Статика – это наука о равновесии сил. Под силой мы понимаәм, вообще говоря, любую причину, которая сообщает или стремится сообщить движение телам, к которым мы представляем себе ее приложенной; поэтому силу следует оценивать по величине движения, которое она вызывает или стремится вызвать. В состолнии равновесия сила не производит реального действия; она вызывает лишь простое стремление к движению; но ее следует всегда измерять по тому эффекту, какой она вызвала бы, если бы она действовала при отсутствии каких-лиӧ́о препятствий. Если принять в качестве единицы какую-либо силу или же ее действие, то выражение для любой другой силы представит собою не что иное, как отношение, т. е. математическую величину, которая может быть выражена с помощью чисел или линий; с этой именно точки зрения и следует в механике рассматривать силы.

Равновесие получается в результате уничтожения нескольких сил, которые борются и взаимно сводят на нет действие, производимое ими друг на друга; статика имеет своей целью дать законы, согласно которым происходит это уничтожение. Эти законы основаны на общщих принципах, которые можно свести 2 ж. лагранж, т. т к трем: принципу рычага, принципу сложсения сил и принципу виртуальных скоростей.
1. Архимед, единственный из древних, оставивший нам теорию равновесия в двух своих книгах «De aequiponderantibus» или «De planorum aequilibriis», является автором принцида рычага. Последний, как это знают все механики, заключается в следующем. Если прямолинейный рычаг нагрузить с обеих сторон от точки опоры какими-либо двумя грузами таким образом, чтобы расстояния этих грузов от точки опоры были обратно пропорциональны самим грузам, то рычаг останется в равновесии, а нагрузка на точку его опоры будет равна сумме обоих грузов. Для случая, когда грузы равны и находятся на равном расстоянии от точки опоры, Архимед принимает этот принцип в качестве очевидной аксиомы механики или, по меньшей мере, в качестве опытного закона. К этому простому и первичному случаю он сводит случай, когда на рычаге помещены неравные грузы; последние, если они соизмеримы между собою, он представляет себе разделенными на несколько равных частей; эти части каждого груза он разделяет и помещает их на соответствующих плечах того же рычага на равных расстояниях, так что рычаг оказывается нагруженным большим числом малых равных между собою грузов, расположенных на равных расстояниях от точки опоры. Далее, он обосновывает правильность әтой же теоремы для несоизмеримых грузов, доказывая посредством метода исчерпания, что между этими грузами не может быть равновесия, если они не находятся между собою в отношении, обратном их расстояниям от точки опоры.

Некоторые новые авторы, как Стевин (Stevin) в своей статике и Галилей (Galilei) в своих «Диалогах» о движении $\left[{ }^{2}\right]$, упростили доказательство Архимеда, приняв, что грузы, помещенные на рычаге, имеют форму параллелепипедов, подвешенных горизонтально в средней своей точке; при этом ширина и высота обоих параллелепипедов равны, но длины их вдвое больше соответству ющих противоположных плеч. Тогда оба параллелепипеда находятся между собой в обратном отношении к своим плечам и в то же время они располагаются впритык, так что составляют одно целое тело, середина которого в точности совпадает с точкой опоры рычага. Архимед уже раньше воспользовался подобным методом для определения центра тяжести фигуры, составленной из двух параболических поверхностей, а именно – в первом предложении второй книги о равновесии плоскостей.

Другие авторы, наоборот, полагали, что нашли ошибки в доказательстве Архимеда и видоизменяли его различным образом с тем, чтобы придать ему бо́льшую строгость; следует, однако, признать, что, нарушив простоту этого доказательства, они почти ничего нс выиграли с точки зрения точности.

Тем не менее из числа авторов, пытавшихся дополнить доказательство равновесия рычага, данное Архимедом, следует особо отметить Гюйгенса (Huуghens), который по этому поводу написал небольшую работу под заглавием «Demonstratio aequilibrii bilancis»*), напечатанную в 1693 г. в собрании старых Mémoires de l’Académie de Sciences.

По мнению Гюйгенса, Архимед молча допускает, что когда несколько равных грузов помещено на горизонтальном рычаге на равных друг от друга расстояниях, то они стремятся вывести рычаг из горизонтального состояния с одинаковой силой – независимо от того, находятся ли они все по одну сторону от точки опоры, или же одни из них находятся на одной стороне, а другие на другой стороне от точки опоры. Для того чтобы избежать этого ненадежного допущения, Гюйгенс распределяет равные части соизмеримых грувов не так, как это сделал Архимед, т. е. на одном и том же рычаге по обе стороны от точек, в которых
*) Эта работа Гюйгенса входит в состав его \”Сочинений», опубликованных с’Гравезандом (s’Gravesande) в 1724 г. (в Лионе), т. 1, стр, 282. (Прия. Вертрана.)

грузы должны были бы висеть целиком, а размещает их точно таким же образом на двух других горизонтальных рычагах, которые расположены в конечных точках рассматриваемого рычага перпендикулярно к последнему, образуя с ним бунву $\mathrm{T}$. Таким путем получается горизонтальная плоскость, нагруженная известным числом равных грузов, которая, очевидно, находится в равновесии по отношению $к$ линии первого рычага, так как грузы распределены одинаково и симметрично по обе стороны от этой линии. Но Гюйгенс далее доказывает, что эта плоскость находится в равновесии и по отношению к прямой линии, наклонной к линии рычага и пересекающей последнюю в точке, разделяющей основной рычаг на части, обратно пропорциональные грузам, которыми он согласно предположению нагружен,-так как ясно, что при этих условиях малые грузы располагаются на равных расстояниях по обе стороны от той же прямой линии. Отсюда Гойгенс приходит і пыводу, что плоскость, а следовательно, и рассматриваемый рычаг должны быть в равновесии в той же точке.

Это доказательство остроумно, но оно не дает полностью того, чего действительно нехватает в доказательстве Архимеда.
2. Что прямой горизонтальный рычаг, концы которого нагружены равными грузами и точка опоры которого находится посередине, остается в равновесии, это само по себе очевидно, так как нельзя усмотреть основания, в силу которого один груз перетянул бы другой. Не так, однако, обстоит дело с допущением, что нагрузка на точку опоры равна сумме обоих грузов. Повидимому, все механики рассматривали әто допущение как результат повседневного наблюдения, которое учит нас, что тяжесть тела зависит только от его массы, но ни в какой мере не зависит от его формы *). Тем не менее эту истину
*) Мне думается, что впервые это положение пытался доказать Даламбер, однако доказательство, приведенное им в

можно вывести из первой, если подобно Гюйгенсу рассмотреть равновесие плоскости по отношению к прямой линии.

Для әтой цели следует только представить себе треугольную пластинку, которая на обоих концах своего основания нагружена двумя равными грузами и в вершине своей нагружена двойным грузом. Эта пластинка будет, очевидно, в равновесии, если она будет опираться на прямую линию или на неподвижную ось, проходящую через середины обеих сторон треугольника; ибо каждую из этих двух сторон можно рассматривать в качестве рычага, который на обоих своих концах нагружен равными грузами и имеет тоџку споры на оси, проходящей через его середину. Но это равновесие можно истолковать и иначе, а именно, рассматривая само основание треугольника как рычаг, концы которого нагружены двумя равными грузами, и представляя себе поперечный рычаг, соединяющий вершину треугольника с серединой основания, так что образуется фигура Т-образного вида; один конец поперечного рычага нагружен двойным грузом, расположенным в вершине треугольника, между тем как второй конец служит точкой опоры для рычага, образуемого основанием. Совершенно очевидно, что этот последний рычаг будет находиться в равновесии на поперечном рычаге, который поддерживает его посередине, и что, следовательно, поперечный рычаг будет в равновесии на оси, на которой треугольник находится в равновесии. Но так как ось проходит через середину обеих сторон треугольника, то она обязательно пройдет и через середину прямой линии, проведенной из вершины треугольника к середине его основания; таким образом поперечный рычаг будет иметь свою точку опоры в сред-

Mémoires de l’Académie de Sciences за 1769 г., не вполне удовлетворительно. Доказательство, данное позднее Фурье в V ныпуске Journal de l’École Polytechnique, является очень строгим и чрезвычайно остроумным, но оно не выведено им пз природы рычага. (I рим. Лаеранжа.)

ней своей точке и, следовательно, будет одинаково нагружен на обоих концах. Таким образом нагрузка, которую несет точка опоры рычага, образующего основание треугольника и нагруженного на обоих своих кондах равными грузами, будет равна двойному грузу, находящемуся в вершине треугольника и, следовательно, будет равна сумме обоих этих грузов.

Если бы вместо треугольника рассмотреть трапецию, нагруженную в четырех своих вершинах четырьмя равными грузами, то тем же путем можно было бы установить, что два рычага неравной длины, образующие параллельные стороны трапеции, действуют на свои точки опоры равными силами.
3. Если это положение однажды обосновано, то ясно, что подобно тому, как это сделал Архимед, можно вместо одного груза, находящегося в равновесии на рычаге, подвесить два равных, вдвое меньших, груза на равных расстояниях по обе стороны от той точки, в которой был помещен груз. Ведь действие этого груза равно действию рычага, подвешенного в средней своей точке и нагруженного на обоих концах двумя равными грузами, каждый из которых равен половине данного груза; и ясно, что нет никаких препятствий к тому, чтобы последний рычаг настолько приблизить к первому, чтобы он составил его часть. Или, что, пожалуй, будет еще строже, можно считать, что этот последний рычаг поддерживается в равновесии силой, приложенной в его середине и действующей снизу вверх, причем эта сила равна тому самому весу, обе половины которого мы себе представляем помещенными в конечных точках рычага. Если этот рычаг, находящийся в равновесии, поместить на первом рычаге, который согласно нашему допущению находится в равновесии, на своей точке опоры, то общее равновесие сохранится; если же второй рычаг поместить на первом таким образом, чтобы середина второго рычага совпала с кондом плеча первого, то можно будет считать, что сила, поддерживающая второй рычаг, приложена к самому грузу, которым нагружено плечо первого рычага, а так как этот груз будет поддерживаться упомянутой силой, то он уже не будет оказывать какого-либо действия на первый рычаг, и его место займут два равных груза половінного размера, которые будут находиться по обе стороны от данного груза на удлиненном плече первого рычага. Доказанная таким путем суперпозиция равновесий является в механике столь же плодотворным принципом, каким в геометрии является суперпозиция фигур.
4. Таким образом можно считать, что равновесие прямолинейного горизонтального рычага, нагруженного двумя грузами, величины которых обратно пропорциональны их расстояниям от точки опоры, является строго доказанной истиной. На основе принципа суперпозиции легко, далее, распространить этот вывод на любой коленчатый рычаг, точка опоры которого находится в вершине угла и на плечи которого действуют в противоположных направлениях силы, перпендикулярные к плечам. В самом деле, прежде всего ясно, что коленчатый равноплечий рычаг, который может вращаться около своей вершины, будет поддерживаться в состоянии равновесия двумя равными силами, приложенными к концам плеч и направленными перпендикулярно к последним и, следовательно, стремящимися вращать их в противоположные стороны. Пусть теперь имеется прямолинейный неравноплечий рычаг, одно плечо которого равно плечу коленчатого равноплечего рычага и нагружено тяжестью, эквивалентной каждой из равных сил, приложенных к плечам коленчатого рычага; другое плечо этого рычага имеет любую длину, и в конечной точке его помещен такой груз, что рычаг находится в равновесии. Представим себе, что этот рычаг наложен на равноплечий коленчатый рычаг таким образом, что точка опоры прямолинейного рычага совпадает с вершиной коленчатого рычага и первое плечо первого совпадает с какимнибудь плечом второго, причем обе силы, приложенные к совпавшим теперь конетным точкам обоих рычагов, имеют противоположное направление. Тогда обе эти силы друг друга взаимно уничтожат и соответствующие плечи обоих рычагов, на которые эти силы действуют, потеряют всякое значение. А так как в результате суперпозиции общее равновесие не нарушится, то оставшийся налицо неравноплечий коленчатый рычаг, в конечных точках которого приложены перпендикулярно направленные силы, величины которых обратно пропорциональны длинам плеч, будет находиться в равновесии, подобно тому, как это имеет место при прямолинейном рычаге.

Но силу мы можем себе представить приложенной в любой точке по ее направлению. Поэтому две силы, приложенные к капим либо точтам плосгости, закрепленной в одной точке, и имеющие любое направление в этой плоскости, находятся в равновесии, если величины этих сил обратно пропорциональны перпендикулярам, опущенным из неподвижной точки плоскости на направления этих сил, ибо можно считать, что эти перпендикуляры составляют коленчатый рычаг, точкой опоры которого является неподвижная точка плоскости. Это положение называют принциол моментоз, причем под моментом понимают произведение силы на плечо рычага, на которое она действует.

Этот общий принцип достаточен для решения всех задач статики. Он был установлен уже при первых шагах, какие были сделаны после Архимеда в теории простых машин, благодаря исследованию ворота, как об этом можно судить по работе Гвидо Убальдо (Ubaldo) «Mechanicorum liber», появившейся в 1577 г. в Пезаро; однако этот автор не сумел применить его ни к наклонной плоскости, ни к другим машинам, которые могут быть выведены из последней, как, например, клин и винт, для которых Убальдо дает очень неточную теорию.
5. Отношение силы, удерживающей груз на наклонной плоскости, к весу этого груза давно уже составляло проблему, которой были заняты новые механики. Стевин решил ее первым, но его решение основано на косвенном рассуждении, причем последнее не связано с теорией рычага.

Стевин рассматривает твердое тело в форме треугольника, стоящего на своем горизонтальном основании, так что обе его стороны образуют две наклониых плоскссти, и допускаст, что на обеих сторонах этого треугольника лежат четки в виде некоторого числа равных грузов, нанизанных на равных расстояниях на нить, или, лучше сказать, депь, имеющая одинаковую толщину на всем своем протяжении; при этом наверху на сторонах треугольника эта цепь прилегает вплотную к этим сторонам, нижняя же часть цепи внсит свободно под основанием треугольника, как если бы она была прикреплена к обоим концам этого основания.

Стевин рассуждает следующим образом. Если предположить, что цепь может свободно скользить по треугольнику, она все-таки должна остазаться в покое; ведь если бы она сама собою начала скользить в каком-нибудь направлении, то она должіа была бы и дальше все время продолжать это скольжение, так как причина движения оставалась бы все время неизменной, ибо в силу однорьдности частей цепи последняя все время висела бы одинаковым образом на треугольнике, в результате чего получилось бы постоянное движение, что, однако, представляется абсурдным.

Таким образом между всеми частями цепи необходимо должно быть равновесие. Но относительно части цепи, расположенной под основанием треугольника, можно считать, что она уже сама по себе находится в равновесии. Следовательно, действие всех грузов, расположенных на одной стороне треугольника, должно уравновешиваться действием грузов, расположенных на другой его стороне; но сумма первых относится к сумме вторых, как длина первой стороны к длине второй. Стало быть, для того чтобы поддержать груз или несколько грузов на наклонной плоскости, требуется всегда одна и та же сила, когда общая сумма грузов пропорциональна длине плоскости, если только высота последней остается неизменной; но в том случае, когда плоскость вертикальна, сила равна весу груза; отсюда следует, что у всякой наклонной шлоскости сила относится к весу груза, как высота плоскости относится к ее длине.

Я изложил это доказательство Стевина, так как оно очень остроумно и к тому же мало известно. Далее Стевин выводит из этой теории условие равновесия между тремя силами, приложенными в одной и той же точке, и находит, что это равновесие имеет место в том случае, когда силы параллельны и пропорциональны трем сторонам какого-либо прямолинейного треугольника. (См. «Элементы статики» и «Добавления к статике» Стевина в \”Hypomnemata mathematica», напечатанных в Лейдене в 1605 г., а также в трудах Стевина, переведенных на французский язык и напечатанных в 1634 г. Эльзевирами.) Следует, однако, отметить, что хотя эта основная теорема статики обычно приписывается Стевину, она была им доказана лишь для того случая, когда направления двух из этих сил образуют между собой прямой угол.

Стевин правильно отмечает, что груз, лежащий на наклонной плоскости и поддерживаемый силой, направленной параллельно плоскости, находится в таком же состоянии, как если бы он поддерживался двумя нитями, из которых одна перпендикулярна, а другая параллельна плоскости, и с помощью своей теории наклонной плоскости находит, что отношение веса груза к силе, параллельной плоскости, равно отношению гипотенузы к основанию прямоугольного треугольника, построенного на плоскости посредством двух прямых линий, из которых одна идет вертпкально, а другая проведена перпендикулярно к плоскости. Стевин ограничивается, далее, тем, что распространяет эту пропорцию на тот случай, когда нить, удерживающая груз на наклонной плоскости, составляет с последней носой угол; для этого он строит аналогичный треугольник с помощью тех же линий, одной вертикальной и другой – перпендикулярной к плоскости, и откладывает основание по направлению нити; однако для того, чтобы обосновать правильность подобного построения, он должен был бы доказать, что та же самая пропорция имеет место при равновесии груза, удерживаемого на наклонной плоскости силой, направленной косо к этой плоскости, что, однако, не может быть выведено из рассмотрения стевиновой воображаемой цепи.
6. В механике Галилея, которая в 1634 г. была впервые опубликована на французском языкс Мер сенном (Mersenne), равновесие на наклонной плоскости сведено к равновесию коленчатого рычага с двумя равными плечами, из которых одно следует себе представить направленным перцендикулярно к плоскости и нагруженным тяжестью, положенной на плоскость, другое же направлено горизонтально и нагружено тяжестью, эквивалентной той силе, какая необхходима для удержания груза на плоскости. Равновесие этого коленчатого рычага сводится затем к равновесию горизонтального рычага; для этой цели ‘руз, положенный на наклонное плечо, Галилей рассматривает таким образом, как если бы он был понещен на горизонтальном плече, образующем прямолинейный рычаг с горизонтальным плечом коленчатого рычага. Таким путем он устанавливает, что отношение тяжести к силе, поддерживающей ее на наклонной плоскости, обратно отношению обоих плеч прямого рычага, причем легко доказать, что эти плечи относятся друг к другу, как высота плокости относится к ее длине.

Можно сказать, что здесь мы имеем первое прямое доказательство, которое было дано для равновесия на наклонной плоскости. Галилей позднее воспользовался им для того, чтобы строго доказать, что тяжелые тела, падающие с одной и той же высоты по плоскостям различного наклона, в конце пути приобретают одну и ту же скорость; в первом издании своих «Диалогов» он ограничился лишь тем, что высказал предположение о существовании подобного равенства.

Галилею было бы легко решить и тот случай, когда сила, удерживающая груз, направлена косо к наклонной плоскости; однако этот новый шаг был сделан только спустя некоторое время Робервалем (Roberval) в его «Traité de mécanique», напечатанном в 1636 г. в «Harmonie universelle» Mepceнна.
7. Роберваль тоже рассматривает груз, положенный на наклонную плоскость, как если бы он был укреплен на плече рычага, расположенного перпендикулярно к плоскости, и силу, которой поддерживают груз, он считает как бы действующей на то же плечо, но только в заданном направлении; таким образом он получает одноплечий рычаг, один конец которого неподвижно закреплен, а другой находится под действием двух сил, веса груза и поддерживающей силы. Он подставляет затем вместо этого рычага коленчатый рычаг, оба плеча которого идут перпендикулярно к направлениям соответствующих сил и который имеет в качестве точки опоры ту же неподвижную точку, и допускает, что обе силы приложены к плетам этого рычага с сохранением их действительного направления; указанным путем он получает для равновесия условие, заключающееся в том, что отношение веса груза к силе обратно отношению обоих плеч коленчатого рычага, другими словами, обратно отношению перпендикуляров, опущенных из неподвижной точки на направления тяжести и силы.

Отсюда Роберваль выводит равновесие груза, поддерживаемого пвумя нитями. образующими между собою любой угол; для әтой цели он заменяет рычаг, перпендикулярный к плоскости, нитью, укрепленной в точке опоры рычага, а силу заменяет другой нитью, пуущей по направлению этой силы. С помощью разлиных построений и несколько усложненных анапогий он приходит к следующему заключению: если щз какой-либо точки на вертикальной линии, прохоуящей через груз, провести линию, параллельную одной из нитей до пересечения ее со второй нитью, то стороны полученного треугольника будут пропорциональны весам и силам, действующим по напранлениям этих сторон; как видим, это и есть теорема, претиоженная Стевином.

Я счел необходимым упомянуть об этом доказательстве Роберваля не только потому, что оно является первым строгим доказательством, какое было дано теореме Стевина, но и потому, что оно быпо предано забвению в ставшем ныне редким сочиении о гармонии, куда обращаться с поисками ниому не приходит в голову. Впрочем, я вошел в рассмотрение изложенной детали, касающейся теории рычага, липь с целью доставить удовольствие тем пицам, которые любят следить за течением мысли в науках, изучать пути, по которым шли изобретатели, и устанавливать более короткие пути, по которнм они могли бы пойти.
8. Труды по статике, появившиеся после работы Роберваля до эпохи открытия закона сложения сил, не прибавили ничего к этой части механики; в этих работах мы встречаем лишь хорошо известные свойства рычага и наклонной плоскости и их применение ₹ тругим простым машинам; среди них встречаются работы, содержащие недостаточно точные теории, как, например, работа Лами (Lami) о равновесип твердых тел, в которой дано неверное отношение веса к силе, поддерживающей его на наклонной плоскости. $Я$ не говорю здесь также о Декарте (Descartes), Торричелли (Torricelli) и Валлисе (Wallis), так как они приняли для равновесия принцип, находящийся в связи с принципом виртуальных скоростей, но доказательства этого принципа не дали.
9. Вторым основным принципом статики является приндип сложения сил. Он основан на следующем предположеңии: если на тело*) одновременно в различных награвлениях действуют две силы, то эти силы эквивалентны одной силе, способной сообщить телу то же самое движение, которое сообщили бы ему, действуя порознь, обе данные силы. Но когда тело должно одновременно двигаться равномерно по двум различным направлениям, то оно необходимо проходит диагональ параллелограмма, стороны которого оно прошло бы отдельно в результате каждого из обоих этчх движений. Отсюда заключают, что две любые силы, действующие вместе на одно и то же тело, эквивалентны одной силе, представленной по величине и направлению диагональю параллелограмма, стороны которого изображают величины и направления обеих заданных сил. В этом и заключается принцип, который называется принциом слоэсения сил.

Одного этого принципа **) достаточно для того, чтобы определить законы равновесия во всех случаях; ибо если указанным путем все время последовательно складывать по две все силы, то мы должны притти $\mathrm{F}^{\circ}$ одной силе, действие которой должно быть эквивалентно действию всех сил; следовательно, в случае равновесия эта сила должна равняться нулю, если в системе не имеется неподвияной точки; если же подобная точка имеется, то направление этой силы должно проходить через неподвижную точку. С этим можно встретиться во всех кни- $\qquad$
*) Слово ктело\” обозначает здесь материальную точку. (Прим. Бертінана)
**) Это мес то страдает некоторой неточностью: так как две силы, не лежащие в одной и той же плоскости, не имеют равнодействующей, то замечание Лагранжа не может быть применено, во обще говоря, даже в случае твердой системы. (Ірим. Бертяана.)

гах по статике и в частности в «Nouvelle mécanique» Bариньона (Varignon), где теория машин выводится единственно из только что упомянутого принципа.

Совершенно очевидно, что теорема Стевина о равновесии трех сил, параллельных и пропорциональных трем сторонам любого треугольника, является непосредственным и необходимым следствием принципа сложения сил или, больше того, она представляет собою не что иное, как тот же принцип, но выраженный лишь в иной форме. Однако последний обладает тем преимуществом, что он основан на простых и естественных понятиях, между тем кан теорема Стевина основана лишь на соображениях косвенного характера.
10. Как видно из некоторых мест «Механических проблем» Аристотеля, сложение движений было уже известно древним. Его применяли главным образом геометры для описания кривых, например, Архимед для спирали, Никомед – для конхоиды и т. д. Среди ученых нового времени Роберваль вывел из него остроумный метод проведения касательных к кривым, которые можно описать с помощью двух движений, закон которых известен. Однако Галилей является первым, применившим в механике исследование сложного движения для определения кривой, описываемой тяжелым телом под действием силы тяжести и силы бросания $\left[{ }^{3}\right]$.

Во втором предложении четвертого дня своих «Диалогов» Галилей доказывает, что тело, движущееся с двумя равномерными скоростями, из которых одна направлена горизонтально, а другая вертикально, должно иметь скорость, представленную гипотенузой треугольника, стороны которого выражают эти две скорости; но, повидимому, Галилей в то же время не уяснил себе всей важности этой теоремы для теории равновесия; в самом деле, в третьем диалоге, в котором речь идет о движении тяжелых тел по наклонной плоскости, он вместо того, чтобы применить принцип сложения движений к непосредственному определению относительной тяжести тела, находящегося на наклонной плоскости $\left[{ }^{4}\right]$, производит это определение, исходя, наоборот, из теории равновесия на наклонных плоскостях, – на основе соображений, изложенных им раньше в его работе «Della scienza meccanica», в которой он наклонную плоскость свел к рычагу.

Далее, теория сложных движений встречается в работах Декарта, Роберваля, Мерсенна, Валлиса и т. д.; однако до 1687 года, когда появились «Математические начала» Ньютона и \”Projet de la nouvelle mécanique» Вариньона, еще никто не думал о том, чтобы при сложении движений поставить на место движений силы, способные их вызвать, и определить сложную силу, являющуюся равнодействующей двух заданных сил, аналогично тому, как определяют движение, составленное из двух заданных прямолинейных и равномерных движений.

Во втором дополнении к третьему закону движения Ньютон в немногих словах показывает, каким образом законы равновесия могут быть легко выведены из сложения и разложения сил, если диагональ параллелограмма принять в качестве силы, составленной из двух сил, выражаемых его сторонами; однако более детально этот вопрос был исследован в работе Вариньона «Nouvelle mécanique», которая появилась в свет в 1725 году после смерти ее автора; она содержит в себе полную теорию равновесия сил в различных машинах, выведенную только из рассмотрения сложения и разложения сил.
11. Принцип сложения сил дает сразу условия равновесия трех сил, действующих на одну точку, между тем как из равновесия рычага их можно было вывести только с помощью ряда рассуждений. Но с другой стороны, когда с помощью этого принципа желают определить равновесие двух параллельных сил, приложенных к кондам прямолинейного рычага, приходится прибегнуть к косвенным рассуждениям, подставляя вместо прямолинейного рычага коленчатый, как это сделали Ньютон и Даламбер, либо прибавляя две посторонние силы, которые взаимно друг друга уничтожают, но которые, будучи сложены с заданными силами, приводят к тому, что их направления сходятся, либо, наконец, допуская, что направления сил, будучи продолжены, встречаются на бесконечно большом расстоянии, и доказывая, что результирующая сила должна пройти через точку опоры. Этим методом воспользовался Вариньон в своей механике. Таким образом, хотя, строго говоря, оба принципа, рычага и сложения сил, всегда приводят к одним и тем же результатам, интересно отметить, что наиболее простой случай для одного из этих принципов становится наиболее сложным для другого.
12. Можно, однако, установить непосредственную связь между обоими этими принципами, пользуясь теоремой, данной Вариньоном в его «Nouvelle mécanique» (раздел 1, лемма XVI), теорему, которая заключается в следующем: если из какой-либо точки, лежащей в плоскости параллелограмма, опустить перпендикуляры на диагональ и на обе стороны, заключающие эту диагональ, то произведение диагонали на ее церпендикуляр равно сумме произведений обеих сторон на соответствующие им перпендикуляры, если точка лежит вне параллелограмма, и равно разности этй произведений, если она лежит внутри параллелограмма. Вариньон, пользуясь очень простым построением, показывает, что если построить треугольники, имеющие своими основаниями диагональ и обе стороны, а общей своей вершиной заданную точку, то треугольник, построенный на диагонали, в первом случае равновелик сумме, а во втором случае – разности обоих треугольников, построенных на сторонах. Здесь мы имеем пред собою изящную теорему геометрии, независимо от ее применения в механике.

Эта теорома осталась бы в силе и доказательство ее осталось бы тем же, если бы мы на продолжении диагонали и сторон избрали в »юбых местах отрезки, равные этим линиям; принимая во внимание, что каждую силу можно себе представить приложенной в любой точке по ее направленпю, мы таким образом можем притти қ общему выводу, что две силы, представленные по своей величине и паправлению двумя прямыми линиями, лежащими в одной плоскости, имеют равнодействующую силу, представленную по своей величине и направлению прямой линией, которая лежит в той же плоскости и которая, будучи продолжена, проходит через точку пересечения обеих прямых. Эта линия обладает той особенностью, что если в данной плоскости взять любую точку и из нее опустить першендигуляры на эти три линии, процолжив их в случае надобности, то произведение равнодействующей силы на ее перпендикуляр равно сумме или разности соответствующих произведений составляющих сил на их перпендикулры. в зависимости от того, взята ги точка, из которой ошущено три перпендикуляра, вне или впутри прямых тиний, изображающих составляющие силы.

Если допустить, что избранная тоџка гежит на направлении равноґейстующей, то эта сила не входит в уравнение, и тогда имеет несто равенство между обоими произведениями составляющих сил на их перпендикуляры; это – случай іюбого прямолинейного и коленчатого рычага, в котором точка опоры является именно той точкой, о которой здесь пдет речь, так как в данном случае действие равнодействующей силы униттожается сопротивтением опоры.

Упомянутая теорема, предложенная Вариньоном, является основой почти всех современных сочинений по статике, где на ней строится общий принцип, известный под именем приципа иолентоз. Большое препмущество его зактючается в том, что сложение и разложение сил сводятся і действиям сложения и зычитания; благодаря этому, как бы вслико ни было число складываемых сил, легко определяется их равнодействующая, которая в случае равновесия должна быть равна нулю.
13. Я отнес период открытия Вариньона ко времени опубликования его «Projet», хотя в предисловии, номещенном в начале его \”Nouvelle mécanique», он үказњвает, что за два года до того он поместил в itistoire de la république des lettres статью о полиспасте, в которой он воспользовался сложными движениями для определения всего того, что относится этой машине; я должен, однако, отметить, что это угазание неверно. Статья о полиспасте, о которой идет речь, находится только в Nouvelles de la république des lettres за май 1687 г. под заглавием: «Nouvelle démonstration générale de l’usage de poulies à moufle». (Новое общее доказательство применения блоков.) Автор рассматривает здесь равновесие груза, укрепленного на веревке, переброшенной через блок, обе части которой непараллельны. Здесь он совершенно не применяет принципа сложения сил и даже не упоминает о нем, а пользуется уже известными теоромами о грузах, укрепленных на веревках, и ссылается на рабооты по статике Парди (Pardis) и Дешаля (Dechales). Во втором доказательстве он сводит эту задачу к проблеме рычага, рассматривая прямую линию, соединяющую обе точки, где веревка оставляет блок, в качестве рычага, который нагружен тяжестью, подвешенной на блоке, и концы которого натягиваются обеими частнми веревки, поддерживающей блок.

Для того чтобы не упустить чего-либо, относящегося к истории открытия сложения сил, я должен здесл. вкратце упомянуть о маленькой работе, которую в 1687 г. опубликовал Јами под заглавием: \”Nouvelle manière de démontrer les principaux théorèmes des éléments des mécaniques». (Новый способ доказательства основных теорем элементов механики.) Автор отмечает, что, когда тело испытывает на себе действие двух сил, заставляющих его двигаться по двум различным направлениям, оно необходимо идет по среднему направлению, так что, в случае, если бы путь по этому направлению оказался для него закрытым, оно осталось бы в покое, и обе силы уравновесили бы друг друга. Среднее же направление он определяет путем сложения двух движений, которые приобрело бы тело в первое мгновение под влиянием каждой из обеих сил, если бы последние действовали отдельно одна от другой, и таким образом получает диагональ параллелограмма, стороны которого составляют пути, которые были бы пройдены в течение одного и того же времени под действием обеих сил и которые, следовательно, пропорциональны этим силам. Отсюда он тотчас же выводит теорему, что обе силы относятся друг і другу обратно отношению синусов углов, которые их направления образуют со средним направлением, по которому двигалось бы тело, если бы оно не было задержано какими-либо препятствиями; эту теорему он применяет к наклопной плоскости и к рычагу, на концы которого действуют силы, направления которых образуют между собою некоторый угол; однако для того случая, когда направления этих сил параллельны, он пользуется ненадежными и малоубедительными соображениями.

Совпадение принципа, примененного Лами, с принципом Вариньона дало основание автору «Histoire des ouvrages des savants» (апрель 1688 г.) высказать предположение, что, повидимому, первый из них обязан открытием своего принципа вторму. Лами оправдывался против этого обвинения в письме, которое было опубликовано в Journal des savants от 13 сентября 1688 г. и на которое издатель \”Histoire» ответил в декабре того же года; однако этот спор, в котором Вариньон не принял участия, не имел дальнейшего продолжения, и работа Лами, как видно, была предана забвению.

Однако простота принципа сложения сил и легкость его применения ко всем проблемам равновесия пмели своим результатом то, что все механики прицяли его тотчас же после его открытия; можно «казать, что он служит основой почти для всех работ по статике, какие появились с тех пор.
14. Нельзя, однако, не признать, что один лишь принцип рычага имеет преимущество, заключающееся в том, что он основан на природе самого равновесия, рассматриваемого как состояние, независимое от движения. Сверх того, имеется существенное различие в том, каким образом на основе этих принципов пзмеряются силы, между которыми имеется равновесие. Если бы не удалось связать этих принципов по тем результатам, к которым они приводят, можно было бы с полным основанием усомниться, допустимо ли заменять основной принцип рычага таким принципом, который получается в результате чуждых ему рассуждений о сложных движениях.

Действительно, при равновесии рычага силы представляют собою веса или же могут быть рассматрипаемы как таковые, и сила признается вдвое или втрое большей только в том смысле, что она образуется путем соединения двух или трех равных сил, из которых любая действует совершенно так же, как другая. Но стремление к движению мы представляем себе одинаковым у каждой силы, какова бы ни была ее интенсивность; между тем в принципе шюжония сил значение сил определяют по величине той скорости, которую они сообщили бы телу, будучи к нему приложены, если бы каждой из них была предоставлена возможность действовать отдельно. Вероятно, именно это различие в способе введения понятия силы и удерживало в течение долгого времени механиков от применения – известных законов сложения движений к теории равновесия, простейшим случаем которого является равновесие тяжетых тел.
15. Позднее попытались сделать принцип сложения сил независимым от рассмотрения движения и обосновать его исключительно на истинах, которые очевидны сами по себе. Впервые Даниил Бернулли*) (D. Bernoulli) в Комментариях Петербурггской Академии, том I, дал очень остроумное, но пространное и сложное доказательство параллелограмма сил, которое затем было несколько упрощено Даламбером в первом томе его «Opuscules».

Это доказательство основано на следующих двух положениях: 1) если две силы действуют на одну и ту же точку по различным направлениям, то они имеют своей равнодействующей одну силу, которая делит на две равные части угол, образуемый направлениями этих сил, когда эти силы между собою равны, и равна их сумме, когда упомянутый угол равен нулю, или же их разности, когда этот угол равен двум прямым; 2) равные кратные тех же сил, или же силы, пропорциональные заданным силам, имеют своей равнодействующей силу, кратную их равнодействующей, или пропорциональную этой равнодействующей, если углы, образуемые силами, в обоих случаях сдни и те же.

Это второе положение очевидно, если силы рассматривать как величины, которые могут быть складываемы и вычитаемы.

Что касается первого положения, то его доказывают, рассматривая движение, которое тело должно получить под действием двух сил, не находящихся в равновесии, и которое, будучи по необходимости единым, может быть приписано одной силе, действующей на тело по направлению его движения. Таким образом можно сказать, что это положение не вполне свободно от рассмотрения движения.

Что касается направления результирующей в случае равенства обеих сил, то ясно, что не существует никаких оснований для того, чтобы она была сильнее наклонена к одной из этих сил, чем к другой;
*) Это же доказательство было воспроизведено и упрощено Эме (Aimé) (Journal de Mathématiques de Liouville, $1^{\text {re }}$ série, $t$. $1^{\text {er }}$, р. 335). (Прим. Бертрана.)

недовательно, она должна делить угол, образуемый Iх налравлениями, на две равные части.

Позднее основы әтого доказательства выразили анаиитически и придали ему различные, более или менсе простые формы, рассматривая равнодействующую в качестве функции слагаемых сил и угла, образуемого их направлениями. (См. второй том Mélanges de la Société de Turin, Mémoires de l’Académie des Sciences за 1769 r., шестой том «Opuscules» Даламбера и т. д.) Следует, однако, признать, что, отделяя таким образом принцип сложения сил от принципа сложения : внжений, его лишают основных преимуществ, очевидности и простоты, и превращают его только в вывод 13 геометрических или аналитических построений.
16. Перехожу, наконец, к түетьему принципу, принципу виртуальных скоростей. Под виртуальной скою: тью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тот момент, hoг, равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тето фактически получило бы в перьое миновение свое движения $[5]$; и принцип, о котором идет речь, заключается в том, что силы находятея в равновесни, когда они относятся друг к другу обратно отношению их виртуальны скоростей, измеренных по направлению этих сил.

Уже при поверхностном рассмотрении условий равновесия на рычаге и на других машинах легко установить тот закон, что груз и сила всегда находятся между собою в отношении, обратном отношению пространств, проходимых ими в течение одного и того же времени. Тем не менее древние, повидимому, не знали этого закона. Гвидо Убальди является, вероятно, первым, заметившим этот закон на рычаге и на движущихся блоках или полиспастах. Галилей установил его затем на наклонных плоскостях и на связанных с ними машинах и смотрел на него как на общее свойство равновесия машин (см. его работу по механике и схолию ко второму предложению третьего диалога в Болонском издании 1655 г.).

Галилей понимает под моментом веса или силы, приложенной к машине, усилие, действие, энергию, импульс (impetus) этой силы, приводящий машину в движение, так что между двумя силами существует равновесие, если их моменты для приведения машины в движение в противоположных направлениях между собою равны; он доказывает, что момент всегла пропорционален силе, помноженной на виртуальную скорость, зависящую от того, как действует сила.

Подобное же понятие момента было принято Валлисом в его механике, опубликованной в 1669 г. Зтот автор кладет в основание статики принцип равенства моментов и из него выводит теорию равновесия главнейших машин.

В настоящее время под моментом понимапт только произведение силы на расстояние ее направления от какой-либо точки, или от линии, или от плоскости, то-есть – на плето рытага, которым она действует; но мне представляется, что понятие момента, данное Галилеем и Валлисом, является более естественным и более общим, и я не вижу оснований, в силу которых его оставили и заменили другим, выражающим значение момента только в определенных случаях, как, например, при рычаге и т. п.

Декарт аналогичным образом свел всю свою статику к единому принципу, который по существу дела совпадает с принципом Галилея, но только выражен в менее общем виде. Этот принцип заключается в следующем: для поднятия тяжести на определенную высоту требуется не больше и не меньше той силы, какая нужна для того, чтобы бо́льшую тяжесть поднять на высоту, во столько же раз меньшую, или же меньшую тяжесть поднять на высоту, во столько же раз бо́льшую (см. письмо 73 первого тома, опубликованного в 1657 r., и «Трактат по механике» (Traité de mécanique), напечатанный в посмертных его сочинениях). Отсюда следует, тто между двумя грузами существует равновесие, когда они распределены таким образом, что вертикальные пути, которые они могли бы сдновременно пройти, находятея в обратном отношении к величинам этих грузов. Однако при применении этого принципа к различным машинам следует принимать во внимание лишь пути, проходимые в первое мгновение движения, которые пропорциональны виртуальным скоростям; в противном случае мы не получим действительных законов равновесия.

Но будем ли мы рассматривать принцип виртуальных скоростей в качестве общего свойства равновесия, как это делал Галилей, или же вместе с Декартом и Валлисом примем его в качестве действительной причины равновесия, следует во всяком случае признать, что он обладает всей той простотой, какой можно ожидать от основного принципа; дальше мы узнаем, в какой мере этот принцип заслуживает внимания благодаря своей общности.

Торричелли, знаменитый ученик Галилея, является автором другого принципа, который тоже связан с принципом виртуальных скоростей. Этот принцип заключается в том, что если два груза связаны друг с другом и находятся в таком положении, что их центр тяжести не может опуститься ниже, то они в этом положении находятся в равновесии. Торричелли применил этот принцип только к наклонной плоскости, но легко убедиться, что он сохраняет свою силу и для других машин. (См. его работу \”De motu gravium naturaliter descendentium\” (О движении тяжелых тел, спускающихся естественным образом), появившуюся в свет в 1664 г.)

Принципу Торричелли обязан своим происхождением другой принцип, которым воспользовались для разрешения с большой легкостью различных вопросов статики. Этот принцип заключается в следующем: в системе тяжелых тел, находящихся в равновесии, центр тяжести занимает наиболее низкое положение, какое только возможно. Действительно, из теории максимумов и минимумов известно, что центр тяжести занимает наиболее низкое положение, когда дифференциал его снижения равен нулю, или, что то же самое, когда при бесконечно малом изменении положения системы этот центр не поднимается и не снижается.
17. Принципу виртуальных скоростеї может быть придана следующая весьма общая форма:

Если какая-либо система лкбого числа тел, и.ин точен, на каждую из которых деиіствуют акбые силь, находится в равновесии и если этой систеле сообщить любое малое движение, в результате которого каждая точка пройдет бесконечно малый путь, представляючий ее виртуальную скорость, то сумма сил, понноженных каждая соответственно на путь, проходилый по направъению силы точкой, к которой она приложена, будет всегда равна нуло, если малые пути, проходилые в направлении сил, считать положительными, а проходияые в иротивоположсном направлении считать отрицательнын.ии [6].

Насколько мне известно, Ивап Бернулли первьй понял указанную большую общность принципа виртуальных скоростей и его полезность при разрешении вопросов статиюи. Это видно из его письма $1717 \mathrm{r}$. на имя Вариньона, которое последний поместил в начале девятого отдела своей «Nouvelle Mécanique»,отдела, целигом посвященного проводимому на разтичных приложениях обоснованию правильности и применимости данного принципа.

Этот же принцип дал повод для появления другого принципа, предложенного Мопертюи (Maupertuis) в 1740 г. в Mémoires de l’Académie des Sciences de Paris, под названием закон покоя, который позднее был развит и обобщен Эйлером (Euler) в Mémoires de l’Académie de Berlin за 1751 г. Наконец, этот же принцип послужил основанием для принципа, изложенного Куртивроном (Courtivron) в Ме́moires de l’Académie des Sciences de Paris, за 1748 и 1749 гг.

И вообще, мне кажется, можно сказать нашеред, ‘то все общие принципы, которые еще могли бы быть открыты в учении о равновесии, представляли бы собою не что иное, как тот же принцип виртуальных скоростей, расематриваемый с иной точки зрения и отличающийся от принципа виртуальных скоростей лишь по своей формулировке.

Однако сам по себе этот принцип является не только очень простым и весьма общим; он обладает еще и тем драгоценным и только сму присущим препмуществом перед другими принципами, что он может быть выражен в общей формуле, охватывающей все проблемы, которые могут быть поставлены по вопросу о равновесии тел. Мы дадим эту формулу в полном ее объеме; мы даже попытаемся представить ее в еще более общем виде, в каком ее до сих пор никто не представлял, и постараемся дать новые применения этой формулы.
18. Что касается природы принципа виртуальных скоростей, то следует признать, что этот принцип сам по себе не является настолько очевидным, чтобы его можно было выдвинуть в качестве начального принципа; но его можно рассматривать как общее гыражсние законов равновесия, выведенных из двух принципов, которые были нами изложены выше. Точно так же при обоснованиях, которые прпводили для этого принципа, его всегда, прямо или косвенно, ставили в связь с указанными принципами. Но в статике существует еще и другой общий принцип, независимый от принципов рычага и сложения сил, хотя механики обычно и относят его к ним, – который представляется нам естественным основанием для принципа виртуальных скоростей; его можно назвать принциом блоков [?].

Если несколько блоков соединено на одном и том же стержне, то совокупность әтих блоков называют полиспастом, а сочетание двух полиспастов, одного неподвижного и другого подвижного, охваченных олюй и той же веревкой, один конец которой закреплен неподвижно, а другой находится под действием силы, образует машину, в которой сила относится к весу груза, висящего на подвижном полиспасте, как единица относится к числу витков, которые веревка делает около этого полиспаста; при әтом предполагают, что все витки параллельны, и отвлекаются от трения и жесткости веревки. Ясно, что так как веревка по всей своей длине одинаково натянута, то груз поддерживается столькими силами, равными силе, натягивающей веревку, сколько имеется витков, обвивающих подвижной пәлиспаст, так как эти витки параллельны и их можно было бы даже рассматривать как единое целое, если представить себе, что диаметр блоков бесконечно мал.

Если увеличить число неподвижных и подвижных полиспастов и охватить их все одной и той же веревкой, пользуясь при этом различными неподвижными блоками для изменения направления веревки, то та же сила, приложенная к подвижному концу веревки, будет в состоянии поддержать столько грузов, сколько имеется подвижных полиспастов, и каждый из әтих грузов будет относиться к данной силе, как число витков полиспаста относится к единице.

Для большей простоты заменим упомянутую выше силу грузом и перебросим через неподвижный блок последний виток веревки, поддерживающей тот груз, который мы принимаем в качестве единицы; вообразим дальше, что различные подвижные полиспасты вместо того, чтобы поддерживать грузы, прикреплены к телам, рассматриваемым в качестве точек, и размещены таким образом, что они образуют любую заданную систему. Таким образом один и тот же груз при посредстве веревки, охватывающей все полиспасты, будет вызывать различные силы, действующие на различные точки системы, причем каждая из этих сил будет действовать по направлению веревок, обвивающих полиспаст, прикрепленный к соответствующей точке, и величина ее будет относиться к тяжести груза, как число витков к единице. Таким образом эти силы будут представлены соответственным числом витков, действующих совместно, чтобы своим натяжением вызвать эти силы.

Ясно, что для сохранения равновесия этой системы, подверженной действию различных сил, необходимо, чтобы при любом бесконечно малом перемещении точек системы груз не опускался*). В самом деле, груз всегда стремится опускаться, поэтому, если существует такое перемещение системы, которое позволяет ему опуститься, он необходимо опустится и вызовет это перемещение системы.

Обозначим через $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ бесконечно малые отрезки пути, которые под влиянием этого перемещения прошли бы различные точки системы по направлению цействующих на них сил, и через $P, Q, R, \ldots$ соответствующие числа витков полиспастов, приложенных : этим точкам и вызывающих эти силы. Ясно, что отрезки $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ будут в то же время теми расетояниями, на которые сблизились бы при этом поұвижные полиспасты с соответствующими им непотвижными, и что эти сближения привели бы к уменьшению длины охватывающей их веревки на отрезки $P \alpha, Q \beta, R \gamma, \ldots$ Но так как вся длина веревки іолжна оставаться неизменной, то груз снизится на расстояние $P \alpha+Q \beta+R \gamma+\ldots$ Таким образом для того, чтобы между силами, величины которых выраюаются числами $P, Q, R, \ldots$, существовало равноюесие, должно иметь место равенство
\[
P \alpha+Q \beta+R \gamma+\ldots=0 ;
\]
*) Против этого утверждения Лагранжа основательно ны;нигали пример весомой точки, находящейся в равновесии на панболее высоко расположенной вершине кривой линии; очевпдно, что бесконечно малое перемещение должно было бы заставить ее опуститься, однако это перемещение не осущестияется. Первое строгое доказательство принципа виртуальных сгорогтей принадлежит Фурье (Journal de l’École Polytechnique, tome II, an. VII). В том же выпуске этого журнала помещено II доказательство, приведенное здесь выше Јагранжем. (IIрин. Бертрана.)

таково аналитическое выражение общего принципа виртуальных скоростей.
19. Можно было бы подумать, что в том случае, если бы величина $P \alpha+Q \beta+R \gamma+\ldots$ вместо того, ттобы быть равной нулю, оказалась отрицательной, то этого условия было бы достаточно для создания равновесия, так как невозможно, чтобы груз сам собою поднялся. Следует, однако, иметь в виду, что, какова бы ни была связь между точками заданной системы, вытекающие из нее отношения между бесконечно малыми величинами $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ могут быть выражены только с помош ұиференцильных уравнений, т. е. с помощью линейных уравнений между этими величинами. Таким образом среди них необходимо будет существовать одна или несколько величин, которые останутся неопределенными и которые можно будет направить в ту или другую сторону; поэтому значения всех этих величин всегла будут такими, что они могут одновременно изменить свой знак. Отсю;а следует, что если при определенном перемещении системы значение величины $P \alpha+$ $+Q \beta+R \gamma+\ldots$ отрицательно, то оно станет положительным, если величины $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ взять с обратным знаком; таким образом противоположное перемещение, которое равным образом возможно, привело бы к падению груза и к нарушению равновесия.
20. Обратно, можно доказать, что если для всех возможных бесконечно малых перемещений системы имеет место уравнение
\[
P \alpha+Q \beta+R \gamma+\ldots=0,
\]

то система необходимо должна быть в равновесии. В самом деле, так как при этих перемецениях груз остается неподвижным, то действующие на сістему силы остаются в своем прежнем состоянии и не существует уже никаких оснований к тому, чтобы они скорее вызвали одно или другое из двух перемещений, при которых величины $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ имеют противоположные знаки, Таков случай весов, нахоұящихся в равновесии, так как нет никаких оснований для того, чтобы они скорее наклонились на одну сторону, чем на другую.

Принцип виртуальных скоростей, доказанный, таким образом, для случая соизмеримых сил, остается в силе и для случая любых несоизмеримых сил, пбо известно, тто всякий закон, который может быть іоказан для соизмеримых величин, равным образом, путем приведения к абсурду, может быть доказан и для случая, когда эти величины несоизмеримы.