Свободные незатухающие колебания.
Если в контуре нет внешней э. д. с. $\mathcal{E}$ и активное сопротивление $R=0$, то колебания в таком контуре являются свободным и нез атух ающ ими. Их уравнение — частный случай уравнения (11.5), когда $\mathcal{E}=0$ и $R=0$;
$$\ddot{q}+{\omega }_0^{2}q=0.$$

Решением этого уравнения является функция
$$q=q_m\cos ({\omega }_{0}t+\alpha )$$

где $q_m$ — амплитудное значение заряда на обкладке конденсатора; ${\omega }_0$ — собственная частота контура; $\alpha$ — начальная фаза. Значение ${\omega }_0$ определяется только свойствами самого контура, значения же $q_m$ и $\alpha$ — начальными условиями. В качестве таковых можно взять, например, значения заряда $q$ и тока $I=q$ в момент $t=0$.

Согласно (11.6) ${\omega }_0=1/\sqrt{LC}$, поэтому период свободных незатухающих колебаний
$$T_0=2\pi \sqrt{LC}$$

(формула Томсона).

Найдя ток I (дифференцированием (11.8) по времени) и имея в виду, что напряжение на конденсаторе находится в фазе с зарядом $q$, нетрудно убедиться, что при свободных незатухающих колебаниях ток $I$ опережает по фазе напряжение на конденсаторе на $\pi /2$.

При решении некоторых вопросов можно использовать и энергетический подход.

Пример.
В колебательном контуре происходят свободные незатухающие колебания с энергией W. Пластины конденсатора медленно раздвинули так, что частота колебаний увеличилась в $\eta$ раз. Какую работу соверщили при этом против электрических сил?

Искомую работу можно представить как приращение энергии контура:
$$A=W^{\prime }-W=\frac{q_m^2}{2}(\frac{1}{C^{\prime }}-\frac{1}{C})=W(\frac{C}{C^{\prime }}-1).$$

С другой стороны, ${\omega }_0\propto 1/\sqrt{C}$, поэтому $\eta ={\omega }_0^{\prime }/{\omega }_0=\sqrt{C/C^{\prime }}$ и, значит,
$$A=W({\eta }^2-1).$$

Свободные затухающие колебания.
Каждый реальный контур обладает активным сопротивлением, и энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на нагревание. Свободные колебания будут затухающими.

Уравнение данного колебательного контура мы получим, положив в (11.5) $\mathcal{E}=0$. Тогда
$$\ddot{q}+2\beta \dot{q}+{\omega }_0^{2}q=0.$$

Можно показать (но мы не будем этого делать, поскольку нас интересует другая сторона вопроса), что при ${\beta }^2<{\omega }_0^2$

решение этого однородного дифференциального уравнення имеет вид
$$q=q_m{\mathrm{e}}^{-\beta t}\cos (\omega t+\alpha ),$$

где
$$\omega =\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}=\sqrt{\frac{1}{LC}-{\left(\frac{R}{2L}\right)}^2},$$

а $q_m$ и $\alpha$ — произвольные постоянные, определяемые из начальных условий. График функции (11.11) показан на рис. 11.3. Видно, что эта функция не периодическая, она определяет затухающие колебания.

Величину $T=2\pi /\omega$ называют тем не менее периодом затухающих колебаний:
$$T=\frac{2\pi }{\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}}=\frac{T_0}{\sqrt{1-{\left(\beta /{\omega }_0\right)}^2}},$$

где $T_0$ — период свободных незатухающих колебаний.
Множитель $q_m{\mathrm{e}}^{-\beta t}$ в (11.11) называют амплитувремени показана штриховой линией на рис. 11.3.

Напряжение на конденсаторе и ток в контуре.
Зная $q(t)$, можно найти напряжение на конденсаторе и ток в контуре. Напряжение на конденсаторе
$$U_c=\frac{q}{C}=\frac{q_{mt}}{C}{\mathrm{e}}^{-\beta t}\cos (\omega t+\alpha ).$$

Ток в контуре
$$I=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=q_m{\mathrm{e}}^{-\beta t}[-\beta \cos (\omega t+\alpha )-\omega \sin (\omega t+\alpha )].$$

Преобразуем выражение в квадратных скобках к косинусу. Для этого умножим и разделим это выражение на $\sqrt{{\omega }^2+{\beta }^2}={\omega }_0$, а затем введем угол $\delta$ по формулам
$$-\beta /{\omega }_0=\cos \delta ,\omega /{\omega }_0=\sin \delta .$$

После этого выражение для I примет вид
$$l=\omega q_m{\mathrm{e}}^{-\beta t}\cos (\omega t+\alpha +\delta ).$$

Из (11.15) следует, что угол $\delta$ лежит во второй четверти
Рис, 10.13
$(\pi /2<\delta <\pi )$. Это означает,

что при наличии активного сопротивления $R$ ток в контуре опережате то фазе напряжение (11.14) на конденсаторе более чем на $\pi /2$. Заметим, что при $R=0$ опережение $\delta =\pi /2$.

Графики зависимостей $U_c(t)$ и $I(t)$ имеют вид, аналогичный показанному на рис. 11.3 для $q(t)$.

Пример.
Колебательный контур содержит конденсатор емкости $C$ и катушку с активным сопротивлением $R$ и индуктивностью L. Найти отношение энергии магнитного поля к энергии электрического поля в контуре в момент максимума тока.
Согласно уравнению колебательного контура (11.3)
$$L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+RI+\frac{q}{C}=0.$$

В момент максимума тока $\mathrm{d}I/\mathrm{d}t=0$ и $RI=-q/C$. Поэтому искомое отношение
$$W_{\text{м }}/W_i=L/C{R}^2\text{. }$$

Величины, характеризующие затухание.
1. Коэффициент затухания $\beta$ и вемя релаксации $\tau$ — время, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Из формулы (11.11) нетрудно видеть, что
$$\tau =1/\beta$$

2. Логарифмический декремент затухания $\lambda$. Он определяется как натуральный логарифм отношения двух значений амплитуд, взятых через период колебания $T$ :
$$\lambda =\ln \frac{a(t)}{a(t+T)}=\beta T,$$

где $a$ — амплитуда соответствующей величины $(q,U,I)$. Или иначе:
$$\lambda =1/N_{\mathrm{e}}\text{, }$$

где $N_{\mathrm{e}}$ — число колебаний за время $\tau$, т. е. за время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Это легко получить из формул (11.17) и (11.18).

Если затухание мало $({\beta }^2\ll {\omega }_0^2)$, то $\omega \approx {\omega }_0=1/\sqrt{LC}$ и согласно (11.18)
$$\lambda \approx \beta \cdot 2\pi /{\omega }_0=\pi R\sqrt{C/L}.$$

3. Добротность $Q$ колебательного контура. По определению
$$Q=\pi /\lambda =\pi N_e,$$

где $\lambda$ — логарифмический декремент затухания. Чем меньше затухание, тем больше $Q$. При слабом затухании $({\beta }^2\ll$ $\ll {\omega }_0^2$ ) согласно (11.20) добротность
$$Q\approx \frac{1}{R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$

И еще одна полезная формула для $Q$ в случае слабого затухания
$$Q\approx 2\pi \frac{W}{\delta W},$$

где $W$ — энергия, запасенная в контуре, $\delta W$ — уменьшение этой энергии за период колебания $T$. В самом деле, энергия $W$ пропорциональна квадрату амплитуды заряда конденсатора, т. е. $W\sim {\mathrm{e}}^{-2\beta t}$. Отсюда относительное уменьшение энергии за период $\delta W/W=2\beta T=2\lambda$. Остается учесть согласно (11.21), что $\lambda =\pi /Q$.

В заключение отметим, что при ${\beta }^2⩾{\omega }_0^2$ вместо колебаний будет происходить апериодический разряд конденсатора. Активное сопротивление контура, при котором наступает апериодический процесс, называют критическим:
$$R_{\text{кр }}=2\sqrt{L/C}.$$

Рассмотрим два примера.

Пример 1.
Колебательный контур имеет емкость $C$, индуктивность $L$ и активное сопротивление R. Найти, через сколько колебаний амплитуда тока в этом контуре уменьшится в е раз.

Амплитуда тока ( $I_m\sim {\mathrm{e}}^{-\beta t})$ уменьшится в е раз за время $\tau \approx$ $=1/\beta$. За это время совершится $N_{\text{е }}$ колебаний. Если $T$ — период затухающих колебаний, то
$$N_{\mathrm{e}}=\frac{\tau }{T}=\frac{1/\beta }{2\pi /\sqrt{{\omega }_0^2-{\beta }^2}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{{\left(\frac{{\omega }_0}{\beta }\right)}^2-1}.$$

Имея в виду, что ${\omega }_0^2=1/LC$ и $\beta =R/2L$, получим
$$N_{\mathrm{e}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{4L}{C{R}^2}-1}.$$

Пример 2.
Найти время, за которое амплитуда колебаний тока в контуре с добротностью $Q$ уменьшится в $\eta$ раз, если частота затухающих колебаний равна ю.
Так как амплитуда тока $I_m\sim {\mathrm{e}}^{-\beta t}$, то время $t_0$, за которое

амплитуда уменьшится в $\eta$ раз, определяется уравнением $\eta ={\mathrm{e}}^{\beta t_0}$. Отсюда
$$t_0=(\ln \eta )/\beta .$$

C другой стороны, добротность $Q$ также связана с $\beta$ :
$$Q=\pi /\lambda =\pi /\beta T=\omega /2\beta .$$

Исключив $\beta$ из последних двух уравнений, получим
$$t_0=\frac{2Q}{\omega }\ln \eta .$$