[1] Жозеф-Луи Јагранж (Joseph-Louis Lagrange) родился в Турине 25 января 1736 года в семье военного казначея, разоренного постоянными финансовыми спекуляциями. Молодой Лагранж весьма легко отнесся к разорению семьи. Впоследствии он говорил: «Если бы я был богат, я, вероятно, не достиг бы моего положения в математике; а в какой другой деятельности я добился бы тех же усцехов?».
Семнадцатилетним юношей Јагранж увлекся математическими науками, главным образом под влиянием мемуара Галлея «О преимуществах аналитического метода»; а в восемнадцать лет уже получил самостоятельные результаты как в области дифференциального и интегрального исчислений, так и в области зарождавшегося тогда (Эйлер) вариационного исчисления. В 1754 году, т. е. девятнадцати лет от роду, Лагранж уже профессор артиллерийской школы в Турине; он объединяет своих слупателей и образует ученое общество, в дальнейшем превратившееся в знаменитую Туринскую академию. В печатном органе дтого общества «Actes de la sociét́́ privée de Tourin» Лагранж помещает свои первые работы по изопериметрии, вызвавшие восхищенные отзывы Эйлера; здесь же появляется исследование по применению принципа Даламбера к проблемам непрерывных сред (гидродинамика и акустика), впоследствии развитое в его «Ме́саnique Analytique». Даламбер высоко оценил работы Лагранжа по равновесию жидких тел. В 1759 году, по представлению Эйлера, Лагранж был избран членом Берлинской академии наук.
Парижская академия обтявила (в 1764 г.) конкурс на лучшее сочинение, содержащее объяснение явления либрации луны. Лагранж представил на конкурс свою работу, дающую исчерпывающее решение задачи, основанное на применении принципа Даламбера и начала виртуальных скоростей. Премия была присуждена Лагранжу. Даламбер по этому поводу писал ему: * читал столько же с удовольствием, сколько и с пользой Ваше замечательное произведение о либрации луны, столь достойное премии, которую оно получило». Результаты, нолученные Лагранжем, позволили Академии поставить еще более сложную задачу создания теории спутников Юпитера. Лагранж (1766) вновь получает премию за значительное продвижение этой сложной задачи. Лишь 24 года спустя эта задача была полностью решена Лапласом.
В 1766 году Лагранж переехал в Париж, где был радостно встречен Даламбером, Клеро, Кондорсе и другими. В это время стало известно, что Эйлер оставил пост президента физико-математического класса Берлинской академии и переехал в С.-Петербург. Даламбер предложил кандидатуру Лагранжа, Эйлер горячо ее поддержал, и 6-го ноября 1766 года Лагранж переехал в Берлин, где и пробыл до 1787 г. Сборники Берлинской академии в этот период обогатились делым рядом блестящих работ Јагранжа как по математике, так и цо общей и небесной механике. Именно к этому времени относятся его знаменитое решение задачи Кещлера (ряд Лагранжа), исследования по вопросу о вращении твердого тела вокруг неподвижного центра, рещение задачи о притяжении эллиптического сфероида, создание основ теории возмущений и многие другие.
К этому же периоду относится и создание знаменитой Mécanique Analytique», перевод первого тома которой здесь дается. Исходя из основного принципа возможных скоростей, которому Лагранж дал новое доказательство, и пользуясь разработанными им же вариационными методами, Јагранж строит здесь впервые полную систему аналитической механики. В этом классическом труде сосредоточено такое количество фундаментальных идей и блестящих методов, до такой цредельной ясности доведено изложение основных законов механики, что и до сих пор эта книга не потеряла своей свежести и может быть использована как классический трактат по аналитической механике. Здесь вперные появляется пдея обобщенных координат; лагранжев метод рассмотрения жидкости, как материальной системы, характеризуемой большой подвияностью частиц, уничтожил различие между механикой жидкости и механикой твердого тела, так что общие принципы механики могли быть распространены на гидростатику и гидродинамику. Механика у Јагранжа стала общей наукой о движении материальных систем; Лагранж показал, что газ, жидкость, упругое тело в своих движениях подчиняются уравнениям, которые могут быть выведены из общих принципов.
Применение чисто аналитических методов (без единого чертежа) показало, что механика может получить значительное развитие при пользовании анализом.
Элегантность и внутреннян гармоничность методов «Аналитической механики\” вполне оправдывает мнение В. Гамильтона, называвшего эту книгу «научной поэмой» (a kind of scientific роет). Лагранж решил издать свою \”Аналитическую механику\” на французском языке в Париже. Несмотря на ряд затруднений, она в конце концов вышла в 1788 году. Третье издание а четвертое было додолнено. примечаниями $\Gamma$. Дарбу.
В 1786 году умер прусский король Фридрих Великий и «просвещенный абсолютизм» сменился мрачным царствованием Фридриха-Вильгельма II. В связи с изменившимся отношением к ученым и Академии Лагранж решил вернуться во Франдию, где он в течение предыдущих 15 лет числился иностранным членом Академип. Переезд во Франдию пройзошел в 1788 году. После революции Лагранж был назначен председателем комиссии по установлению новой (метрической) системы мер и весов и много сдөлал для введения этой системы. Учредительное собрание специальным декретом назначило ему пенсию. После издания декрета Конвента о высылке из Франции лиц иностранного происхождения, Лагранж уже готовился принять новое прусское предложение, но Конвент для него сделал исключение и просил его остаться. Создание Нормальной школы (École Normale) и Политехнической школы (École Polytechnique) заставило Лагранжа оставить мысль об отъезде и обратиться к работе по развитию этих высших школ.
Происшедшие затем смены власти не отразились на отношении к Јагранжу. До конца своих дней великий ученый пользовался большим авторитетом. Умер Лагранж в 1813 году. Останки өго покоятся в Пантеоне.
Полное собрание сочинений Лагранжа издано в 14 томах в период с 1866 по 1892 год. Нет такой области математического анализа, геометрии, механики, которую Јагранж не двинул бы далеко вперед. Им почти целиком создана сферическая тригонометрия, результаты его исследований по теории чисел, по алгебре, дифференциальному и интегральному исчислениям переполняют существующие монографии и курсы, и, наконец, его работами было фактически определено все дальнейшее развитие механики XIX века. Такие великие математики, как его современники Пуассон, Лаплас, а в дальнейшем Остроградский, Якоби и др., развивали методы Лагранжа. И в настоящее время, когда читаешь «Аналитическую механику\”, то не можешь оторваться от мысли, что современные курсы механики (например, курс Апшеля) в большей своей части пересказывают и комментируют әту классическую работу.
Перевод «Аналитической механики» Лагранжа вызвал значительные трудности, и ответственность за этот перевод крайне велика. Переводчик и редакторы старались как можно точнее придерживаться оригинала и сохранять терминологию Лагранжа, хотя в настояцее время она уже значительно изменилась.
Незначительные комментарии редакторов перевода стремнтся облегчить нашему советскому читателю понимание наиболее сложных мест книги и дать некоторые дополнения к исчерпывающим комментариям Бертрана и Дарбу к последнему французскому изданию \”Mécanique Analytique», с которого сделан настоящий перевод на русский язык.
$\left[{ }^{2}\right]$ (к стр. 18). Имеется русский перевод: Галилоо Гали лей, Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся $k$ механике и местному движению; перевод под ред. А. Н. Долгова, Москва-Јенинград, 1934. По излагаемому здесь вопросу см. стр. 220.
[] (к стр. 31). Под силой бросания (force de projection) Лагранж, очевидно, подразумевает начальный импульс.
[4] (к стр. 32). Под относительной тяжестью (la gravité relative) подразумевается составляющая сила веса вдоль наклонной плоскости.
[5] (к стр. 39). Это определение, конечно, не является строгим. Под виртуальной скоростью или перемещением следует понимать скорости или перемещения, совместимые со связями. Лагранж суживает определение, понимая под виртуальным перемещением или скоростью одно из действительных перемещений или скоростей, а именно то, которое произойдет при нарушении условий равновесия.
[6] (к стр. 42). Интересно отметить, что ни здесь, ни в дальнейшем не применяется термин работа. Лагранж для произведения силы на проекцию перемещения на направлении силы употребляет термин Галилея – момент. Термин работа появился в начале XIX века (в 1826) в сочинениях по прикладной механике (Poncelet, Prony, Dupin и др.).
Кулон говорил количество действия, Карно- механическал мошность, динамический эффект и пр. См. по этому поводу L. Zoretti, Les principes de la méchanique classique, Paris, 1928.
[?] (к стр. 43). Весьма ясное изложение лагранжева доказательства принципа возможных перемещений дано в известной книге В. Л. Кирпичева, Беседы о механике, Москва-Ленинград, 1933, стр. 15.
[8] (к стр. 48). Лагранж везде вместо термина отрезок употребляет термин линия.
[9] (к стр. 55). Особенность изложения Лагранжа состоит в том, что он, вводя классификацию сил на внешние и внутренние, при определении работ внутренних сил всегда в качестве әлемента рассматривает сумму работ действия и противодействия, особо отмечая взаимное перемещение взаймодействующих точек.
[10] (к стр. 65). В этом пункте Лагранж, говоря о неуравновешенной системе тел, противоцоставляет непосредственно приложенные силы (заданные по современной терминологии) и взаимодействия тел, т. е., повидимому, реакции идеальных связей. Последняя фраза Лагранжа должна быть, по нашему мнению, понята в том смысле, что при нарушении равновесия система придет в движение, определяемое как действующими силами, так и связями, существующими в системе.
[i1] (к стр. 95). Чтобы избежать недоразумений, укажем, что II является у Лагранжа потендиальной энергией (по современной терминологии), а не силовой функцией. То, что сумма \”моментов» оказывается равной $d \Pi$, а не $-d \Pi$, объясняется тем, что по Лагранжу $d p$ представляет уменьиение расстояния точки приложения силы до центра, куда сила направлена.
[12] (к стр. 97). Напомним читателю, что если первая часть теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия была впоследствии строго доказана Лежен-Дирихле, то вторая, заключающая утверждение о неустойчивости равновесия при максимуме потенциальной энергии $\Pi$, с почти исчерпывающей полнотой доказана А. М. Ляпуновым. См. его мемуар «O неустойчивости равновесин в некоторых случаях, когда функция сил не есть максимум, воспроизведенный в книге \”Общая задача об устойчивости движения\”, Москва – Јенинград, 1935, стр. 357.
[13] (к стр. 101). Недостатком доказательства Лагранжа является предположение о разложимости величины .І в ряд по степеням координат, что является, вообще говоря, стеснительным ограничением. Доказательство, данное Дирихле, не имеет этого недостатка.
[14] (к стр. 101). Указание Лагранжа на возможность обобщения его метода доказательства на случай равенства нулю всех вторых и третьих производных вызывает серьезное сомнение, так как сама возможность приведения формы 4-й, степени к каноническому виду не исследована.
[15] (к стр. 130). Здесь уравнение сохранения массы $\mathrm{dm}$ при движении трактуется, как условное уравнение, что и позволяет Лагранжу писать в согласии с предыдущими обозначениями $\delta L=\delta d m$.
[18] (к стр. 199). Под $F$ Лагранж здесь понимает силу упругости, отнесенвую к единице длины кривой на поверхности. Если выбрать на данной поверхности элементарную площадку произвольной формы, то работа силы натяжения $\boldsymbol{F} d s$ на перемещении $\delta n$ будет равна $\boldsymbol{F} d s \delta n$, т. е. $F \delta \sigma$, где под бо понимается вариация элементарной площади; таким образом и получается формула в тексте.
[17] (к стр. 203). Это замечание ЈІагранжа объисняется тем, что интеграл последнего уравнения (равновесия мембраны) может быть выражен через функцию от комплексного переменного. В наше время метод комплексных переменных дал столь большое число решений прикладных задач, что примечание Лагранжа о «малой пригодности для применения» этого метода покажется современному читателю анахронизмом. [18] (к стр. 233). План построения статики твердого тела (деформируемого и недеформируемого) в аналитической механике Лагранжа следующии: в отделе третьем Лагранж дает общее уравнение равновесия любой системы материальных точек, показывая, что необходимыми условиями равновесия являются условия равенства нулю сумм проекций сил и сумм моментов сил относительно координатных осей. Хотя это нигде не оговорено, но, повидимому, в третьем отделе речь идет о свободной спстеме. В четвертом отделе Лагранж рассматривает системы, подчиненные связям (условным уравнениям), и вводит для решения задачи метод множителей, носящий и ныне его имя. Таким путем он может уже подойти к связанным системам и, в частности, к вопросам равновесия упругих тел (пятый отдел). В этом порядке идей сложность задачи оказывается возрастающей вместе с числом налагаемых связей, так что абсолютно твердое тело оказывается наиболее сложным случаем, рассмотрение которого отложено на самый конец отдела V. Интересно отметить, что рассмотрению твердого тела предпосылается случай равновесия жесткой нити заданной формы (двоякой кривизны), т. е. линейного многообразия, подчиненного условиям нерастяжимости, неизгибаемости и нөзакручиваемости. Эти условия и служат условиями связи. Лагранж, прекрасно понимая, что здесь рассматривается весьма частный случай твердого тела, считает интересным рассмотреть әту задачу, чтобы показать плодотворность и единообразие своих методов.
[19] (к стр. 257). Интересно отметить, что здесь дана теория перемещений сплошной среды (формулы для относительных удлинений и сдвигов), обычно приписываемая Коши (см., например, Ляв, Математическая теория упругости, стр. 22, Москва – Ленинград; 1936).
$\left[{ }^{20}\right]$ (к стр. 259). По существу говоря, здесь выведена формула, называемая обычно формулой Гаусса-Остроградского.
[21] (к стр. 293). Следуя подлиннику, мы сохраняем здесь термин «принцип силы инерции\”, хотя следовало бы но современной терминологии сказать просто џринцип инерции».
[22] (к стр. 301). Понять это место текста чрезвычайно трудно. Неясность в определении силы имеет своим следствием то, что одна и та же величина называется разными терминами, сообразно тому, какая сторона явления рассматривается. Повидимому, Јагранж хочет выразить следующую мысль: тело, имеющее некоторое количество движения, может сообщить другому телу импульс, называемый здесь давлением (pression); этот же импульс поп видом «движущей силы» (force motrice), по мнению Лагранжа, может сообщить покоящемуся телу ту скорость, с которой оно ударилось о второе тело. $\left[{ }^{28}\right]$ (к стр. 310). Прием изменения направления движущих сил на противоположное и утверждение, что эти силы должны находиться в равновесии с приложенными силами, составляет, как известно, содержание принципа Даламбера в том модернизированном виде, который придали ему в первой четверти XIX века творцы прикладной механики. Силы, равные по величине движущим силам и направленные в противоположную сторону, теперь носят название сил инерции.
[24] (к стр. 312). Интересно еще раз подчеркнуть, что в этой формулировке Даламбера, в отличие от современных формулировок, принцип не содержит термина сила инерции. Даже наоборот, Даламбер, несомненно знавший работы Якова Бернулли и эрмана, не считает необходимым связывать формулировку столь общего принципа с частным приемом изменения направления движущих сил на противоположное.
$\left[{ }^{25}\right]$ (к стр. 366). В настоящее время для разыскания главных осей инерции применяется метод определения осей симметрии эллипсоида инердии (Пуансо). Очевидно, что кубическое уравнение, применяемое Лагранжем в пункте 25 , соответствует кубическому уравнению, применяемому при приведении квадратичной формы к каноническому виду.
[26] (к стр. 372). В формулировке теоремы живых сил в относительном движении по отношению к центру тяжести, приведенной Јагранжем, нужно иметь в виду, что работа (момент, шо терминологии Јагранжа) сил вычисляетея на перемещениях, взятых относительно центра тяжести. Кстати отметим, что преобразование выражения живой силы, приведенное в начале этого пункта, известно в курсах механики под именем теоремы Кенига.
[27] (к стр. 401). Эти уравнения называются обычно у нас лагранжевыми уравнениями второео рода, тогда как уравнениями Јагранжа первого рода называются уравнения с неопределенными множителями. Происхождение такого порядка наименования уравнений, повидимому, объясняется тем, что уравнениями с неопределенными множителями Лагранж цользуется уже в статике.
$\left[{ }^{28}\right]$ (к стр. 406). Такие координаты впоследствии получили наименование циклических (Гельмгольц).
$\left[{ }^{29}\right]$ (к стр. 453). Лагранж не дает доказательства вещественности и положительности корней уравнения, определяющего квадраты частот. Доказательство вещественности их приведено в заключительной заметке Дарбу в конце настояцего тома. Что касается положительности корней, то она вытекает из известной теоремы Сильвестра, в предположении, что обе квадратичные формы $T$ и $V$ – определенные и положительные. См. по этому поводу, например, Уиттекер, Аналитическая динамика, Москва-Јенинград, стр. 206 или Лойцянский Л. Г. и Л урье А. И., Теоретическая механика, Москва-Јенинград, 1934 г., том III, стр. 490 . Утверждение Лагранжа о том, что в случае равных корней уравнения частот интегралы уравнений движения будут содержать время вне тригонометрических функций, как известно, опровергнуто академиком О. И. Сомовым в мемуаре «Sur l’équation algebrique à l’aide de laquelle on dètermine les oscillations trés petites d’un système de points materiels» (Mémoires de l’Académie des Sciences de St.-Petersbourg, серия VII, т. I, №14, 1859, стр. 30). Этот же вопрос рассмотрел К. Вейерштрасс (Monatsberichte der Akademie der Wissenschaften zu Berlin, 1858, стр. 207-220).
[30] (к стр. 454). В этом абзаце рассуждение основывается на неверном предположении, что интегралы уравнений малых колебаний системы около положения устойчивого равновесия могут содержать вековые члены. См. предыдущее примечание. [31] (к стр. 456). Рассуждение этого абзаца ясно показывает, что Лагранж не сомневался в невозможности существования вековых членов в интегралах уравнений свободных колебаний, но не имел строгого доказательства этого положенця.
[32] (к стр. 457). Повидимому, здесь имеются в виду веустойтивые системы, равновесие которых по отношению к части координат устойчиво, к другой части неустойчиво; например, тяжелое тело вблизи вершины седлообразной поверхности.
