Главная > АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ТОМ 1. СТАТИКА. ДИНАМИКА. (Ж. ЛАНГРАЖ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

29. Рассмотрим сначала случай совершенно гибкой и нерастяжимой нити. Так как элемент ds кривой, образуемой нитью, выражается через
dx2+dy2+dz2

то ввиду условия нерастяжимости нити необходимо, чтобы ds было постоянной величиной и, следовательно, чтобы по отношению к каждому элементу нити имело место следующее неопределенное условное уравнение: δds=0. Поэтому, если мы δds умножим на неопределенную величину λ и возьмем полный интеграл, то мы получим Sλδds; если у нас сверх того никаких условных уравнений не имеется, то мы получим общее уравнение равновесия, если приравняем нулю сумму двух интегралов SδΠdm и Sλδds.

Но так как ds=dx2+dy2+dz2, то путем дифференцирования в смысле δ мы получим
δds=dxδdx+dyδdy+dzδdzds;

следовательно,
Sλδds=Sλdxdsδdx+Sλdydsδdy+Sλdzdsδdz;

переменив δd на dδ и проинтегрировав по частямс тем, чтобы избавиться от символа d перед δ, — на основе правил, изложенных в пункте 15 отдела IV, мы получим следующие преобразованные уравнения:
Sλdxdsδdx=λdxdsδxλdxdsδxSdλdxdsδx,Sλdydsδdy=λdydsδyλdydsδySdλdydsδy,Sλdzdsδdz=λdzdsδzλdzdsδzSdλdzdsδz.

Таким образом общее уравнение равновесия приобретет следующий вид:
S[(Xdmdλdxds)δx+(Ydmdλdyds)δy++(Zdmdλdzds)δz]++λdxdsδx+λdydsδy+λdzdsδzλdxdsδxλdydsδyλdzdsδz=0
30. Сначала положими равными нулю (отд. IV, п. 16) коэффициенты при δx,δy,δz под знаком интеграла и получим следующие три частных и неопределенных уравнения:
Xdmdλdxds=0Ydmdλdyds=0Zdmdλdzds=0

по исключении неопределенной величины λ у нас останутся два уравнения, которые послужат для определения кривой, образуемой нитью.

Это исключение очень легко осуществить: для этого достаточно только проинтегрировать приведенные уравнения, что даст нам следующие уравнения:
λdxds=A+Xdm,λdyds=B+Ydm,λdzds=C+Zdm,

где A,B и C-произвольные постоянные; далее, после исключения λ получится
dydx=B+YdmA+Xdm,dzdx=C+ZdmA+Xdm;

эти уравнения совпадают с известными формулами цепной линии.

Если бы мы захотели прямс притти к чисто дифференциальным уравнениям, не содержащим знака , то можно было бы найденные уравнения привести к следующему виду:
Xdmλddxdsdxdsdλ=0,Ydmλddydsdydsdλ=0,Zdmλddzdsdzdsdλ=0,

откуда, после исключения dλ, мы получим сначала следующие два уравнения:
XdyYdxdsdm=λ(dydsddxdsdxdsddyds),XdzZdxdsdm=λ(dzdsddxdsdxdsddzds).

Затем, если те же уравнения помножить соответственно на dxds,dyds,dzds п затем сложить, то в силу соотношения
dxdsddxds+dydsddyds+dzdsddzds=12ddx2+dy2+dz2ds2=0

мы получим уравнение
(Xdxds+Ydyds+Zdzds)dm=dλ;

в это последнее уравнение остается только подставить последовательно значения λ, полученные из двух предыдущих уравнений.
31. Так как величина λδds может представлять собою момент некоторой силы λ, стремящейся уменьшить длину элемента ds (отд. IV, п. 6), то член Sλδds общего уравнения равновесия нити (п. 29) выразит сумму моментов всех сил λ, которые мы можем себе представить действующими на все элементы нити. В самом деле, благодаря своей нерастяжимости каждый элемент противостоит действию внешних сил, и это сопротивление обычно рассматривают как активную силу, которую называют натяжением. Таким образом λ представляет собою натяжение нити.
32. Что касается условия нерастяжимости нити, которое выражается неизменностью каждого элемента кривой ds, то его нельзя ввести в уравнение взамен неопределенной величины λ, как это можно сделать в том случае, когда нить образует собою многоугольник, — так как согласно природе дифференциального исчисления абсолютное значение элементов кривой и вообще всех бесконечно малых элементов остается неопределенным; однако по тем же основаниям нет нужды в том, чтобы число уравнений было равно числу переменных; для определения линии,будь то линия простой, или двойной кривизны, достаточно иметь уравнений на единицу меньше, чем переменных. Таким образом решение, найденное нами с помощью нашего метода, является с точки зрения дифференциальных уравнений полным и требует лишь последующего интегрирования, которое уже зависит от выражений для сил X,Y,Z.
33. Рассмотрим теперь те члены общего уравнения п. 29 , которые не находятся под знаком S, и допустим сначала, что нить совершенно свободна. В таком случае вариации δx,δy,δz и δx,δy,δz, соответствующие двум крайним точкам нити, будут совершенно неопределенными и произвольными; следовательно, каждый член. в состав которого входят эти вариации, должен сам по себе быть равным нулю. Таким образом мы должны иметь λ=0 и λ=0, т. е. значения λ в начале и в конце нити должны быть равны нулю.Этим условиям можно удовлетворить при посредстве постоянных величин. Первые три интегральные уравнения п. 30 дают для первой точки нити, где величины, выраженные знаком , равны нулю,
λdxds=A,λdyds=B,λdzds=C,

а для последней точки, где знак превращается в S,
λdxds=A+SXdm,λdyds=B+SYdm,λdzds=C+SZdm;

поэтому в рассматриваемом случае мы имеем
A=0,B=0,C=0

и
SXdm=0,$Ydm=0,$Zdm=0.

Эти три уравнения, как видим, соответствуют уравнениям пункта 12 настоящего отдела.
34. Предположим, во-вторых, что нить закреплена на одном из своих концов или на обоих концах. Если нить закреплена на первом своем конце, то вариации δx,δy,δz равны нулю, поэтому достаточно приравнять нулю коәффициенты вариаций δx,δy,δz, т. е. положить λ=0.

По тем же основаниям, если второй конец неподвижен, достаточно положить λ=0. Если же оба конца закреплены, то не приходится выполнять никаких особых условий, так как все вариации δx,δy, δz,δx,δy,δz равны нулю.

35. Предположим, в-третьих, что концы нити прикреплены к кривым линиям или поверхностям, по которым они могут свободно скользить. Пусть, например, будут
dz=adx+bdy,dz=adx+bdy
— дифферендиальные уравнения поверхностей, на которых закреплены первая и последняя точки нити. Тогда, меняя символ d на δ, мы получим
δz=aδx+bδy,δz=aδx+bδy;

эти значения следует подставить в рассматриваемые члены и затем приравнять нулю коэффициенты вариаций δx,δyδx,δy.

Вообще, ту часть формулы, которая не находится под знаком интеграла в общем уравнении равновесия, можно трактовать таким образом, как если бы она существовала отдельно и как если бы она представляла собою уравнение равновесия двух отдельных тел, укрепленных на концах нити.
36. Предположим, например, что нить прикреплена обоими своими концами к концам рытага, который может поворачиваться вокруг некоторой неподвижной точки. Пусть a,b,c будут три прямоугольные координаты, определяющие в пространстве положение этой неподвижной точки, т. е. точки опоры рычага; пусть, дальше, f представляет собою расстояние между точкой опоры и тем концом рычага, к которому прикреплен первый конец нити; g — расстояние между той же точкой опоры и другим концом рычага, к которому прикреплен второй конец нити; h-расстояние между обоими концами рычага, а следовательно, и между обоими концами нити; ясно, что эти шесть величин a,b,c,f,g,h даны самой природой задачи; вместе с тем легко видеть, что если x,y,z представляют собою координаты начала кривой, образуемой нитью, и x,y,z — координаты конца той же самой кривой, то мы имеем
f=(ax)2+(by)2+(cz)2,g=(ax)2+(by)2+(cz)2h=(xx)2+(yy)2+(zz)2.

А так как величины f,g,h — постоянные, то при дифференцировании этих трех определенных условных уравнений в смысле δ мы получим
(ax)δx+(by)δy+(cz)δz=0(ax)δx+(by)δy+(cz)δz=0(xx)(δxδx)+(yy)(δyδy)++(zz)(δzδz)=0.

Каждое из әтих уравнений следует цомножить на неопределенный коәффициент и затем все эти уравнения прибавить к общему уравнению равновесия. Таким образом, если взять α,β,γ в качестве упомянутых трех коэффициентов и приравнять нулю коэффициенты шести вариаций δx,δy,δz,δx,δy,δz, то мы получим точно такое же количество частных определенных уравнений, а именно:
α(ax)γ(xx)λdxds=0,α(by)γ(yy)λdyds=0,α(cz)γ(zz)λdzds=0,β(ax)+γ(xx)+λdxds=0,β(by)+γ(yy)+λdydsn=0.β(cz)+γ(zz)+λdzds=0.

Путем исключения α,β,γ приведенные шесть уравнений сведутся к трем.

Если затем эти три уравнения соединить с приведенными выше тремя условными уравнениями, то мы получим возможность определить положение обоих концов нити.

Из изложенного ясно, как следует вести расчет в других подобных случаях.
37. Наконец, если помимо сил, действующих на каждую точку нити, имеются еще особые силы, приложенные к обоим концам нити и заданные величинами X,Y,Z для первого конца нити и величинами X,Y,Z для второго конца, то эти силы дадут моменты
Xδx+Yδy+Zδz+Xδx+Yδy+Zδz;

это выражение следует прибавить к первому члену общего уравнения равновесия, т. е. к той части его, которая не находится под знаком интеграла; вследствие этого упомянутая часть примет следующий вид:
(X+λdxds)δx+(Y+λdyds)δy+(Z+λdzds)δz++(X+λdxds)δx+(Yλdyds)δy+(Zλdzds)δz;

с этой частью следует поступать в различных случаях таким же образом, как это было показано в предыдущих пунктах.
38. IПредположим теперь, что нить, все точки которой находятся под действием одних и тех же сил X,Y,Z и концы которой сверх того находятся под действием сил X,Y,Z,X,Y,Z, д должна лежать на заданной кривой поверхности, уравнение которой
dz=pdx+qdy

и что требуется определить фигуру и положение этой нити на указанной поверхности, когда нить находится в равновесии.

Эта задача, которую, вероятно, было бы трудно *) решить с помощью обычных законов механики, решается очень легко с помощью нашего метода и наших формул. В самом деле, из заданного уравнения поверхности, меняя символ d на δ, мы получаем
δz=pδx+qδy

таким образом остается только подставить это значение дифференциала δz в члены, стоящие под знаком интеграла общего уравнения равновесия нити (п. 29) и затем приравнять нулю отдельно величины, в состав которых входят вариации δx и δy. Указанным путем мы получим два следующих неопределенных уравнения:
Xdmdλdxds+p(Zdmdλdzds)=0Ydmdλdyds+q(Zdmdλdzds)=0,

которые, будучи соединены с уравнением dz= =pdx+qdy поверхности и затем путем исключения освобождены от неопределенной величины λ, послужат для определения формы кривой равновесия нити.
39. Далее, так как мы допустили, что нить всей своей длиной лежит на указанной поверхности, то мы и для обеих крайних ее точек имеем
δz=pδx+qδy и δz=pδx+qδy.
*) Непонятно, почему Лагранж считал, что эту задачу трудно разрешить непосредственно. Те уравнения, к которым он цриходит, просто указывают, что оба натяжения на краях әлемента, будучи соединены с силами, воздействующими на этот әлемент, дают результирующую, направленную нормально к поверхности. Это условие представляется ясным а priori. (Прим. Бертрана.)

Внесем еще эти значения в члены, не стоящие под знаком интеграла в общем уравнении, или, еще лучше, в формулу, приведенную в пункте 37, в которой приняты во внимание и силы X,Y,Z,; затем приравняем нулю отдельно величины, в состав которых входит каждая из четырех оставшихся вариаций δx,δy,δx,δy; тогда мы получим четыре следующих новых определенных уравнения:
Xλdxds+p(Zλdzds)=0,Yλdyds+q(Zλdzds)=0,X+λdxds+p(Z+λdzds)=0,Y+λdyds+q(Z+λdzds)=0,

которым следует удовлетворить при посредстве постоянных.
40. Однако вместо того, чтобы, как мы это выше делали, подставить значение δz, выраженное через δx и δy с помощью уравнения δzpδxqδy=0, можно было бы рассматривать это последнее уравнение как новое неопределенное условное уравнение; тогда следовало бы это уравнение помножить на другой неопределенный коэффициент μ, взять от него полный интеграл и прибавить к общему уравнению равновесия (п. 29). В результате этого часть уравнения, находящаяся под знаком интеграла, получила бы следующий вид:
S[(Xdmdλdxdsμp)δx+(Ydmdλdydsμq)δy++(Zdmdλdzds+μ)δz],

и мы тотчас же получили бы три следующих неопределенных уравнения:
Xdmdλdxdsμp=0Ydmdλdydsμq=0,Zdmdλdzds+μ=0,

которые, после исключения μ, дали бы те же самые уравнения, какие мы уже нашли раньше (п. 38). Однако последние уравнения имеют известное преимущество, так как они одновременно дают возможность, на основе теории, изложенной в пункте 5 отдела IV, определить давление, оказываемое каждым элементом нити на поверхность.

В самом деле, из указанной теории легко вывести, что члены
μ(δzpδxqδy),

получающиеся из условного уравнения
δzpδxqδy=0,

могут выражать действие силы, равной μ1+p2+q2 и приложенной к каждому элементу ds нити по направлению, перпендикулярному  поверхности,  уравнение которой
δzpδxqδy=0,

илии
dzpdxqdy=0,
т. е. к поверхности, на которой лежит нить. Эта поверхность благодаря своему сопротивлению развивает силу μ1+p2+q2, которая, следовательно,
равна и направлена противоположно давлению, оказываемому на нее нитью (отд. IV, п. 7); таким образом давление каждой точки нити равно μ1+p2+q2ds, или, если подставить значения μ,μp,μq, полученные из приведенных выше уравнений,
(Xmdλdxds)2+(Ydmdλdyds)2+(Zdmdλdzds)2ds.

Те же самые рассуждения следует затем применить к той части общего уравнения, которая находится вне знака S, что приведет к аналогичным выводам.
41. Если нить, лежащая на заданной поверхности, находится только под действием сил, приложенных к ее кондам, то X=0,Y=0,Z=0 и; значит, dλ=0 (пункт 30 ); таким образом в данном случае λ равна постоянной велитине. Следовательно, натяжение нити повсюду одно и то же (п. 31), что совпадает с тем, что нам было известно уже и раньше. В этом случае общая формула равновесия нити сведется к уравнению
λSδds+Sμ(δzpδxqδy)=0,

первый член которого равен также λδSds, или λδs. Таким образом это уравнение выражает, что длина кривой, образуемой нитью на поверхности, заданной уравнением dzpdxqdy=0, должна быть максимумом или минимумом; давление, оказываемое нитью на каждую точку этой поверхности, будет тогда равно
λ(ddxds)2+(ddyds)2+(ddzds)2ds.

Но известно, что (ddxds)2+(ddyds)2+(ddzds)2 выражает угол смежности кривой, который равен ρρds, где p-радиус кривизны. Таким образом указанное выше давление равно λρ, т. е. оно обратно пропорционально радиусу кривизны.

1
Оглавление
email@scask.ru