Общие уравнения, данные нами в предыдущем отделе, представляя собою уравнения второго порядка, требуют еще интегрирований, которые зачастую превышают возможности известного нам анализа; поэтому приходится прибегать к приближениям, и наши формулы дают также наиболее подходящие средства для этой цели.
1. Всякое приближение предполагает точное решение какого-либо случая рассматриваемой задачи, при котором мы отбрасываем элементы или количества, принимаемые нами в качестве очень малых величин. Это решение образует первую степень приближения; затем его исправляют, учитывая постепенно отброшенные величины.

В задачах механики, которые можно разрешить только путем приближения, обычно первое решение находят, принимая во внимание только главные силы, действующие на тела; для того чтобы это решение распространить на другие силы, которые можно назвать возмущающими, проще всего сохранить форму первого решения, но рассматривать входящие в его состав произвольные постоянные как переменные величины; ибо если величины, которыми мы пренебрегли и которые мы теперь хотим учесть, очень малы, то новые переменные фактически будут почти постоянными и к ним можно будет применить обычные методы приближения. Таким образом вся трудность сводится к нахождению уравнений между этими переменными.

Мы знаем общий метод варьирования произвольных постоянных интегралов дифференциальных уравнений с целью согласования этих интегралов с теми же уравнениями, но с прибавлением к ним определенных членов; однако та форма, которую мы в предыдущем отделе (п. 10) придали общим уравнениям динамики, имеет то преимущество, что она дает некоторое соотношение между вариациями произвольных постоянных, вводимых при интегрировании, которое особенно угрощает формулы этих вариаций в задачах, где они выражают действие возмущающих сил. Мы выведем сначала это соотношение; затем мы дадим наиболее простые уравнения для определения вариаций произвольных постоянных в интересующих нас проблемах.