно приращение потока $\Delta \Phi$ сквозь рамку $\left(\Delta \Phi=\Phi_{2}-\Phi_{1}\right)$.

Выберем нормаль $\mathbf{n}$ к плоскости рамки, например, так, чтобы в конечном положении $\mathbf{n}$ было направлено за плоскость рисунка (в сторону В). Тогда нетрудно видеть, что в конечном положении $\Phi_{2}>0$, а в начальном $\Phi_{1}<0$ (нормаль направлена против В), и $\Delta \Phi$ оказывается равным просто потоку через площадь, ограниченную конечным и начальным положениями рамки:
\[
\Delta \Phi=\Phi_{2}+\left|\Phi_{1}\right|=\int_{b-a}^{b+a} B a \mathrm{~d} r,
\]

где $B$ является функцией $r$, вид которой можно легко найти с помощью теоремы о циркуляции.
Окончательно получим, опуская знак минус:
\[
q=\frac{\Delta \Phi}{R}=\frac{\mu_{0} a I_{0}}{2 \pi R} \ln \frac{b+a}{b-a} .
\]

Найденная величина, как видим, от индуктивности контура не зависит (в случае если бы контур был сверхпроводящим, дело бы обстояло иначе).

— 9.7. Перемычка 12 массы т скользит без трения по двум длинным проводящим рельсам, расположенным на расстоянии $l$ друг от друга (рис. 9.22). Система находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура. Левые концы рельсов замкнуты через сопротивление $R$. $B$ момент $t=0$ перемычке 12 сообщили вправо начальную скорость $v_{0}$. Пренебрегая сопротивлением рельсов и перемычки, а также самоиндукцией контура, найти скорость перемычки в зависимости от времени $t$.

Решение.
Выберем положительное направление нормали к плоскости контура за рисунок (от нас). Это значит, что положительное направление обхода контура (для э. д. с. индукции и тока) мы взяли по часовой стрелке — в соответствии с правилом правого винта. Из закона Ома следует:
\[
R I=-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}=-B \frac{\mathrm{d} S}{\mathrm{~d} t}=-B l v,
\]

где учтено, что при движении перемычки вправо $\mathrm{d \Phi}>0$.

Индукционный ток $I$ согласно правилу Ленца вызывает противодействующую движению силу Ампера — она будет направлена влево.

Выбрав ось $X$ вправо, запишем уравнение движения перемычки
\[
m \mathrm{~d} v / \mathrm{d} t=I l B,
\]

где справа записана проекция силы Ампера на ось $X$ (эта величина является отрицательной, но знак минус мы не пишем, ибо, как видно из (1), ток $I<0$ ).
Исключив $I$ из уравнений (1) и (2), получим
\[
\mathrm{d} v / v=-a \mathrm{~d} t . \quad a=B^{2} l^{2} / m R .
\]

Интегрирование этого выражения с учетом начальных условий дает
\[
\ln \left(v / v_{0}\right)=-a t, \quad v=v_{0} \mathrm{e}^{-a t} .
\]

— Роль переходных процессов. В схеме (рис. 9.23) известны э.д.с. $\mathscr{8}$ источника, его внутреннее сопротивление $R$ и индуктивности сверхповодящих катушек $L_{1}$ и $L_{2}$. Найти установившиеся токи в катущках после замыкания ключа $K$.

Рис. 9.22

Рис. 9.23 туров $\mathscr{E} L_{1}$ и $\mathscr{E} L_{2}$ :
\[
R I=\mathscr{E}-L_{1} \frac{\mathrm{d} I_{1}}{\mathrm{~d} t}, \quad R I=\mathscr{E}-L_{2} \frac{\mathrm{d} I_{2}}{\mathrm{~d} t} .
\]

Из сравнения этих выражений видно, что $L_{1} \mathrm{~d} I_{1}=L_{2} \mathrm{~d} I_{2}$, а для установившихся токов
\[
L_{1} I_{10}=L_{2} I_{20} .
\]

Кроме того,
\[
I_{10}+I_{20}=I_{0}=\mathscr{C} / R .
\]

Из уравнений (1) и (2) найдем:
\[
J_{10}=\frac{\mathscr{g}}{R} \frac{L_{2}}{L_{1}+L_{2}}, I_{20}=\frac{\mathscr{E}}{R} \frac{L_{1}}{L_{1}+L_{2}} .
\]

— 9.9. Вычисление индуктивности. Коаксиальный кабель состоит из внутреннего сплошного проводника радиусом а и наружной проводящей тонкостенной трубки радиусом $b$. Найти индуктивность единицы длины кабеля, считая распределение тока по сечению внутреннего проводника равномерным. Магнитная проницаемость всюду равна единице.

Решение е. В данном случае внутренний проводник не является тонким, поэтому определять индуктивность надо не через магнитный поток, а энергетически. Согласно (9.33)
\[
L_{\text {eд }}=\frac{1}{I^{2}} \int_{0}^{b} \frac{B^{2}}{\mu_{0}} 2 \pi r \mathrm{~d} r,
\]

где $r$ — расстояние от оси кабеля. Для вычисления этого интеграла надо найти зависимость $B(r)$. С помощью теоремы о циркуляции имеем:
\[
B_{r<a}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi a^{2}} r, B_{a<r<b}=\frac{\mu_{0} I}{2 \pi} \frac{1}{r}, B_{r>b}=0 .
\]

Графический вид этих зависимостей показан на рис 9.24. С учетом (2) интеграл (1) разбивается на две части, и в результате интегрирования мы получим
\[
L_{\mathrm{e} \wedge}=\frac{\mu_{0}}{2 \pi}\left(\frac{1}{4}+\ln \frac{b}{a}\right) .
\]

Заметим, что определение этой величины через магнитный поток по формуле $L_{\text {ед }}=\Phi_{\text {ед }} / I$ приводит к другому — неверному — результату, а именно вместо $1 / 4$ в круглой скобке получается $1 / 2$. Чем тоньше центральный провод, т. е. больше отношение $b / a$, тем меньше относительное различие результатов подсчета обоими способами: энергетически и из потока.

Рис. 9.24
Рис. 9.25

— 9.10. Взаимная индукция. Имеется тороидальная катушка и проходящий по ее оси симметрии длинный прямой провод. Сечение катушки прямоугольное, его размеры указаны на рис. 9.25. Число витков катушки $N$, магнитная проницаемость окружающей

среды равна единице. Найти амплитуду э. д. с., индуцируемой в этой катушке, если по прямому проводу течет переменный ток $I=I_{m} \cos \omega t$.

Решение. Искомая э. д. с. $\mathscr{F}_{i}=-\mathrm{d} \Phi / \mathrm{d} t$, где $\Phi=N \Phi_{1}$, $\Phi_{1}$ — магнитный поток сквозь поперечное сечение катушки:
\[
\Phi_{1}=\int B_{n} \mathrm{~d} S=\int_{a}^{b} \frac{\mu_{0}}{2 \pi r} \operatorname{d} \mathrm{d} r=\frac{\mu_{0} h I}{2 \pi} \ln \frac{b}{a},
\]

где $B_{n}$ определяется с помощью теоремы о циркуляции вектора $\mathbf{B}$. Взяв производную $\Phi_{1}$ по времени и умножив полученный результат на $N$, найдем следующее выражение для амплитуды э. д. с. индукции:
\[
\mathscr{C}_{i m}=\frac{\mu_{0} h \omega I_{m} N}{2 \pi} \ln \frac{b}{a} .
\]

— 9.11. Вычисление взаимной индуктивности. Два соленоида одинаковой длины и практически одинакового сечения вставлены полностью один в другой. Индуктивность соленоидов $L_{1}$ и $L_{2}$. Пренебрегая краевыми эффектами, найти их взаимную индуктивность (по модулю).

Решение.
По определению взаимная индуктивность
\[
L_{12}=\Phi_{1} / I_{2},
\]

где $\Phi_{1}$ — полный магнитный поток через все винтки соленонда 1 , если в соленоиде 2 течет ток $I_{2}$. Поток $\Phi_{1}=N_{1} B_{2} S$, где $N_{1}-$ число витков в соленоиде $1 ; S$ — сечение соленоида; $B_{2}=$ $=\mu \mu_{0} n_{2} I_{2}$. Поэтому формулу (1) можно переписать так (после сокращения на $I_{2}$ ):
\[
\left|L_{12}\right|=\mu \mu_{0} n_{2} N_{1} S=\mu \mu_{0} n_{1} n_{2} V,
\]

где учтено, что $N_{1}=n_{1} l ; l$ длина соленоида и $l S=V$ — его объем. Выражение (2) можно представить через $L_{1}$ и $L_{2}$ следующим образом:
\[
\left|L_{12}\right|=\sqrt{\mu \mu_{0} n_{1}^{2} V} \sqrt{\mu \mu_{0} n_{2}^{2} V}=\sqrt{L_{1} L_{2}} .
\]

Заметим, что это выражение определяет предельное (максимальное значение $\left|L_{12}\right|$, вообще же $\left.\left|L_{12}\right|<\sqrt{L_{1} L_{2}}\right)$.

— 9.12. Теорема взаимности. $B$ центре тонкой катушки радиусом а, содержащей $N$ витков, находится небольшой цилиндрический магнит $M$ (рис. 9.26). Катушка подключена к баллистическому гальванометру. Сопротивление цепи $R$. После того как магнит быстро удалили из катушки, через гальванометр прошел заряд q. Найти магнитный момент магнита.

Решение в п процессе удаления магнита полный магнитный поток через катушку изменялся, и в ней возник индукционный ток, определяемый уравнением
\[
R I=-\frac{\mathrm{d} \Phi}{\mathrm{d} t}-L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} t} .
\]

Умножим обе части этого уравнения на $\mathrm{d} t$ и учтем, что $I \mathrm{~d} t=\mathrm{d} q$, тогда
\[
R \mathrm{~d} q=-\mathrm{d} \Phi-L \mathrm{~d} l:
\]

Проинтегрировав последнее выражение, получим $R q=-\Delta \Phi-$ $-L \Delta I$. Теперь примем во внимание, что $\Delta I=0$ (ток был равен нулю как в начале, так и в конце процесса), поэтому
\[
q=\Delta \Phi / R=\Phi / R
\]

где $\Phi$ — магнитный поток через катушку в начале процесса (знак минус мы опустили — он не существен).

Итак, задача свелась к определению потока Ф через катушку. Непосредственно определить эту величину мы не можем. Однако данную трудность можно преодолеть, воспользовавшись теоремой взаимности. Заменим мысленно магнит на небольшой виток с током, создающий в окружающем пространстве то же магнитное поле, что и магнит. Если площадь витка $S$ и ток в нем $I$, то их произведение должно быть равно магнитному моменту $p_{\mathrm{m}}$ магнита: $p_{\mathrm{m}}=I S$. По теореме взаимности $L_{12} I=L_{21} I$, и вопрос сводится к нахождению магнитного потока через площадь $S$ витка, который создает тот же ток $I$, но текущий в катушке. Считая, что в пределах витка поле однородное, получим
\[
\Phi=B S=\mu_{0} N I S / 2 a \text {. }
\]

Остается подставить (2) в (1) и вспомнить, что $I S=p_{\text {m }}$. Тогда $q=\mu_{0} N p_{\mathrm{m}} / 2 a R$ и
\[
p_{\mathrm{m}}=2 a R q / \mu_{0} N
\]