Данные Лагранжем формулы (стр. 204) предполагают, что силы упругости в каждой точке проявляются в плоскости, соприкасающейся с линией, находящейся в равновесии, причем они стремятся восстановить первоначальный радиус кривизны этой линии; однако подобное допущение далеко от того, чтобы представить эти явления, и Бинэ (Binet) указал, что к силе упругости, рассматриваемой Лагранжем, следует прибавить еще другую силу, эффект которой заключается в том, что она противодействует изменениям второй кривизны. Сложность формул, выражающих эту новую кривизну, не дает нам возможности при развитии выводов из указаний Бинэ сохранить обозначения и ход изложения, примененные Лагранжем. Мы ограничимся непосредственным составлением уравнения равновесия, следуя в данном случае методу, изложенному Пуассоном в статье, помещенной в Correspondance sur l’École Poly technique (т. III, crp. 355).

Рассмотрим пребывающую в равновесии упругую линию $A M B$, все точки которой находятся под действием заданных сил. Если мы допустим, что часть линии $M B$, заключенная между какой-либо точкой $M$ и кондом $B$, становится негибкой и неподвижной, а другая часть $M A$ становится только негибкой, сохраняя в то же время свободу вращения вокруг тачки $M$, то равновесие не будет нарушено, и, следовательно, сила упругости, развивающаяся в точке $\boldsymbol{M}$, должна уничтожить пару, которой в силу неподвижности точки $M$ эквивалентны силы, действующие на часть $M A$ кривой. Но мы допустим. что сила упругости может произвести две пары, одну, которую учел Лагранж, действующую в соприкасающейся плоскости и стремящуюсн вөрнуть кривизне ее первоначальное значение, и другую, имеющую в качестве своей оси касательную к упругой кривой и стремящуюся уничтожить кручение, возвращая второй кривизне ее первоначальное значение. Навовем. эти две пары $\theta$ и $E$. Сначала докажем, что $\theta$ остается постоннной, каковы бы ни были заданные сизы и первоначальный вид кривой.

В самом деле, для того чтобы ошределить обе пары $\theta$ и $E$, следует силы, действующие на часть $M A$ кривой, свести к одной силе $F$, проходящей через точку $\boldsymbol{M}$, и к одной паре $G$. Эта пара $G$ должна быть эквивалентна двум парам – $\theta$ и – $E$, имеющим соответственно в качестве осей касательную к рассматриваемой кривой и перпендикуляр к ее соприкасающейся плоскости. Если мы повторим то же самое разложение, подставив вместо точки $M$ бесконечно близко к ней расположенную соседнюю точку $M^{\prime}$, то сила $F$ и пара $G$ изменятся, с одной стороны, вследствие изменения точки приложения силы, а с другой сторожы, под влиянием новых сил, действующих на дугу $M^{\prime} M^{\prime}$. Заметим сначала, что эти последние силы не могут иметь какого-либо влияния на значение пары $\theta$, так как их точка приложения находится на бесконечно малом расстоянии второго порядка от касательной в точке $M^{\prime}$, являющейся осью пары. Таким образом достаточно принять во внимание изменение положения неподвижной точки, а это изменение, очевидно, приводит к тому, что к паре $\boldsymbol{G}$ присоединяется вторая пара, образуемая силой $F$ и равной ей и противоположно направленной силой, приложенной в точке $M^{\prime}$. Но сила $F$, подобно силам, приложенным к дуге $M M^{\prime}$, имеет точку цриложения, расположенную на бєсконечно малом расстоянии второго порядка от касательной в точке $M^{\prime}$; таким образом искомая пара, осью которой являстся эта касательная, изменяется только на величину такого же порядка. После этих замечаний можно вычислить значение $\theta^{\prime \prime}$ пары кручения, соот. ветствующей точке $M^{\prime}$, так, қак если бы пара $G$ не изменяла ни своей величины, ни направления; ее следует теперь лишь разложить на две другие, из которых одна должна быть перпендикулярна к касательной в точке $M^{\prime}$. Для определения этой составляющей пары, выражающей искомый момент кручения, подставим вместо пары $G$ две пары $-\theta$ и $-E$, которые ей эквивалентны. Каждая из этих пар должна быть умножена на косинус угла, образуемого ее осью с осью пары $\theta^{\prime}$, которая представляет собою не что иное, как касательную к рассматриваемой кривой в точке $M^{\prime}$. Осй пар $\theta$ и $\theta^{\prime}$ образуют бесконечно малый угол, косинус которого равен единице, если, как это было сделано выше, пренебречь бесконечно малыми второго порядка; что касается оси пары $-E$, то угол, образуемый ею с касательной в точке $M^{\prime}$, равен прямому, если мы опять-таки пренебрежем бесконечно малыми второго порядка, так как соприкасающаяся плоскость в точке $M$ параллельна касательной в точке $M^{\prime}$; следовательно, косинус этого угла может быть принят равным нулю; таким образом, өсли перенебречь бесконечно малыми второго порядка, мы получим
\[
\theta^{\prime}=\boldsymbol{\theta},
\]

откуда следует, что момент кручения строго постоянен по всей длине упругой кривой.

После сделанного замечания составим уравнения равновесия, написав, тто силы, шриложенные к некоторой части $M A$ кривой, которую мы считаем жесткой, уничтожаются неподвижностью точки $M$ и двумя парами – $\theta$ и $-E$, имеющими соответственно в качестве своих осей касательную $к$ кривой и ось соприкасающейся плоскости; при этом $\theta$ – постоянная величина, а $E$ пропорциональна разности между действительной кривизной в точке $M$ и первоначальной кривизной в той же точғе.

Рассмотрим, в частности, случай, когда кривая первоначально представляет собою прямую линию и к ней приложена единственная сила, действующая на конец еө $A$, причем конед $B$ остается неподвижным. Если предположить, что мы закрепляем точку $M$, координаты которой $x, y, z$, то моменты заданных сил по отношению к этой точке будут иметь составляющие следующего вида:
\[
\begin{array}{l}
c y-b z+a_{1}, \\
a z-c x+b_{1}, \\
b x-a y+c_{1},
\end{array}
\]

где $a, b, c, a_{1}, b_{1}, c_{1}$ – постоянные, зависящие от направления силы и от положения ее точки приложения. Приравняв әти моменты парам упругости, разложенным перпендикулярно к тем же трем осям, мы получим уравнения
\[
\begin{array}{l}
p \frac{d y d^{2} z-d z d^{2} y}{d s^{3}}=\theta \frac{d x}{d s}+c y-b z+a_{1}, \\
p \frac{d z d^{2} x-d x d^{2} z}{d s^{3}}=\theta \frac{d y}{d s}+a z-c x+b_{1}, \\
p \frac{d x d^{2} y-d y d^{2} x}{d s^{3}}=\theta \frac{d z}{d s}+b x-a y+c_{1},
\end{array}
\]

отличающиеся от уравнений Лагранжа (стр. 210) только обозначением и введением членов, содержащих $\boldsymbol{\theta}$.

Получив эти уравнения, Јагранж прибавляет: их интегрирование в общем случае, бы:пь может, неосуществимо. Мы покажем, наоборот, что оно всегда выполнимо, чричем для этой дели воспользуемся методом, указанным Бинэ *) и немного спустя упрощенным Ванцелем (Wantzell).
*) Cм. Comptes rendus de l’Académie des sciences за 1844, стр. 1115 и 1197.

Если в качестве оси $x$ взять само направление заданной силы, то, как легко видеть, приведенные формулы примут следующий вид:
\[
\left.\begin{array}{rl}
p \frac{d y d^{2} z-d z d^{2} y}{d s^{3}} & =\theta \frac{d x}{d s}+g y, \\
p \frac{d z d^{2} x-d x d^{2} z}{d s^{3}}=\theta \frac{d y}{d s}-g x \\
p \frac{d x d^{2} y-d y d^{2} x}{d s^{3}}=\theta \frac{d z}{d s},
\end{array}\right\}
\]

где $g$ – постоянная величина.
Последнее уравнение показывает, что если пренебречь $\theta$, как это сделал Лагранж, то кривая необходимо окажется плоской. Помножив эти уравнения на $d x, d y, d z$ и сложив их, мы получим
\[
\left.0=\theta d s+g(y d x-x d y)^{*}\right) ;
\]

сложив первые два уравнения, предварительно умножив их соответственно на $x$ и $y$, мы получим также
\[
\frac{p}{d s^{3}} d^{2} z(x d y-y d x)-\frac{p d z\left(x d^{2} y-y d^{2} x\right)}{d s^{3}}=\theta \frac{x d x+y d y}{d s},
\]

или в силу приведенного выше, если принять $s$ за независимую переменную,
\[
\frac{p}{g} \frac{d^{2} z}{d s^{2}}=\frac{x d x+y d y}{d s},
\]

и после интегрирования
\[
\frac{2 p}{g} \cdot \frac{d z}{d s}=x^{2}+y^{2}-\frac{c}{g} .
\]

Если вместо $x$ и $y$ подставить полярные координаты, положив
\[
x^{2}+y^{2}=r^{2}, \frac{y}{x}=\operatorname{tg} \omega,
\]
*) Можно отметить, что если бы в формуле (2) мы могли положить $x=0, y=0$, то мы получили бы $\theta=0$. Следовательно, для осуществления кручения необходимо, чтобы сила не была приложена прямо к той точке кривой, на которую она воздействует. (Iрим. Бертрана.)

то предыдущие уравнения примут следующий вид:
\[
r^{2} d \omega=\frac{\theta}{g} d s, \quad \frac{d z}{d s}=\frac{g r^{2}-c}{2 p} ;
\]

откуда, положив $\frac{d z}{d s}=\cos \varphi$ и применив известную формулу
\[
d s^{2}=d r^{2}+r^{2} d \omega^{2}+d z^{2},
\]

мы получим
\[
\begin{aligned}
d s & =\frac{p \sin \varphi d \varphi}{\sqrt{g \sin ^{2} \varphi(2 p \cos \varphi+c)-\theta^{2}}}, \\
d \omega & =\frac{\theta p \sin \varphi d \varphi}{(2 p \cos \varphi+c) \sqrt{g \sin ^{2} \varphi(2 p \cos \varphi+c)-\theta^{2}}}
\end{aligned}
\]

далее мы будем иметь
\[
\begin{aligned}
d z & =\int \cos \varphi d s, \\
x & =r \cos \omega, \\
y & =r \sin \omega, \\
r^{2} & =\frac{\theta}{g} \frac{d s}{d \omega}
\end{aligned}
\]

таким образом $x, y, z$ могут быть с помощью квадратур выражены в функции угла ф.