1. Достаточно развернуть ту формулу, к которой мы свели во втором отделе всю теорию динамики, чтобы получить все уравнения, необходимые для решения любой задачи в данной отрасли знания, в чем бы она ни заключалась; но это применение формулы, представляющее собою чисто вычислительную операцию, может быть в некоторых отношениях еще упрощено с помощью тех приемов, которые мы применим в настоящем отделе.

Так как все дело сводится к тому, чтобы свести различные переменные, входящие в состав указанной формулы, к возможно меньшему числу, пользуясь условными уравнениями, заданными природой каждой задачи, то одна из главнейших операций заключается в том, чтобы вместо заданных переменных подставить функции других переменных. Эта цель может быть всегда легко достигнута с помощью обычных методов; но по отношению к рассматриваемой формуле существует особый прием выполнения этой операции, имеющий то преимущество, что он всегда непосредственно приводит к наиболее простым преобразованиям.
2. Упомянутая формула состоит из двух частей, которые должны быть рассмотрены отдельно.

Первая часть содержит члены
\[
\mathbf{S} m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z\right),
\]

которые происходят исключительно только от сил, являющихся следствием инерции тел.
Вторая часть состоит из членов
\[
\mathbf{S} m(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots),
\]

происходящих от ускоряющих сил $P, Q, R, \ldots$, которые согласно допущению действуют на каждое тело по направлению линий $p, q, r, \ldots$ и которые стремятся сократить эти линии. Сумма этих двух величин, будучи приравнена нулю, и дает общую формулу динамики (отд. II, п. 5).
3. Рассмотрим сначала величину
\[
d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{9} z \delta z
\]

ясно, что если к ней прибавить величину
\[
d x d \delta x+d y d \delta y+d z d \delta z,
\]

то сумму можно будет проинтегрировать, и мы получим в качестве интеграла
\[
d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z .
\]

Отсюда следует
$d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z=$
\[
=d(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z)-d x d \delta x-d y d \delta y-d z d \delta z .
\]

Но так как согласно известным принципам двойной знак $d \delta$ эквивалентен знаку $\delta d$, то величина $d x d \delta x+d y d \delta y+d z d \delta z$ может быть приведена к следующему виду:
\[
d x \delta d x+d y \delta d y+d z \delta d z,
\]
т. е. $\kappa \frac{1}{2} \delta\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right)$. Таким образом мы получим следующее преобразование
\[
\begin{array}{l}
d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z= \\
\quad=d(d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z)–\frac{1}{2} \delta\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right),
\end{array}
\]

из которого видно, что для вычисления интересующей нас величины
\[
d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z
\]

достаточно вычислить нижеследующие две величины, содержащие только первые дифференциалы
\[
d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z, \quad d x^{2}+d y^{2}+d z^{2},
\]

и затем одну из них продифференцировать в смысле символа $d$, а другую-в смысле символа $\delta$.
4. Итак, предположим, что речь идет о том, чтобы вместо переменных $x, y, z$ подставить заданные функции других переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$; продифференцировав эти функции, мы получим выражения следующего вида:
\[
\begin{array}{l}
d x=A d \xi+B d \psi+C d \varphi+\ldots, \\
d y=A^{\prime} d \xi+B^{\prime} d \psi+C^{\prime} d \varphi+\ldots, \\
d z=A^{n} d \xi+B^{n} d \psi_{1}^{\prime}+C^{n} d \varphi+\ldots,
\end{array}
\]

в которых $A, A^{\prime}, A^{\prime \prime}, B, B^{\prime}, \ldots$ будут известными функциями тех же переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$; аналогичным образом будут выражены значения $\delta x, \delta y, \delta z$ с заменой лишь символа $d$ символом $\delta$.

Если произвести указанные подстановки в выражении $d x \delta x+d y \delta y+d z \delta z$, то оно примет следующий вид:
\[
F d \xi \delta \xi+G(d \xi \delta \psi+d \psi \delta \xi)+H d \psi \delta \psi+I(d \xi \delta \varphi+d \varphi \delta \xi)+\ldots,
\]

где $F, G, H, I, \ldots$ будут конечными функциями , $\psi, \varphi, \ldots$

Следовательно, если заменить символ $\delta$ символом $d$, то мы получим также значение
\[
d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}
\]

которое будет равно
\[
F d \xi^{2}+2 G d \xi d \psi+H d \psi^{2}+2 I d \xi d \varphi+\ldots
\]

Если первую из этих двух величин продифференцировать в смысле символа $d$, то мы получим дифференциал
\[
\begin{array}{l}
d(F d \xi) \delta \xi+F d \xi \delta \xi+d(G d \xi) \delta \psi+d(G d \psi) d \xi+ \\
+G d \xi d \delta \psi+G d \psi d \delta \xi+d(H d \psi) \delta \psi+H d \psi d \delta \psi+\ldots ;
\end{array}
\]

если затем вторую величину продифференцировать в смысле символа $\delta$, то получим
\[
\begin{aligned}
\delta F d \xi^{2}+ & 2 F d \xi \delta d \xi+2 \delta G d \xi d \psi+2 G d \psi \delta d \xi+ \\
& +2 G d \xi \delta d \psi+\delta H d \psi^{2}+2 H d \psi \delta d \psi+\ldots
\end{aligned}
\]

Если половину последнего дифференциала вычесть из первого и принять при этом во внимание, что $d \delta$ и $\delta d$ представляют собою одно и то же, то мы найдем
\[
\begin{array}{l}
d(F d \xi) \delta \xi-\frac{1}{2} \delta F d \xi^{2}+d(G d \xi) \delta \psi+d(G d \psi) \delta \xi- \\
-\delta G d \xi d \psi+d(H d \psi) \delta \psi-\frac{1}{2} \delta H d \psi^{2}+\ldots
\end{array}
\]

в качестве преобразованного значения величины
\[
d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z .
\]

Но ясно, что это значение может быть рыведено непосредственно из последнего дифференциала, если все члены последнего разделить на 2 , изменить знаки тех членов, которые совершенно не содержат двойного символа $\delta d$, а в других членах опустить знак $d$ после $\delta$, применив его к величинам, которые умножаются на двойные дифференциалы, обозначенные символом $\delta d$. Таким образом член $\delta F d \xi^{2}$ даст $-\frac{1}{2} \delta F d \xi^{2}$, член $2 F d \xi \delta d \xi$ даст $d(F d \xi) \delta \xi$, член $2 \delta G d \xi d \psi$ даст – $\delta G d \xi d \psi$, член $2 G d \psi \delta d \xi$ даст $d(G d \psi) \delta \xi$ и т. д.
5. Из сказанного следует, что если мы обозначим через Ф функцию $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ и $d \xi, d \psi, d \varphi, \ldots$, в которую преобразуется выражение
\[
\frac{1}{2}\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right),
\]

если подставить значения $x, y, z$, выраженные в функции $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, то мы вообще получим следующее преобразованное выражение:
\[
\begin{array}{r}
d^{2} x \delta x+d^{2} y \delta y+d^{2} z \delta z=\left(-\frac{\delta \Phi}{\delta \xi}+d \frac{\delta \Phi}{\delta d \xi}\right) \delta \xi+ \\
+\left(-\frac{\delta \Phi}{\delta \psi}+d \frac{\delta \Phi}{\delta d \psi}\right) \delta \psi+\left(-\frac{\delta \Phi}{\delta \varphi}+d \frac{\delta \Phi}{\delta d \varphi}\right) \delta \varphi+\ldots,
\end{array}
\]

если, как это обычно принято, обозначить через $\frac{\delta \Phi}{\delta \xi}$ коәффициент $\delta \xi$ в дифференциале $\delta \Phi$, через $\frac{\delta \Phi}{\delta d \xi}$ коэффициент $\delta d \xi$ в том же дифференциале и т. д.
6. То, что мы нашли выше, пользуясь искусственным приемом, могло бы быть выведено более просто и более общо с помощью принципов вариационного метода.

В самом деле, пусть Ф является какой-либо функцией $x, y, z, \ldots, d x, d y, d z, \ldots, d^{2} x, d^{2} y, d^{2} z, \ldots$, которая после подстановки значений $x, y, z, \ldots$, выраженных через $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, становится функцией $\xi, \psi, \varphi, \ldots, d \xi, d \psi, d \varphi, \ldots, d^{2} \xi, \lambda^{2} \psi, d^{2} \varphi, \ldots ;$ если произвести дифференцирование в смысле символа $\delta$, то мы получим следующее тождество:
\[
\begin{aligned}
\delta \Phi & =\frac{\delta \Phi}{\delta x} \delta x+\frac{\delta \Phi}{\delta d x} \delta d x+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} x} \delta d^{2} x+\ldots+ \\
& +\frac{\delta \Phi}{\delta y} \delta y+\frac{\delta \Phi}{\delta d y} \delta d y+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} y} \delta d^{2} y+\ldots+ \\
& +\frac{\delta \Phi}{\delta z} \delta z+\frac{\delta \Phi}{\delta d z} \delta d z+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} z} \delta d^{2} z+\ldots+
\end{aligned}
\]

\[
\begin{array}{l}
+\ldots \ldots \ldots \ldots \\
=\frac{\delta \Phi}{\delta \xi} \delta \xi+\frac{\delta \Phi}{\delta \psi} \delta \psi+\frac{\delta \Phi}{\delta \varphi} \delta \varphi+\ldots+ \\
+\frac{\delta \Phi}{\delta d \xi} \delta d \xi+\frac{\delta \Phi}{\delta d \psi} \delta d \psi+\frac{\delta \Phi}{\delta d \varphi} \delta d \varphi+\ldots+ \\
+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \xi} \delta d^{2} \xi+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \psi} \delta d^{2} \psi+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \varphi} \delta d^{2} \varphi+\ldots+ \\
+\ldots \ldots \ldots \ldots
\end{array}
\]

Если двойные символы $\delta d, \delta d^{2}, \ldots$ заменить эквивалентными им символами $d \delta, d^{2} \delta, \ldots$, затем проинтегрировать по отношению к символу $d$ и путем интегрирования по частям устранить все двойные символы $d \delta, d^{2} \delta, \ldots$ под знаком интеграла $\int$, относящегося к знаку дифференциала $d$, то мы получим уравнение следующего вида:
\[
\begin{array}{l}
\int(A \delta x+B \delta y+C \delta z+\ldots)+Z= \\
=\int\left(A^{\prime} \delta \xi+B^{\prime} \delta \psi+C^{\prime} \delta \varphi+\ldots\right)+Z^{\prime},
\end{array}
\]

в котором
\[
\begin{array}{l}
A=\frac{\delta \Phi}{\delta x}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d x}+d^{2} \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} x}-\ldots, \\
B=\frac{\delta \Phi}{\delta y}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d y}+d^{2} \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} y}-\ldots, \\
C=\frac{\delta \Phi}{\delta z}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d z}+d^{2} \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} z}-\ldots, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
A^{\prime}=\frac{\delta \Phi}{\delta \xi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d \xi}+d^{2} \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \xi}-\ldots, \\
B^{\prime}=\frac{\delta \Phi}{\delta \Phi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d \Phi}+d^{2} \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \psi}-\ldots, \\
C^{\prime}=\frac{\delta \Phi}{\delta \varphi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d \phi}+d^{2} \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \varphi}-\ldots, \\
\text {. . . . .. . . . . . . . . . . . ; } \\
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
Z & =\left(\frac{\delta \Phi}{\delta a x}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d^{3} x}+\ldots\right) \delta x+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} x} d \delta x+\ldots+ \\
& +\left(\frac{\delta \Phi}{\delta d y}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} y}+\ldots\right) \delta y+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} y} d \delta y+\ldots+ \\
& +\left(\frac{\delta \Phi}{\delta d z}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} z}+\ldots\right) \delta z+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} z} d \delta z+\ldots+ \\
& \cdots \cdots \ldots . \ldots \ldots \\
Z^{\prime} & =\left(\frac{\delta \Phi}{\delta d \xi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \xi}+\ldots\right) \delta \xi+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \xi} d \delta \xi+\ldots+ \\
& +\left(\frac{\delta \Phi}{\delta d \psi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \psi}+\ldots\right) \delta \psi+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \psi} d \delta \psi+\ldots+ \\
& +\left(\frac{\delta \Phi}{\delta d \varphi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \varphi}+\ldots\right) \delta \varphi+\frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} \varphi} d \delta \varphi+\ldots+ \\
& \ldots \ldots \ldots \ldots+\ldots \ldots
\end{aligned}
\]

Таким образом, продифференцировав еще раз и произведя перестановку, мы получим следующее уравнение:
\[
\begin{array}{rl}
A \delta x & B \delta y+C \delta z+\ldots- \\
& -A^{\prime} \delta \xi-B^{\prime} \delta \psi-C^{\prime} \delta \varphi-\ldots=d Z^{\prime}-d Z,
\end{array}
\]

которое должно удовлетворяться и должно иметь силу, каковы бы ни были вариации, или дифференциалы, обозначенные буквой $\delta$.

Так как вторая часть приведенного уравнения представляет собою полный дифференциал по отношению к символу $d$, то, значит, и первая часть его тоже должна быть полным дифференциалом по отношению к тому же символу и независимо от символа $\delta$; но это невозможно, так как чдены первой части содержат просто вариации $\delta x, \delta y, \delta z, \ldots, \delta \xi, \delta \psi, \delta \varphi, \ldots$ и совершенно не содержат дифференциалов этих вариаций.

Отсюда следует, что для возможности существования указанного уравнения необходимо, чтобы обе части были порознь равны нулю, что дает нам два следующих тождественных равенства:
\[
\begin{array}{l}
A \delta x+B \delta y+C \delta z+\ldots= \\
\quad=A^{\prime} \delta \xi+B^{\prime} \delta \psi+C^{\prime} \delta \varphi+\ldots, \quad d Z=d Z^{\prime},
\end{array}
\]

которые могут оказаться полезными в различных случаях.
Пусть, например,
\[
\Phi=\frac{1}{2}\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right) ;
\]

тогда мы имеем
\[
\frac{\delta \Phi}{\delta x}=0, \quad \frac{\delta \Phi}{\delta d x}=d x, \quad \frac{\delta \Phi}{\delta d^{2} x}=0, \ldots
\]

и совершенно так же для остальных подобных величин; следовательно,
\[
A=-d^{2} x, \quad B=-d^{2} y, \quad C=-d^{2} z .
\]

Дальше, так как $\Phi$ содержит в себе только дифференциалы первого порядка, то мы имеем просто
\[
\begin{array}{l}
A^{\prime}=\frac{\delta \Phi}{\delta \xi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d \xi}, \\
B^{\prime}=\frac{\delta \Phi}{\delta \psi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d \psi}, \\
C^{\prime}=\frac{\delta \Phi}{\delta \varphi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d \varphi} \\
. . . . . . .
\end{array}
\]

Таким образом мы получаем тождественное равенство
\[
\begin{aligned}
-d^{2} x \delta x- & d^{2} y \delta y-d^{2} z \delta z=\left(\frac{\delta \Phi}{\delta \xi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d \xi}\right) \delta \xi+ \\
& +\left(\frac{\delta \Phi}{\delta \psi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d \psi}\right) \delta \psi+\left(\frac{\delta \Phi}{\delta \varphi}-d \frac{\delta \Phi}{\delta d \Phi}\right) \delta \varphi+\ldots,
\end{aligned}
\]

которое совпадәет с равенством, приведенным в пункте 5 .
7. Отсюда следует, что для получения значения величины
\[
\mathbf{S} m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} \delta x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} \delta y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} \delta z\right)
\]

в функции $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, достаточно найти значение величины
\[
\frac{1}{2} \mathbf{S} m\left(\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}\right)
\]

в функции $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ и их дифференциалов, ибо если эту функцию назвать $T$, то мы тотчас же получим преобразованное выражение
\[
\left(d \frac{\delta T}{\delta d \xi}-\frac{\delta T}{\delta \xi}\right) \delta \xi+\left(d \frac{\delta T}{\delta d \psi}-\frac{\delta T}{\delta \psi}\right) \delta \psi+\left(d \frac{\delta T}{\delta d \varphi}-\frac{\delta T}{\delta \varphi}\right) \delta \varphi+\ldots
\]

Это преобразование будет всегда иметь силу, если даже среди новых переменных будет находиться время $t$, при условии только, что мы будем его рассматривать как постоянную величину, т. е. что мы будем принимать $\delta t=0$.

Дальше легко видеть, что подобное же преобразование будет иметь место и в том случае, когда вариации $\delta \xi, \delta \psi, \delta \varphi, \ldots$ не будут полными дифференциалами, если только они выражают неопределенные величины и вариация $\delta T$ имеет следующий вид:
\[
\delta T=\frac{\delta T}{\delta \xi} \delta \xi+\frac{\delta T}{d \delta \xi} \quad \xi+\frac{\delta T}{\delta \psi} \delta \psi+\frac{\delta T}{d \delta \psi} d \delta \psi+\ldots,
\]

каковы бы ни были вообще коәффициенты
\[
\frac{\delta T}{\delta \xi}, \quad \frac{\delta T}{d \delta \xi}, \quad \frac{\delta T}{\delta \psi}, \ldots
\]
8. Наконец, следует отметить, что если выражение $T$ содержит член $d A$, являющийся полным дифференциалом функции $A$, в которую одна из переменных, например $\xi$, входит только в конечном виде, то этот член не внесет ничего в приведенное выше преобразованное выражение по отношению к указанной переменной. В самом деле, если положить
\[
T=d A=\frac{\partial A}{\partial \xi} d \xi+\frac{\partial A}{\partial \psi} d \psi+\ldots,
\]

то мы получим
\[
\begin{aligned}
\frac{\delta T}{\delta d \xi} & =\frac{\partial A}{\partial \xi}, \\
\frac{\delta T}{\delta \xi}=\frac{\delta \frac{\partial A}{\partial \xi}}{\delta \xi} \delta \xi+\frac{\delta \frac{\partial A}{\partial \psi}}{\delta \xi} d \psi+\ldots & =\frac{\partial^{2} A}{\partial \xi^{2}} d \xi+\frac{\partial^{2} A}{\partial \xi \partial \psi} d \psi+\ldots= \\
& =d \frac{\partial A}{\partial \xi} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, $d \frac{\delta T}{\delta d \xi}-\frac{\delta T}{\delta \xi}$, представляющее собою коәффициент $\delta \xi$, примет следующее значение:
\[
d \frac{\partial A}{\partial \xi}-d \frac{\partial A}{\partial \xi}=0 \text {. }
\]

Отсюда, далее, следует, что если выражение для $T$ содержит член вида $B d A$, где $A$ является функцией $\xi, \psi, \ldots$, без $d \xi$, а $B$ – какой-либо функцией без $\xi$, то этот член по отношению $к$ вариации $\xi$ даст просто член $\frac{\delta A}{\delta \xi} d B$.

В самом деле, если написать член $B d A$ в виде $d(B A)-A d B$, то прежде всего можно убедиться, что член $d(B A)$ не дает ничего по отношению к вариации $\xi$, так как $A B$ содержит $\xi$, но не содержит $d \xi$; далее, так каю $d B$ не содержит в себе ни $\xi$ ни $d \xi$, а $A$ содержит $\xi$, но не содержит $d \xi$, то ясно, что если положить $T=-A d B$, мы получим
\[
\frac{\delta T}{\delta d \xi}=0 \quad \text { и } \quad \frac{\delta T}{\delta \xi}=-\frac{\delta A}{\delta \xi} d B,
\]

так что коэффициент при $\delta \xi$ сведется к $\frac{\delta A}{\delta \xi} d B$.
9. Что касается величины $P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots$, то ее всегда легко свести к функции $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, так как при әтом дело сводится лишь к тому, чтобы преобразовать отдельно выражения для расстояний $p, q, r, \ldots$ и сил $P, Q, R, \ldots$ Но это преобразование становится еще более легким, когда силы таковы, что сумма моментов, т. е. величина
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots
\]

оказывается интегрируемой, что, как мы уже отметили, всегда имеет место в природе.

Действительно, если, как в II. 34 отдела III, положить
\[
d \Pi=P d p+Q d q+R d r+\ldots,
\]

го мы получим $\Pi$, выраженное в виде конечной функции $p, q, r, \ldots$; следовательно, мы будем иметь
\[
\delta \mathrm{II}=P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots
\]

Умножив на $m$ и взяв сумму для всех тел системы, мы получим
\[
\mathbf{S} m(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots)=\mathbf{S} m \delta \Pi=\delta \mathbf{S} m \Pi,
\]

ибо знак $\mathbf{S}$ не зависит от знака $\delta$.
Таким образом достаточно определить значение величины $\mathbf{S} m \Pi$ в функции $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, а это требует лишь подстановки значений $x, y, z, \ldots$, выраженных через $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, в выражения для $p, q, r, \ldots$ (Статика, отд. II, п. I); если это значение $\mathbf{S}$ П обозначить через $V$, то мы тотчас же получим
\[
\delta V=\frac{\partial V}{\partial \xi} \delta \xi+\frac{\partial V}{\partial \psi} \delta \psi+\frac{\partial V}{\partial \varphi} \delta \varphi+\ldots
\]
10. Указанным путем общая формула динамики (п. 2) преобразуется к следующему виду:

где
\[
\Xi \delta \xi+\Psi \delta \psi+\Phi \delta \varphi+\ldots=0,
\]
\[
\begin{array}{l}
\Xi=d \frac{\delta T}{\delta d \xi}-\frac{\delta T}{\delta \xi}+\frac{\delta V}{\delta \xi}, \\
\Psi=d \frac{\delta T}{\delta d \psi}-\frac{\delta T}{\delta \psi}+\frac{\delta V}{\delta \psi}, \\
\Phi=d \frac{\delta 7}{\delta d \varphi}-\frac{\delta T}{\delta \varphi}+\frac{\delta V}{\delta \varphi}, \\
\ldots . . . . . \ldots
\end{array}
\]

если положить
\[
T=\frac{1}{2} \mathbf{S} m\left(\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}\right), \quad V=\mathbf{S} m \Pi
\]

и
\[
d \Pi=P d p+Q d q+R d r+\ldots
\]

Если два тела $m$ и $m^{\prime}$ системы, рассматриваемые как точки, расстояние между которыми равно $p$, взаимно притягиваются с ускоряющей силой $P$, являющейся функцией $p$, то легко видеть, что момент этой силы выразится через $m m^{\prime} P d p$; тогда к значению $V$ следует прибавить величину $\mathrm{mm}^{\prime} \int P d p$. Совершенно так же надо поступить, если в системе имеются еще другие силы взаимного притяжения.

Вообще, если в системе имеются какие-либо силы $F, G, \ldots$, стремящиеся уменьшить значение величин $f, g, \ldots$, то $F \delta f, G \delta g, \ldots$ будут служить моментами этих сил (Статика, отд. II, п.9); в соответствии с этим, рассматривая $F$ в качестве функции $f, G-$ к качестве функции $g$ и т. д., следует к значению $V$ прибавить столько членов вида $\int F d f, \int G d g, \ldots$, сколько имеется подобных сил.

А если при выборе новых переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ принять во внимание условные уравнения, вытекающие из природы рассматриваемой системы, и выбрать әти переменные таким образом, чтобы они были совершенно независимы друг от друга и, следовательно, чтобы их вариадии $\delta \xi, \delta \psi, \delta \varphi, \ldots$ оставались совершенно неопределенными, то мы тотчас же получим частные уравнения [27]
\[
\Xi=0, \quad \Psi=0, \quad \Phi=0, \ldots,
\]

которые и служат для определения.движения системы; ибо число этих уравнений в точности равно числу переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, от которых зависит положение системы в каждое мгновение.

11. Но хотя разрешение задачи можно всегда довести до указанной стадии, так как все дело сводится к тому, чтобы, пользуясь условными уравнениями, исключить столько переменных, сколько позволяют әти уравнения, и затем в качестве $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ взять оставшиеся переменные, тем ня менее могут встретиться такие случаи, когда әтот путь может оказаться слишком затруднительным и когда во избежание излишнего осложнения расчета может оказаться целесообразным сохранение большего числа переменных. В этих случаях условные уравнения, которые остались еще неудовлетворенными, должны быть использованы для исключения в общей формуле некоторых из вариаций $\delta \xi, \delta \psi, \ldots$; однако вместо действительного исключения можно применить и метод множителей, изложенный в «Статике» (отд. IV).
Пусть
\[
L=0, \quad M=0, \quad N=0, \ldots
\]

рассматриваемые уравнения, сведенные к функциям $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, так что $L, M, N, \ldots$ представляют собою заданные функции әтих переменных. Прибавим к левой части общей формулы (предыдущий пункт) величину
\[
\lambda \delta L+\mu \delta M+
u \delta N+\ldots,
\]

в которой $\lambda, \mu,
u, \ldots$ являются неопределенными коэффициентами; тогда мы можем рассматривать вариации $\delta \xi, \delta \psi, \delta \varphi, \ldots$ как величины независимые и произвольные.
Указанным путем мы получим общее уравнение
\[
\begin{aligned}
\Xi \delta \xi+\Psi \delta \psi+\Phi \delta \varphi+\ldots & +\lambda \delta L+ \\
& +\mu \delta M+
u \delta N+\ldots=0
\end{aligned}
\]

которое должно иметь силу независимо от вариаци $\delta \xi, \delta \psi, \delta \varphi, \ldots$ потому даст нижеследующие частные уравнения движения систөмы:
\[
\begin{array}{l}
\Xi+\lambda \frac{\delta L}{\delta \xi}+\mu \frac{\delta M}{\delta \xi}+
u \frac{\delta N}{\delta \xi}+\ldots=0, \\
\Psi+\lambda \frac{\delta L}{\delta \psi}+\mu \frac{\delta M}{\delta \psi}+
u \frac{\delta N}{\delta \psi}+\ldots=0, \\
\Phi+\lambda \frac{\delta L}{\delta \varphi}+\mu \frac{\delta M}{\delta \varphi}+
u \frac{\delta N}{\delta \varphi}+\ldots=0 . \\
. . . . . . . . . .
\end{array}
\]

Из этих уравнений следует затем исключить неизвестные $\lambda, \mu, v, \ldots$, благодаря чему количество уравнений соответственно уменьшится; но если сюда присоединить условные уравнения, которыө необходимо должны иметь место, то у нас всегда будет столько же уравнений, сколько имеется переменных.
12. Так как эти уравнения могут иметь различные более или менее простые формы и, в частности, более или менее удобные для интегрирования, является небезразличным, в каком виде они представлены с самого начала; пожалуй, одно из главных преимуществ нашего метода заключается в том, что он всегда дает уравнения каждой задачи в наиболее простой форме по отношению к примененным при этом перемөнным и дает нам возможность наперед судить о том, каковы те переменные, пользование которыми может нам максимально облегчить интегрирование. Мы изложим здесь несколько общих положений, касающихся данного вопроса, применение которых мы увидим в дальнейшем при разрешении различных задач.

Из тех же формул, которые мы дали выше, ясно, что дифференциальные члены уравнений движения любой системы тел происходят только от величины $T$, выражающей сумму всех величин $\frac{1}{2} m\left(\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}\right)$ по отношению к различным телам; при этом каждая переменная конөчная величина, например $\xi$, входящая в выражение $T$, даөт член- $\frac{\delta T}{\delta \xi}$, а каждая дифференциальная переменная, например $d \xi$, дает член $d \frac{\delta T}{\delta d \xi}$. Отсюда прежде всего видно, что рассматриваемые члены не могут содержать иных функций переменных, кроме тех, которые входят в состав выражения $T$; следовательно, при применении синусов или косинусов углов, что представляется естественным при разрешении многих задач, может случиться, что әти синусы или косинусы исчезнут из функции $T$; тогда последняя будет содержать в себе только дифференциалы углов и рассматриваемые члены тоже будут содержать только эти же дифференциалы. Таким образом, применяя указанного вида подстановки, можно всегда выиграть с точки зрения простоты уравнений задачи.

Так, например, если вместо двух координат $x, y$ применить радиус-вектор $r$, проведенный из начала тех же координат и образующий с осью $x$ угол $\varphi$, то мы будем иметь
\[
x=r \cos \varphi, \quad y=r \sin \varphi,
\]

а после дифференцирования
\[
d x=\cos \varphi d r-r \sin \varphi d \varphi, \quad d y=\sin \varphi d r+r \cos \varphi d \varphi,
\]

следовательно,
\[
d x^{2}+d y^{2}=d r^{2}+r^{2} d \varphi^{2} ;
\]

это выражение является очень простым, оно не содержит в себе ни синуса, ни косинуса $\varphi$, а лишь дифференциал его $d \varphi$. Тем же путем выражение $d x^{2}+$ $+d y^{2}+d z^{2}$ может быть заменено выражением $r^{2} d \varphi^{2}+$ $+d r^{2}+d z^{2}$.

Вместо $r$ и $z$ можно было бы еще подставить новый радиус-вектор $\rho$ и угол $\psi$, образуемый этим радиусом с $r$, являющимся проекцией $\rho$; это дало бы
\[
r=\rho \cos \psi, \quad z=\rho \sin \psi,
\]

а следовательно,
\[
d r^{2}+d z^{2}=d \rho^{2}+\rho^{2} d \psi^{2} ;
\]

таким образом величина $d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}$ преобразовалась бы в следующую:
\[
\rho^{2}\left(\cos ^{2} \psi d \varphi^{2}+d \psi^{2}\right)+d \rho^{2} .
\]

В данном случае ясно, что $\rho$ будет радиусом, проведенным из начала координат в точку пространства, в которой находится тело $m$, $\psi$ будет углом наклонения этого радиуса к плоскости $x y$, а $\varphi$ будет углом, образуемым проекцией этого радиуса на ту же плоскость с осью $x$; тогда мы будем иметь, қақ в пункте 4 отдела II «Статики»:
\[
x=\rho \cos \psi \cos \varphi, \quad y=\varphi \cos \psi \sin \varphi, \quad z=\rho \cdot \sin \psi .
\]

Наконец, по желанию можно было бы применить и другие подстановки, а в том случае, когда система составлена из многих тел; их можно было бы отнести непосредственно одни к другим, пользуясь относительными координатами; обстоятельства каждой задачи всегда сами укажут наиболее подходящие преобразования. Можно даже, найдя с помощью какой-либо подстановки одно или несколько уравнений задачи, вывести другие уравнения, пользуясь иными подстановками: это даст новое средство для различного выражения этих уравнений и для нахождения наиболее простых и наиболее легко поддающихся интегрированию уравнений.
13. Другие члены рассматриваемых уравнений зависят от ускоряющих сил, которые согласно допущению действуют на тела, и от условных уравнений, существующих между переменными по отношению к положению тел в пространстве.

В том случае, когда силы $P, Q, R, \ldots$ направлены к неподвижным центрам или к телам самой сиетемы и когда они пропорциональны каким-либо функдиям расстояний, как ато имеет место в природе, ведичина

$V$, выражающая сумму
\[
m \int(P d p+Q d q+R d r+\ldots)
\]

для всех тел $m$ системы, будет алгебраической функцией расстояний и для каждой переменной $\xi$, из которых она составлена, даст конечный член вида $\frac{\delta V}{\delta \xi}$.

Аналогично условные уравнения $L=0, M=0, \ldots$. дадут для той же переменной $\xi$ члены $\lambda \frac{\delta L}{\delta \xi}, \mu \frac{\delta M}{\delta \xi}, \ldots$ и так далее. Таким образом надо будет только к значению $V$ прибавить величины $\lambda L, \mu M, \ldots$, рассматривая в дальнейшем величины $\lambda, \mu, \ldots$, при дифференцированиях в смысле $\delta$, как постоянные.

Следовательно, если некоторые из переменных, входящие в состав функции $T$, не входят в $V$, a также в $L, M, \ldots$, то уравнения, относящиеся к этим переменным, будут содержать в себе лишь дифференциальные члены и интегрирование этих уравнений будет очень легко осуществить, особенно если в $T$ эти переменные будут входить только в дифференциальной форме. Последнее будет иметь место, когда в случае тел, тяготеющих к центрам, мы в качестве координат возьмем расстояния от этих центров и углы, описанные вокруг последних [ $\left.{ }^{28}\right]$.
14. Интеграл, который всегда имеөт место, когда силы являются функциями расстояний, а функции $T, V, L, M, \ldots$ не содержат в конечном виде переменной $t$, это – интеграл, который дает принцип сохранения живых сил. Хотя мы уже показали, каким образом этот приндип получается из нашей общей формулы динамики (отд. III, II. 34), тем не менее представляется не бесполезным показать, что частные уравнения, выведенные из этой формулы, всегда дают интегрируемое уравнение, которое является уравнением сохранения мивых скл.

Упомянутые уравнения, рассматриваемые во всей их общности, имеют каждое следующий вид (п. 11):
\[
d \frac{\delta T}{\delta d \xi}-\frac{\delta T}{\delta \xi}+\frac{\delta V}{\delta \xi}+\lambda \frac{\delta L}{\delta \xi}+\mu \frac{\delta M}{\delta \xi}+\ldots=0 ;
\]

если эти уравнения сложить, помножив предварительно на соответствующие дифференциалы $d \xi, d \psi, \ldots$, и если при этом принять во внимание, что согласно допущению величины $V, L, M, \ldots$ являются алгебраическими функциями переменных $\xi, \psi, \ldots$, но не содержат $t$, то ясно, что мы будем иметь уравнение
\[
\begin{array}{r}
\left(d \frac{\delta T}{\delta d \xi}-\frac{\delta T}{\delta \xi}\right) d \xi+\left(d \frac{\delta T}{\delta d \psi}-\frac{\delta T}{\delta \psi}\right) d \psi+\ldots+d V+ \\
+\lambda d L+\mu d M+\ldots=0 ;
\end{array}
\]

но так как согласно условным уравнениям $L=0$, $\boldsymbol{M}=0, \ldots$, то мы будем иметь вообще $d L=0$, $d M=0, \ldots ;$ следовательно, предыдущее уравнение сведется к следующему:
\[
\left(d \frac{\delta T}{\delta d \xi}-\frac{\delta T}{\delta \xi}\right) d \xi+\ldots+d V=0 .
\]

Но мы имеем
\[
d \xi d \frac{\delta T}{\delta d \xi}=d\left(\frac{\delta T}{\delta d \xi} d \xi\right)-\frac{\delta T}{\delta d \xi} d^{2} \xi,
\]

а так как $T$ является алгебраической функцией переменных $\xi, \psi, \ldots$ и их дифференциалов $d \xi, d \psi, \ldots$, но не является функцией $t$, то мы будем иметь
\[
d T=\frac{\delta T}{\delta \xi} d \xi+\frac{\delta T}{\delta d \xi} d^{2} \xi+\frac{\delta T}{\delta \psi} d \psi+\frac{\delta T}{\delta d \psi} d^{2} \psi+\ldots ;
\]

таким образом данное уравнение примет следующий вад:
\[
d\left(\frac{\delta T}{\delta d \xi} d \xi+\frac{\delta T}{\delta d \psi} d \psi+\ldots\right)-d T+d V=0 .
\]

Это уравнение, очевидно, интегрируемо; интегралом его является уравнение
\[
\frac{\delta T}{\delta d \xi} d \xi+\frac{\delta T}{\delta d \psi} d \psi+\ldots-T+V=\text { const. }
\]

Далее, так как
\[
T=\mathbf{S} \frac{1}{2} m\left(\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}\right),
\]

то ясно, что какие бы переменные ни были подставлены вместо $x, y, z$, получающаяся при этом функция будет непременно однородной и двух измерений по отношению к дифференциалам этих переменных; следовательно, согласно известной теореме мы будем иметь
\[
\frac{\delta T}{\delta d \xi} d \xi+\frac{\delta T}{\delta d \psi} d \psi+\ldots=2 T .
\]

Таким образом найденный интеграл будет просто
\[
T+V=\text { const; }
\]

әтот интеграл содержит принцип сохранения живых сил (отд. III, п. 34 ).

Если бы величина $V$ не была алгебраической функцией *), то мы не имели бы $\frac{\delta V}{\delta \xi} d \xi+\ldots=d V$, а если бы величины $T, L, \quad M, \ldots$ содержали переменную $t$, то их дифференциалы $d T, d L, d M, \ldots$ содержали бы и члены $\frac{\delta T}{\delta t} d t, \frac{\delta L}{\delta t} d t, \frac{\delta M}{\delta t} d t, \ldots$;
*) Для того чтобы понять әто место, следует вспомнить определение функции $V$. Было принято (п. 9), что $d \Pi=P d p+$ $+Q d q+R d r+\ldots$ и затем дальше, что $V=\mathbf{S} m$ II. Для того чтобы $V$ была, пользуясь выражением Лагранжа, алгебраической функцией, необходимо и достаточно, чтобы таковой была I, т. е. чтобы выражение $P d p+Q d q+R d r+\ldots$ было полным дифференциалом; если этого нет, то фувкции П не существует, равным образом не существует и $V$; «алгебраическая функция\” означает здесь просто функцию; это выражение ни в коем случае не следует рассматривать как противоположность выражению «неалгөбраическая функция». (I рим. Бертрана.)

дей, которые, пользуясь общим методом, мы уже нашли в отделе III, то они сами собою получаются при разрешении каждой задачи при условии, что при выборе переменных мы стараемся отделить абсолютное движение системы от относительных движений тел одного по отношению к другому, как мы это сдөлали в упомянутом выше отделе.

Другие интегралы зависят от природы дифференциальных уравнений каждой задачи, и нет возможности дать общее правило для их нахождения. Есть, однако, один случай, имеющий весьма обширное применение, который всегда поддается полному решению в конечных выражениях; а именно – это тот случай, когда система совершает лишь очень малые колебания около своего положения равновесия. Ввиду важности этой задачи мы ей посвятвм особый отдел.
17. Когда система, движение которой определяется, состоит из бесконечно большого числа частиц или әлементов, совокупность которых образует конечную массу изменяемой формы, следует применить анализ, аналогичный тому, который мы изложили в § II отд. IV «Статики»; однако вместо символа $d$, примененного нами (п. 11 и след.) для обозначения дифференциалов переменных по отношению к различным элементам системы, следует применить символ $D$, соответствующий знаку интегрирования $\mathbf{S}$, относящемуся ко всей системе,-с төм, чтобы иметь возможность сохранить другой символ $d$ для дифферендиалов, относящихся ко времени, для которых мы его п предназначили в отд. II, «Динамики», п. 7.

Таким образом, если мы обозначим через $m$ всю массу, а через $D m$ один из ее элементов, то в выражениях $T$ и $V$ п. 10 надо будет вместо $m$ подставить $D m$.

Если для каждого элемента тела существуют силы $F, G, \ldots$, стремящиеся уменьшить величины $f, g, \ldots$, функциями которых являются эти силы, то следует к значению $V$ прибавить выражения $\mathbf{S} \int F d f, \mathbf{S} \int G d g, \ldots$

Если имеются условные уравнения $L=0, M=$ $=0, \ldots$, из которых каждое имеет силу для каждого өлемента массы $m$, то в формулах п. 11 следует вместо $\lambda \delta L, \mu \delta M, \ldots$ поставить $\mathbf{S} \lambda \delta L, \mathbf{S} \mu \delta M, \ldots$

Так как величины $f, g, \ldots$, равно как $L, M, \ldots$ могут содержать в себе дифференциалы переменных, обозначенные символом $D$, следует с помощью известной операции интегрирования по частям устранить двойные символы $\delta D, \delta D^{2}, \ldots$, так что под знаком $\mathbf{S}$ останутся только простые вариации, обозначенные символом $\delta$, а члены, стоящие вне знака $\mathbf{S}$, будут относиться только к крайним значениям интегралов.

Наконец, следует еще принять во внимание силы и условные уравнения, относящиеся к определенным точкам массы $m$, и учесть их в общей формуле; но они дадут лишь такие члены, которые не зависят от символа $\mathbf{S}$.

Вариации, которые останутся под знаком $\mathbf{S}$, если их коәффициенты положить равными нулю, дадут равное им количество неопределенных уравнений для движения каждого элемента системы, а вариации вне знака $\mathbf{S}$ дадут определенные уравнения для известных точек системы.