Динамика – это наука об ускоряющих и замедляющих силах и о переменных движениях, которые они должны вызывать. Эта наука целиком обязана своим развитием новейшим ученым, и Галилей является тем лицом, которое заложило первые ее основы. До него силы, действующие на тела, рассматривали только в состоянии равновесия, и хотя ускоренное падение твердых тел и криволинейное движение брошенных тел не могли приписать какой-либо иной причине, кроме постоянного действия тяжести, тем не менее никому до Галилея не удалось определить законов этих повседневных явлений – несмотря на то, что причина их столь проста. Галилей первый сделал этот важный шаг и этим открыл новый и необозримый путь для прогресса механики. Его открытие было изложено и развито в работе, озаглавленной: «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых наук\” (Discorsi e dimonstrazioni matematiche intorno à due nuove scienze), появившейся впервые в Лейдене в 1638 г.*). Однако у современников эта работа не доставила Галилею столько славы, сколько открытия, произведенные им на небе; в настоящее же время она составляет наиболее надежную и существенную часть славы этого великого человека.
*) Имеется русский перевод: Галилео Галилей, Сечинения, том I, ГТТИ, М. – Л., 1934 г. (Прим. ред.)

Открытие спутников Юпитера, фаз Венеры, солнечных пятен и т. д. потребовало лишь наличия телескопа и известного трудолюбия, но нужен был необыкновенный гений, чтобы открыть законы природы в таких явлениях, которые всегда пребывали перед глазами, но объяснение которых тем не менее всегда ускользало от изысканий философов.

Гюйгенс (Huyghens), которого сама судьба как будто предназначила для усовершенствования и дополнения большинства открытий Галилея, прибавил к теории ускоренного движения весомых тел теорию движения маятника и теорию центробежных сил*) и таким образом подготовил почву для великого открытия всемирного тяготения. В руках Ньютона ме-. ханика превратилась в новую науку; его «Principia mathematica», появившиеся впервые в 1687 г., составили эпоху этого превращения.

Наконец, открытие исчисления бесконечно малых дало математикам возможность свести законы движения тел к аналитическим уравнениям; после этого исследование сил и вызываемых ими движений явилось главнейшим предметом их работ.

Я поставил себе здесь целью предоставить в распоряжение математиков новое средство для облегчения подобного рода исследований; однако будет небесполезно сначала изложить те принцишы, которые лежат в основании динамики, и показать последовательное развитие тех идей, которые больше всего способствова-
*) Галилей определенно имел представление о центробежной силе: в одном из своих диалогов он ясно говорит, что вращение Земли должно было бы вызвать в телах появление видимой вертикальной скорости, направленной снизу вверх, если бы их не удерживала сила тяжести. Но Галилей вцадает в ошибку, когда к этому прибавляет, что силы тяжести, какой бы малой она нам ни представлялась, всегда достаточно для того, чтобы воспрепятствовать подобному движению. Мне кажется, однако, что несмотрн на эту грубую ошибку, указанное место «Диалогов» содержит в себе первую мысль о великом открытии Гюйгенса. См. Dialogo sopro le due massimi sistemi del mondo… стр. 185 и след. (флорентийское издание 1710 г.) (Iри.н. Бертрана.)

ли расширению и усовершенствованию этой отрасли знания.
1. Теория неравномерных движений и ускоряющих сил, вызывающих эти движения, основана на следующих общих законах: каждое движение, сообщенное телу, является по своей природе равномерным и прямолинейным; различные движения, сообщенные одновременно или последовательно одному и тому же телу, складываются таким образом, что в каждое данное мгновение тело находится в той самой точке пространства, в которой оно должно было бы очутиться в результате сочетания этих движений, если бы каждое из них в действительности существовало отдельно в теле. В этихто двух законах и содержатся известные приндипы силы инерции и сложного движения [21]. Галилей первый открыл оба эти принципа и вывел из них законы движения брошенных тел, складывая наклонное движение, являющееся результатом сообенного телу импульса, с падением по вертикали, вызываемым действием силы тяжести.

Что касается законов ускоренного движения тяжелых тел, то они естественно выводятся из рассмотрения постоянного и равномерного действия тяжести, под влиянием которой тела в равные мгновения получают равные приращения скорости по адному и тому же направлению; поэтому вся скорость, приобретенная телом к концу какого-либо промежутка времени, должна быть пропорциональна этому промежутку. Отсюда ясно, что указанное постоянное отношение скоростей ко времени со своей стороны должно быть пропорционально величине силы, развиваемой тяжестью для приведения тела в движение; таким образом при движении по наклонным плоскостям это отношение не должно быть пропорционально абсолютной силе тяжести, как при движении по вертикали, но должно быть пропорционально относительной силе, которая зависит от наклона плоскости и определяется по законам статики; это дает нам легкий способ сопоставления движений тел, спускающихся по плоскостям различного наклона.

Однако Галилей, повидимому, не этим путем открыл законы падения тяжелых тел. Он, наоборот, начал с того, что установил понятие о равномерно ускоренном движении, при котором скорости возрастают пропорционально временам: отсюда он геометрическим путем вывел основные свойства этого вида движения и в особенности закон нарастания пути пропорционально квадрату времени; затем он с помощью ошыта убедился, что этот закон действительно имеет место при движении тел, падающих по вертикали или по плоскостям любого наклона. Однако для того чтобы получить возможность сравнить движения по плоскостям с различным наклоном, он вынужден был предварительно допустить необоснованное положение, что скорости, приобретенные в результате опускания с равных вертикальных высот, всегда между собою равны; и лишь незадолго до смерти и после издания своих «Диалогов» он нашел доказательство этого положения путем рассмотрения относительного действия тяжести на наклонных цлоскостях; это доказательство было затем включено в последующие издания упомянутой работы Галилея.
2. Таким образом постоянное отношение, которое при равномерно ускоренных движениях должно существовать между скоростями и временами или между путями и квадратами времен, может быть принято в качестве меры ускоряющей силы, действующей непрерывно на тело; действительно, эта сила может быть измерена только по тому действию, которое она вызывает в теле и которое проявляется в сообщенных скоростях или в путях, пройденных за данные промежутки времени.

Итак, для подобной оценки сил достаточно рассмотреть движение, вызванное в течение любого конечного или бесконечно малого времени, если только мы считаем силу постоянной в течение этого времени. Каковы бы ни были движение тела и закон его ускорения, но согласно природе дифференциального исчисления мы можем признать постоянным действие каждой ускоряющей силы в течение бесконечно малого времени;

таким образом всегда можно определить величину силы, действующей на тело в любое мгновение, если вызванную в это мгновение скорость с равнить с продолжительностью этого мгновения или же если путь, пройденный телом в течение этого мгновения под влиянием силы, сравнить с квадратом продолжительности этого мгновения; при этом нет нужды в том, чтобы указанный путь фактически был пройден телом: достаточно, чтобы можно было себе представить, что он был пройден при некотором сложном движении, ибо согласно второму из приведенных выше принципов движения действие силы в обоих случаях одинаково.

Указанным выше путем Гюйгенс открыл, что центробежные силы тел, приводимых в двнжение по окружностям с постоянными скоростями, относятся между собою, как квадраты скоростей, деленные на радиусы кругов; этим же путем он получил возможность сравнить центробежные силы с силой тяжести на поверхности земли, как об этом можно судить по оставленным им доказательствам своих теорем о центробежных силах, опубликованным в 1673 г. в конце сочинения «Horologium oscillatorium» (Часы с маятником).

Гюйгенс сочетал указанную теорию центробежных сил с теорией разверток, автором которой тоже был он; эта пұследняя теория сводит каждую бесконечно малую часть любой кривой к круговым дугам, что легко дает возможность распространить теорию центробежных сил на все кривые линии. Однако только Ньютону привелось сделать этот новый шаг и донолнить учение о неравномерных движениях и об ускоряющих силах, способных их вызывать. В настоящее время әто учение сводится лишь $к$ нескольким очень простым дифференциальным формулам; однако сам Ньютон постоянно пользовался геометрическим методбм, упрощенным благодаря рассмотрению первых и последних отношений; если же в отдельных случаях он и прибегал к аналитическому исчислению, то он пользовался при этом только методом рядов, который следует отличать от дифференциального метода, хотя, правда, оба эти метода могут быть легко сближены и сведены к одному и тому же принципу.

Почти все математики, трактовавшие теорию ускоряющих сил после Ньютона, ограничивались тем, что обобщали данные им теоремы и переводили их в дифференциальную форму. Отсюда берут свое начало различные формулы для центральных сил, которые встречаются в многочисленных работах по механике,формулы, которыми, однако, теперь почти не пользуются, так как они применимы только к такого рода кривым, которые мы можем себе представить описанными под влиянием единственной силы, стремящейся к некоторому центру, и так как в настоящее время существуют общие формулы для определения движений, вызванных любыми силами.
3. Если допустить, что движение тела и силы, вызывающие это движение, разложены по трем взаимно перпендикулярным направлениям, то можно отдельно рассмотреть движения и силы по отношению к каждому из этих трех направлений. Ибо в силу взаимной перпендикулярности этих направлений ясно, что каждое из этих частичных движений можно рассматривать как независимое от двух других движений и что каждое из них может претерпеть изменение только со стороны той силы, которая действует по направлению этого движения; отсюда можно заключить, что каждое из этих трех движений в отдельности должно следовать законам прямолинейных движений, ускоренных или замедленных под влиянием заданных сил. Но при прямолинейном движении действие ускоряющей силы состоит только в том, что она изменяет скорость тела; поэтому данная сила должна измеряться отношением между приращением или убылью скорости в течение некоторого мгновения и продолжительностью этого мгновения, т. е. дифференциалом скорос ти, разделенным на дифференциал времени; а так как сама скорость при неравномерных движениях измеряется дифференциалом пути, разделенным на дифференциал времени, то отсюда следует, что рассматриваемая сила измеряется вторым
дифференциалом пути, разделенным на квадрат первого дифференциала времени, который при этом рассматривается как постоянная величина. Таким образом второй дифференциал пути,который тело проходит или согласно нашему представлению может пройти по каждому из трех взаимно перпендикулярных направлений, разделенный на квадрат постоянного дифференциала времени, выразит ускоряющую силу, действующую на тело в этом именно направлении, и, следовательно, будет равен действительной силе, которая согласно нашему допущению действует в данном направлении. В этом и заключается столь хорошо известный принцип ускоряющих сил.

Нет необходимости в том, чтобы три направления, к которым относят мгновенное движение тела, были совершенно неподвижными; дос таточно, чтобы они оставались таковыми в течение рассматриваемого мгновения. Таким образом при движениях по кривой линии можно гаждое мгновение избирать эти направления, причем одно из них по касательной, а другие два по линиям, перпендикулярным к кривой. Тогда ускоряющая сила, действующая по касательной и носящая название тангенциальной силы, полностью пойдет на изменение абсолютной скорости тела и будет выражена с помощью элемента’этой скорости, разделенного на элемент времени.

Нормальные же силы изменяют только направление движения и зависят от кривизны линии, описываемой телом. Если нормальные силы свести к одной, то направление этой сложной силы будет лежать в плоскости кривизны и самая сила будет выражена квадратом скорости, разделенным на радиус кривизны, ибо каждое мгновение тело можно рассматривать как бы движущимся по соответствующему кругу кривизны.

Этим путем были найдены известные формулы для сил тангенциальных и нормальных, которыми пользуются уже с давних пор для разрешения проблем движения тел, находящихся под действием заданных сил. Появившаяся в 1736 г. «Механика» Эйлера,
которую следует признать первой большой работой, в которой к учению о движении был применен анализ, вся еще построена на этих формулах; однако после этого их почти оставили, так как был найден более простой способ выражения действия ускоряющих сил на движение тела.

Последний заключается в том, что движение тела и действующие на него силы относят к некоторым неподвижным в пространстве направлениям. Если для определения места тела в пространстве принять три прямоугольные координаты, имеющие указанные направления, то, очевидно, изменения этих координат выразят пути, пройденные телом по направлениям этих координат; следовательно, их вторые дифференциалы, разделенные на квадрат постоянного дифференциала времени, выразят ускоряющие силы, которые должны действовать по направлению этих координат. Таким образом, если эти выражения приравнять выражениям сил, заданных условиями задачи, мы получим три аналогичных уравнения, которые и послужат для определения всех обстоятельств рассматриваемого движения. Этот прием составления уравнений движения тела, находящегося под действием каких-либо сил, путем сведения этого движения к прямолинейным движениям, следует благодаря его простоте предпочесть всем другим приемам; поэтому он должен был бы возникнуть раньше других, однако в действительности, повидимому, только Маклорен (Maclaurin) впервые применил его в своем сочинении «О. флюксиях», появившемся в свет на английском языке в 1742 г. В настоящее время он является общепринятым.
4. Итак, с помощью изложенных выше принципов можно определить законы движения свободного тела, находящегося под действием любых сил, если только мы будем рассматривать это тело как точку.

Эти принципы можно применить и к исследованию движения нескольких тел, взаимно притягивающих друг друга согласно некоторому закону, являющемусяизвестной функцией расстояний между рассматриваемыми телами; наконец, нетрудно распространить их и на движения в сопротивляющихся средах, а также на такие движения, которые происходят по заданным кривым поверхностям, ибо сопротивление среды представляет собою не что иное, как силу, действующую в направлении, противоположном той силе, которая поддерживает движение, а когда тело вынуждено двигаться по заданной поверхности, то необходимо существует сила, перпендикулярная к поверхности, удерживающая его на ней; неизвестное значение этой силы может быть определено на основании условий, вытекающих из природы самой поверхности.

Однако в том случае, когда исследуют движения многих тел, действующих друг на друга путем удара или давления, будь то непосредственно, как при обычном ударе, или же при посредстве нитей или несгибаемых рычагов, к которым они прикреплены, или же вообще каким-либо иным образом, то этого рода задача принадлежит к проблемам более высокого псрядка, которая не может быть разрешена с помощью приведенных выше положений. Дело в том, что в этом случае силы, де́йствющие на тело, неизвестны и их следует определить на основании действия, которое тела должны оказывать одно на другое в соответствии с их взаимным положением. Таким образом здесь необходимо привлечь на помощь еще один принцип, который служит для определения силы тел, находяцихся в движении, в соответствии с их массой и скоростью.
5. Этот принцип заключается с следующем: для гого чтобы данной массе сообщить определенную скорость в каком-либо направлении – будет ли эта масса хаходиться в покое или в движении – требуется сила, значение*) которой пропорционально произведению $\qquad$
*) Под әначением силы злесь следует понимать произведеие силы ва время ее действия, или более обще, – интеграл гроизведения әлемента времени на интенсивность силы. Слоэо сила взято Лагранжем в том же смысле, в каком его примассы на скорость и направление которой одинаково с направлением этой скорости. Это произведение массы какого-либо тела на его скорость обычно называют количеством движения данного тела, так как оно действительно представляет собою сумму движений всех материальных частей тела. Таким образом, силы измеряются количествами движения, которые они способны вызвать, и, наоборот, количество движений тела представляет собою меру силы, какую тело способно проявить по отношению $\kappa$ какому-либо препятствию и которую называют ударом (percussion). Отсюда следует, что если два неупругих тела в прямо противоположных направлениях сталкиваются с равными количествами движения, то их силы должны взаимно друг друга уравновесить и уничтожить; следовательно, в данном случае тела должны остановиться и затем пребывать в покое. Если же удар происходит при посредстве рычага, то для уничтожения движения тел необходимо, чтобы их силы следовали известному закону равновесия рычага.

Повидимому, Декарт первый осознал изложенный нами выше принцип, но, применяя его к удару тел, он допустил ошибку, полагая, что всегда должно сохраняться одно и то же количество абсолютного движения *).

менил Декарт, когда он писал Мерсенну (Mersenne): «Я говорил о силе, служащей эля поднятия груза и имеющей два иамерения, а не о силе, служәщей для поддержания любой точки, имеющей только одно измерение\” (сочинения Декарта в издании Cousin, т. VI, стр. 329). Понятно, какую путаницу должно было вызвать это двойное значение слова сила (force). К счастью, математики отвергли эту терминологию: в настоящее время пол силой (force) понимают только усилие (effort), которое может быть вьражено в килограммах. (Прим. Бертрана.)
*) Ни в одном из многочисленных сочинений Декарта мы не находим ясного и понятного изложения әтого приндипа. Что же касается применений, то допущенные им ошибки гораздо серьезнее той, которую отметил здесь Лагранж. В числе других ошибочных положений он утверждает, что одно тело, ударившись о другое, не в состоянии сообцить ему движения,

Собственно говоря, первым лицом, имевшим ясное представление об этом принципе и успешно применившим его для открытия законов цередачи движения твердых или упругих тел, является Валлис (Wallis), как об этом можно судить по Transactions philosophical за 1669 г. и по третьей части его сочинения «De motu», изданного в 1671 г. Подобно тому, как произведение массы на скорость выражает конечную силу тела, находящегося в движении, так произведение массы на ускоряющую силу, которая, как мы видели, определяется отношением элемента скорости к элементу времени, выражает элементарную или возникающую силу, и если это произведение рассматривать как меру того усилия, которое тело может проявить благодаря своей элементарной скорости, которую оно получило или стремится получить, то оно дает то, что называют давлением; если же его рассматривать как меру силы, необходимой для того, чтобы сообщить эту скорость, то в этом случае оно представляет собою то, что называют движущей силой. Итак, силы давления или движущие силы уничтожаются или же находятся в равновесии, если они равны друг другу и направлены прямо противоположно или же если, будучи приложены к какой-нибудь машине, они следуют законам равновесия этой машины $[\mathbf{2 2}]$.
6. Если тела связаны друг с другом таким образом, что они не могут свободно следовать полученным ими импульсам или приложенным к ним ускоряющим силам, то эти тела необходимо развивают одно на другое непрерывные давления, изменяющие их движения и затрудняющие тем самым определение этих движений.

Первой и наиболее простой задачей этого рода, какой занимались геометры, была задача о центре колебания. Эта задача пользовалась большой извес тностью

если оно не обладает массой, большей его массы; во всех других случаях ударяющееся тело отразится, а тело, получающее удар, останется без движения. (Там же, т. IX, стр. 195.) (Прим. Бертрана.)

в начале последнего столетия и даже с середины предыдущего, благодаря усилиям и попыткам, сделанным крупнейшими геометрами для разрешения этой задачи. Так как главным образом этим попыткам мы обязаны огромными успехами сделанными с того времени динамикой, я считаю необходимым дать здесь краткий ис торический очерк этих попыток для того, чтобы показать, по каким с тупеням поднималась эта отрасль знания до того совершенства, какого, повидимому, она достигла в последнее время.

Первые следы исследований о центре колебания мы находим в письмах Декарта. Из них видно, что Мерсенн предложил математикам определить размер, какой должно иметь тело любой .формы для того, чтобы, будучи подвешено в одной точке, оно совершало свои колебания в такое же время, в какое их совершает нить заданной длины, нагруженная в одном конце единственным грузом. Декарт отмечает, что эта задача находится в некоторой связи с задачей о центре тяжести и что совершенно так же, как у тнжелого свободно падающего тела имеется центр тяжести, вокруг которого силы тяжести всех частей этого тела находятся в равновесии, так что этот центр падает таким же образом, как если бы самого тела не было или оно было бы сосредоточено в этом центре,- так и у тяжелых тел, вращающихся вокруг неподвижной оси, должен существовать центр, который он называет центром качания (centre d’agitation); вокруг этой точки силы качания всех частей тела взаимно друг друга уравновешивают, так что этот центр, будучи свободен от действия указанных сил, может приводиться в движение таким образом, как если бы остальные части этого телабыли уничтожены или же сконцентрированы в этом самом центре. Следсвательно, все тела, у которых упомянутый центр одинаково удален от оси вращения, должны совершать свои колебания в одинаковое время.

На основе изложенного определения центра качания Декарт дает общий метод нахождения этого центра в телах любой формы. Этот метод заключается в отыскании дентра тяжести сил качания всех частей тела, причем эти силы измеряются призведениями масс на скорости, которые в данном случае пропорциональны расстояниям от оси вращения, и делается допущение, что части тела цроектируются на плоскость, проходящую через его центр тяжести и через ось вращения, таким образом, что они сохраняют свои расстояния от этой оси.

Это решение Декарта стало предметом полемики между ним и Робервалем. Последний утверждал, что указанное решение имеет силу только в том случае, если все части тела фактически лежат или могут быть рассматриваемы как лежащие в плоскости, проходящей через ось вращения; во всех же других случаях следует рассматривать только движения, происходящие перпендикулярно к плоскости, проведенной через ось вращения и через центр тяжести тела, причем каждую частицу следует отнести к той точке, в которой указанная плоскость пересекается направлением движения этой частиды, – направлением, кэторое всегда перпендикулярно к плоскости, проходящей через данную частицу и через ось вращения. Легко; однако, доказать, что моменты сил по отношению к оси вращения, измеренные этим способом, всегда равны моментам сил, измеренным по методу Декарта*).

C большим основанием Роберваль утверждал, что Декарт нашел не что иное, как центр удара (percussion), вокруг которого удары (chocs) или моменты ударов (percussion) равны, и что для нахождения действитель-
*) Это замечание доказывает, что возражение Роберваля не было обоснованным; но он имел достаточное основание утверждать, что правило Декарта неверно в том случае, когда речь идет не о плоской фигуре, вращающейся вокругоси, расположенной в плоскости этой фигуры. Следует даже прибавить, что Роберваль указал, не приводя, однако, доказательств, точное положение центра колебания кругового сектора, вращающегося вокруг перпендикуляра к его плоскости, проведенного через пентр сектора. См. замечания Роберваля по поводу письма Декарта (Oeuvres de Descartes, t. IX, p. 521, издание Cousin). (Прим. Бертрана.)

ного центра колебания тяжелого маятника следует также принимать во внимание действие тяжести, под влиянием которой маятник движется. Однако подобного рода исследование было не под силу механике того времени *), и математики продолжали молча допускать, что центр удара совпадает, с центром колебания, и Гюйгенс был первым, кто рассматривал этот последний центр в его действительном значении; он также полагал, что эту проблему следует считать совершенно новой**) и, не будучи в состоянии разрешить еe с помощью известных законов движения, придумал новый, но косвенный принцип, который затем получил широкую известность под названием принципа сохранения живых сил.
7. Нить, рассматриваемая как несгибаемая линия, лишенная тяжести и массы и закрепленная одним концом в неподвижной точке, а надругом нагруженная небольшим грузом, который можно себе представить сведенным в точку, образует то, что называют простым маятником; закон колебаний этого маятника зависит исключительно от его длины, т.е.от расстояния между грузом и точкой подвеса. Но если на этой нити, на раз-
*) Известио, что центр колебаний не отличается от центра удара. Из отзыва Лагранжа должно как будто следовать, что правило Декарта верно, хотя оно недостаточно точно обосновано. Однако легко убедиться в том, что әто не так и что это правило ведет к неверным результатам во всех тех случаях, когда маятник не приводится к плоской фигуре, вращающейся вокруг оси, расположенной в его плоскости. (Iрим. Бертрана.)
**) Гюйгенс в начале четвертой части своего сочинения, наоборот, вспоминает, что задача о центре колебания была когда-то предложена ему, а также и другим математикам Мерсенном, но в то время он, Гюйгенс, был еще почти ребенком и не мог найти удовлетворительного решения. Говоря о Декарте, он прибавляет: \”Выдающиеся люди, как Декарт (Cartesius), Фабрий (Fabrius) и другие, полагавшие, что разрешили әту проблему, совершенно не справились с ней, если не считать немногих более легких вопросов, для которых, однако, как мне кажется, они не дали какого-либо удовлетворительного доказательства». (œuvres d’Huygens, t. I, p. 118; пздание s’Gravesande, Lyon 1724). (Iри.и. Бертрана.)

личных расстояниях от точки ее подвеса, укрепить еще один или несколько грузов, то мы тогда получим сложный маятник, движение которого должно дать в известном смысле нечто среднее между движениями различных простых маятников, какие получились бы, если бы каждый из указанных грузов был подвешен на отдельной нити. В самом деле, с одной стороны, сила тяжести стремится заставить все грузы опускаться одинаково в одно и то же время, а с другой стороны, несгибаемость нити заставляет их именно в это самое время описывать неравные дуги, пропорциональные их расстояниям от точки подвеса; таким образом между этими грузами должен иметь место некоторый вид компенсации и распределения их движений, так что грузы, находящиеся ближе всего к точке подвеса, ускоряют колебания более далеких, а последние, наоборот, замедляют колебания первых. Таким образом на нити должна существовать такого рода точка, что если в ней укрепить тело, то движение последнего не будет ни ускоряться ни замедляться остальными грузами, и движение будет совершенно таким же, как если бы только одно это тело было подвешено на нити. Эта точка и будет истинным центром колебания сложного маятника; подобный центр должен находиться и в каждом твердом теле, колеблющемся около горизонтальной оси, какую бы форму это тело ни имело.

Гюйгенс увидел, что этот центр не может быть определен строго математически, если неизвестен закон, согласно которому различные грузы сложного маятника взаимно изменяют те движения, которые сила тяжести стремится им сообщить в каждое мгновение; однако вместо того чтобы вывести этот закон из основных положений механики, он ограничился применением косвенного положения, которое заключается в следующем: если несколько грузов, прикрепленных любым образом к маятнику, опускаются исключительно под действием тяжести и если представить себе, что в некоторый момент они освобождены и отделены друг от друга, то каждый из них под влиянием полученной 20 ж. Лагранж, т. I

им при падении скорости сможет подняться на такую высоту, что общий центр их тяжести достигнет той же самой высоты, с какой он перед этим опустился. Правда, Гюйгенс не ус тановил этого положения непос редственно, а вывел его из двух гипотез, которые, по его мнению, следовало допустить в качестве постулатов механики. Одна из этих гипотез заключается в том, что центр тяжести системы тяжелых тел никогда не может подняться на высоту, бо́льшую той, с которой он упал, как бы мы ни изменяли взаимное расположение тел, ибо в противном елучае стало бы возможным непрерывное движение; вторая гипотеза зактючается в том, что сложный маятник всегда сам собою способен подняться на такую же высоту, с гакой он свободно опустился. Сверх того, Гюйтенс отмечает, что это же положение имеет место при движении тяжелых тел, связанных между собою каким угодно образом, а также при движении жидких тел.

Трудно угадать, что навело Гюйгенса на мысль об указанном положении, но можно подозревать, что он был приведен к нему теоремой, доказанной Галилеем для падения тяжелых тел: падают ли они по вертикали или же по наклонным плоскостям, они всегда приобретают такие скорости, которые в состоянии их поднять на ту же высоту, с которой они упали. Эта теорема, будучи обобщена и применена к центру тяжести системы тяжелых тел, и дает упомянутый принцип Гюйгенса.

Но как бы там ни было, из этого положения получается уравнение между вертикальной высотой, с которой центр тяжести системы падал в течение некоторого времени, и различными вертикальными высотами, на которые входящие в систему тела могут подняться с достигнутыми ими скоростями и которые согласно теоремам Галилея относятся между собою, как квадраты этих скоростей. Но у маятника, колеблющегося вокруг горизонтальной оси, скорости различных точек пропорциональны их расстояниям от оси; следовательно, уравнение можно свести только к двум неизвестным величинам, из которых одна представляет собою расстояние, на какое за определенное время снижается центр тяжести маятника, другая же величина представляет собою высоту, на которую может подняться заданная точка под влиянием скорости, приобретенной благодаря падению. В центре колебания обе эти высоты должны быть равны, так как свободные тела всегда в состоянии подняться на ту же высоту, с какой они удали. Уравнение и показывает, что это равенство может иметь место только в точке, лежащей на линии, перпендикулярной к оси вращения и проходящей через центр тяжести маятника; эта точка удалена от упомянутой оси на такую величину, которая получается, если сумму произведений всех масс, составияющих маятник, на квадраты их расстояний от оси разделить на сумму этих масс, помноженных на расстояние центра тяжести маятника от той же оси. Эта величина и выразит длину простого маятника, движение которого будет одинаково с движением сложного маятника.

Гюйгенс изложил приведенную выше теорию в своей работе «Horologium oscillatorium», где он привел также большое количество остроумных применений этой теории. Последняя не оставляла бы желать ничего лучшего, если бы она не была основана на сомнительном положении; оставалось еще доказать правильность этого положения, чтобы сделать теорию неуязвимой для каких бы то ни было возражений.

Против теории Гюйгенса были высказаны в 1681 г. в Journal des Savants de Paris некоторые слабые возражения, на которые Гюйгенс дал поверхностный и мало удовлетворительный ответ. Но эта полемика привлекла к себе внимание Якова Бернулли (Jacques Bernoulli) и побудила его более углубленно исследовать теорию Гюйгенса и свести ее к основным положениям динамики. Бернулли рассматривает сначала два равных груза, подвешенных на прямой несгибающейся линии и указывает, что скоресть, какую первый груз, т. е. груз, расположенный ближе к точке подвеса, приобретает, двигаясь по определенной дуге, должна быть меньше
\[
20 *
\]

той скорости, какую он приобрел бы, если бы он свободно ошисал эту дугу, и что в то же время скорость, которую приобретает второй груз, должна быть больше той скорости, какую он приобрел бы, если бы он свободно описывал эту дугу. Таким образом скорость, теряемая первым грузом, передается второму, а так как эта передача происходит при помощи рычага, способного двигаться около неподвижной точки, то она должна следовать закону равновесия сил, приложенных к этому рычагу, так что потеря первого груза в скорости относится к выигрышу второго обратно отношению соответствующих плеч рычага, т. е. расстояний от точки подвеса. Отсюда, а также из того обстоятельства, что фактические скорости обоих грузов должны быть прямо пропорциональны указанным расстояниям, можно легко определить эти скорости, а следовательно, и движение маятника.
8. Таков был первый шаг, который был сделан по пути к прямому разрешению этой знаменитой задачи. Мысль о том, чтобы отнести к рычагу те силы, которые получаются из приобретенных или потерянных грузами скоростей, является очень тонкой и дает ключ к правильной теории; но Яков Бернулли допустил ошибку, рассматривая скорости, приобретенные в течение некоторого конечного времени; было бы правильнее рассматривать элементарные скорости, достигнутые в течение одного мгновения, и сравнить их с теми скоростями, которые стремятся сообщить силы тяжести в течение того же самого мгновения. Это и сделал позднее Jопитадь (L’Hopital) в работе, опубликованной в Journal de Rotterdam за 1690 г. Он представляет себе два каких-либо груза, подвешенных на несгибающейся нити, образующей сложный маятник, и устанавливает равновесие между количествами движения, потерянными и приобретенными этими грузами в некоторое мгновение, т. е. между разностями количеств движения, фактически полученных этими грузами в указанное мгновение, и тех количеств движения, которые им стремится сообщить сила тяжести. Этим путем он определяет
отношение мгновенного ускорения каждого груза к ускорению, которое ему стремится сообщить одна лишь сила тяжести, и находит центр колебания, определяя ту точку маятника, для которой оба эти ускорения равны. Затем он распространяет свою теорию на большее количество грузов, при этом, өднако, первые грузы он всякий раз рассматривает как бы соединенными в их центре колебания; однако этот прием не является уже достаточно прямым и не может быть принят без доказательства *).

Изложенный выше анализ побудил Якова Бернулли вернуться к этому вопросу, в результате чего он и дал первое прямое и строгое решение задачи о центрах колебания, решение, которое заслуживает тем большего внимания математиков, что оно содержит в себе зерно известного принципа динамики, ставшего столь плодотворным в руках Даламбера.

Бернулли рассматривает движения, сообщаемые в каждое мгновение силой тяжести телам, из которыхсостоит маятник; так как эти тела вследствие существующей между ними связи не могут выполнять указанных движений, то он представляет себе движение, которое они должны получить, как бы составленным из тех, которые им сообщаются, и из других движений, которые к ним прибавляются или вычитаются и которые должны друг друга уравновесить, в результате чего маятник должен сохранить равновесие. Таким образом данная задача сводится к принципам статики и не требует ничего кроме помощи анализа. Этим путем Яков Бернулли вывел общие формулы для центров колебания тел любой формы, показал их соответствие с положением Гюйгенса и доказал тождественность центров колебания с центрами удара. Это решение было дано Бернулли в основных чертах в 1691 г. в Лейпцигских Acta eruditorum; но в полном виде оно было изложено только в 1703 г. в Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris.
*) Можно даже прибавить, что этот метод приводит к неточным результатам. (Прим. Бертрана).

9. Для того чтобы не упустить ничего относящегося к истории задачи о центре колебания, я должен указать еще на одно ее решение, которое было дано позднее Иваном Бернулли в тех же Мемуарах и которое почти одновременно с ним было опубтиковано Тейлором (Taylor) в его работе «Methodus incrementorum» (Meтод приращений) что дало повод к оживленной полемике между этими двумя математиками. Как ни остроумна была идея, на которой было основано это новое решение, – она заключается в том, что сложный маятник приводится сразу к простому путем замены различных грузов другими грузами, сосредоточенными в одной и той же точке, причем их фиктивные массы и тяжести подобраны таким образом, что их угловые ускорения и моменты по отношению к оси вращения остаются соотеетственно равными прежним, а общая тяжесть объединенных грузов равна их истинной тяжести, – тем не менее следует признать, что эта идея не была ни столь естественной, ни столь ясной, как идея о равновесии между приобретенными и потерянными количествами движения.

В вышедшей в 1716 г. «Phoronomia» Эрмана (Herman) мы находим еще один метод разрешения той же задачи, основанный на другом принципе, который заключается в следующем: движущие силы, под влиянием которых должны находиться грузы, образующие маятник, чтобы иметь возможность двигаться совместно, эквивалентны тем силам, которые получаются под действием тяжести; таким образом первые, если направить их в противоположную сторону, должны находиться в равновесии с последними [23].

Последний принцип по существу представляет собою не что иное, как принцип Якова Бернулли, но только представленный в менее простом виде: пользуясь їринципами статики, нетрудно вывести один из них из другого. Позднее Эйлер его обобщил и применил к определению колебаний гибких тел; соответствующая работа его была нащечатана в 1740 г. в VII томе старых петербургских комментариев.

Было бы слишком долго излагать другие проблемы динамики, при разрешении которых геометры упражняли свое остроумие после проблемы о центре колебания и до того времени, когда разрешение подобных проблем было сведено к твердо установленным правилам. Указанные задачи, которые ставили себе Бернулли, Клеро, Әйлер, можно найти рассеянными в первых томах петербургских и берлинских мемуаров, в парижских мемуарах (за годы 1736 и 1742), в сочинениях Ивана Бернулли и в «Opuscules» Эйлера. Эти задачи состоят в оџределении движения многих тел, тяжелых или лишенных тяжести, которые толкают или тянут друг друга с помощью нитей или несгибаемых рычагов, к которым они неподвижно прикреплены или вдоль которых они могут свободно скользить и которые, после сообщения им каких-либо импульсов, предоставляются затем самим себе или принуждаются двигаться по заданным кривым линиям или поверхностям.

При разрешении этих задач почти всегда пользовались принципом Гюйгенса; но так как этот принцип дает только одно уравнение, то другие уравнения старались получить путем рассмотрения неизвестных сил, с которыми согласно допущению тела должны толкать или тянуть друг друга и которые принимали в качестве упругих сил, действующих одинаково в противоположных направлениях. При введении этих сил можно было уже совершенно не принимать во внимание взаимной связи между телами и прдставлялось возможным использовать законы движения свободных тел; далее, условия, которые в соответствии с природой задачи должны были иметь место между движениями различных тел, служили для определения неизвестных сил, которые вводились в вычисления. Однако при разрешении всякой задачи требовалась всегда особая ловкость для определения всех сил, которые в данном случае должны быть приняты во внимание. Это и придавало указанным задачам большую привлекательность и побуждало математиков к соревңованию.

10. Появившееся в 1743 г. сочинение Даламбера «Traité de Dynamique» положило конец всем подобного рода вызовам ученых; в нем предложен прямой и общий метод, с помощью которого можно разрешить, или во всяком случае выразить в виде уравнений, все проблемы механики, какие только можно себе представить. Этот метод приводит все законы движения тел к законам их равновесия и таким образом сводит динамику к статике. Мы уже отметили выше, что принцип, примененный Яковом Бернулли при определении центра колебания, обладал тем преимуществом, что он поставил это определение в зависимость от условий равновесия рычага; однако только Даламбер подошел к этому принципу с более общей точки зрения и придал ему всю ту простоту и плодотворность, на которые он был способен.

Если нескольким телам сообщить движения, которые они вынуждены изменить вследствие наличия взаимодействия между ними, то ясно, что эти движения можно рассматривать, как составленные из тех движений, которые тела фактически получают, и из других движений, которые уничтожаются; отсюда следует, что эти последние должны быть такими, что если бы тела находились исключительно под их действием, то они бы взаимно друг друга уравновесили.

Таков принцип, который был изложен Даламбером в его «Traité de Dynamique» и который он удачно применил при разрешении многих проблем и в особенности при разрешении задачи о предварении равноденствий $\left[{ }^{24}\right]$. Правда, этот принцип не дает непосредственно уравнений, необходимых для разрешения проблем динамики, но он показывает, каким образом эти уравнения могут быть выведены из условий равновесия. Таким образом, если этот принцип сочетать с обычными принципами равновесия рычага или сложения сил, то всегда можно найти уравнения каждой проблемы; однако трудность определения тех сил, которые должны уничтожиться, равно как и законов равновесия этих сил, делает зачастую применение этого принципа неудобным и утомительным, а решение, которое при этом

получается, почти всегда сложнее тех решений, какие могут быть получены путем применения менее простых и менее прямых принципов, как в этом можно убедиться из второй части «Traité de Dynamique» Даламбера *).
11. Если бы мы пожелали избежать тех разложений движений, которых требует указанный выше принцип, то необходимо было бы только наперед установить равновесие между силами и вызванными ими движениями, которые, однако, следовало бы взять направленными противоположно. В самом деле, если мы представим себе, что каждому телу мы сообщаем в противоположном направлении то движение, которое оно долгжно получить, то ясно, что система будет приведена в положение покоя; следовательно, эти последние движения должны уничтожить те движения, которые тела получили бы и которые они выполняли бы при отсутствии взаимодействия между ними; таким образом должно существовать равновесие между всеми этими движениями или между силами, которые способны их вызвать.

Этот способ сведения законов динамики к законам статики в действительности является менее прямым, чем способ, вытекающий из принципа Даламбера, но зато он приводит к большей простоте в применениях; он представляет собою возврат к методу Эрмана и Эйлера, который применил его при разрешении многих проблем механики. В некоторых курсах механики егө можно встретить под названием принципа Даламбера.
12. В первой части настоящей работы мы свели всю статику к единой общей формуле, дающей законы равновесия любой системы тел, находящихся под действием каких угодно сил. Таким образом можно и всю динамику свести к одной общей формуле; в самом деле, для того чтобы применить формулу равновесия системы тел к ее движению, достаточно ввести силы, которые $\qquad$
*) Эти решения еще больше усложняются благодаря тому обстоятельству, что автор, как он сам об этом предупреждает (§94), систематически избегает принимать at, или әлементы времени, в качестве постоянных величин. (Приж. Лагранжа)

получаются вследствие изменений движения каждого тела и которые должны быть уничтожены. Развитие этой формулы, если при әтом принять во внимание условия, зависящие от природы системы, даст все уравнения, необходимые для определения движения каждого тела; после этого останется только эти уравнения проинтегрировать, что является уже задачей анализа.
13. Одно из преимуществ, которое получается при использовании формулы, о которой идет речь, заключается в том, что она непосредственно приводит к общим уравнениям, в которых содержатся принципы или теоремы, известные под названием принципов сохранения живых сил, сох ранения движения цент ра тяжести, сохранения моментов вращения, или принипа площадей, и принципа наименьшего действия. Однако все эти принцишы следует рассматривать скорее как общие выводы из законов динамики, чем как первоначальные принципы әтой науки, но так как при разрешении задач их зачастую все-таки принимают в качестве основных положений, то мы считаем необходимым здесь на них остановиться и указать, в чем они заключаются и каким авторам они обязаны своим происхождением, дабы не допустить существенного пробела в настоящем предварительном изложении принципов динамики.
14. Первый из приведенных четырех принципов, а именно принцип сохранения живых сил, был открыт Гюйгенсом, однако в форме, несколько отличной от той, какую ему придают в настоящее время; об этом мы уже упомянули выше в связи с проблемой определения центров колебания. Это положение, поскольку оно было применено для решения указанной задачи, сводится к равенству между снижением и повышением ценера тяжести множества тяжелых тел, которые падают, будучи соединены вместе, и затем поднимаются отдельно, причем каждое из них поднимается вверх с той скоростью, какую оно приобрело при падении. Но согласно известным свойс твам центра тяжести путь, пройденный центром в каком-либо направлении, выражается отношением суммы произведений массы каждого тела на путь, пройденный им в том жө направлении, к сумме этих масс. С другой стороны, согласно теоремам Галилея вертикальный путь, пройденный тяжелым телом, пропорционален квадрату скорости, которую тело приобрело при свободном падении и с которой оно может снова подняться на ту же высоту. Таким образом принцип Гюйгенса сводится к тому, что при движении тяжелых тел сумма произведений масс на квадраты скоростей в любое мгновение имеет одно и то же значение независимо от того, движутся ли тела, будучи каким-либо образом связаны друг с другом, или же они свободно пробегают те же вертикальные пути. Это отметил в нескольких словах и сам Гюйгенс в маленькой работе, касающейся методов Якова Бернулли и Лошиталя, примененных ими для определения центров колебания.

До сих пор этот принцип рассматривался только в качестве простой теоремы механики; однако после того как Иван Бернулли принял предложенное Лейбницем различие между мертвыми силами, или силами давления, не вызывающими реального двияения, и живыми силами, при которых имеет место движение, а также его предложение измерять последнего рода силы произведением масс на квадраты скоростей, рассматриваемый принцип стал следствием теории живых сил и общего закона природы, согласно которому сумма живых сил нескольких тел остается неизменной, в то время как эти тела действуют друга на друга с помощью одних только сил давления, и равной той живой силе, которая получается в результате действия активных сил, приводящих тела в движение. Поэтому он дал указанному принципу название принципа сохранения живых сил и успешно применил его при разрешении некоторых задач, которые до тех пор еще не были решены и которые представлялось трудным довести до конца с помощью прямых методов.

Впоследствии Даниил Бернулли расширил этот принцип и вывел из него законы движения жидких тел, заключенных в сосуды; до него эта проблема всегда исследовалась довольно поверхностно и произвольно. Наконец, в Mémoires de Berlin за 1748 г. он обобщил этот принцип, показав, как его можно применить $к$ движению тел, находящихся под действием произвольных сил взаимного притяжения, или притягиваемых к неподвижным центрам силами, пропорциональными любым функциям расстояний.

Принцип живых сил обладает тем большим преимуществом, что он непос редственно дает конечное уравнение между скоростями тел и переменными величинами, определяющими их положение в пространстве; таким образом в том случае, когда согласно природе задачи все эти переменные могут быть сведены к одной переменной, этого одного уравнения оказывается достаточно для полного разрешения задачи; такой именно случай мы имеем в проблеме о центрах колебания. При этом вообще принцип сох ранения живых сил всегда дает первый интеграл различных дифференциальных уравнений каждой задачи, что во многих случаях представляет большую выгоду.
15. Второй принцип был выдвинут Ньютоном, который в начале своих «Principiq» доказывает, что состояние покоя или движения центра тяжести нескольких тел нисколько не изменяется вследствие взаимного действия этих тел, в чем бы последнее ни заключалось; таким образом центр тяжести тел, действующих друг на друга каким угодно образом, будь то при посредстве нитей или рычага, или в силу законов притяжения, если только не имеется какого-либо внешнего действия или препятствия, всегда остается в покое или же движется равномерно и прямолинейно.

Позднее Даламбер значительно расширил этот принцип, показав, что когда тела находятся под действием постоянных ускоряющих сил, причем все они направлены по параллельным линиям, или по линиям, сходящимся в одной точке, и действуют пропорционально расстоянию, то центр тяжести должен описывать ту же кривую, как если бы тела были свободны; можно еще добавить, что движение этой точки вообще остается таким же, как если бы все силы тел, каковы бы они ни были, были приложены к этой точке с сохранением за каждой силой еө направления.

Ясно, что этот принцип служит для определения движения центра тяжести независимо от соответствующих движений тел и что он таким образом всегда может дать три конечных уравнения между координатами тел и временем, которые будут интегралами диффференциальных уравнений задачи *).
16. Третий приццип имеет гораздо менышую давность, чем первые два; повидимому, он был открыт эдновременно, но в различных видах, Эйлером, Даниилом Бернулли и Дарси (d’Arcy). Согласно формулировке первых двух этот принцип заключается в том, что при движении нескольких тел вокруг неподвижного центра сумма произведений массы каждого тела на его скорость вращения вокруг центра и на расстояние его от того же центра является всегда независимой от взаимного действия, которое тела могут производить друг на друга, и должна всегда оставаться неизменнои, если не имеется какого-либо ьнешнего действия или препятствия. Даниил Бернулли кзложил этот принцип в первом томе Mémoires del’ Académie de Berlin, вышедпем в 1746 г., а Эйлер опубликовал его в том же году в первом томе своих «Opuscules». Оба они пришли к этому принципу при разрешении одной и той же задачи, а именно при определении движения нескольких тел, заключенных в трубу заданной формы, могущей вращаться только вокруг одной точки, или вокруг неподвижного центра.

Принцип Дарси в том виде, как он его изложил в мемуаре, представленном Парижской Академии наук в 1752 г., заключается в том, что сумма произведений массы каждого тела на площадь, описываемую его радиусом-вектором вокруг неподвижной точки, причем
*) Следует, однако, ввести ограничение, заключающееся в том, что силы, действующие на эти тела, не зависят от их неизвестного положения. (Прим. Бертрана.)

для всех тел эта цлощадь берется в одной и той же плсскости проекций, всегда пропорциональна времени. Как видим, этот принцип представляет собой обобщение прекрасной теоремы Ньютона о площадіх , описанных под действием известных центростремительных сил. Однако для того, чтобы установить аналогию или, еще болыше, тождественность этого принципа с принципом Эйлера и Даниила Бернулли, следует только принять во внимание, что скорость вращения выражается с помощью элемента дуги круга, разделенной на элемент времени, и что первый из этих элементов, умноженный на расстояние от центра, дает площадь, описанную вокруг этого центра; отсюда видно, что этот последний принцип представляет собой не что иное, как дифференциальное выражение принципа Дарси.

Позднее Дарси представил свой принцип в форме, более приближающейся к изложенному выше принципу он заключается в том, что сумма произведений масс на скорости и на церпендикуляры, опущенные из центра на направления движения тел, есть величина постоянная.

С этой точки зрения он создал отсюда даже некоторый вид метафизического принципа, который он назвал сохранением действия, с тем, чтобы противопоставить его или, даже больше, заменить им принцип наименьшего количества действия, как будто бы неопределенные и произвольные наименования составляли сущность законов природы и с помощью какого-то скрытого свойства были способны простые выводы из известных законов механики возвести до степени конечных причин.

Кақ бы то ни было, но рассматриваемый принцип имеет место вообще для каждой системы тел, действующих друг на друга любым образом, например, при помощи нитей, несгибаемых линий, законов притяжения и т. д. и находящихся под действием некоторых сил, направленных к неподвижному центру, независимо от того, будет ли система совершенно свободна или же она будет вынуждена двигаться вокруг того же центра. Сумма произведений масс на площади, описанные вокруг әтого центра и спроектированные на какую-либо плоскость, всегда пропорциональна времени; таким образом, если мы отнесем эти площади к трем взаимно перпендикулярным плоскостям, то мы получим три дифференциальных уравнения первого порядка между временем : координатами кривых נиний, описанных телами; в этих уравнениях собственно и заключается природа изложенного выше принципа.
17. Перехожу, наконеп, к четвертому принципу, который я называю принципом наименьшего действил по аналогии с тем, который был дан под этим же названием Мопертюи и который затем приобрел известность благодаря работам многих знаменитых авторов. Этот принцип с аналитической точки зрения заключается в том, что при движении тел, действующих друг на друга, сумма произведений масс на скорости и на пройденные пути является минимумом. Мопертюи выводит отсюда законы отражения и преломления света, равно как и законы удара тел; эти выводы помещены в двух мемуарах, из которых первый был опубликован в Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris 3a 174́’́ r., a второй спустя два года в Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin.

Однако указанные применения носят стишком специальный характер, чтобы на них можни было построить доказательство общего принципа; кроме того, они несколько неопределенны и произвольны, что придает некоторую ненадежность. и выводам, которые можно было бы сделать на основании их о точности самого принципа. Поэтому мне кажется, было бы неправильно изложенный в таком виде принцип ставить в один ряд с теми принципами, которые были указаны выше. Существует, однако, и другой способ его применения, более общий и более точный, который один только и заслуживает внимания математиков. Первую идею этого принципа дал Эйлер в конце своего сочинения «De isoperimetricis», напечатанного в Јозанне в 1744 г.; он показал, что при траекториях, описанных под действием центральных сил, интеграл скорости, умноженный на элемент кривой, всегда является максимумом или минимумом.

Указанное свойство, найденное Эйлером при движении изолированных тел, которое представлялось присущим только этим телам, я, пользуясь принципом сохранения живых сил, распространил на движение любой системы тел, действующих друг на друга каким угодно образом; отсюда вытекает новый общий принцип, согласно которому сумма произведений масс на интегралы скоростей, умноженных на элементы пройденных путей, является всегда максимумом или минимумом.

Таков тот принцип, которому, хотя и не вполне точно, я даю здесь название принципа наименьшего действия и на который я смотрю не как на метафизический принцип, а как на простой и общий вывод из законов механики. Во втором томе Mémoires de Turin *) можно увидеть применение, которое я дал ему для разрешения многих трудных проблем механики. Этот принцип, будучи соединен с принцишом живых сил и развит по правилам вариационного исчисления, дает тотчас же все уравнения, необходимые для разрешения каждой проблемы; отсюда возникает столь же простой, как и общий, метод разрешения проблем, касающихся движения тел. Однако этот метод представляет собою не что иное, как следствие метода, составляющего предмет второй части настоящей работы и обладающего в то же время тем преимуществом, что он выводится из первых принципов механики.
*) Oeuvres de Lagrange, t. l, p. 365.