29. Рассмотрим сначала случай совершенно гибкой и нерастяжимой нити. Так как элемент $d s$ кривой, образуемой нитью, выражается через
\[
\sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}
\]

то ввиду условия нерастяжимости нити необходимо, чтобы $d s$ было постоянной величиной и, следовательно, чтобы по отношению к каждому элементу нити имело место следующее неопределенное условное уравнение: $\delta d s=0$. Поэтому, если мы $\delta d s$ умножим на неопределенную величину $\lambda$ и возьмем полный интеграл, то мы получим $\mathbf{S} \lambda \delta d s$; если у нас сверх того никаких условных уравнений не имеется, то мы получим общее уравнение равновесия, если приравняем нулю сумму двух интегралов $\mathbf{S} \delta \Pi d m$ и $\mathbf{S} \lambda \delta d s$.

Но так как $d s=\sqrt{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}$, то путем дифференцирования в смысле $\delta$ мы получим
\[
\delta d s=\frac{d x \delta d x+d y \delta d y+d z \delta d z}{d s} ;
\]

следовательно,
\[
\mathbf{S}_{\lambda} \delta d s=\mathbf{S}_{\lambda} \frac{d x}{d s} \delta d x+\mathbf{S}_{\lambda} \frac{d y}{d s} \delta d y+\mathbf{S}_{\lambda} \frac{d z}{d s} \delta d z ;
\]

переменив $\delta d$ на $d \delta$ и проинтегрировав по частямс тем, чтобы избавиться от символа $d$ перед $\delta$, — на основе правил, изложенных в пункте 15 отдела IV, мы получим следующие преобразованные уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} \lambda \frac{d x}{d s} \delta d x=\lambda^{\prime \prime} \frac{d x^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}} \delta x^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d s^{\prime}} \delta x^{\prime}-\mathbf{S} d \frac{\lambda d x}{d s} \delta x, \\
\mathbf{S} \lambda \frac{d y}{d s} \delta d y=\lambda^{\prime \prime} \frac{d y^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}} \delta y^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d s^{\prime}} \delta y^{\prime}-\mathbf{S} d \frac{\lambda d y}{d s} \delta y, \\
\mathbf{S} \lambda \frac{d z}{d s} \delta d z=\lambda^{\prime \prime} \frac{d z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}} \delta z^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d s^{\prime}} \delta z^{\prime}-\mathbf{S} d \frac{\lambda d z}{d s} \delta z .
\end{array}
\]

Таким образом общее уравнение равновесия приобретет следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{S}\left[\left(X d m-d \frac{\lambda d x}{d s}\right) \delta x+\left(Y d m-d \frac{\lambda d y}{d s}\right) \delta y+\right. \\
\left.+\left(Z d m-d \frac{\lambda d z}{d s}\right) \delta z\right]+ \\
+\lambda^{\prime \prime} \frac{d x^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}} \delta x^{\prime \prime}+\lambda^{\prime \prime} \frac{d y^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}} \delta y^{\prime \prime}+\lambda^{\prime \prime} \frac{d z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}} \delta z^{\prime \prime}- \\
-\lambda^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d s^{\prime}} \delta x^{\prime}-\lambda^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d s^{\prime}} \delta y^{\prime}-\lambda^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d s^{\prime}} \delta z^{\prime}=0
\end{array}
\]
30. Сначала положими равными нулю (отд. IV, п. 16) коэффициенты при $\delta x, \delta y, \delta z$ под знаком интеграла и получим следующие три частных и неопределенных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
X d m-d \frac{\lambda d x}{d s}=0 \\
Y d m-d \frac{\lambda d y}{d s}=0 \\
Z d m-d \frac{\lambda d z}{d s}=0
\end{array}
\]

по исключении неопределенной величины $\lambda$ у нас останутся два уравнения, которые послужат для определения кривой, образуемой нитью.

Это исключение очень легко осуществить: для этого достаточно только проинтегрировать приведенные уравнения, что даст нам следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\lambda \frac{d x}{d s}=A+\int X d m, \\
\lambda \frac{d y}{d s}=B+\int Y d m, \\
\lambda \frac{d z}{d s}=C+\int Z d m,
\end{array}
\]

где $A, B$ и $C$-произвольные постоянные; далее, после исключения $\lambda$ получится
\[
\frac{d y}{d x}=\frac{B+\int Y d m}{A+\int X d m}, \quad \frac{d z}{d x}=\frac{C+\int Z d m}{A+\int X d m} ;
\]

эти уравнения совпадают с известными формулами цепной линии.

Если бы мы захотели прямс притти к чисто дифференциальным уравнениям, не содержащим знака $\int$, то можно было бы найденные уравнения привести к следующему виду:
\[
\begin{array}{l}
X d m-\lambda d \frac{d x}{d s}-\frac{d x}{d s} d \lambda=0, \\
Y d m-\lambda d \frac{d y}{d s}-\frac{d y}{d s} d \lambda=0, \\
Z d m-\lambda d \frac{d z}{d s}-\frac{d z}{d s} d \lambda=0,
\end{array}
\]

откуда, после исключения $d \lambda$, мы получим сначала следующие два уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{X d y-Y d x}{d s} d m=\lambda\left(\frac{d y}{d s} d \frac{d x}{d s}-\frac{d x}{d s} d \frac{d y}{d s}\right), \\
\frac{X d z-Z d x}{d s} d m=\lambda\left(\frac{d z}{d s} d \frac{d x}{d s}-\frac{d x}{d s} d \frac{d z}{d s}\right) .
\end{array}
\]

Затем, если те же уравнения помножить соответственно на $\frac{d x}{d s}, \frac{d y}{d s}, \frac{d z}{d s}$ п затем сложить, то в силу соотношения
\[
\frac{d x}{d s} d \frac{d x}{d s}+\frac{d y}{d s} d \frac{d y}{d s}+\frac{d z}{d s} d \frac{d z}{d s}=\frac{1}{2} d \frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{d s^{2}}=0
\]

мы получим уравнение
\[
\left(X \frac{d x}{d s}+Y \frac{d y}{d s}+Z \frac{d z}{d s}\right) d m=d \lambda ;
\]

в это последнее уравнение остается только подставить последовательно значения $\lambda$, полученные из двух предыдущих уравнений.
31. Так как величина $\lambda \delta d s$ может представлять собою момент некоторой силы $\lambda$, стремящейся уменьшить длину элемента $d s$ (отд. IV, п. 6), то член $\mathbf{S} \lambda \delta d s$ общего уравнения равновесия нити (п. 29) выразит сумму моментов всех сил $\lambda$, которые мы можем себе представить действующими на все элементы нити. В самом деле, благодаря своей нерастяжимости каждый элемент противостоит действию внешних сил, и это сопротивление обычно рассматривают как активную силу, которую называют натяжением. Таким образом $\lambda$ представляет собою натяжение нити.
32. Что касается условия нерастяжимости нити, которое выражается неизменностью каждого элемента кривой $d s$, то его нельзя ввести в уравнение взамен неопределенной величины $\lambda$, как это можно сделать в том случае, когда нить образует собою многоугольник, — так как согласно природе дифференциального исчисления абсолютное значение элементов кривой и вообще всех бесконечно малых элементов остается неопределенным; однако по тем же основаниям нет нужды в том, чтобы число уравнений было равно числу переменных; для определения линии,будь то линия простой, или двойной кривизны, достаточно иметь уравнений на единицу меньше, чем переменных. Таким образом решение, найденное нами с помощью нашего метода, является с точки зрения дифференциальных уравнений полным и требует лишь последующего интегрирования, которое уже зависит от выражений для сил $X, Y, Z$.
33. Рассмотрим теперь те члены общего уравнения п. 29 , которые не находятся под знаком $\mathbf{S}$, и допустим сначала, что нить совершенно свободна. В таком случае вариации $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$ и $\delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}$, соответствующие двум крайним точкам нити, будут совершенно неопределенными и произвольными; следовательно, каждый член. в состав которого входят эти вариации, должен сам по себе быть равным нулю. Таким образом мы должны иметь $\lambda^{\prime}=0$ и $\lambda^{\prime \prime}=0$, т. е. значения $\lambda$ в начале и в конце нити должны быть равны нулю.Этим условиям можно удовлетворить при посредстве постоянных величин. Первые три интегральные уравнения п. 30 дают для первой точки нити, где величины, выраженные знаком $\int$, равны нулю,
\[
\lambda^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d s^{\prime}}=A, \quad \lambda^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d s^{\prime}}=B, \quad \lambda^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d s^{\prime}}=C,
\]

а для последней точки, где знак $\int$ превращается в $\mathbf{S}$,
\[
\begin{array}{l}
\lambda^{\prime \prime} \frac{d x^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}=A+\mathbf{S} X d m, \\
\lambda^{\prime \prime} \frac{d y^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}=B+\mathbf{S} Y d m, \\
\lambda^{\prime \prime} \frac{d z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}=C+\mathbf{S} Z d m ;
\end{array}
\]

поэтому в рассматриваемом случае мы имеем
\[
A=0, \quad B=0, \quad C=0
\]

и
\[
\mathbf{S} X d m=0, \quad \mathbf{\$} Y d m=0, \quad \mathbf{\$} Z d m=0 .
\]

Эти три уравнения, как видим, соответствуют уравнениям пункта 12 настоящего отдела.
34. Предположим, во-вторых, что нить закреплена на одном из своих концов или на обоих концах. Если нить закреплена на первом своем конце, то вариации $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$ равны нулю, поэтому достаточно приравнять нулю коәффициенты вариаций $\delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}$, т. е. положить $\lambda^{\prime \prime}=0$.

По тем же основаниям, если второй конец неподвижен, достаточно положить $\lambda^{\prime}=0$. Если же оба конца закреплены, то не приходится выполнять никаких особых условий, так как все вариации $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}$, $\delta z^{\prime}, \delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}$ равны нулю.

35. Предположим, в-третьих, что концы нити прикреплены к кривым линиям или поверхностям, по которым они могут свободно скользить. Пусть, например, будут
\[
d z^{\prime}=a^{\prime} d x^{\prime}+b^{\prime} d y^{\prime}, \quad d z^{\prime \prime}=a^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}+b^{\prime \prime} d y^{\prime \prime}
\]
— дифферендиальные уравнения поверхностей, на которых закреплены первая и последняя точки нити. Тогда, меняя символ $d$ на $\delta$, мы получим
\[
\delta z^{\prime}=a^{\prime} \delta x^{\prime}+b^{\prime} \delta y^{\prime}, \quad \delta z^{\prime \prime}=a^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}+b^{\prime \prime} \delta y^{\prime \prime} ;
\]

эти значения следует подставить в рассматриваемые члены и затем приравнять нулю коэффициенты вариаций $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime} \delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}$.

Вообще, ту часть формулы, которая не находится под знаком интеграла в общем уравнении равновесия, можно трактовать таким образом, как если бы она существовала отдельно и как если бы она представляла собою уравнение равновесия двух отдельных тел, укрепленных на концах нити.
36. Предположим, например, что нить прикреплена обоими своими концами к концам рытага, который может поворачиваться вокруг некоторой неподвижной точки. Пусть $a, b, c$ будут три прямоугольные координаты, определяющие в пространстве положение этой неподвижной точки, т. е. точки опоры рычага; пусть, дальше, $f$ представляет собою расстояние между точкой опоры и тем концом рычага, к которому прикреплен первый конец нити; $g$ — расстояние между той же точкой опоры и другим концом рычага, к которому прикреплен второй конец нити; $h$-расстояние между обоими концами рычага, а следовательно, и между обоими концами нити; ясно, что эти шесть величин $a, b, c, f, g, h$ даны самой природой задачи; вместе с тем легко видеть, что если $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ представляют собою координаты начала кривой, образуемой нитью, и $x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}$ — координаты конца той же самой кривой, то мы имеем
\[
\begin{array}{l}
f=\sqrt{\left(a-x^{\prime}\right)^{2}+\left(b-y^{\prime}\right)^{2}+\left(c-z^{\prime}\right)^{2}}, \\
g=\sqrt{\left(a-x^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(b-y^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(c-z^{\prime \prime}\right)^{2}} \\
h=\sqrt{\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)^{2}} .
\end{array}
\]

А так как величины $f, g, h$ — постоянные, то при дифференцировании этих трех определенных условных уравнений в смысле $\delta$ мы получим
\[
\begin{array}{l}
\left(a-x^{\prime}\right) \delta x^{\prime}+\left(b-y^{\prime}\right) \delta y^{\prime}+\left(c-z^{\prime}\right) \delta z^{\prime}=0 \\
\left(a-x^{\prime \prime}\right) \delta x^{\prime \prime}+\left(b-y^{\prime \prime}\right) \delta y^{\prime \prime}+\left(c-z^{\prime \prime}\right) \delta z^{\prime \prime}=0 \\
\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)\left(\delta x^{\prime \prime}-\delta x^{\prime}\right)+\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)\left(\delta y^{\prime \prime}-\delta y^{\prime}\right)+ \\
+\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)\left(\delta z^{\prime \prime}-\delta z^{\prime}\right)=0 .
\end{array}
\]

Каждое из әтих уравнений следует цомножить на неопределенный коәффициент и затем все эти уравнения прибавить к общему уравнению равновесия. Таким образом, если взять $\alpha, \beta, \gamma$ в качестве упомянутых трех коэффициентов и приравнять нулю коэффициенты шести вариаций $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}, \delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}$, то мы получим точно такое же количество частных определенных уравнений, а именно:
\[
\begin{array}{l}
\alpha\left(a-x^{\prime}\right)-\gamma\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)-\lambda^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d s^{\prime}}=0, \\
\alpha\left(b-y^{\prime}\right)-\gamma\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)-\lambda^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d s^{\prime}}=0, \\
\alpha\left(c-z^{\prime}\right)-\gamma\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)-\lambda^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d s^{\prime}}=0, \\
\beta\left(a-x^{\prime \prime}\right)+\gamma\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)+\lambda^{\prime \prime} \frac{d x^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}=0, \\
\beta\left(b-y^{\prime \prime}\right)+\gamma\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)+\lambda^{\prime \prime} \frac{d y^{\prime \prime}}{d s^{n}}=0 . \\
\beta\left(c-z^{\prime \prime}\right)+\gamma\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)+\lambda^{\prime \prime} \frac{d z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}=0 .
\end{array}
\]

Путем исключения $\alpha, \beta, \gamma$ приведенные шесть уравнений сведутся к трем.

Если затем эти три уравнения соединить с приведенными выше тремя условными уравнениями, то мы получим возможность определить положение обоих концов нити.

Из изложенного ясно, как следует вести расчет в других подобных случаях.
37. Наконец, если помимо сил, действующих на каждую точку нити, имеются еще особые силы, приложенные к обоим концам нити и заданные величинами $X,{ }^{\prime} Y^{\prime}, Z^{\prime}$ для первого конца нити и величинами $X^{\prime \prime}, Y^{\prime \prime}, Z^{\prime \prime}$ для второго конца, то эти силы дадут моменты
\[
X^{\prime} \delta x^{\prime}+Y^{\prime} \delta y^{\prime}+Z^{\prime} \delta z^{\prime}+X^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}+Y^{\prime \prime} \delta y^{\prime \prime}+Z^{\prime \prime} \delta z^{\prime \prime} ;
\]

это выражение следует прибавить к первому члену общего уравнения равновесия, т. е. к той части его, которая не находится под знаком интеграла; вследствие этого упомянутая часть примет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\left(X^{\prime \prime}+\lambda^{\prime \prime} \frac{d x^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}\right) \delta x^{\prime \prime}+\left(Y^{\prime \prime}+\lambda^{\prime \prime} \frac{d y^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}\right) \delta y^{\prime \prime}+\left(Z^{\prime \prime}+\lambda^{\prime \prime} \frac{d z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}\right) \delta z^{\prime \prime}+ \\
+\left(X^{\prime}+\lambda^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d s^{\prime}}\right) \delta x^{\prime}+\left(Y^{\prime}-\lambda^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d s^{\prime}}\right) \delta y^{\prime}+\left(Z^{\prime}-\lambda^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d s^{\prime}}\right) \delta z^{\prime} ;
\end{array}
\]

с этой частью следует поступать в различных случаях таким же образом, как это было показано в предыдущих пунктах.
38. IПредположим теперь, что нить, все точки которой находятся под действием одних и тех же сил $X, Y, Z$ и концы которой сверх того находятся под действием сил $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}, X^{\prime \prime}, Y^{\prime \prime}, Z^{\prime \prime}$, д должна лежать на заданной кривой поверхности, уравнение которой
\[
d z=p d x+q d y
\]

и что требуется определить фигуру и положение этой нити на указанной поверхности, когда нить находится в равновесии.

Эта задача, которую, вероятно, было бы трудно *) решить с помощью обычных законов механики, решается очень легко с помощью нашего метода и наших формул. В самом деле, из заданного уравнения поверхности, меняя символ $d$ на $\delta$, мы получаем
\[
\delta z=p \delta x+q \delta y
\]

таким образом остается только подставить это значение дифференциала $\delta z$ в члены, стоящие под знаком интеграла общего уравнения равновесия нити (п. 29) и затем приравнять нулю отдельно величины, в состав которых входят вариации $\delta x$ и $\delta y$. Указанным путем мы получим два следующих неопределенных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
X d m-d \frac{\lambda d x}{d s}+p\left(Z d m-d \frac{\lambda d z}{d s}\right)=0 \\
Y d m-d \frac{\lambda d y}{d s}+q\left(Z d m-d \frac{\lambda d z}{d s}\right)=0,
\end{array}
\]

которые, будучи соединены с уравнением $d z=$ $=p d x+q d y$ поверхности и затем путем исключения освобождены от неопределенной величины $\lambda$, послужат для определения формы кривой равновесия нити.
39. Далее, так как мы допустили, что нить всей своей длиной лежит на указанной поверхности, то мы и для обеих крайних ее точек имеем
\[
\delta z^{\prime}=p^{\prime} \delta x^{\prime}+q^{\prime} \delta y^{\prime} \quad \text { и } \quad \delta z^{\prime \prime}=p^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}+q^{\prime \prime} \delta y^{\prime \prime} .
\]
*) Непонятно, почему Лагранж считал, что эту задачу трудно разрешить непосредственно. Те уравнения, к которым он цриходит, просто указывают, что оба натяжения на краях әлемента, будучи соединены с силами, воздействующими на этот әлемент, дают результирующую, направленную нормально к поверхности. Это условие представляется ясным а priori. (Прим. Бертрана.)

Внесем еще эти значения в члены, не стоящие под знаком интеграла в общем уравнении, или, еще лучше, в формулу, приведенную в пункте 37, в которой приняты во внимание и силы $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}, \ldots ;$ затем приравняем нулю отдельно величины, в состав которых входит каждая из четырех оставшихся вариаций $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}$; тогда мы получим четыре следующих новых определенных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime}-\lambda^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d s^{\prime}}+p^{\prime}\left(Z^{\prime}-\lambda^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d s^{\prime}}\right)=0, \\
Y^{\prime}-\lambda^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d s^{\prime}}+q^{\prime}\left(Z^{\prime}-\lambda^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d s^{\prime}}\right)=0, \\
X^{\prime \prime}+\lambda^{\prime \prime} \frac{d x^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}+p^{\prime \prime}\left(Z^{\prime \prime}+\lambda^{\prime \prime} \frac{d z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}\right)=0, \\
Y^{\prime \prime}+\lambda^{\prime \prime} \frac{d y^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}+q^{\prime \prime}\left(Z^{\prime \prime}+\lambda^{\prime \prime} \frac{d z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}\right)=0,
\end{array}
\]

которым следует удовлетворить при посредстве постоянных.
40. Однако вместо того, чтобы, как мы это выше делали, подставить значение $\delta z$, выраженное через $\delta x$ и $\delta y$ с помощью уравнения $\delta z-p \delta x-q \delta y=0$, можно было бы рассматривать это последнее уравнение как новое неопределенное условное уравнение; тогда следовало бы это уравнение помножить на другой неопределенный коэффициент $\mu$, взять от него полный интеграл и прибавить к общему уравнению равновесия (п. 29). В результате этого часть уравнения, находящаяся под знаком интеграла, получила бы следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S}\left[\left(X d m-d \frac{\lambda d x}{d s}-\mu p\right) \delta x\right. & +\left(Y d m-d \frac{\lambda d y}{d s}-\mu q\right) \delta y+ \\
+ & \left.\left(Z d m-d \frac{\lambda d z}{d s}+\mu\right) \delta z\right],
\end{aligned}
\]

и мы тотчас же получили бы три следующих неопределенных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
X d m-d \frac{\lambda d x}{d s}-\mu p=0 \\
Y d m-d \frac{\lambda d y}{d s}-\mu q=0, \\
Z d m-d \frac{\lambda d z}{d s}+\mu=0,
\end{array}
\]

которые, после исключения $\mu$, дали бы те же самые уравнения, какие мы уже нашли раньше (п. 38). Однако последние уравнения имеют известное преимущество, так как они одновременно дают возможность, на основе теории, изложенной в пункте 5 отдела IV, определить давление, оказываемое каждым элементом нити на поверхность.

В самом деле, из указанной теории легко вывести, что члены
\[
\mu(\delta z-p \delta x-q \delta y),
\]

получающиеся из условного уравнения
\[
\delta z-p \delta x-q \delta y=0,
\]

могут выражать действие силы, равной $\mu \sqrt{1+p^{2}+q^{2}}$ и приложенной к каждому элементу $d s$ нити по направлению, перпендикулярному $\mathbf{~ п о в е р х н о с т и , ~}$ уравнение которой
\[
\delta z-p \delta x-q \delta y=0,
\]

илии
\[
d z-p d x-q d y=0,
\]
т. е. к поверхности, на которой лежит нить. Эта поверхность благодаря своему сопротивлению развивает силу $\mu \sqrt{1+p^{2}+q^{2}}$, которая, следовательно,
равна и направлена противоположно давлению, оказываемому на нее нитью (отд. IV, п. 7); таким образом давление каждой точки нити равно $\frac{\mu \sqrt{1+p^{2}+q^{2}}}{d s}$, или, если подставить значения $\mu, \mu p, \mu q$, полученные из приведенных выше уравнений,
\[
\frac{\sqrt{\left(X m-d \frac{\lambda d x}{d s}\right)^{2}+\left(Y d m-d \frac{\lambda d y}{d s}\right)^{2}+\left(Z d m-d \frac{\lambda d z}{d s}\right)^{2}}}{d s} .
\]

Те же самые рассуждения следует затем применить к той части общего уравнения, которая находится вне знака $\mathbf{S}$, что приведет к аналогичным выводам.
41. Если нить, лежащая на заданной поверхности, находится только под действием сил, приложенных к ее кондам, то $X=0, Y=0, Z=0$ и; значит, $d \lambda=0$ (пункт 30 ); таким образом в данном случае $\lambda$ равна постоянной велитине. Следовательно, натяжение нити повсюду одно и то же (п. 31), что совпадает с тем, что нам было известно уже и раньше. В этом случае общая формула равновесия нити сведется к уравнению
\[
\lambda \mathbf{S} \delta d s+\mathbf{S} \mu(\delta z-p \delta x-q \delta y)=0,
\]

первый член которого равен также $\lambda \delta \mathbf{S} d s$, или $\lambda \delta s$. Таким образом это уравнение выражает, что длина кривой, образуемой нитью на поверхности, заданной уравнением $d z-p d x-q d y=0$, должна быть максимумом или минимумом; давление, оказываемое нитью на каждую точку этой поверхности, будет тогда равно
\[
\lambda \frac{\sqrt{\left(d \frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(d \frac{d y}{d s}\right)^{2}+\left(d \frac{d z}{d s}\right)^{2}}}{d s} .
\]

Но известно, что $\sqrt{\left(d \frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(d \frac{d y}{d s}\right)^{2}+\left(d \frac{d z}{d s}\right)^{2}}$ выражает угол смежности кривой, который равен $\stackrel{d s}{\stackrel{\rho}{\rho}}$, где p-радиус кривизны. Таким образом указанное выше давление равно $\frac{\lambda}{\rho}$, т. е. оно обратно пропорционально радиусу кривизны.