2. Пусть $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ — координаты какого-либо определенного тела системы, в то время как $x,y,z$ представляют собой вообще координаты какого-либо иного тела. Положим, что всегда донустимо
$$x=x^{\prime }+\xi ,y=y^{\prime }+\eta ,z=z^{\prime }+\zeta .$$

Ясно, что величины $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ не войдут в выражения для взаимных расстояний между телами и что эти расстояния будут зависеть только от различных величин $\xi ,\eta ,\zeta$, которые собственно и выражают координаты различных тел по отнотению к телу, имеющему своими координатами $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$; следовательно, условные уравнения системы будут иметь место только между переменными $\xi ,\eta ,\zeta$ и совершенно не будут содержать $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$.

Таким образом, если в общей формуле динамики (отд. II, п. 6) все вариации свести к $\delta x,\delta y,\delta z$ и затем вместо $\delta x,\delta y,\delta z$ подставить их значения $\delta x^{\prime }+\delta \xi ,\delta y^{\prime }+\delta \eta ,\delta z^{\prime }+\delta \zeta$, то вариации $\delta x^{\prime },\delta y^{\prime },\delta z^{\prime }$ будут независимыми от всех остальных и сами по себе будут произвольными; поэтому надо будет приравнять нулю отдельно совокупность всех членов, в состав которых входит каждая из этих вариаций, в результате чего мы получим три общих уравнения, не зависящих от особой структуры системы.

Внутренние силы, с помощью которых тела могли бы действовать друг на друга и которые мы, совершенно так же как в «Статике» (отд. III, п.2), обозначим через $\overline{P},\overline{Q},\dots$, совсем не войдут в эти уравнения, так как вследствие независимости взаимных расстояний $\overline{p},\overline{q},\dots$ от $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ вариации $\overline{\delta p},\overline{\delta q},\dots$, относящиеся к этим переменным, будут равны нулю.

Что касается внешних сил $P,Q,R,\dots$ то если их свести к трем силам $X,Y,Z$, направленным по осям координат $x,y,z$ и стремящимся укоротить эти координаты, то согласно формулам, приведенным в «Статике» (отд. V, гл. I), мы имеем
$$P\delta p+Q\delta q+R\delta r+\dots =X\delta x+Y\delta y+Z\delta z,$$

и общая формула принимает следующей вид:
$$\mathbf{S}m(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+X)\delta x+{\mathbf{S}}_m(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+Y)\delta y+\mathbf{S}m(\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+Z)\delta z=0;$$

если принять во внимание только вариации $\delta x^{\prime },\delta y^{\prime },\delta z^{\prime }$,

которые не зависят от всех остальных, то это уравнение даст
$$\delta x^{\prime }\mathbf{S}m(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+X)+\delta y^{\prime }\mathbf{S}m(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+Y)+\delta z^{\prime }\mathbf{S}\prime n(\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+Z)=0,$$

откуда тотчас же вытекают следующие три уравнения:
$$\begin{array}{l}\mathbf{S}m(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+X)=0,\\ \mathbf{S}m(\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+Y)=0,\\ \mathbf{S}m(\frac{d^{2}z}{d{t}^2}+Z)=0,\end{array}$$

которые всегда будут иметь место при движении лю бой системы тел, если эта система совершенно сво бодна.
3. Предположим теперь, что тело, которому соответствуют координаты $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$, расположено в пентре тяжес’и системы. Согласно известным свойствам этого центра (Статика, отд. III, § IV) мы будем иметь уравнения
$${\mathbf{S}}_m\xi =0,{\mathbf{S}}_{m\eta }=0,{\mathbf{S}}_m\zeta =0,$$

которые, будучи продифференцированы по $t$, дадут нижеследующие уравнения:
$$\begin{array}{c}\mathbf{S}m\frac{d^2\xi }{d{t}^2}=0,\mathbf{S}m\frac{d^2\eta }{d{t}^2}=0,\mathbf{S}m\frac{d^2\zeta }{d{t}^2}=0\\ \text{ Отсюда следует, что }\\ \mathbf{S}m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=\mathbf{S}m\frac{d^2{x}^{\prime }}{d{t}^2}=\frac{d^2{x}^{\prime }}{d{t}^2}\mathbf{S}m\end{array}$$

так как $x^{\prime }$, имеющий одинаковое значение для всех тел, не зависит от знака $\mathbf{S}$; аналогично мы будем иметь
$$\mathbf{S}m\frac{d^{2}y}{d{t}^2}=\frac{d^2{y}^{\prime }}{d{t}^2}\mathbf{S}m,\mathbf{S}m\frac{d^{2}z}{d{t}^2}=\frac{d^2{z}^{\prime }}{d{t}^2}\mathbf{S}m.$$

Таким образом три уравнения предыдущего пункта получат следующий более простой вид:
$$\begin{array}{l}\frac{d^2{x}^{\prime }}{d{t}^2}\mathbf{S}m+\mathbf{S}mX=0,\\ \frac{d^2{y}^{\prime }}{d{t}^2}\mathbf{S}m+\mathbf{S}mY=0,\\ \frac{d^2{z}^{\prime }}{d{t}^2}\mathbf{S}m+\mathbf{S}mZ=0.\end{array}$$

IIриведенные уравнения послужат для определения движения центра тяжести всех тел независимо от особого движения каждого из этих тел; а так как значения $\mathbf{S}mX,\mathbf{S}mY,\mathbf{S}mZ$ вовсе не содержат внутренних сил системы, то движение центра тяжести совершенно не будет зависеть от взаимного действия, которое тела могут оказывать друг на друга, а будет зависеть лишь от ускоряющих сил, действующих на каждое тело. В этом заключается общий приндип сохранения движения центра тяжести.

Этот принцип остается в силе и в том случае, когда тела при своих движениях взаимно сталкиваются; в самом деле, какова бы ни была природа этих тел, можно всегда представить себе, что их действия при ударе происходят при посредстве расположенной между ними пружины, которая после своего сжатия стремится или же не стремится вернуться к своему первоначальному состоянию, в зависимости от того, являются ли тела упругими или же нет. Таким образом действие удара будет представлено как результат действия сил, имеющих ту же природу, что и те силы, которые мы выше обозначали через $\overline{P},\overline{Q},\dots$ и которые в общей формуле (п. 2) исчезают.
4. Вообще ясно, что уравнения движения центра тяжести тождественны с уравнениями движения одного тела, которое находится под одновременным действием всех ускоряющих сил, влияющих на различные тела системы. В самом деле, если предположить, что все тела соединены в одной точке, которой соответствуют координаты $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$, то тогда в общей формуле мы имеем
$$x=x^{\prime },y=y^{\prime },z=z^{\prime };$$

приравняв нулю все члены, в состав которых входит каждая из трех вариаций $\delta x^{\prime },\delta y^{\prime },\delta z^{\prime }$, мы получим те же самые уравнения, какие были выведены нами выше.
Отсюда следует общая теерема:
Движение центра тяжести системы свободных тел, расположенных одно по отношению $к$ другому совериенно произвольным образом, всегда таково,как если бы все тела были сосредоточены в одной точке и если бы в то же время каждое из них находилось под действием тех же ускоряющих сил, под влиянием которых оно находится в своем дейтвительном состолнии.
5. Эта теорема остается в силе и в том случае, когда тела, образующие свободную систему, нолучают только какие-либо импульсы; в самом деле, если в уравнении пункта 11 предыдущего отдела подставить $\delta x^{\prime }+\delta \xi ,\delta y^{\prime }+\delta \eta ,\delta z^{\prime }+\delta \zeta$ вместо $\delta x,\delta y$, $\delta z$ и силы $P,Q,R,\dots$ свести к силам $X,Y,Z$, можно, как в пункте 2 , доказать, что вариации $\delta x^{\prime },\delta y^{\prime }$, $\delta z^{\prime }$ должны остаться произвольными, чт? даст нам три уравнения
$$\mathbf{S}(m\dot{x}+X)=0,\mathbf{S}(m\dot{y}+Y)=0,\mathbf{S}(m\dot{z}+Z)=0.$$

Но если координаты $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ отнести к центру тяжести системы, то в силу свойств этого центра мы имеем
$$x^{\prime }{\mathbf{S}}_m={\mathbf{S}}_{mx},y^{\prime }{\mathbf{S}}_m=\mathbf{S}my,z^{\prime }{\mathbf{S}}_m={\mathbf{S}}_{mz}.$$

Дифференцируя по $t$ и положив
$$\begin{array}{l}dx=\dot{x}dt,dy=\dot{y}dt,dz=\dot{z}dt,\\ d{x}^{\prime }={\dot{x}}^{\prime }dt,d{y}^{\prime }={\dot{y}}^{\prime }dt,d{z}^{\prime }={\dot{z}}^{\prime }dt,\end{array}$$

иы получим
$${\dot{x}}^{\prime }\mathbf{S}m=\mathbf{S}m\dot{x},{\dot{y}}^{\prime }\mathbf{S}m=\mathbf{S}m\dot{y},z^{\prime }\mathbf{S}m=\mathbf{S}m\dot{\tilde{\omega }}$$

и, следовательно,
$${\dot{x}}^{\prime }\mathbf{S}m+\mathbf{S}X=0,y^{\prime }\mathbf{S}m+\mathbf{S}Y=0,{\dot{z}}^{\prime }\mathbf{S}m+\mathbf{S}Z=0.$$

Отсюда видно, что скорости ${\dot{x}}^{\prime },{\dot{y}}^{\prime },{\dot{z}}^{\prime }$, сообщенные центру тяжести, совершенно таковы, как если бы все тела, будучи соединены в этом центре, одновременно получили импульсы $X,Y,Z$.
6. Общая формула (п. 2) после подстановки $\delta x^{\prime }+\delta \xi ,\delta y^{\prime }+\delta \eta ,\delta z^{\prime }+\delta \zeta$ вместо $\delta x,\delta y,\delta z$ и после сведения к нулю всех членов, содержащих в себе $\delta x^{\prime },\delta y^{\prime },\delta z^{\prime }$, примет следующий вид:
$$\mathbf{S}m(\frac{d^{2}x}{d{t}^2}\delta \xi +\frac{d^{2}y}{d{t}^2}\delta \eta +\frac{d^{2}z}{d{t}^2}\delta \zeta +X\delta \xi +Y\delta \eta +Z\delta \zeta )=0.$$

Если в дифференциалы $d^{2}x,d^{2}y,d^{2}z$ подставить $x^{\prime }+\xi ,y^{\prime }+\eta ,z^{\prime }+\zeta$ вместо $x,y,z$ и вывести за знак $\mathbf{S}$ дифференциалы $d^2{x}^{\prime },d^2{y}^{\prime },d^2{z}^{\prime }$, то членами, содержащими эти дифферендиалы, будут следующие:
$$\frac{d^2{x}^{\prime }}{d{t}^2}\mathbf{S}m\delta \xi +\frac{d^2{y}^{\prime }}{d{t}^2}\mathbf{S}m\delta \eta +\frac{d^2{z}^{\prime }}{d{t}^2}\mathbf{S}m\delta \zeta .$$

Но если координаты $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ отнести к центру тяжести, то мы будем иметь (п. 3)
$$\mathbf{S}m\xi =0,{\mathbf{S}}_{m\eta }=0,\mathbf{S}m\zeta =0.$$

Следовательно, после дифференцирования в смысле символа $\delta$, мы получим
$$\mathbf{S}m\delta \xi =0,\mathbf{S}m\delta \eta =0,\mathbf{S}m\delta \zeta =0,$$

результате чего рассматриваемые члены исчезают.
Таким образом общая формула сводится к
$$\mathbf{S}m(\frac{d^2\xi }{d{t}^2}\delta \xi +\frac{d^2\eta }{d{t}^2}\delta \eta +\frac{d^2\xi }{d{t}^2}\delta \zeta +X\delta \xi +Y\delta \eta +Z\delta \zeta )=0;$$

последнее выражение совершенно аналогично первой формуле, — с тем лишь отличием, что координаты $x,y,z$, имеющие неподвижное начало в пространстве заменяются $\xi ,\eta ,\zeta$, начало которых находится в центре тяжести.

Отсюда*) можно сделать заключение, что вообще в свободной системе мы имеем по отношению к центру тяжести те же уравнения и те же свойства, что и по отношению к некоторой неподвижной точке вне системы.