44. Общее решение, данное нами для проблемы колеблющихся струн, имеет силу, каково бы ни было число $n$ движущихся тел и каково бы ни было начальное состояние этих тел; следовательно, его можно применить и в том случае, когда $n$ становится бесконечно большим, а промежутки между телами становятся бесконечно малыми так, что длина струны остается при этом неизменной; тогда движение каждого тела будет выражено с цомощью бесконечного ряда членов, сумма которых будет эквивалентна некоторой конечной функции, отличной от той функции, е па: мощью которой выражается каждый из его членов. Таков случай звучащей струны постоянной плотности, причем обычно его разрешают непосредственно с помощью дифференциального исчисления; между тем для анализа представляется, пожалуй, интересным показать, каким образом его можно вывести из общего решения, в особенности, – принимая во внимание то обстоятельство, что, идя этим путем, мы уверены в получении рещения, применимого к любой форме, какую струна может иметь в начале своего движения.
45. Отметим сначала, что если $n$ предположить бесконечно большим, то значение $\sqrt{k}$ (п. 34) будет равно $\sqrt{\frac{F^{\top}}{l M}} \rho \pi$, так как предельное значение $2(n+1) \sin \frac{\rho \pi}{2(n+1)}$ составляет $л \pi ;$ таким образом корни уравнения относительно $k$, которые все между собюю несоизмеримы когда число $n$ движущихся тел конвчно, станут соизмеримыми, когда $n$ будет бесконечно большим; их общей мерой будет $\pi \sqrt{\frac{\overline{F^{\prime}}}{\bar{M}}}$ при продольных смещениях $\xi$ и $\pi \sqrt{\frac{F}{l M}}$ при поперечных $\eta$ и ; отсюда следует, что по истечении времени $2 \sqrt{\frac{\bar{M}}{F}}$ струна всегда будет принимать свой нервоначальный вид по отношению к оси, каково бы ни было ее начальное состояние.

Конечно, число $\rho$ тоже может стать бесконечно большим, т. е. могут быть такие случаи, когда уже неньзя будет принимать
\[
2(n+1) \sin \frac{\rho \pi}{2(n+1)}=\rho \pi ;
\]

но так как это может случиться только после бесконечно большого числа членов в бесконечных рядах, обозначенных символом $\Sigma$, то из известной теории
әтих рядов следует, что эти особые случаи не представляют собою исключения из общего вывода.

В этом, впрочем, можно убедиться и непосредственно; в самом деле, в том случае, когда $n$ бесконечно велико, конечные разности, обозначенные через $D$, становятся бесконечно малыми; поэтому уравнение п. 33 относительно $X$, при замене $D$ знаком $d$ и при подстановке вместо $n+1$ его значения $\frac{l}{d a}$ принимает следующий вид:
\[
\frac{M k}{l F^{\prime}} X+\frac{d^{2} X}{d a^{2}}=0
\]

это уравнение после интегрирования дает
\[
X=H \sin \left(a \sqrt{\frac{M k}{l F^{\prime}}}+\varepsilon\right) .
\]

Если $a=0$ п $a=l$, то $X$ должно равняться нулю, так как оба конда струны неподвижны; первое условие дает $\varepsilon=0$, а второе дает $l \sqrt{\frac{\overline{M k}}{l F^{\prime}}}=\rho \pi$, откуда следует, как и раньше, $\sqrt{k}=\rho \pi \sqrt{\frac{\overline{F^{\prime}}}{l M}}$.

Таким образом для того, чтобы в данном случае струна всегда возвращалась в свое первоначальное состояние, нет необходимости допускать, что она совершает только простые колебания, аналогичные полебаниям маятника, как мы это делали в п. 35; действительно, каково бы ни было ее первоначальное состояние, мы уверены, что ее колебания будут всегда сами по себе изохронными и в то же время синхронными с колебаниями простого маятника, длина котоюого равна $\frac{g}{k}$. Однако закон этих колебаний будет отличен от закона колебаний маятников и будет өависеть от начального состояния струны.

Для того чтобы установить отот закон, следует посмотреть, во что превращаются общие выражөния

$\xi, \eta, \zeta$ в случае бесконечно больпого $n$; этот вопрос мы сейчас и исследуем.
46. Подставим в общей формуле п. $36 \frac{\rho \pi}{n+1}$ вместо $\varphi$ и $\frac{\rho \pi}{2(n+1)}$ вместо $\sin \frac{\varphi}{2}$, полагая $n$ бесконечно большим; вместо индексов $r$ и $s$, обозначающих порядковый номер тел, к которым относятся переменные $\xi$ и $\alpha$, применим, что значительно проще, части самой оси или абсциссы, соответствующие этим телам, обозначив через $x$ абсциссу, относящуюся к $\xi$, и через $a$ абсциссу, относящуюся к $\alpha$ и к $\alpha$. Так как согласно допущению вся длина струны равна $l$, то мы будем иметь
\[
\frac{r}{n+1}=\frac{x}{l}, \quad \frac{s}{n+1}=\frac{a}{l}, \quad n+1=\frac{l}{D a},
\]

и рассматриваемая формула даст следующее общее выражение для продольных смещений $\xi$ :
\[
\xi=2 \sum \sin \frac{\rho \pi x}{l}\left[A^{(\rho)} \cos \left(\rho \pi h^{\prime} t\right)+\dot{A}^{(\rho)} \frac{\sin \left(\rho \pi h^{\prime} t\right)}{\rho \pi h^{\prime}}\right],
\]

где
\[
\begin{array}{l}
A^{(\rho)}=\mathbf{S}\left(\sin \frac{\rho \pi a}{l} \frac{\alpha D a}{l}\right), \\
\dot{A}^{(\rho)}=\mathbf{S}\left(\sin \frac{\rho \pi a}{l} \frac{\dot{\alpha} D a}{l}\right) .
\end{array}
\]

Знак $\sum$ обозначает здесь бесконечный ряд членов, соответствующих значениям $\rho=1,2,3, \ldots$, а знак $S$ обозначает другие бесконечные ряды членов, соответствующих всем значениям $a, D a, 2 D a, 3 D a, \ldots$, так как $D a$ бесконечно мало.

Аналогичные выражения мы получим для поперечных смещений $\eta$ и $\zeta$, если вместо $h^{\prime}$ поставим $h$ и вместо $\alpha, \dot{\alpha}$ поставим $\beta, \dot{\beta}$ и $\gamma, \dot{\gamma}$.
47. Даниил Бернулли, обобщая решение задачи о звучащих струнах, данное Тейлором (Taylor), пришел к формуле, которая подобна приведенной выше, но в которой коәффициенты $\dot{A}^{(\rho)}$ равны нулю, а коәффициенты $A^{(\rho)}$ обозначают просто произвольные постоянные, зависящие от начального вида струны (Mémoires de Berlin 1753); он полагал, что с помощью различных членов его формулы можно объяснить гармонические тоны, которые струна издает одновременно со своим основным тоном. Наша формула, в которой әти коәффициенты выражены с помощью начальных значений $\alpha, \dot{\alpha}$, дает нам возможность дополнить это объяснение, которое после Бернулли было принято многими авторами.

В самом деле, легко видеть, что основной тон струны получается от первого или от двух первых членов ряда, соответствующих $p=1$, и что последовательные гармонические тона, т. е. октава, дуодедима, двойная октава, септендецима, … получаются от следующих членов, соответствующих $\rho=2,3,4,5, \ldots$ Итак, для того чтобы основной тон доминировал над всеми другими и чтобы одновременно были слышны только первые гармонические тона, следует допустить, что коәффициенты $A^{(1)}, \dot{A}^{(1)}$ значительно больше всех остальных, вместө взятых, и что дальнейшие коәффициенты
\[
A^{(2)}, A^{(3)}, A^{(4)}, \ldots, \dot{A}^{(2)}, \dot{A}^{(3)}, \dot{A}^{(4)}, \ldots
\]

образуют очень сильно сходящиеся ряды. Однако из характера зависимости этих коәффициентов от начальных значений $\alpha$ и $\dot{\alpha}$ видно, тто әто допущение неприемлемо, если начальное состояние струны рассматривать как произвольное; мы видим даже, что в большинстве случаев эти коәффициенты образуют расходящиеся ряды, что, однако, не мешает тому, чтобы струна совершала изохронные или одинаковой продолжительности колебания,- единственное условие, необходимое для образования тона.
48. Хотя формулы п. 46 дают точно движөниө струны по истечении любого времени $t$, тем не менее бесконечные ряды, входящие в эти формулы, не дают возможности составить ясное и наглядное представление об этом движении. Однако, если общую формулу рассмотреть с другой точки зрения, то из нее можно вывести простое однообразное построение для определения состояния струны в любой момент времени, каково бы ни было ее первоначальное состояние.

Вернемся к этой формуле и представим ее в следующем виде, что допустимо ввиду независимости знаков суммирования $\mathbf{S}$ и $\Sigma$ :
\[
\begin{aligned}
\xi_{r}=\mathbf{S} \alpha_{s} \sum\left\{\frac{2 \sin r \varphi}{n+1} \sin s \varphi \cos \left[2(n+1) h^{\prime} t \sin \frac{\varphi}{2}\right]\right\}+ \\
+\mathbf{S} \alpha_{s} \sum\left\{\frac{2 \sin r \varphi}{n+1} \sin s \varphi \frac{\sin \left[2(n+1) h^{\prime} t \sin \frac{\varphi}{2}\right]}{(n+1) h^{\prime} \sin \frac{\varphi}{2}}\right\} .
\end{aligned}
\]

Из этой формулы сначала выведем одно следствие, которое будет для нас очень полезно. Так как согласно допущению $\alpha$ представляет собою начальное значение $\xi$ (п. 29), то если в приведенном выше выражении для $\xi_{r}$ положить $t=0$, оно превратится в $\alpha_{r}$ и, следовательно, у нас получится следующее тождество:
\[
\alpha_{r}=\mathbf{S} \alpha_{s} \sum \frac{2 \sin r \varphi}{n+1} \sin s \varphi .
\]

Ясно, что правая часть этого тождества не может свестись к $\alpha_{r}$, если только мы не имеем вообще
\[
\sum \frac{2 \sin r \varphi}{n+1} \sin s \varphi=0,
\]

когда $s$ отлично от $r$; а когда $s=r$, мы имеем
\[
\sum \frac{2 \sin r \varphi}{n+1} \sin r \varphi=1,
\]

где $\varphi$ равно $\frac{n+1}{\rho \pi}$, а знак $\sum$ относится к последовательным значениям $1,2,3, \ldots, n$ величины $\rho$; это дает ряд, образованный из произведений синусов углов, кратных $\frac{r \pi}{n+1}$ и $\frac{s \pi}{n+1}$, сумма которых в первом случае всегда должна быть равна нулю, а во втором $\frac{n+1}{2}$. Этот вывод может быть получен и непосредственно с помощью известных формул для суммирования әтого вида рядов.

В приведенных формулах $r$ и $s$ являются согласно допущению любыми целыми числами, заключающимися между 0 и $n+1$. Но так как $\varphi=\frac{\rho \pi}{n+1}$, где $p-$ тоже целое число, то если вместо $r$ поставить $2 \lambda(n+1) \pm r$, где $\lambda$-любое целое число, положительное или отрицательное, то мы будем иметь
\[
\sin [2 \lambda(n+1) \pm r] \varphi= \pm \sin r \varphi ;
\]

следовательно, мы получим вообще
\[
\sum\left\{\frac{2 \sin [2 \lambda(n+1) \pm r] \varphi}{n+1} \sin s \varphi\right\}= \pm 1 \text { или }=0,
\]

в зависимости от того, равны ли между собою $s$ и $r$ или не равны.

Выражение $2 \lambda(n+1) \pm r$ может представить все целые числа, положительные или отрицательные,как мы это уже видели в п. 37; следовательно, если мы имеем какое-либо целое число $N$, мы можем положить $N=2 \lambda(n+1) \pm r$, откуда получится $\boldsymbol{r}= \pm[N-2 \lambda(n+1)]$, и тогда мы получим вообще, каково бы ни было число $N$,
\[
\sum \frac{\sin N \varphi \sin s \varphi}{n+1}= \pm \frac{1}{2} \text { или }=0,
\]

в зависимости от того, имеем ли мы равенство $s= \pm[N-2 \lambda(n+1)]$ или же нет, где $s$ – целое число, заключающееся между 0 в $n+1$.
49. На основе изложенного и, принимая во внимание, что выражение для $\xi_{r}$ состоит из двух частей, из которых первая содержит начальные значения $\alpha$ переменной $\xi$, а вторая содержит начальные значения $\dot{\alpha}$ производных $\frac{d \xi}{d t}$, мы рассмотрим отдельно каждую из этих частей, причем первую обозначим через $\xi_{r}^{\prime}$ а вторую через $\xi_{r}^{\prime \prime}$, так что мы будем иметь $\xi_{r}=\xi_{r}^{\prime}+\xi_{r}^{\prime}$. Если допустить, что $n$-бесконечно велико, то угол $\varphi=\frac{\rho \pi}{n+1}$ станет бесконечно малым, и $\sin \frac{\varphi}{2}$ сведется к $\frac{\varphi}{2}$ (п. 46). Произведя соответствующие подстановки в выражении для $\xi_{r}^{\prime}$, мы получим (n. 48)
\[
\dot{\xi}_{r}^{\prime}=\mathbf{S} \alpha_{B} \sum \frac{2}{n+1} \sin r \varphi \sin s \varphi \cos (n+1) h^{\prime} t \varphi ;
\]

а разложив произведение $\sin r \varphi \cos (n+1) h^{\prime} t \varphi$ в ряд,
\[
\begin{array}{l}
\xi_{r}^{\prime}=\mathbf{S} \alpha_{s} \sum\left\{\frac{\sin \left[r+(n+1) h^{\prime} t\right] \varphi}{n+1} \sin s \varphi\right\}+ \\
+\mathbf{S} \alpha_{s} \sum\left\{\frac{\sin \left[r-(n+1) h^{\prime} t\right] \varphi}{n+1} \sin s \varphi\right\} .
\end{array}
\]

Так как $n$ должно быть бесконечно большим числом, то число $(n+1) h^{\prime}$ мы всегда можем рассматривать как целое число, каково бы ни было число, выражающееся через $h^{\prime} t$.

Таким образом, если в последней формуле предыдущего пункта положить $N=r+(n+1) h^{\prime} t$, то мы полу чим
\[
\mathbf{S} \alpha_{s} \sum\left\{\frac{\sin \left[r+(n+1) h^{\prime} t\right] \varphi}{n+1} \sin s \varphi\right\}= \pm \frac{1}{2} \alpha_{s},
\]

где
\[
s= \pm\left[r+(n+1) h^{\prime} t-2 \lambda(n+1)\right] ;
\]

и если положить $N=r-(n+1) h^{\prime} t$, то мы получим аналогично
\[
\mathbf{S}_{\alpha_{s^{\prime}}} \sum\left\{\frac{\sin \left[r-(n+1) h^{\prime} t\right] \varphi}{n+1} \sin s \varphi\right\}= \pm \frac{1}{2} \alpha_{s^{\prime}},
\]

где
\[
s^{\prime}= \pm\left[r-(n+1) h^{\prime} t-2 \lambda^{\prime}(n+1)\right],
\]

а $\lambda$ и $\lambda^{\prime}$ являются любыми целыми числами или же равны нулю.

Объединив два приведенных выше значения, мы таким образом получим просто
\[
\xi_{r}=\frac{1}{2}\left( \pm \alpha_{s} \pm \alpha_{s^{\prime}}\right),
\]

где двойные знаки $\alpha_{s}$ и $\alpha_{s^{\prime}}$ соответствуют знакам $s$ и $s^{\prime}$. 50. Вместо показателей или индексов $r$ и $s$, указывающих порядковый номер тел, к которым относятся переменные $\xi$ и $\alpha$, представляется более удобным применить части самой струны, заключающиеся между первым неподвижным концом и этими телами.

Обозначим, как в п. 46 , через $x$ часть оси или абсциссу, соответствующую $\xi$, а через $a$-соответствующую $\alpha$; так как длина струны равна $l$, то мы имеем
\[
\frac{r}{n+1}=\frac{x}{l}, \frac{s}{n+1}=\frac{a}{l},
\]

а также $\frac{s^{\prime}}{n+1}=\frac{a^{\prime}}{l}$, что дает
\[
r=\frac{(n+1) x}{l}, \quad s=\frac{(n+1) a}{l}, \quad s^{\prime}=\frac{(n+1) a^{\prime}}{l} ;
\]

следовательно, вместо $\xi_{r}^{\prime}, \alpha_{s}, \alpha_{s^{\prime}}$ можно написать просто $\xi_{x}^{t}, \alpha_{a}, \alpha_{a^{\prime}}$.

Подставив әти значения $r, s, s^{\prime}$ в формулы предыдущего пункта, помножив на $l$ и разделив на $n+1$, мы получим
\[
\begin{aligned}
a & = \pm\left(x+l h^{\prime} t-2 \lambda l\right), \\
a^{\prime} & = \pm\left(x-l h^{\prime} t-2 \lambda^{\prime} l\right), \\
\xi^{\prime} x & =\frac{1}{2}\left( \pm \alpha_{a} \pm \alpha_{a^{\prime}}\right),
\end{aligned}
\]

где двойные знаки $\alpha_{a}$ и $\alpha_{a^{\prime}}$ соответствуют двойным знакам $a$ и $a^{\prime}$; әти знаки, равно как и значения $a$ и $a^{\prime}$, следует определить таким образом, чтобы эти значения были положительными и меньшими, чем $l$.
51. Обозначим через $A$ и $A^{\prime}$ значения $\pm \alpha_{a}$ и $\pm \alpha_{a^{\prime}}$, так что мы будем иметь вообще
\[
\xi_{x}^{\prime}=\frac{A+A^{\prime}}{2} .
\]

Следовательно,
1) если $x+l h^{\prime} t$ лежит между 0 и $l$, надо принять $a=x+\operatorname{lh}^{\prime} t$ и $A=+\alpha_{a}$;
2) если $x+l h^{\prime} t$ лежит между $l$ и $2 l$, надо принять $a=-\left(x+l h^{\prime} t-2 l\right)$ и $A=-\alpha_{a}$;
3) если $x+l h^{\prime} t$ лежит между $2 l$ и $3 l$, надо принять $a=x+l h^{\prime} t-2 l$ и $A=+\alpha_{a}$ и так далее.
Точно так же
1) если $x-l h^{\prime} t$ лежит между $l$ и 0 , надо принять $a^{\prime}=x-l h^{\prime} t$ и $A^{\prime}=x_{a} ;$
2) если $x-l h^{\prime} t$ лежит между 0 и $-l$, надо принять $a^{\prime}=-\left(x-l h^{\prime} t\right)$ и $A^{\prime}=-\alpha_{a^{\prime}}$;
3) если $x-l h^{\prime} t$ лежит между $-l$ и $-2 l$, надо принять $a^{\prime}=x-l h^{\prime} t+2 l$ и $A^{\prime}=\alpha_{a^{\prime}}$ и так далее.

Как видим, эти различные случаи сводятся к определению абсцисс $a$ и $a^{\prime}$ путем прибавления или вычитания из абсциссы $x$ отрезка $l h^{\prime} t$, причем если полученное значение переступит через один или другой конец оси $l$, то отрезок следует перегнуть вперед или назад, как если бы на обоих концах происходило отражение от помещенных там препятствий, а соответствующую ординату $\alpha_{a}$ или $\alpha_{a^{\prime}}$ следует взять положительной, когда число отражений четное, или отрицательной, когда это число нечетное.
52. Однако еще проще будет продолжить кривую величин $\alpha$ на той же оси $l$, продленной в обе стороны, так что можно непосредственно получить ординаты $\alpha_{a}$ и $\alpha_{a^{\prime}}$, соответствующие абсциссам $x+l h^{\prime} t$ प $x-l h^{\prime} t$.

Для этой цели следует сначала построить на оси $l$ ломаную с бесконечно больщим количеством сторон или кривую, ординаты которой для какой-либо абсдиссы $x$ составляют $\alpha_{x}$ и которая задана начальными значениями смещений $\xi_{x}$ всех точек струны; эту кривую следует перемещать попеременно выше и ниже той же самой оси, бесконечно продолженной в обе стороны, так что в результате получится непрерывная кривая, составленная из равных ветвей, которые расположены симметрично относительно оси и соединяются своими концами; на этой кривой ординаты точек, равно удаленных от одного и другого конца оси $l$, всегда равны по своей длине, но противоположны по направлению. Если на этой кривой взять ординаты, соответствующие абсциссам $x+l h^{\prime} t$ и $x$ – $l h^{\prime} t$, то мы получим значения $A$ и $A^{\prime}$, а значение переменной $\xi_{x}^{\prime}$ по истечении какого-либо времени $t$ будет представлено спомощью формулы
\[
\xi_{x}^{\prime}=\frac{1}{2}\left(\alpha_{x+l h^{\prime} t}+\alpha_{x-l h^{\prime} t}\right) .
\]

Указанное продолжение кривой, выражающей знатения $\alpha$, можно было бы прямо вывести из того, что в общем виде было нами доказано в п. 37 , – если допустить, что струна вместо того, чтобы быть ограниченной двумя неподвижными точками, простирается в обе стороны до бесконечности; тогда ломаная, которую мы мысленно представили себе в настоящем пункте, превратится в непрерывную кривую, которая, будучи приложена к первому мгновению движения, представит кривую значений величин $\alpha$, продолженную до бесконечности.
53. Рассмотрим теперь вторую часть $\xi_{r}$, которую мы обозначили через $\xi_{r}^{\prime \prime}$ и которая представлена формулой (п. 46)
\[
\xi_{r}^{\prime \prime}=\mathbf{S} \dot{\alpha}_{s} \sum\left\{\frac{2 \sin r \varphi}{n+1} \sin s \varphi \frac{\sin \left[2(n+1) h^{\prime} t \sin \frac{\varphi}{2}\right.}{2(n+1) h^{\prime} \sin \frac{\varphi}{2}}\right\} \text {. }
\]

Здесь следует начать с того, чтобы освободиться от знаменателя $\sin \frac{\varphi}{2}$; тогда әта формула станет подобной формуле для $\xi_{r}^{\prime}$ и ее можно будет подвергнуть таким же преобразованиям.

Для этой цели я беру разность $D \xi_{r}^{\prime \prime}$, но так как показатель $r$ входит только в $\sin r \varphi$, достаточно поставить символ $D$ только перед этим синусом.
Согласно известным теоремам мы имеем
$D \sin r \varphi=\sin (r+1) \varphi-\sin r \varphi=2 \sin \frac{\varphi}{2} \cos \left(r+\frac{1}{2}\right) \varphi$.
Подставив это значение в выражение $D \xi_{r}^{\prime \prime}$, мы получим
$D \xi_{r}^{\prime \prime}=\frac{1}{(n+1) h^{\prime}} \mathbf{S} \dot{\alpha}_{s} \Sigma\left\{\frac{2 \cos \left(r+\frac{1}{2}\right) \phi}{h+1} \sin s \varphi \sin \left[2(n+1) h^{\prime} t \sin \frac{\varphi}{2}\right]\right\}$.
Положив для случая бесконечно большого $n$ $\sin \frac{\varphi}{2}=\frac{\varphi}{2}$ и разложив произведение $\cos \left(r+\frac{1}{2}\right) \times$ $\times \varphi \sin (n+1) h^{\prime} t \varphi$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
D \xi_{r}^{\prime \prime}=\frac{1}{(n+1) h^{\prime}} \mathbf{S} \dot{\alpha}_{s} \sum \frac{\sin \left[r+(n+1) h^{\prime} t+\frac{1}{2}\right] \Phi}{n+1} \sin s \varphi- \\
-\frac{1}{(n+1) h^{\prime}} \mathbf{S} \dot{\alpha}_{s} \Sigma \frac{\sin \left[r-(n+1) h^{\prime} t+\frac{1}{2}\right] \varphi}{n+1} \sin s \varphi . \\
\end{array}
\]

Это выражение $D \xi_{r}^{\prime \prime}$ состоит из двух частей, аналогичных частям ныражения для $\xi_{r}^{\prime}$ (п. 49); стало быть, к ним можно применить те же рассуждения и придать им такой же вид.

Следовательно, если на оси $l$ построим ломаную с бесконечно большим числом сторон или кривую, ординаты которой для каждой абсциссы $x$ равны $\dot{\alpha}_{x}$ и которая задана начальными скоростями $\dot{\alpha}$, и будем ее перемещать попеременно выше и ниже от той же оси, неопределенно продолженной в обе стороны,
то в результате этого мы получим непрерывную кривую, подобную кривой предыдущего пункта. Если затем поставить $\frac{l}{D a}$ или $\frac{l}{D x}$ вместо $n+1$ и пренебречь величиной $\frac{1}{2(n+1)}$ по сравнению с $x$, считая ее равной нулю, то мы получим
\[
D \xi_{x}^{\prime \prime}=\frac{D x}{2 l h^{\prime}}\left(\dot{\alpha}_{x+l h^{\prime} t}-\dot{\alpha}_{x-l h^{\prime} t}\right),
\]

а отсюда, переходя от разностей к суммам
\[
\xi_{x}^{\prime \prime}=\frac{1}{2 l h^{\prime}} \mathbf{S}\left(\dot{\alpha}_{x+l h^{\prime} t}-\dot{\alpha}_{x-l h^{\prime} t}\right) D x .
\]
54. Как видим, әти суммы или интегралы выражают площади кривых, координаты которых равны $\alpha$; счет өтих площадей следует начинать только с точек, где $x=0$ или где абсциссы равны $l h^{\prime} t$ и $-l h^{\prime} t$; однако удобнее начинать счет с общего начала абсцисс, каковым является внепний край отрезка $l$. Для этой цели следует из площади, начинающейся в указанной точке и соответствующей абсциссе $x+l h^{\prime} t$, вычесть площадь, соответствующую абсциссе $l h^{\prime} t$, с тем, чтобы оставшаяся площадь начиналась в точке $x=0$; что же касается площади, соответствующей абсциссе $x$ – $l h^{\prime} t$, то к ней следует прибавить площадь, соответствующую – $l h^{\prime} t$, с тем, чтобы ее начало отнести к той же точке начала абсцисс.

Обозначим вообще через $\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{x}$ всякую площадь, которая начинается в этом начале и которая соответствует какой-либо абсдиссе $x$; согласно тому, что мы сказали выше, мы имеем в выражении для $\xi_{x}^{\prime \prime}$
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} \dot{\alpha}_{x+l h^{\prime} t} D x=\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{x+l h^{\prime} t}-\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{l h^{\prime} t}, \\
\mathbf{S}_{\alpha_{x-l h^{\prime} t}} D x=\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{x-l h^{\prime} t}+\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{-l h^{\prime} t} .
\end{array}
\]

Подставим әти значения и заметим, что вообще
\[
\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{l h^{\prime} t}+\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{-l h^{\prime} t}=0,
\]

так как согласно природе кривой величин $\dot{\alpha}$ ординаты, соответствующие равным, но с противоположными знаками, абсциссам, тоже между собою равны и имеют противоположные знаки; так что мы всегда имеем $\dot{\alpha}_{l h^{\prime} t}+\dot{\alpha}_{-l h^{\prime} t}=0$.
Таким образом мы получим просто (предыд. пункт)
\[
\xi_{x}^{\prime \prime}=\frac{1}{2 l h^{\prime}}\left[\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{x+l h^{\prime} t}-\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{x-l h^{\prime} t}\right] .
\]
55. Наконец, соединив значения $\xi_{x}^{\prime}$ и $\xi_{x}^{\prime \prime}$, мы получим следующее общее выражение для $\xi_{x}$ к концу любого времени $t$ :
\[
\begin{array}{l}
\xi_{x}=\frac{1}{2}\left(\alpha_{x+l h^{\prime} t}+\alpha_{x-l h^{\prime} t}\right)+ \\
\quad+\frac{1}{2 l h^{\prime}}\left[\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{x+l h^{\prime} t}-\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{x-l h^{\prime} t}\right] .
\end{array}
\]

Аналогичные выражения получаются для переменных $\eta_{x}, \zeta_{x}$, если только вместо $h^{\prime}$ поставить $h$ и вместо $\alpha, \dot{\alpha}$ поставить $\beta, \dot{\beta}, \gamma$ и $\dot{\gamma}$ и если предположить, что мы, как и раньше, построили кривые, соответствующие начальным значениям $\beta, \dot{\beta}$ и $\gamma, \dot{\gamma}$.

Определив таким образом продольные смещения $\xi_{x}$ и поперечные смещения $\eta_{x}$ и $\zeta_{x}$ каждой точки струны, соответствующей взятой на оси абсциссе $x$, мы будем знать состояние струны к концу любого времени $t$, истекшего с начала движения, а так как начальные значения $\alpha, \beta, \gamma$, равно как $\dot{\alpha}, \dot{\beta}, \dot{\gamma}$, совершенно произвольны, то мы видим, что ничто не может ограничить этого решения, лишь бы кривые, составленные по этим значениям, имели непрерывно изменяющуюся кривизну и не образовали каких-либо конечных углов, в результате чего могли бы возникнуть скачки в выражениях для скоростей и для ускоряющих сил.

Мы положили (п. 35) $h=\sqrt{\frac{\bar{F}}{\overline{\boldsymbol{M}}}}, h^{\prime}=\sqrt{\frac{\overline{\boldsymbol{F}^{\prime}}}{\bar{M}}}$, где $l$ – длина струны и $M$ – масса всех расположенных на ней грузов (п. 33); таким образом $M$ будет массой или весом всей струны, которая согласно допущению имеет постоянную плотность следовательно, если через $P$ обозначим удельный вес струны, зависящий от ее плотности и толщины, то мы будем иметь $M=l P ;$ итак, мы получим
\[
h=\frac{1}{l} \sqrt{\frac{F}{P}}, \quad h^{\prime}=\frac{1}{l} \sqrt{\frac{F^{\prime}}{P}} .
\]

Что касается величин $F$ п $F^{\prime}$, то мы видели, что они представляют собою две постоянные величины, из которых одна, $F$, выражает натяжение струны и, следовательно, пропорциональна натягивающему еө грузу, а другая, $F^{\prime}$, зависит от закона, выражающего зависимость этого натяжения от растяжения струны (п. 32).
56. Если хоть немного исследовать вид кривых, представляющих значения $\alpha$ и $\dot{\alpha}$, то легко видеть, что ординаты, удаленные друг от друга на расстояние $2 l$, всегда мөжду собою равны и имеют одинаковый знак и что площади, заканчивающиеся на этих ординатах, тоже между собою равны, так как вся площадь, соответствующая промежутку в $2 l$, взятая в любом месте оси, продолженной до бесконечности, всегда равна нулю, ибо она составлена из двух частей, равных между собою, но имеющих противоцоложные знаки.

Отсюда следует, что значение $\xi_{x}$ остается неизменным, если время $t$ увеличить на $\frac{2}{h^{\prime}}$ или на любое кратное өтой величины; следовательно, продольные смещения струны становятся одинаковыми к конду щромежутка времени, равного $\frac{2}{\bar{h}^{\prime}}$ или $2 l \sqrt{\frac{\bar{P}}{F^{\prime}}}$; это продолжительность продольных колебаний.

То же самое относится к значениям $\eta_{x}$ и $\zeta_{x}$, если вместо $h^{\prime}$ взять $h$, т. е. вместо $F^{\prime}$ взять $F$; следовательно, продолжительность поперечных колебаний равна $2 l \sqrt{\bar{P}}$.

Все авторы, писавшие до сих пор по вопросу о колебаниях звучащих струн, исследовали только поперечные колебания, причем для их продолжительности они нашли ту же самую формулу, какую мы дали выше.

Что касается продольных колебаний, то насколько я знаю только Хладный (Chladni) упомянул о них в своем интересном трактате по акустике, § 43; он указывает способ их получения на скрипичной струне и отмечает, что сообщаемый ими тон отличается от тона, получаемого при поперечных колебаниях; откуда следует, что $F^{\prime}$ отлично от $F$; таким образом при наличии весьма вероятной гипотезы, что упругая сила, с которой каждый элемент струны сопротивляется своему растяжению или укорочению, пропорциональна некоторой степени $m$ этого әлемента, т. ө. что $\Phi=K(D s)^{m}$ (п. 14), $m$ должно быть отлично от единицы (п. 32), иесли, как, повидимому, полагал Хладный, продольный тон всегда выше поперечного, мы должны иметь $F^{\prime}>F$ и, следовательно, $m>1$.
57. Мы видели (п. 36), что натянутая струна длины $l$, нагруженная $n$ телами, может двигаться таким образом, как если бы она имела только длину $\frac{l}{v}$, где $
u$ является делителем $n+1$. Когда $n-$ бесконечно большое число, v может быть любым целым числом; таким образом звучащая струна длины $l$ может колебаться подобно струне, длина которой составляет $\frac{v}{l}$, т. е. некоторую аликвотную часть $l$; продолжительность ее колебаний сводится тогда к $\frac{2 l}{v} \sqrt{\frac{\bar{P}}{F^{\prime}}}$ для продольных колебаний и к $\frac{2 l}{v} \sqrt{\frac{P}{F}}$ – для поперечных.

В самом деле, если начальные произвольные значения $\alpha$ и $\dot{\alpha}$ таковы, что кривые, или места этих значений на оси $l$, разделяют эту ось на две или на $
u$ равных частей и ветви, соответствующие этим частям, одинаковы, но расположены попеременно выше. и ниже оси, так что на равных расстояниях по обе стороны от каждой из точек раздела ординаты равны и имеют противоположный знак, то әти кривые, будучи затем продолжены до бесконечпости, будут согласно построению п. 49 иметь тот же вид, как если бы они получились из струны, длина которой составляет только $\frac{l}{v}$, а общее выражение $\xi_{x}$ (п. 52) показывает, что значения $\xi$, соответствующие точкам раздела, всегда равны нулю; таким образом при продольных своих колебания струна сама собою делится на соответствующее число равных частей, которые колеблются таким образом, как если бы их концы были неподвижны.

То же самое относится и к поперечным колебаниям, представленным переменными $\eta$ и $\zeta$.
58. Так как тон, издаваемый звучащей струной, зависит только от продолжительности ее изохронных колөбаний, которая для одной и той же натянутой струны пропорциональна ее длине, то отсюда следует, что струна, разделяясь сама собою на равные части, издает такие тона, которые относятся к главному тону, когда струна колеблется вся целиком, как дроби, выражающие әти части, относятся к единице. Следовательно, когда струна делится на 2,3 , $4, \ldots$ равные части, то эти тоны выражаются дробями $\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots$ и, значит, составляют октаву, дуодедиму, двойну ю октаву, септендециму ит.д.основноготона.

Эти тоны, которые струна сама собою может издавать, называют гармоническими тонами; известно, что их можно но желанию вызвать, если во время колебания струны слегка прикоснуться к ней в одной из точек раздела, которыө называют узлами колебаний, – вслед за Совером (Sauveur), который с помощью этих узлов вщервые в Mémoires de l’Académie des Sciences за 1701 г. объяснил гармонические тоны однострунной лиры и других инструментов. Валлис (Wallis) наблюдал их уже у струн, настроенных на октаву, дуодециму, двойную октаву и т. д. ниже той струны, которую заставляли звучать; они колебались естественно разделяясь на две, три, четыре,… равные части, из которых каждая могла издавать тот же самый тон, какой издавала струна,которую заставляли звучать. (См. главу 107 его «Алгебры».)
59. Теория и опыт находятся между собою в хорошем согласии по вопросу о получении гармонических тонов; но не так легко найти причину того явления, которое вслед за Рамо (Rameau), положившего его в основание своей системы, называют резонансом звучащего тела и которее заключается в соединении гармонических тонов с основным тоном у всякой струны, которую заставляют звучать любым образом.

Если эти гармонические тона действительно издаются струной одновременно с ее основным звуком, то следует предположить, что струна одновременно совершает целые колебания и частичные и что ее действительные колебания состоят из этих различных колебаний, подобно тому как всякое движение может быть составлено или может считаться составленным из многих других движений.

Раньше (п. 47) мы уже видели, что с помощью формулы Даниила Бернулли невозможно достаточно ясно объяснить одновременное существование гармонических тонов; к этому можно добавить, что ряды, которые могли бы дать эти различные тоны, исчезают из формулы, когда мы допускаем, что число тел бесконечно велико и что при этом допущении, как мы это недавно доказали, для каждой точки струны получается закон простой и однообразной изохронности, непосредственно и просто зависящий от начального состояния.

Впрочем, өсли бы мы пожелали во что бы то ни стало объяснить многократный резонанс струн с помощью сложных колебаний, то нам пришлось бы, например, считать, что начальная фигура струны составилась из различных наложенных друг на друга кривых, так что одна из них является осью для следующей, причем первая образует на всем протяжении струны только одну ветвь; вторая образует две ветви, равные и расположенные симметрично, разделяющие ось на две равные части; третья образует три равные ветви, разделяющие ось на три равные части, и так далее.

Колебания струны можно тогда считать составленными из целых колебаний по всей длине струны и из колебаний, соответствующих только половине струны, трети ее, четверти и т. д. Но так как подобное сложение кривых и колебаний является только гипотетическим, то выводы, которые отсюда можно было бы сделать по вопросу об одновременном существовании гармонических тонов, были бы совершенно ненадежными.
60. Вернемся теперь к общей формуле, найденной в п. 55 . Так как величины $\alpha_{x+l h^{\prime} t}$ и $\alpha_{x-l h^{\prime} t}$ являются координатами заданной кривой, соответствующими абсциссам $x+l h^{\prime} t$ и $x-l h^{\prime} t$, то их можно представить с помощью функций этих абсцисс одного и того же вида. Если обозначим символом $F$ неопределенную функцию, то мы будем иметь
\[
\alpha_{x+l h^{\prime} t}=F\left(x+l h^{\prime} t\right), \quad \alpha_{x-l h^{\prime} t}=F\left(x-l h^{\prime} t\right) .
\]

Вместе с тем, если взять другую функцию, обозначенную символом $t$, то можно положить
\[
\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{x+l h^{\prime} t}=f\left(x+l h^{\prime} t\right),\left(\int \dot{\alpha} d x\right)_{x-l h^{\prime} t}=f\left(x-l h^{\prime} t\right) .
\]

Таким образом выражение для $\xi_{x}$ (п. 55) может быть представлено в следующем виде:
\[
\left.\xi_{x}=\frac{F\left(x+l h^{\prime} t\right)+F\left(x-l h^{\prime} t\right)}{2}+\frac{f\left(x+l h^{\prime} t\right)-f\left(x-l h^{\prime}\right.}{2 l h^{\prime}}\right),
\]

где функции, обозначенные символами $F$ и $f$, являются шроизгольными, так как они зависят тольно от начального состояния струны.

Это выражение можно представить и в более простом виде, приняв во внимание, что $\frac{F\left(x+l h^{\prime} t\right)}{2}+$ $+\frac{f\left(x+l h^{\prime} t\right)}{2 l h^{\prime}}$ представляет собою собственно только одну функцию $x+l h^{\prime} t$, которую можно обозначить символом $\Phi$, и что $\frac{F\left(x-l h^{\prime} t\right)}{2}-\frac{f\left(x-l h^{\prime} t\right)}{2 l h^{\prime}}$ тоже представляет собою только одну функцию $x-l h^{\prime} t$, однако отличную от предыду щей, которую можно обозначить другим символом $\Psi$ :

Указанным образом общее выражение для $\xi$ будет приведено к следующему виду:
\[
\xi=\Phi\left(x+l h^{\prime} t\right)+\Psi\left(x-l h^{\prime} t\right) .
\]
61. К этому выражению можно притти и непосредственно, пользуясь дифференциальным уравнением, определяющим переменную $\xi$ (II. 31). Если положить $\frac{\partial \Pi}{\partial a}=0$ и принять, как в п. $32, F^{\prime}=$ const, a символ $D$ конечных разностей заменить символом $d$ бесконечно малых разностей, то указанное уравнение примет следующий вид:
\[
\frac{\partial^{2} \xi}{\partial t^{2}} d m-F^{\prime} d\left(\frac{\partial \xi}{\partial f}\right)=0
\]

Если теперь положить $d f=d x, d m=\frac{M}{l} d x$ и $h^{\prime}=$ $=\sqrt{\frac{\bar{F}^{\prime}}{l M}}$ а то это уравнение получит следующий вид:
\[
\frac{\partial^{2} \xi}{\partial t^{2}}-l^{2} \cdot h^{\prime 2} \frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}}=0 ;
\]

это – уравнение в частных дифференциалах второго порядка между тремя переменными $\xi, x, t$, полным интегралом которого является уравнение
\[
\xi=\Phi\left(x+l h^{\prime} t\right)+\Psi\left(x-l h^{\prime} t\right),
\]

где знаки $\Phi$ и $\Psi$, как и раньше, обозначают две проиввольные функции.

Эти функции должны быть определены с помощью начального состояния струны и с помощью условий, что оба конца неподвижны. Если их разложить на две другие функции, обозначенные символами $F$ и $f$, и притом такие, что $\Phi=\frac{F}{2}+\frac{f}{2 l h^{\prime}}$ и $\Psi=\frac{F}{2}-\frac{f}{2 l h^{\prime}}$, то мы получим
\[
\xi=\frac{F\left(x+l h^{\prime} t\right)+F\left(x-l h^{\prime} t\right)}{2}+\frac{f\left(x+l h^{\prime} t\right)-f\left(x-l h^{\prime} t\right)}{2 l h^{\prime}},
\]

как мы әто вывели раньше из своего построения; первое суловие, если положить $t=0$, дает
\[
\xi=F(x)=\alpha \text { и }{ }^{\prime}{ }_{\partial t}^{\partial t}=f^{\prime}(x)=\dot{\alpha},
\]

откуда следует
\[
f(x)=\int \dot{\alpha} d x
\]

таким образом с помощью начальных значений $\alpha$ и $\dot{\alpha}$ мы тотчас же получаем значения функций $F(x)$ и $f(x)$ на всем протяжении $l$ струны.

Условия неподвижности концов струны дают $\xi=0$, когда $x=0$ и когда $x=l$, каково бы ни было знаqение $t$. Если обе функции $F$ и $f$ отдельно подчинить указанным двум условиям, что вшолне допустимо, то для первой из них мы получим
\[
F\left(-l h^{\prime} t\right)=-F\left(l h^{\prime} t\right), F\left(l+l h^{\prime} t\right)=-F\left(l-l h^{\prime} t\right)
\]

и для второй
\[
f\left(-l h^{\prime} t\right)=f\left(l h^{\prime} t\right), f\left(l+l h^{\prime} t\right)=f\left(l-l h^{\prime} t\right),
\]

что с помощью дифференцирования дает
\[
-f^{\prime}\left(-l h^{\prime} t\right)=f^{\prime}\left(l h^{\prime} t\right)^{\cdot}, f^{\prime}\left(l+l h^{\prime} t\right)=-f^{\prime}\left(l-l h^{\prime} t\right) \text {; }
\]

отсюда видно, что условия, которым должна удовлетворять функция $f^{\prime}$, те же, что и для функции $F$.

Эти условия определяют значения функций $F(x)$, $f^{\prime}(x)$ для абсцисс $x$, отрицательных или превышающих $l$, соответственно значениям этих функций для абсцисс, лежащих между 0 и $l$; легко видеть; что отсюда получаются построения, данные в і. 52 и 53 .

Если вместо продольных смещений $\xi$ рассмотреть поперечные смещения $\eta$ или $\zeta$, то мы получим то же самое дифференциальное уравнение и, следовательно, тот же интеграл и те же построения, при этом придется лишь вместо $h^{\prime}$ взять $h$ и вместо $\dot{\alpha}, \alpha$ взять $\dot{\beta}, \beta$ или $\dot{\gamma}, \gamma$.

Эти построения походят на те, какие дал Эйлер, чтобы определить вид струны в любой момент времени, исходя из ее начального вида, отвлекшись при этом от скоростей, сообщенных ей в начале движения. Следует, однако, отметить, что так как эти построения основаны только на функциях, представляющих интегралы уравнений в частных дифференциалах, то они не могут иметь более широкой области применения, чем то, какое допускает природа функций, будь то алгебраические функции или трансцендентные. А так как дифференциальное уравнение для всех точек струны и для всех моментов ее движения остается одним итем же, то выражаемое им соотношение должио постоянно и равномерно сохраняться между переменными, в какой бы области они ни изменялись; отсюда следует, что хотя произвольные функции сами по себе имеют неопределенный вид, тем не менее, когда этот вид на известном промежутке задан начальным состоянием струны, то отсюда естественно можно сделать вывод, что эта форма должна оставаться одной и той же во всей области функции и что ее нельзя изменять с целью подчинить условиям, связанным с принятой неподвижностью конщов струны.

И Даламбер, которому мы обязаны нахождением этого интеграла в произвольных функциях, всегда утверждал, что вытекающее отсюда построение только тогда законно, когда начальная кривая имеет такой вид, что в силу своей природы она имеет равные и подобные ветви, попеременно лежащие выше и ниже оси и которые все заключаются в одном и том же уравнении, для того, чтобы та же функция могла представить данную кривую со всеми ее ветвями, до бесконечности. Наоборот, Эйлер, принимая аналитическое решение Даламбера, полагал, что для образования непрерывной кривой достаточно перемещать начальную кривую попеременно вверх и вниз от оси до бесконечности, не заботясь о том, могут ли различные ветви быть связаны одним и тем же уравнением и подчинены закону непрерывности аналитических функций. Cм. Mémoires de Berlin за 1747 и 1748 гг. и т. I и IV «Opuscules» Даламбера.
62. Формулы, дающие движение натянутой струны, нагруженной неопределенным числом равных тел; не вызывают никаких затруднений, поскольку движение каждого тела определяется частным уравнением; ясно, что если өти же формулы можно применить к движению струны постоянной плотности, допуская; что число тел бесконечно велико, а их взаимные расстояния бесконечно малы, то закон, который отсюда получится для колебаний струны, будет совершенно независим от ее первоначального состояния; и если этот закон окажется тем же, какой получается из рассмотрения произвольных функций, то тем самым будет доказано, что эти функции могут быть любого вида, непрерывного или прерывного, лишь бы только они представляли начальное состояние струны. Этим именно путем я в первом томе Mémoires de Turin доказалі правильность построения Эйлера, которое до тех пор еще не было достаточно обосновано. Примененный мною там анализ, за исключением некоторых упрощений, которые я ввел с тех пор, совершенно подобен тому, какой я дал сейчас; я полагал, что его следует
привести и в настоящейі работе, так как он прямо приводит к строгому разрешению одного из наиболее интересных вопросов механики.

Общность произвольных функций и их независимость от закона непрерывности, доказанные для интеграла уравнения, относящегося к колебаниям звучащих струн, дает основание считать, что эти функции могут быть аналогичным образом применены при интегрировании других уравнений в частных дифферещиалах; я сам во втором томе указанных Mémoires показал, каким образом многие из этих уравнений можно проинтегрировать, не рассматривая произвольных функций, и при әтом притти к тем же решениям, какие можно получить с помощью этих функций, рассматриваемых во всем их объеме.

В настоящее время принцип прерывности функций является общепринятым для интегралов всех уравнений в частных дифференциалах, и построения, которые Монж (Monge) дал для большого количества этих уравнений, соединенные с теорией образования поверхностей с помощью произвольных функций, не оставляют больше никакой неясности в вопросе о применении прерывных функций в проблемах, зависящих от такого рода уравнений.
63. Заслуживает быть отмеченным, что та же формула
\[
\xi=\Phi(x+k t)+\Psi(x-k t),
\]

которая удовлетворяет уравнению в частных дифференциалах
\[
\frac{\partial^{2} \xi}{\partial t^{2}}-k^{2} \frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}}=0,
\]

дает решение такого же уравнения в конечных разностях, которое может быть представлено в следующем виде:
\[
\frac{D^{2}, \xi}{D t^{2}}-k^{2} \frac{D^{2}, \xi}{D x^{2}}=0
\]

если только положить $D x=k D t$ и считать $D t$ постоянным. В самом деле, если ивменять только $x$, то
\[
\begin{aligned}
L^{2}, \Phi(x+k t)= & \Phi(x+D x+k t)- \\
& -2 \Phi(x+k t)+\Phi(x-D x+k t),
\end{aligned}
\]

а если изменять только $t$, то
\[
\begin{aligned}
L^{2}, \Phi(x+k t) & =\Phi(x+k t+k D t)- \\
& -2 \Phi(x+k t)+\Phi(x+k t-k D t) ;
\end{aligned}
\]

эти выражения становятся равными, если положить $D x=k D t$; то же самое можно получить для функции $\Psi(x-k t)$.

При бесконечно малых величинах условие $d x=k d t$ отпадает, и интеграл всегда существует; основание әтого заключается в том, что в данном случае выражение $\frac{\partial^{2} \xi}{\partial t^{2}}$; которое по виду представляет второй дифференциал $\xi$, разделенный на квадрат дифференциала $t$, является не чем иным, как символом, выражающим простую функцию $t$, производную первоначальной функции $\xi$ и отличной от этой функции, которая совершенно не зависит от значения $d t$. То же самое верно и-для выражения $\frac{\partial^{2} \xi}{\partial x^{2}}$ по отношению к $x$; в этом превращении функций фактически и заключается переход от конечных величин к бесконечно малым и самая сущность дифференциального исчисления.
64. Я добавлю здесь еще одно замечание, которое может оказаться полезным во многих случаях. Я имею в виду новый метод интерполяции, вытекающий из формул п. 48.
Мы видели, что вөличина
\[
\frac{2}{n+1} \sum\left[\sin \left(\frac{r \rho \pi}{n+1}\right) \mathbf{S} \alpha_{s} \sin \left(\frac{s \rho \pi}{n+1}\right)\right]
\]

становится равной $\alpha_{r}$, когда $r=1,2,3, \ldots, n$. Следовательно, если имеется ряд величин $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots, \alpha_{n}$, число которых равно $n$, то можно с помощью приведенной формулы выразить любой промежуточный член, порядок которого обозначен любым целым или дробным числом $r$, так как если последовательно принять $r=1,2,3, \ldots, n$, то формула дает $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \ldots, \alpha_{n}$. Символ $\mathbf{S}$ обозначает сумму всех членов, соответствующих $s=1,2,3, \ldots, n$, а символ $\Sigma$ – сумму всех членов, соответству ющих $\rho=1,2,3, \ldots, n$, причем $\pi$ обозначает угол, соответствующий двум прямым.

Допустим, что задан только один член $\alpha_{1}$; положим $n=1, s=1, p=1$; тогда мы получим для общего выражения $\alpha_{r}$
\[
\alpha r=\alpha_{1} \sin \frac{r \pi}{2} .
\]

Пусть $n=2$ и пусть два заданных члена равны – $\alpha_{1}, \alpha_{2}$; если положить $s=1,2, p=1,2$, то мы получим
\[
\alpha_{r}=\frac{2}{3}\left(A^{\prime} \sin \frac{r \pi}{3}+A^{\prime \prime} \sin \frac{2 r \pi}{3}\right)
\]

где принято
\[
\begin{array}{l}
A^{\prime}=\alpha_{1} \sin \frac{\pi}{3}+\alpha_{2} \sin \frac{2 \pi}{3}, \\
A^{\prime \prime}=\alpha_{1} \sin \frac{2 \pi}{3}+\alpha_{2} \sin \frac{4 \pi}{3} .
\end{array}
\]

Пусть $n=3$ и пусть заданные члены равны $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$; положим $s=1,2,3$ и $\rho=1,2,3$; тогда мы получим
\[
\alpha_{r}=\frac{2}{4}\left(A^{\prime} \sin \frac{r \pi}{4}+A^{\prime \prime} \sin \frac{2 r \pi}{4}+A^{\prime \prime \prime} \sin \frac{3 r \pi}{4}\right) \text {. }
\]

где коәффициенты $A^{\prime}, A^{\prime \prime}, A^{\prime \prime \prime}$ определяются следующими формулами:
\[
\begin{array}{l}
A^{\prime}=\alpha_{1} \sin \frac{\pi}{4}+\alpha_{2} \sin \frac{2 \pi}{4}+\alpha_{3} \sin \frac{3 \pi}{4}, \\
A^{n}=\alpha_{1} \sin \frac{2 \pi}{4}+\alpha_{2} \sin \frac{4 \pi}{4}+\alpha_{3} \sin \frac{6 \pi}{4}, \\
A^{\prime \prime \prime}=\alpha_{1} \sin \frac{3 \pi}{4}+\alpha_{2} \sin \frac{6 \pi}{4}+\alpha_{3} \sin \frac{9 \pi}{4},
\end{array}
\]

и так далее.

При обычном методе интерполирования допускают, что через концы ординат, представляющих заданные члены, мы провоцим цараболическую кривую вида
\[
y=a+b x+c x^{2}+d x^{3}+\cdots
\]

При изложенном выше методе вместо параболической кривой, принимают кривую вида
\[
y=A^{\prime} \sin \frac{\pi x}{a}+A^{\prime \prime} \sin \frac{2 \pi x}{a}+A^{\prime \prime \prime} \sin \frac{3 \pi x}{a}+\cdots
\]

Существует очень много случаев, когда последнее допущение можно предпочесть, как более соответствующее природе задачи.