14. В том случае, когда система, способная свободно вращаться во всех направлениях вокруг неподвижной точки, получает какие-либо импульсы, можно в уравнении пункта 11 предыдущего отдела тоже воспользоваться выражениями для $\delta x, \delta y, \delta z$ пункта 7 , предварительно сведя импульсивные силы $P, Q, R, \ldots$ к силам $X, Y, Z$; приравняв затем нулю отдельные члены, которые умножаются на $\delta \varphi, \delta \omega, \delta \psi$, мы получим три уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}[m(x \dot{y}-y \dot{x})+x Y-y X]=0, \\
\mathbf{S}[m(z \dot{x}-\dot{x})+z X-x Z]=0, \\
\mathbf{S}[m(\dot{y}-z \dot{y})+y Z-z Y]=0
\end{array}
\]

для первого мгновения движения, вызванного импульсами $X, \dot{Y}, Z$.

В совершенно свободных системах можно неподвижную точку брать где угодно в пространстве, и приведенные выше уравнения будут всегда оставаться в силе по отношению к этой точке.
15. В подобных системах можно тоже отнести вращения к трем осям, проходящим через центр тяжести; в самом деле, если, как в пункте 5 , положить
\[
\delta x=\delta x^{\prime}+\delta \xi, \quad \delta y=\delta y^{\prime}+\delta \eta, \quad \delta z=\delta z^{\prime}+\delta \zeta,
\]

то вариации $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$ сначала дадут три уравнения для движения центра тяжести, найденные в том же пункте.
Тогда останется еще уравнение
\[
\mathbf{S}[(m \dot{x}+X) \delta \xi+(m \dot{y}+Y) \delta \eta+(m z+Z) \delta \zeta]=0 .
\]

Но если вращения $\delta \psi, \delta \omega, \delta \varphi$ отнести к осям координат $\xi$, $\eta$, Ђ и учесть только эти вращения, то, как в пункте 7 , мы будем иметь
\[
\delta \xi=\zeta \delta \omega-\eta \delta \varphi, \quad \delta \eta=\xi \delta \varphi-\zeta \delta \psi, \quad \delta \zeta=\eta \delta \psi-\xi \delta \omega,
\]

и три неопределенных вариации $\delta \psi, \delta \omega, \delta \varphi$ дадут следующие три уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}[m(\xi \dot{y}-\eta \dot{x})+\xi Y-\eta X]=0, \\
\mathbf{S}[m(\zeta \dot{x}-\xi \dot{z})+\zeta X-\xi Z]=0, \\
\mathbf{S}[m(\eta \dot{z}-\zeta \dot{y})+\eta Z-\zeta Y]=0 .
\end{array}
\]

Но $\dot{x}=\dot{x}^{\prime}+\dot{\xi}, \dot{y}=\dot{y}^{\prime}+\dot{\eta}, \dot{z}=\dot{z}^{\prime}+\dot{\zeta}$; следовательно, если подставить эти значения, вывести из под знака $\mathbf{S}$ величины $\dot{x}^{\prime}, \dot{y}^{\prime}, \dot{z}^{\prime}$, относящиеся исключительно к центру тяжести, и принять во внимание, что в силу свойств центра тяжести мы имеем
\[
\mathbf{S} m \xi=0, \quad \mathbf{S} m \eta=0, \quad \mathbf{S} m \zeta=0,
\]

то приведенные три уравнения примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}[m(\xi \dot{\eta}-\eta \dot{\xi})+\xi Y-\eta X]=0, \\
\mathbf{S}[m(\zeta \dot{\zeta}-\xi \dot{\zeta})+\zeta X-\xi Z]=0, \\
\mathbf{S}\left[m\left(\dot{\zeta}-\zeta \dot{\zeta}_{i}\right)+\eta Z-\zeta Y\right]=0,
\end{array}
\]

последние уравнения совершенно аналогичны уравнениям предыдущего пункта; в них координаты $\xi, \eta, \zeta$ имеют свое начало в центре тнжести, а скорости $\dot{\xi}, \dot{\eta}, \dot{\zeta}$ тоже отнесены к этому центру.

Таким образом в том случае, когда система свободна, уравнения, относящиеся к какой-либо неподвижной точке, сохраняет силу и по отношению к центру тяжести этой системы.
16. Уравнения, найденные нами выше для действия импульсов в первое мгновение, сохраняют свою силу и для последующих мгновений – при условии, что никаких ускоряющих сил не существует,-если члены, зависящие от импульсов $X, Y, Z$, рассматривать как постоянные. В самом деле, так как $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ представляют собою скорости, параллельные осям $x, y, z$, то мы имеем
\[
d x=\dot{x} d t, d y=\dot{y} d t, d z=\dot{z} d t,
\]

и уравнения пункта 9 переходят в следующие:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} m(x \dot{y}-y \dot{x})=C, \\
\mathbf{S} m(z \dot{x}-x \dot{z})=R, \\
\mathbf{S} m(y \dot{z}-z \dot{y})=A,
\end{array}
\]

которые, будучи сопоставлены с уравнениями пункта 14 , дают
\[
\begin{array}{c}
C=\mathbf{S}(y X-x Y), \quad B=\mathbf{S}(x Z-z X), \\
A=\mathbf{S}(z Y-y Z) .
\end{array}
\]

Таким образом мы получаем значения $A, B, C$, выраженные в первоначальных импульсах, сообщенных каждому телу; легко видеть, что эти значения представляют собою не что иное, как суммы моментов этих импульсов по отношению к осям $x, y$ и $z$. Сказанное имеет силу и для уравнений, относящихся $\kappa$ центру тяжести, как в этом можно убедиться, сравнив уравнения пункта 12 с уравнениями пункта 15.
17. Если рассматривать только вращателььне движения по отношению к трем осям координат $x, y, z$ и обозначить через $\dot{\psi}, \omega, \dot{\varphi}$ скорости этих вращений, то вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ будут пропорциональны скоростям $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, а вариации $\delta \psi, \delta \omega, \delta \varphi$ будут одновременно пропорциональны скоростям $\dot{\psi}, \dot{\omega}, \dot{\varphi}$; в этом случае формулы пункта 7 дадут
\[
\dot{x}=z \dot{\omega}-y \dot{\varphi}, \quad \dot{y}=x \dot{\varphi}-z \dot{\psi}, \quad \dot{z}=y \dot{\psi}-\dot{x} \omega .
\]

Эти значения $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ являются только частями, зависящими от трех вращений; для того чтобы получить полные значения истинных скоростей $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, следует еще прибавить те части их, которые зависят от изменения взаимного положения тел системы и которые не зависят от вращений.

Но если система неизменяема, что бывает в случае всякого твердого тела любой формы, то эти части скоростей равны нулю и значения $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ сводятся просто к тем, которые мы дали выше. Следовательно, эти значения можно подставить в приведенные выше уравнения; выведя из под знака $\mathbf{S}$ величины $\dot{\psi}, \dot{\omega}, \dot{\varphi}$ и подставив элемент $\mathrm{Dm}$ вместо $m$ (отд. II, п. 7), мы для твердого тела любой формы получим следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\varphi} \mathbf{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) D m-\dot{\psi} \mathbf{S} x z D m-\dot{\omega} \mathbf{S} y z D m=C, \\
\dot{\omega} \mathbf{S}\left(x^{2}+z^{2}\right) D m-\dot{\psi} \mathbf{S} x y D m-\dot{\varphi} \mathbf{S} y z D m=B \text {, } \\
\dot{\psi} \mathbf{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) D m-\dot{\omega} \mathbf{S} x y D m-\dot{\varphi} \mathbf{S} x z D m=A \text {. } \\
\end{array}
\]
С. помощью этих уравнений можно определить начальные скорости вращения $\psi, \omega, \varphi$, вызванные импульсами $X, Y, Z$, приложенными к любым точкам тела, моменты которых по отношению к осям $x, y$, $z$ равны $A, B, C$.

Так как скорости вращения пропорциональны бесконечно малым углам, описанным одновременно соответствующими вращениями, то отсюда следует, как мы это уже доказали (Статика, отд. III, г. 11), что три скорости $\dot{\psi}, \dot{\omega}, \dot{\varphi}$ складываются в единую скорость $\dot{\theta}$, величина которой составляет
\[
\dot{\theta}=\sqrt{\dot{\psi}^{2}+\dot{\omega}^{2}+\dot{\varphi}^{2}} ;
\]

с этой скоростью тело фактически вращается вокруг меновенной оси, образуя с осями $x, y, z$ углы $\lambda, \mu$, $\checkmark$, величины которых равны
\[
\cos \lambda=\frac{\dot{\psi}}{\dot{\theta}}, \quad \cos \mu=\frac{\dot{\omega}}{\dot{\theta}}, \quad \cos
u=\frac{\dot{\phi}}{\dot{\theta}} .
\]

Таким образом приведенные выше три уравнения дают положение оси, вокруг которой тело вращается в первое мгновение, и скорость вращения вокруг әтой оси, Эту ось называют мәновенной өсъю враиения.
18. В следующие мгновения тело в силу своей инерции будет продолжать вращаться, и найденные выше три уравнения будут еще сохранять свою силу, если мы будем рассматривать в качестве постоянных члены, содержащие в себе силы импульса $X, Y, Z$, как мы это видели в пункте 16; однако величины $\mathbf{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) D m, \mathbf{S} x y D m, \ldots$ станут уже переменными в связи с изменением во время вращения координат $x, y, z$.

Но из этих уравнений вытекает интересное следствие, заключающееся в том, что в любое мгновение тело имеет такое же вращательное движение, какое оно получило бы в это мгновение благодаря импульсу тех же самых сил, которые первоначально привели его в движение, если бы эти силы были приложены к нему таким образом, что они образовали бы те же моменты вокруг осей $x, y, z$.

Так как эти уравнения представляют собою не что иное, как общие уравнения пункта 16 для любой системы тел в применении к твердому. телу любой формы, то отсюда следует, что если система, получившая первоначальные импульсы, затем под непрерывным взаимным действием тел превратится в неизменяемую или твердую систему, то те же уравнения все еще будут оставаться в силе. Следовательно, твердое тело будет в любое мгновение иметь то же самое вращательное движение, какое оно получило бы под действием первоначальных импульсов, если бы последние были приложены к нему непосредственно и притом таким образом, что они образовали бы те же самые моменты.

Следовательно, и жидкая масса, которая первоначально была приведена в движение какими-либо силами, будучи затем предоставлена самой себе и превратившись, вследствие взаимного притяжения своих частей, в твердое тело, будет в любое мгновение иметь те же самые вращательные движения, 23 ж. Лагранж, т. I

юакие ей сообщили бы первоначальные силы, если бы они совершенно таким же образом воздействовали на твердое тело.
19. Три уравнения пункта 17 дают значения моментов $A, B, C$ всех первоначальных сил, если известны мгновенное положение тела и три его вращательные скорости $\dot{\psi}, \dot{\text {, }} \dot{\varphi}$ по отношению $к$ неподвижным осям $x, y, z$, или результирующая скорость $\dot{\theta}$ вокруг мгновенной оси вместе с углами $\lambda, \mu,
u$, образуемыми этой осью с неподвижными осями $x, y, z$; и обратно, если нам известны эти моменты, мы можем из них вывести значение скоростей вращения.

Из этих уравнений также видно, что упомянутые моменты равны нулю, когда скорости равны нулю; но если мы допустим, что моменты равны нулю, то отсюда еще не следует, что скорости вращения должны быть нулями. В самом деле, если мы положим
\[
A=0, \quad B=0, \quad C=0,
\]

то получим три линейных уравнения между $\dot{\psi}, \dot{\omega}, \dot{\varphi}$ и тогда следует доказать, что эти три уравнения не могут существовать совместно, если не допустить, что
\[
\dot{\psi}=0, \quad \dot{\omega}=0, \quad \dot{\varphi}=0 .
\]

Исключив два из этих неизвестных, мы получим одно уравнение, которое для значения третьего неизвестного даст нуль или любое число, но при условии
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) D m \cdot \mathbf{S}\left(x^{2}+z^{2}\right) D m \cdot \mathbf{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) D m= \\
=\mathbf{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) D m \cdot(\mathbf{S} x y D m)^{2}+\mathbf{S}\left(x^{2}+z^{2}\right) D m \cdot(\mathbf{S} x z D m)^{2}+ \\
+\mathbf{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) D m \cdot\left(\mathbf{S}_{y z D m}\right)^{2}+ \\
+2 \mathbf{S} x y D m \cdot \mathbf{S} x z m \cdot \mathbf{S} y z D m, \\
\end{array}
\]

и тогда следует доказать, что это условие невоз можно выполнить, что, однако, представляется очень трудным*). Но дальше (п. 31) мы докажем, что в том случае, когда моменты равны нулю, всякое вращение исчезает.

Отсюда мы можем прежде всего заключить, что система изолированных точек или какая-либо жидкая масса ни в коем случае не может образовать твердого тела, имеющего вращательное движение, если только перьоначальные импульсы не были по крайней мере такими, что благодаря им мог возникнуть момент относительно оси, вогруг которой тело фактически вращается.
20. С помощью преобразований, описанных в пункте 10, можно три уравнения пункта 17 заменить подобными же уравнениями, в которых величины $x$, $y, z, A, B, C$ будут замещены аналогичными величинами $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$.

Обозначим через $\dot{\psi}^{\prime}$, $\dot{\omega}^{\prime}, \dot{\varphi}^{\prime}$ скорости вращения по отношению к новым осям $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$; тогда мы будем также иметь
\[
\begin{array}{l}
d x^{\prime}=\dot{x}^{\prime} d t=\left(z^{\prime} \dot{\omega}^{\prime}-y^{\prime} \dot{\varphi}^{\prime}\right) d t, \\
d y^{\prime}=\dot{y}^{\prime} d t=\left(x^{\prime} \dot{\varphi}^{\prime}-z^{\prime} \dot{\psi}^{\prime}\right) d t, \\
d z^{\prime}=\dot{z}^{\prime} d t=\left(y^{\prime} \dot{\psi}^{\prime}-x^{\prime} \dot{\omega}^{\prime}\right) d t
\end{array}
\]
c номощью этих подстановок три первых уравнения пункта 10 , если вместо $m$ поставить $D m$, перейдут в следующие:
\[
\begin{array}{l}
\dot{\varphi}^{\prime} \mathbf{S}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right) D m-\dot{\psi}^{\prime} \mathbf{S} x^{\prime} z^{\prime} D m-\omega^{\prime} \mathbf{S} y^{\prime} z^{\prime} D m=C^{\prime}, \\
\dot{\omega}^{\prime} \mathbf{S}\left(z^{\prime 2}+x^{\prime 2}\right) D m-\dot{\psi}^{\prime} \mathbf{S} x^{\prime} y^{\prime} D m-\dot{\varphi}^{\prime} \mathbf{S} y^{\prime} z^{\prime} D m=B^{\prime}, \\
\dot{\psi}^{\prime} \mathbf{S}\left(y^{\prime 2}+z^{\prime 2}\right) D m-\dot{\omega}^{\prime} \mathbf{S} x^{\prime} y^{\prime} D m-\dot{\varphi}^{\prime} \mathbf{S} x^{\prime} z^{\prime} D m=A^{\prime},
\end{array}
\]
*) В конце настоящего тома помещено доказательство указанной теоремы, далеко не представляющее тех трудностей, какие, повидимому, ему был склонен приписать Јагранж. Бинә (Binet) уже давно опубликовал это доказательство в Bulletin de la Société philomathique. (Прим. Бертрана.)

в которых согласно тому же пункту мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
A^{\prime}=A \alpha+B \alpha^{\prime}+C \alpha^{\prime \prime}, \\
B^{\prime}=A \beta+B \beta^{\prime}+C \beta^{\prime \prime}, \\
C^{\prime}=A \gamma+B \gamma^{\prime}+C \gamma^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Эти уравнения обладают тем преимуществом, что положение осей вращения является здесь совершенно произвольным, так как оно зависит только от величин $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$, а так как это – линейные уравнения, то ничто не мешает дать этим осям от одного мгновения до другого различное положение и избрать их таким образом, чтобы они заняли определенное положение внутри тела и, следовательно, двигались бы вместе с последним в пространстве. Тогда величины
\[
\mathbf{S}\left(x^{\prime 2}+y^{\prime 2}\right) D m, \quad \mathbf{S} x^{\prime} y^{\prime} D m, \ldots
\]

станут постоянными, но зато величины $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ будут переменными – в силу изменчивости величин $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$ В дальнейшем мы укажем прямые способы, с помощью которых можно получить эти уравнения, которые оказываются очень полезными при разрешении проблемы вращения тел.
21. Мы видели в пункте 16 , что постоянные величины $A, B, C$ выражают суммы моментов первоначальных импульсов, сообщенных телам относительно осей $x, y, z$. Но легко доказать, что величины $\alpha, \alpha^{\prime}, \alpha^{\prime \prime}$ представляют собою косинусы углов, образуемых осью $x^{\prime}$ с осями $x, y, z$, что величины $\beta, \beta^{\prime}$, $\beta^{\prime \prime}$ представляют собою косинусы углов, образуемых осью $y^{\prime}$ с теми же осями $x, y, z$, и что величины $\gamma$, $\gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}$ представляют собою косинусы углов, образуемых осью $z^{\prime}$ с теми же осями. Следовательно, согласно доказанному в «Статике» о сложении моментов (отд. III, п. 16) три величины $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ являются моментами тех же импульсов относительно осей $x^{\prime}$, $y^{\prime}, z^{\prime}$, т. е. относительно осей вращения, неподвижно закрепленных в теле и движущихся в пространстве. Таким образом по отношению к этим осям можно применить те же заключения, к каким мы пришли в пункте 19.