11. Если в системе взять точку, координаты $x$ $y, z$ которой пропорциональны $d \psi, d \omega, d \varphi$, то соответствующие дифференциалы $d x, d y, d z$ будут равны нулю, как в этом можно убедиться с помощью формул пункта 8. Эта точка, равно как и все точки, обладающие этим свойством, останется неподвижной в течение того мгновения, когда система опишет три угла $d \psi, d \omega, d \varphi$, вращаясь одновременно вокруг осей $x, y, z$. Легко видеть, что все эти точки будут лежать на прямой линии, проходящей через начало координат *), и составляющей с осями $x, y, z$ такие углы $\lambda, \mu,
u$, что
\[
\begin{array}{l}
\cos \lambda=\frac{d \psi}{\sqrt{d \psi^{2}+d \omega^{2}+d \varphi^{2}}}, \\
\cos \mu=\frac{d \omega}{\sqrt{d \psi^{2}+d \omega^{2}+d \varphi^{2}}}, \\
\cos
u=\frac{d \varphi}{\sqrt{d \psi^{2}+d \omega^{2}+d \varphi^{2}}} .
\end{array}
\]

Эта прямая будет мәновенной осъю сложного вращения.

Если воспользоваться углами $\lambda, \mu,
u$, введя для сокращения
\[
d \theta=\sqrt{d \psi^{2}+d \omega^{2}+d \varphi^{2}},
\]

то мы получим
\[
d \psi=d \theta \cos \lambda, \quad d \omega=d \theta \cos \mu, \quad d \varphi=d \theta \cos
u,
\]
*) Сопоставляя эти выводы с теми, которые были получены в предыдущем параграфе, мы видим, что любое бесконечно малое движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, может быть рассматриваемо как вращение вокруг оси. Эта прекрасная теорема обязана своим открытием Эйлеру, который обосновал ее с помощью очень простого геометрического доказательства. Эйлер исследовал этот вопрос и аналитическим путем. (См. Mómoires de l’Académie de Berlin за 1750 г.) Двадцать пять лет спустя он снова вернулся к этой теореме в петербургских «Commentarii» за 1775 г. и, изложив геометрическое доказательство, относящееся к случаю конечных движений, признал, что аналитическое доказательство требует столь пространных исчислений, что он вынужден от него отказаться. Его мемуар заканчивается следующими словами: «Конечно, никто не захотел бы взять на себя этой удивительной работы… поэтому указанное замечательное свойство может дать геометрам прекрасный случай поупражнять свои силы, занявшись объяснением этого свойства» (стр. 207). B Journal de Liouville ( ${ }^{\text {re }}$ sér., t. V, p. 406) Олинд Родригес (Rodrigues), воспользовавшись чрезвычайно изящным способом, дал то доказательство, которого желал Эйлер. (Прим. Бертрана.)

и общие выражения $d x, d y, d z$ (п. 8) примут следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
d x=(z \cos \mu-y \cos
u) d \theta, \quad d y=(x \cos
u-z \cos \lambda) d \theta, \\
d z=(y \cos \lambda-x \cos \mu) d \theta .
\end{array}
\]

Так как квадрат малого участка пути, проходимого любой точкой, равен $d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}$, он может быть выражен через
\[
\begin{array}{c}
{\left[(z \cos \mu-y \cos
u)^{2}+(x \cos
u-z \cos \lambda)^{2}+\right.} \\
\left.\quad+(y \cos \lambda-x \cos \mu)^{2}\right] d \theta^{2}= \\
\quad=\left[x^{2}+y^{2}+z^{2}-(x \cos \lambda+y \cos \mu+z \cos
u)^{2}\right] d \theta^{2},
\end{array}
\]

ибо $\cos ^{2} \lambda+\cos ^{2} \mu+\cos ^{2}
u=1$.
Но легко доказать, что $x \cos \lambda+y \cos \mu+z \cos
u=0$ является уравнением плоскости, проходящей через начало координат и перпендикулярной к прямой линии, составляющей с осями $x, y, z$ углы $\lambda, \mu, v$; следовательно, малый участок пути, описанный любой точкой этой плоскости, равен $d \theta \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, а так как мгновенная ось вращения перпендикулярна к той же плоскости, то отсюда следует, что $d \theta$ является углом вращения вокруг этой оси, составленного из трех частных вращений $d \psi, d \omega, d \varphi$ вокруг трех осей координат.
12. Отсюда следует, что любые мгновенные вращения $d \psi, d \omega, d \varphi$ вокруг трех осей, пересекающихся в одной и той же точке под прямыми углами, складываются в единое вращение $d \theta=\sqrt{d \psi^{2}+d \omega^{2}+d \varphi^{2}}$ вокруг оси, проходящей через ту же точку пересечения и образующую с упомянутыми осями углы $\lambda, \mu,
u$, величины которых определяются следующими формулами: $\cos \lambda=\frac{d \psi}{d \theta}, \cos \mu=\frac{d \omega}{d \theta}, \cos
u=\frac{d \varphi}{d \theta}$. И, обратно, отсюда следует, что любое заданное вращение $d \theta$ вокруг оси может быть разложено на три частных вращения, выражающихся через $\cos \lambda d \theta, \cos \mu d \theta$, $\cos v d \theta$, вокруг трех осей, взаимно пересекающихся под прямыми углами в некоторой точке данной оси и образующих с этой осью углы $\lambda$, $\mu$, v. Это дает очень,
простое средство для сложения и разложения мгновенных движений или скоростей вращательных движений.

В самом деле, если взять три других взаимно перпендикулярных оси, образующих с осью вращения $d \psi$ углы $\lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}, \lambda^{\prime \prime \prime}$, с осью вращения $d \omega$ углы $\mu^{\prime}, \mu^{\prime \prime}, \mu^{\prime \prime}$ и с осью вращения $d \varphi$ углы $v^{\prime}, v^{\prime \prime}, v^{\prime \prime \prime}$, то вращение $d \psi$ может быть разложено на три вращения $\cos \lambda^{\prime} d \psi$, $\cos \lambda^{\prime \prime} d \psi, \cos \lambda^{\prime \prime} d \psi$, точно так же вращение $d \omega$ может быть разложено на три вращения $\cos \mu^{\prime} d \omega, \cos \mu^{\prime \prime} d \omega$, $\cos \mu^{\prime \prime \prime} d \omega$, и вращение $d \varphi$ – на три вращения $\cos
u^{\prime} d \varphi$, $\cos
u^{\prime \prime} d \varphi, \cos
u^{\prime \prime} d \varphi$, причем во всех случаях разложение происходит по одним и тем же трем осям. Таким образом, если стожить все вращения, проис ходящие вокруг одной и той же оси, и обозначить через $d \theta^{\prime}, d \theta^{\prime \prime}, d \theta^{\prime \prime \prime}$ полные вращения вокруг трех новых осей, то получится
\[
\begin{array}{l}
d \theta^{\prime}=\cos \lambda^{\prime} d \psi+\cos \mu^{\prime} d \omega+\cos
u^{\prime} d \varphi, \\
d \theta^{\prime \prime}=\cos \lambda^{\prime \prime} d \psi+\cos \mu^{\prime \prime} d \omega+\cos
u^{\prime \prime} d \varphi, \\
d \theta^{\prime \prime \prime}=\cos \lambda^{\prime \prime \prime} d \psi+\cos \mu^{\prime \prime \prime} d \omega+\cos
u^{\prime \prime \prime} d \varphi .
\end{array}
\]
13. Итак, вращения $d \dot{\psi}, d \omega, d \varphi$ были указанным выше путем сведены к трем вращениям $d \theta^{\prime}, d \theta^{\prime \prime}, d \theta^{\prime \prime}$ вокруг трех других прямоугольных осей; следовательно, эти последние при их сложении должны дать то же вращение $d \theta$, какое получается при сложенип вращений $d \psi, d \omega, d \varphi$. Таким образом мы имеем (п. 11)
\[
d \theta^{2}=d \theta^{\prime 2}+d \theta^{\prime \prime 2}+d \theta^{\prime \prime 2}=d \psi^{2}+d \omega^{2}+d \varphi^{2} ;
\]

а так как последнее равенство должно представлять собою тождество, то отсюда вытекает, что мы имеем следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
\cos ^{2} \lambda^{\prime}+\cos ^{2} \lambda^{\prime \prime}+\cos ^{2} \lambda^{\prime \prime \prime}=1, \\
\cos ^{2} \mu^{\prime}+\cos ^{2} \mu^{\prime \prime}+\cos ^{2} \mu^{\prime \prime \prime}=1, \\
\cos ^{2}
u^{\prime}+\cos ^{2}
u^{\prime \prime}+\cos ^{2}
u^{\prime \prime \prime}=1, \\
\cos \lambda^{\prime} \cos \mu^{\prime}+\cos \lambda^{\prime \prime} \cos \iota^{\prime \prime}+\cos \lambda^{\prime \prime \prime} \cos \mu^{\prime \prime \prime}=0, \\
\cos \lambda^{\prime} \cos
u^{\prime}+\cos \lambda^{\prime \prime} \cos
u^{\prime \prime}+\cos \lambda^{\prime \prime \prime} \cos
u^{\prime \prime \prime}=0, \\
\cos \mu^{\prime} \cos
u^{\prime}+\cos \mu^{\prime \prime} \cos
u^{\prime \prime}+\cos \mu^{\prime \prime \prime} \cos
u^{\prime \prime \prime}=0,
\end{array}
\]

к которым можно притти и геометрџческим путем. C помощью этих соотношений можно тотчас же получить и значения $d \psi, d \omega, d \varphi$, выраженные через $d \theta^{\prime}, d \epsilon^{\prime \prime}, d \theta^{\prime \prime \prime}$. Для этого следует значения $d \theta^{\prime}, d \theta^{\prime \prime}$, $d \theta^{\prime \prime \prime}$ последовательно помножить на $\cos \lambda^{\prime}$, $\cos \lambda^{\prime \prime}$, $\cos \lambda^{\prime \prime \prime} ; \quad \cos \mu^{\prime}, \cos \mu^{\prime \prime}, \ldots$, и затем слсжить. Тогда получится
\[
\begin{array}{l}
d \psi=\cos \lambda^{\prime} d \theta^{\prime}+\cos \lambda^{\prime \prime} d \theta^{\prime \prime}+\cos \lambda^{\prime \prime \prime} d \theta^{\prime \prime \prime}, \\
d \omega=\cos \mu^{\prime} d \theta^{\prime}+\cos \mu^{\prime \prime} d \theta^{\prime \prime}+\cos \mu^{\prime \prime \prime} d \theta^{\prime \prime \prime}, \\
d \varphi=\cos
u^{\prime} d \theta^{\prime}+\cos
u^{\prime \prime} d \theta^{\prime \prime}+\cos
u^{\prime \prime \prime} d \theta^{\prime \prime \prime} .
\end{array}
\]
14. Далее, если назвать $\bar{\omega}^{\prime}, \bar{\omega}^{\prime \prime}, \bar{\omega}^{\prime \prime \prime}$ углы, образуемые осью сложного движения $d \theta$ с осями трех частных вращений $d \theta^{\prime}, d \theta^{\prime \prime}, d \theta^{\prime \prime \prime}$, то аналогично пункту 11 получается
\[
\begin{aligned}
d \theta^{\prime} & =\cos \bar{\omega}^{\prime} d \theta, \\
d \theta^{\prime \prime} & =\cos \bar{\omega}^{\prime \prime} d \theta, \\
d \theta^{\prime \prime \prime} & =\cos \bar{\omega}^{\prime \prime \prime} d \theta,
\end{aligned}
\]

и если в приведенных выше (п. 12) выражениях для $d \theta^{\prime}, d \theta^{\prime \prime}, d \theta^{\prime \prime \prime}$ вместо $d \psi, d \omega, d \varphi$ подставить их выражения через $d \theta$, указанные в пункте 11 , а именно $\cos \lambda d \theta, \cos \mu d \theta, \cos
u d \theta$, то сравнение этих различных выражений для $d \theta^{\prime}, d \theta^{\prime \prime}, d \theta^{\prime \prime \prime}$ даст нам, по разделении на $d \theta$, следующие новые соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\cos \bar{\omega}^{\prime}=\cos \lambda \cos \lambda^{\prime}+\cos \mu \cos \mu^{\prime}+\cos
u \cos
u^{\prime}, \\
\cos \bar{\omega}^{\prime \prime}=\cos \lambda \cos \lambda^{\prime \prime}+\cos \mu \cos \mu^{\prime \prime}+\cos
u \cos
u^{\prime \prime}, \\
\cos \bar{\omega}^{\prime \prime \prime}=\cos \lambda \cos \lambda^{\prime \prime \prime}+\cos \mu \cos \mu^{\prime \prime \prime}+\cos
u \cos
u^{\prime \prime \prime},
\end{array}
\]

которые тоже могут быть выведены с помощью геометрии.
15. Отсюда видно, что сложение и разложение вращательных движений совершенно аналогично сложению и разложению прямолинейных движений.

В самом деле, если на трех осях вращения $d \psi$, $d \omega, d \varphi$ отложить от точки их пересечения три линии, пропорциональные соответственно $d \psi, d \omega, d \varphi$, и на этих трех линиях построить прямоугольный параллелепипед, то легко видеть, что диагональ этого параллелепипеда будет осью сложного вращения $d \theta$ и в то же время по своей длине она будет пропорциональна этому вращению $d \theta$. Отсюда, а также из того обстоятельства, что вращения вокруг одной и той же оси складываются или вычитаются друг из друга в зависимости от того, происходят ли они в одном и том же направлении, или же в противоположных направлениях, – следует вообще сделать тот вывод, что сложение и разложение вращательных движений происходит совершенно таким же образом и согласно тем же законам, что и сложение и разложение прямолинейных движений: для этого следует лишь вращательные движения заменить прямолинейными движениями, направленными по осям вращения.
16. Далее, если в формуле пункта $9 L d \psi+$ $+M d \omega+N d \varphi$, содержащей члены общего выражения $P d p+P^{\prime} d p^{\prime}+P^{\prime \prime} d p^{\prime \prime}+\ldots, \quad$ соответствующие вращениям $d \psi, d \omega, d \varphi$, подставить вместо $d \psi, d \omega, d \varphi$ выражения, найденные в пункте 13 , то она примет вид:
\[
\begin{aligned}
& \left(L \cos \lambda^{\prime}+M \cos \mu^{\prime}+N \cos
u^{\prime}\right) d \theta^{\prime}+ \\
+ & \left(L \cos \lambda^{\prime \prime}+M \cos \mu^{\prime \prime}+N \cos
u^{\prime \prime}\right) d \theta^{\prime \prime}+ \\
+ & \left(L \cos \lambda^{\prime \prime \prime}+M \cos \mu^{\prime \prime \prime}+N \cos
u^{\prime \prime \prime}\right) d \theta^{\prime \prime \prime} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, согласно пункту 7 коәффициенты элементарных углов $d \theta^{\prime}, d \theta^{\prime \prime}, d \theta^{\prime \prime \prime}$ будут выражать суммы моментов относительно осей вращения $d \theta^{\prime}$, $d \theta^{\prime \prime}, d \theta^{\prime \prime}$. Таким образом моменты, равные $L, M, N$ и относящиеся к трем прямоугольным осям, дадут моменты
\[
\begin{array}{l}
L \cos \lambda^{\prime}+M \cos \mu^{\prime}+N \cos
u^{\prime}, \\
L \cos \lambda^{\prime \prime}+M \cos \mu^{\prime \prime}+N \cos
u^{\prime \prime}, \\
L \cos \lambda^{\prime \prime \prime}+M \cos \mu^{\prime \prime \prime}+N \cos \gamma^{\prime \prime \prime}
\end{array}
\]

относительно трех других прямоугольных осей, обгазующих с первыми осями соответственно углы $\lambda^{\prime}$, $\mu^{\prime}, v^{\prime} ; \lambda^{\prime \prime}, \mu^{\prime \prime}, v^{\prime \prime} ; \lambda^{\prime \prime \prime}, \mu^{\prime \prime \prime}, v^{\prime \prime \prime}$.

Геометрическое доказательство этой теоремы можно найти в VII томе Nova Acta Петербургской Академии *).
17. Если допустить, что вращения $d \psi, d \omega, d \varphi$ пропорциональны $L, M, N$, и положить $H=$ $=\sqrt{L^{2}+M^{2}+N^{2}}$, то согласно пункту 11 мы имеем $L=H \cos \lambda, M=H \cos \mu, N=H \cos
u$, и три найденные нами выше момента сводятся, с помощью соотношений пункта 14, к следующему простому виду:
\[
H \cos \bar{\omega}^{\prime}, H \cos \bar{\omega}^{\prime \prime}, H \cos \bar{\omega}^{\prime \prime \prime} \text {. }
\]

Но $\bar{\omega}^{\prime}, \bar{\omega}^{\prime \prime}, \bar{\omega}^{\prime \prime \prime}$ – это углы, образуемые осями вращений $d \theta^{\prime}, d \theta^{\prime \prime}, d \theta^{\prime \prime}$ с осью сложного вращения $d \theta$. Поэтому, если мы сопмсстим ось вращения $d \theta^{\prime}$ с осью вращения $d \theta$, мы получим, что $\bar{\omega}^{\prime}=0$, а каждый из углов $\bar{\omega}^{\prime \prime}$ и $\omega^{\prime \prime \prime}$ – прямой; следовательно, момент относительно этой оси будет равен просто $H$, а два других момента относительно осей, перпендикулярных к первой, будут равны нулю.

Отсюда следует, что моменты, равные $L, M, N$ и относящиеся к трем прямоугольным осям, складываются в один момент $H$, равный $\sqrt{L^{2}+M^{2}+N^{2}}$, и относящийся к оси, которая составляет с упомянутыми выше осями углы $\lambda, \mu,
u$, для которых
\[
\cos \lambda=\frac{L}{H}, \quad \cos \mu=\frac{M}{\ddot{H}}, \quad \cos
u=\frac{N}{H} .
\]

Таковы известные теоремы, касающиєся сложения моментов; ясно, что это сложение происходит согласно тем же правилам, что и сложение прямолинейных движений. Его можно было бы вывести
*) Это доказательство принадлежит Эйлеру. (Прим. Бертрана.)

непосредственно из сложения мгновенных вращений, подставив моменты вместо вызываемых ими вращений, подобно тому, как Вариньон подставил силы вместо прямолинейных движений *).