Свободные незатухающие колебания.
Если в контуре нет внешней э. д. с. $\mathscr{E}$ и активное сопротивление $R=0$, то колебания в таком контуре являются свободным и нез атух ающ ими. Их уравнение – частный случай уравнения (11.5), когда $\mathscr{E}=0$ и $R=0$;
\[
\ddot{q}+\omega_{0}^{2} q=0 .
\]

Решением этого уравнения является функция
\[
q=q_{m} \cos \left(\omega_{0} t+\alpha\right)
\]

где $q_{m}$ – амплитудное значение заряда на обкладке конденсатора; $\omega_{0}$ – собственная частота контура; $\alpha$ – начальная фаза. Значение $\omega_{0}$ определяется только свойствами самого контура, значения же $q_{m}$ и $\alpha$ – начальными условиями. В качестве таковых можно взять, например, значения заряда $q$ и тока $I=q$ в момент $t=0$.

Согласно (11.6) $\omega_{0}=1 / \sqrt{L C}$, поэтому период свободных незатухающих колебаний
\[
T_{0}=2 \pi \sqrt{L C}
\]

(формула Томсона).

Найдя ток I (дифференцированием (11.8) по времени) и имея в виду, что напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом $q$, нетрудно убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток $I$ опережает по фазе напряжение на конденсаторе на $\pi / 2$.

При решении некоторых вопросов можно использовать и энергетический подход.

Пример.
В колебательном контуре происходят свободные незатухающие колебания с энергией W. Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в $\eta$ раз. Какую работу соверщили при этом против электрических сил?

Искомую работу можно представить как приращение энергии контура:
\[
A=W^{\prime}-W=\frac{q_{m}^{2}}{2}\left(\frac{1}{C^{\prime}}-\frac{1}{C}\right)=W\left(\frac{C}{C^{\prime}}-1\right) .
\]

С другой стороны, $\omega_{0} \propto 1 / \sqrt{C}$, поэтому $\eta=\omega_{0}^{\prime} / \omega_{0}=\sqrt{C / C^{\prime}}$ и, значит,
\[
A=W\left(\eta^{2}-1\right) .
\]

Свободные затухающие колебания.
Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание. Свободные колебания будут затухающими.

Уравнение данного колебательного контура мы получим, положив в (11.5) $\mathscr{E}=0$. Тогда
\[
\ddot{q}+2 \beta \dot{q}+\omega_{0}^{2} q=0 .
\]

Можно показать (но мы не будем этого делать, поскольку нас интересует другая сторона вопроса), что при $\beta^{2}<\omega_{0}^{2}$

решение этого однородного дифференциального уравнення имеет вид
\[
q=q_{m} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos (\omega t+\alpha),
\]

где
\[
\omega=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}=\sqrt{\frac{1}{L C}-\left(\frac{R}{2 L}\right)^{2}},
\]

а $q_{m}$ и $\alpha$ – произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. График функции (11.11) показан на рис. 11.3. Видно, что эта функция не периодическая, она определяет затухающие колебания.

Величину $T=2 \pi / \omega$ называют тем не менее периодом затухающих колебаний:
\[
T=\frac{2 \pi}{\sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}}=\frac{T_{0}}{\sqrt{1-\left(\beta / \omega_{0}\right)^{2}}},
\]

где $T_{0}$ – период свободных незатухающих колебаний.
Множитель $q_{m} \mathrm{e}^{-\beta t}$ в (11.11) называют амплитувремени показана штриховой линией на рис. 11.3.

Напряжение на конденсаторе и ток в контуре.
Зная $q(t)$, можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Напряжение на конденсаторе
\[
U_{c}=\frac{q}{C}=\frac{q_{m t}}{C} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos (\omega t+\alpha) .
\]

Ток в контуре
\[
I=\frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{~d} t}=q_{m} \mathrm{e}^{-\beta t}[-\beta \cos (\omega t+\alpha)-\omega \sin (\omega t+\alpha)] .
\]

Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для этого умножим и разделим это выражение на $\sqrt{\omega^{2}+\beta^{2}}=\omega_{0}$, а затем введем угол $\delta$ по формулам
\[
-\beta / \omega_{0}=\cos \delta, \omega / \omega_{0}=\sin \delta .
\]

После этого выражение для I примет вид
\[
l=\omega q_{m} \mathrm{e}^{-\beta t} \cos (\omega t+\alpha+\delta) .
\]

Из (11.15) следует, что угол $\delta$ лежит во второй четверти
Рис, 10.13
$(\pi / 2<\delta<\pi)$. Это означает,

что при наличии активного сопротивления $R$ ток в контуре опережате то фазе напряжение (11.14) на конденсаторе более чем на $\pi / 2$. Заметим, что при $R=0$ опережение $\delta=\pi / 2$.

Графики зависимостей $U_{c}(t)$ и $I(t)$ имеют вид, аналогичный показанному на рис. 11.3 для $q(t)$.

Пример.
Колебательный контур содержит конденсатор емкости $C$ и катушку с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью L. Найти отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля в контуре в момент максимума тока.
Согласно уравнению колебательного контура (11.3)
\[
L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{~d} t}+R I+\frac{q}{C}=0 .
\]

В момент максимума тока $\mathrm{d} I / \mathrm{d} t=0$ и $R I=-q / C$. Поэтому искомое отношение
\[
W_{\text {м }} / W_{
i}=L / C R^{2} \text {. }
\]

Величины, характеризующие затухание.
1. Коэффициент затухания $\beta$ и вемя релаксации $\tau$ – время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из формулы (11.11) нетрудно видеть, что
\[
\tau=1 / \beta
\]

2. Логарифмический декремент затухания $\lambda$. Он определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания $T$ :
\[
\lambda=\ln \frac{a(t)}{a(t+T)}=\beta T,
\]

где $a$ – амплитуда соответствующей величины $(q, U, I)$. Или иначе:
\[
\lambda=1 / N_{\mathrm{e}} \text {, }
\]

где $N_{\mathrm{e}}$ – число колебаний за время $\tau$, т. е. за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Это легко получить из формул (11.17) и (11.18).

Если затухание мало $\left(\beta^{2} \ll \omega_{0}^{2}\right)$, то $\omega \approx \omega_{0}=1 / \sqrt{L C}$ и согласно (11.18)
\[
\lambda \approx \beta \cdot 2 \pi / \omega_{0}=\pi R \sqrt{C / L} .
\]

3. Добротность $Q$ колебательного контура. По определению
\[
Q=\pi / \lambda=\pi N_{e},
\]

где $\lambda$ – логарифмический декремент затухания. Чем меньше затухание, тем больше $Q$. При слабом затухании $\left(\beta^{2} \ll\right.$ $\ll \omega_{0}^{2}$ ) согласно (11.20) добротность
\[
Q \approx \frac{1}{R} \sqrt{\frac{L}{C}}
\]

И еще одна полезная формула для $Q$ в случае слабого затухания
\[
Q \approx 2 \pi \frac{W}{\delta W},
\]

где $W$ – энергия, запасенная в контуре, $\delta W$ – уменьшение этой энергии за период колебания $T$. В самом деле, энергия $W$ пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, т. е. $W \sim \mathrm{e}^{-2 \beta t}$. Отсюда относительное уменьшение энергии за период $\delta W / W=2 \beta T=2 \lambda$. Остается учесть согласно (11.21), что $\lambda=\pi / Q$.

В заключение отметим, что при $\beta^{2} \geqslant \omega_{0}^{2}$ вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют критическим:
\[
R_{\text {кр }}=2 \sqrt{L / C} .
\]

Рассмотрим два примера.

Пример 1.
Колебательный контур имеет емкость $C$, индуктивность $L$ и активное сопротивление R. Найти, через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в е раз.

Амплитуда тока ( $\left.I_{m} \sim \mathrm{e}^{-\beta t}\right)$ уменьшится в е раз за время $\tau \approx$ $=1 / \beta$. За это время совершится $N_{\text {е }}$ колебаний. Если $T$ – период затухающих колебаний, то
\[
N_{\mathrm{e}}=\frac{\tau}{T}=\frac{1 / \beta}{2 \pi / \sqrt{\omega_{0}^{2}-\beta^{2}}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\left(\frac{\omega_{0}}{\beta}\right)^{2}-1} .
\]

Имея в виду, что $\omega_{0}^{2}=1 / L C$ и $\beta=R / 2 L$, получим
\[
N_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{4 L}{C R^{2}}-1} .
\]

Пример 2.
Найти время, за которое амплитуда колебаний тока в контуре с добротностью $Q$ уменьшится в $\eta$ раз, если частота затухающих колебаний равна ю.
Так как амплитуда тока $I_{m} \sim \mathrm{e}^{-\beta t}$, то время $t_{0}$, за которое

амплитуда уменьшится в $\eta$ раз, определяется уравнением $\eta=\mathrm{e}^{\beta t_{0}}$. Отсюда
\[
t_{0}=(\ln \eta) / \beta .
\]

C другой стороны, добротность $Q$ также связана с $\beta$ :
\[
Q=\pi / \lambda=\pi / \beta T=\omega / 2 \beta .
\]

Исключив $\beta$ из последних двух уравнений, получим
\[
t_{0}=\frac{2 Q}{\omega} \ln \eta .
\]