18. Если допустить, что в формулах пункта 9 все силы $P, P^{\prime}, P^{\prime \prime}$ действуют по параллельным направлениям, то получается
\[
\alpha=\alpha^{\prime}=\alpha^{\prime \prime}=\ldots, \beta=\beta^{\prime}=\beta^{\prime \prime}=\ldots, \gamma=\gamma^{\prime}=\gamma^{\prime \prime}=\ldots ;
\]

следовательно, если для краткости положить
\[
\begin{array}{l}
X=P x+P^{\prime} x^{\prime}+P^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\ldots, \\
Y=P y+P^{\prime} y^{\prime}+P^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+\ldots, \\
Z=P z+P^{\prime} z^{\prime}+P^{\prime \prime} z^{\prime \prime}+\ldots,
\end{array}
\]

то величины $L, M, N$ принимают следующий вид:
\[
\begin{aligned}
L & =Y \cos \gamma-Z \cos \beta, \\
M & =Z \cos \alpha-X \cos \gamma, \\
N & =X \cos \beta-Y \cos \alpha,
\end{aligned}
\]

и уравнения равновесия сводятся к следующим:
\[
L=0, M=0, N=0,
\]

причем третье из них является здесь следствием первых двух. Но так как мы имеем сверх того (отдел II, пункт 7) уравнение
\[
\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1,
\]
*) Эта аналогия недопустима. Сила, действующая на твер;ое тело, способное двигаться вокруг заданной оси, вызывает вращение, пропорциональное ее моменту; но для двух разтичных осей играют роль моменты инерции, поэтому нельзя подставлять моменты вместо вызываемых ими вращений. (См. по этому вопросу работу Пуансо, Mémoires de l’Institut. t. VII, p. 564.) (П ри.и. Вертрана.)

мы получаем возможность определить с помощью әтих уравнений углы $\alpha, \beta, \gamma$ мы находим
\[
\begin{array}{l}
\cos \alpha=\frac{X}{\sqrt{\bar{X}^{2}+Y^{2}+Z^{2}}}, \\
\cos \beta=\frac{Y}{\sqrt{\bar{X}^{2}+Y^{2}+\bar{Z}^{2}}}, \\
\cos \gamma=\frac{Z}{\sqrt{\bar{X}^{2}+Y^{2}+Z^{2}}} .
\end{array}
\]

Итак, если дано положение тел по отношению к трем осям, то пля того чтобы вращательное движение системы было совершенно уничтожено, необходимо, чтобы система по отношению к направлению сил заняла такое положение, при котором это направтение образовало бы с упомянутыми осями углы $\alpha$, $\beta, \gamma$, величина которых была определена выше.
19. Если бы величины $X, Y, Z$ оказались равными нулю, то углы $\alpha, \beta, \gamma$ остались бы неопределенпыми и положение системы по отношению к направтению сил могло бы быть совершенно произвольным; отсюда получается следующая теорема: Eсли су.ма произведений параллельных сил на их расстояния от трех взаимно перпендикулярных плоскостей равна нулю по отношению к киждой из этих плоскостей, то действие этих сил, стреняцееся заставить систему врачаться вокруг обией точки пересечения упомянутых плоскостей, уничтожается.

Известно, что сила тяжести действует по вертикали и что она пропорциональна массе. Следовательно, если в системе весомых тел найти такую точку, чтобы сумма масс, умноженных на их расстояния от плоскости, проходящей через эту точку, была равна нулю по отношению к трем взаимно перпендикулярным плоскостям, то эта точка будет обладать тем свойством, что сила тяжести не будет в состоянии вызвать в системе какого-либо вращательного движения вокруг этой точки. Эта точка, которая
называется центром тяюести, имеет очень широкое применение во всей механике.

Для определения этой точки следует лишь найти ее расстояния от трех заданных взаимно перпендикулярных плоскостей. Но так как сумма произведений масс на их расстояния от плоскости, проходящей через центр тяжести, равна нулю, то сумма произведений тех же масс на их расстояния от другой плоскости, параллельной первой, необходимо будет равна произведению суммы всех масс на расстояние дентра тяжести от той же плоскости; таким образом это последнее расстояние можно получить, если сумму произведений масс на соответствующие их расстояния разделить на сумму этих масс; отсюда получаются известные формулы для центров тяжести линий, поверхностей и тел.
20. Есть, однако, одно менее известное свойство центра тяжести, которое может оказаться полезным в некоторых слутаях, так как оно не связано с чуждым проблеме рассмотрением плоскостей, и которое может послужить для определения центра тяжести, исходя непосредственно из взаимного расположения тел. Вот в чем это свойство состоит.

Пусть $A$ есть сумма произведений масс, взятых по две и затем умноженных на квадрат их взаимного расстояния, деленная на квадрат суммы этих мacc.

Пусть $B$-сумма произведений отдельных масс на квадрат их расстояний от какой-либо заданной точки, деленная на сумму этих масс.

Тогда $\sqrt{B-A}$ выразит расстояние центра тяжести всех масс от заданной точки. Так как величина $A$ не зависит от выбора этой точки, то, определив значения $B$ по отношению к трем различным точкам, избранным по усмотрению в пределах системы или же вне ее, мы получим расстояния дентра тяжести от этих трех точек и, следовательно, положение его относительно этих точек. Если бы все тела лежали в одной и той же плоскости, было бы достаточно рассмотреть две точки, а если бы они лежали на некоторой заданной прямой, то было бы достаточно одной точки.

Если эти точки избрать в самих телах системы, то положение ее центра тяжести будет задано исключительно массами и их взаимными расстояниями. В этом заключается главнейшее преимущество этого способа определения центра тяжести.

Для доказательства сказанного я возвращаюсь к выражениям $X, Y, Z$ пункта 18 и, введя еще три произвольных величины $f, g, h$, составляю три нижеследующих тождественных равенства, которые легко проверить:
\[
\begin{array}{c}
{\left[X-\left(P+P^{\prime}+P^{\prime \prime}+\ldots\right) f\right]^{2}=} \\
=\left(P+P^{\prime}+P^{\prime \prime}+\ldots\right)\left[P(x-f)^{2}+\right. \\
\left.+P^{\prime}\left(x^{\prime}-f\right)^{2}+P^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime}-f\right)^{2}+\ldots\right]-P P^{\prime}\left(x-x^{\prime}\right)^{2}- \\
\quad-P P^{\prime \prime}\left(x-x^{\prime \prime}\right)^{2}-P^{\prime} P^{\prime \prime}\left(x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right)^{2}-\ldots \\
{\left[Y-\left(P+P^{\prime}+P^{\prime \prime}+\ldots\right) g\right]^{2}=} \\
=\left(P+P^{\prime}+P^{\prime \prime}+\ldots\right)\left[P(y-g)^{2}+\right. \\
\left.+P^{\prime}\left(y^{\prime}-g\right)^{2}+P^{\prime \prime}\left(y^{\prime \prime}-g\right)^{2}+\ldots\right]-P P^{\prime}\left(y-y^{\prime}\right)^{2}- \\
\quad-P P^{\prime \prime}\left(y-y^{\prime \prime}\right)^{2}-P^{\prime} P^{\prime \prime}\left(y^{\prime}-y^{\prime \prime}\right)-\ldots \\
{\left[Z-\left(P+P^{\prime}+P^{\prime \prime}+\ldots\right) h\right]^{2}=} \\
\quad=\left(P+P^{\prime}+P^{\prime \prime}+\ldots\right)\left[P(z-h)^{2}+\right. \\
\left.\quad+P^{\prime}\left(z^{\prime}-h\right)^{2}+P^{\prime \prime}\left(z^{\prime \prime}-h\right)^{2}+\ldots\right]-P P^{\prime}\left(z-z^{\prime}\right)^{2}- \\
\quad-P P^{\prime \prime}\left(z-z^{\prime \prime}\right)^{2}-P^{\prime} P^{\prime \prime}\left(z^{\prime}-z^{\prime \prime}\right)^{2}-\ldots
\end{array}
\]

Величины $P, P^{\prime}, P^{\prime \prime}, \ldots$ представляют собою веса, или пропорциональные им массы тел, а величины $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, x^{\prime \prime}, \ldots$ являются прямоугольными координатами эттх тел. Но мы видели (пункт 19), это когда начало координат находится в центре тяжести, то три величины $X, Y, Z$ равны нулю. Следовательно, если в приведенных выше трех уравнениях положить $X=0, Y=0, Z=0$, затем их сложить и ввести для краткости обозначения:
\[
\begin{array}{l}
f^{2}+g^{2}+h^{2}=r^{2}, \\
(x-f)^{2}+(y-g)^{2}+(z-h)^{2}=(0)^{2}, \\
\left(x^{\prime}-f\right)^{2}+\left(y^{\prime}-g\right)^{2}+\left(z^{\prime}-h\right)^{2}=(1)^{2} \text {, } \\
\left(x^{\prime \prime}-f\right)^{2}+\left(y^{\prime \prime}-g\right)^{2}+\left(z^{\prime \prime}-h\right)^{2}=(2)^{2} \text {, } \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\left(x-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime}\right)^{2}=(0,1)^{2}, \\
\left(x-x^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(y-y^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(z-z^{\prime \prime}\right)^{2}=(0,2)^{2} \text {, } \\
\left(x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}-y^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(z^{\prime}-z^{\prime \prime}\right)^{2}=(1,2)^{2}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

то после разделения на $\left(P+P^{\prime}+P^{\prime \prime}+\ldots\right)^{2}$, получится
\[
\begin{array}{l}
r^{2}=\frac{P(0)^{2}+P^{\prime}(1)^{2}+P^{\prime \prime}(2)^{2}+\ldots}{P+P^{\prime}+P^{\prime \prime}+\ldots}- \\
-\frac{\left.P P^{\prime}(0,1)^{2}+P P^{\prime \prime}(0,2)^{2}+P^{\prime} P^{\prime \prime}(1,2)^{2}+\ldots\right)^{2}}{\left(P+P^{\prime}+P^{\prime \prime}+\ldots\right)^{2}} .
\end{array}
\]

Если приведенные три величины $f, g, h$ принять в качестве заданных прямоугольных координат избранной нами точки, то ясно, что $r$ будет расстоянием этой точки от центра тяжести, который согласно допущению находится в начале координат; (0), (1), $(2), \ldots$ будут расстояниями весов $P, P^{\prime}, P^{\prime \prime}, \ldots$ от той же точки и $(0,1),(0,2),(1,2), \ldots$ будут расстояниями между телами или весами $P$ и $P^{\prime}, P$ и $P^{\prime \prime}$, $P^{\prime}$ и $P^{\prime \prime}, \ldots$ Таким образом приведенное только что уравнение примет следующий вид: $r^{2}=B-A$, откуда следует *) $r=\sqrt{B-A}$.
*) По поводу этой теоремы можно еще посмотреть мемуар Лагранжа Sur une nouvelle propriété du centre de gravité, напечатанный в т. V Oeuvres de Lagrange, стр. 535, главу III \”Статики\” Пуансо, четвертую лекцию Vorlesungen über Dynamik Якоби и, наконец, различные мемуары, напечатанные в VI и VII томах Bulletín de la Société mathématique de France, (Iрим. Дарбу.)