10. Выведем теперь законы равновесия несжимаемых жидкостей непосредственно из нашей общей формулы, рассматривая этот вид жидкостей, как составленный из большого количества частиц, способных перемещаться во всех направлениях, причем эти частицы могут изменять свою форму, но без изменения объема.

Предположим для простоты, что все силы, действующие на частицы жидкости, сведены к трем силам, выражающимся через $X, Y, Z$ и направленным по осям $x, y, z$ прямоугольной системы координат, т. е. стремящимся укоротить эти координаты. В главе I отдела V мы дали общие формулы этого преобразования.

Если мы обозначим через $d m$ массу любой частицы, то для суммы моментов сил $X, Y, Z$ мы будем иметь интегральную формулу
\[
\mathbf{S}(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z) d m ;
\]

объем частицы может быть выражен через $d x d y d z$, а так как $\Gamma$ обозначает плотность, то ясно, что мы будем иметь
\[
d m=\Gamma d x d y d z ;
\]

следовательно, знак интегрирования $\mathbf{S}$ будет одновременно относиться к трем переменным $x, y, z$.

Сверх того, следует принять во внимание условное уравнение, вытекающее из несяимаемости жидкости. Если допустить, что это уравнение выражается через $L=0$, то его следует продифференцировать в смысле $\delta$, помножить на неопределенный коэффициент $\lambda$ и проинтегрировать, в результате чего получится выражение $\mathbf{S} \lambda \delta L$, которое и должно быть прибавлено к приведенному выше выражению.

Если при әтом не имеется ни внешних сил, которые действовали бы на поверхность жидкости, ни особых условий для этой поверхности, то в качестве общего уравнения равновесия мы получим просто (отд. IV, п. 13)
\[
\mathbf{S}(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z) d m+\mathbf{S} \lambda \delta L=0 .
\]

Интегралы здесь следует брать по всей массе жидкости.
11. Условие несжимаемости заюлючается в том, что объем каждой частицы остается неизменным; следовательно, если мы этот объем выразим через $d x d y d z$, то в качестве условного уравнения мы получим $d x d y d z=$ const. Таким образом мы будем иметь
\[
L=d x d y d z-\text { const, }, \delta L=\delta(d x d y d z) .
\]

Можно было бы подумать, что для получения вариации $\delta(d x d y d z)$ достаточно просто продифференцировать $d x d y d z$ в смысле $\delta$; в действительности, однако, здесь следует остановиться на одном соображении, без которого вычисление оказалось бы недостаточно строгим. Величина $d x d y d z$ выражает объем частицы лишь в том случае, когда мы допускаем, тто эта частица имеет форму прямоугольного параллелепипеда, стороны которого параллельны осям $x$; $y, z$. Такое допущение, конечно, вполне приемлемо, так как мы можем себе представить, что жидкость разделена на бесконечно малые элементы любой формы. Таким образом $\delta(d x d y d z)$ должно выразить ту вариацию, которую испытывает әтот объем, когда частица бесконечно мало изменнет свое положение и координаты ее $x, y, z$ превращаются в $x+\delta x, y+\delta y$, $z+\delta z$; ясно, что если при этом изменении частица сохраняет форму прямоугольного параллелепипеда, то мы будем иметь
\[
\delta(d x d y d z)=d y d z \delta d x+d x d z \delta d y+d x d y \delta d z .
\]

Согласно принципам вариадионного исчисления можно вместо $\delta d x, \delta d y, \delta d z$ взять $d \delta x, d \delta y, d \delta z$, но следует иметь в виду, что вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ можно рассматривать как неопределенные и бесконечно малые функции $x, y, z$ для того, чтобы $d \delta x$ выразило вариацию стороны $d x$ прямоугольной частиды $d x d y d z$; но эта сторона образуется вследствие увеличения координаты $x$ на $d x$, в то время как другие две координаты $y$ и $z$ не изменяются, поэтому при дифференцировании $\delta x$ следует считать переменной только $x$. Таким образом согласно обозначению, принятому для частных дифференциалов, в данном случаө следует вместо простого выражения $d \delta x$ писать $\frac{\partial \delta x}{\partial x} d x$;

по тем же соображениям вместо $d \delta y$ и $d \delta z$ следует писать $\frac{\partial \delta y}{\partial y} d y$ и $\frac{\partial \delta z}{\partial z} d z$. Таким образом, если исходить из допущения, что после вариации частица $d x d y d z$ сохраняет свою прямоугольную форму,то мы будем иметь
\[
\delta(d x d y d z)=d x d y d z\left(\frac{\partial \delta x}{\partial x}+\frac{\partial \delta y}{\partial y}+\frac{\partial \delta z}{\partial z}\right) .
\]

То же самое выражение мы получили бы и в том случае, если бы мы допустили, что после вариации частица $d x d y d z$ превращается в параллелепипед, углы которого бесконечно мало отличаются от прямого угла. В самом деле, из геометрии известно, что если $a, b, c$ представляют собою три стороны параллелепипеда, образующие телесный угол, а $\alpha, \beta$, $\gamma$ – три угла, образуемых этими сторонами, то объем параллелепипеда выражается следующей формулой:
\[
\left.a b c \sqrt{\left(1-\cos ^{2} \alpha-\cos ^{2} \beta-\cos ^{2} \gamma+2 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma\right.}\right) .
\]

Но при варьировании стороны переходят в
\[
d x\left(1+\frac{\partial \delta x}{\partial x}\right), d y\left(1+\frac{\partial \delta y}{\partial y}\right), d z\left(1+\frac{\partial \delta z}{\partial z}\right),
\]

а косинусы углов $\alpha, \beta, \gamma$ становятся бесконечно малыми; следовательно, ести вместо $a, b, c$ подставить эти выражения и пренебречь бесконечно малыми величинами порядка выше первого, то для вариации $d x d y d z$ получится то же самое выражение, какое мы нашли выше.

Хотя упомянутое допущение является законным, мы все-таки не примем его без доказательства, дабы наши формулы не оставляли ничего желать с точки зрения точности. Поәтому мы определим вариацию $d x d y d z$, пользуясь строгим методом, принимая одновременно во внимание изменение положения и длины каждой из сторон прямоугольного параллелепипеда; при этом мы сделаем лишь одно допущение, являющееся для бесконечно малых величин вполне правильным, а именно, что упомянутые стороны останутся прямолинейными.
12. Для упрощения этого исследования мы начнем с того, что рассмотрим лишь одну из сторон параллелепипеда, например, сторону $d x d y$, четыре вершины которой соответствуют следующим четырем системам значений координат:
\[
\begin{array}{l}
x, y, \quad z, \\
x+d x, \quad y, \quad z, \\
x, y+d y, \quad z, \\
x+d x, \quad y+d y, \quad z .
\end{array}
\]

Предположим, что координаты $x, y, z$ первои системы перейдут в $x+\delta x, y+\delta y, z+\delta z$ и будем смотреть на вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ кан на бесконечно малые функции $x, y, z$; постепенно увеличивая $x, y$ на их дифференциалы $d x, d y$, мы определим, во что будут одновременно превращаться координаты трех других систем. Указанным путем, отмечая различные системы теми же цифрами, мы получим
\[
\left.\begin{array}{cc}
y+\delta x, & z+\delta z, \\
x+d x+\delta x+\frac{\partial \delta x}{\partial x} d x, & y+\delta y+\frac{\partial \delta y}{\partial x} d x, z+\delta z+\frac{\partial \delta z}{\partial x} d x, \\
x+\delta x+\frac{\partial \delta x}{\partial y} d y, & y+d y+\delta y+\frac{\partial \delta y}{\partial y} d y, z+\delta z+\frac{\partial \delta z}{\partial y} d y, \\
x+d x+\delta x+\frac{\partial \delta x}{\partial x} d x+\frac{\partial \delta x}{\partial y} d y, \\
y+d y+\delta y+\frac{\partial \delta y}{\partial x} d x+\frac{\partial \delta y}{\partial y} d y, \\
z+\delta z+\frac{\partial \delta z}{\partial x} d x+\frac{\partial \delta z}{\partial y} d y .
\end{array}\right\}
\]

Так как эти системы координат соответствуют четырем вершинам нового четырехугольника, в который превратился прямоугольник $d x d y$, то ясно, что стороны әтого четырехугольника мы можем получить, извлекши квадратный корень из суммы квадратов разностей координат двух вершин, прилежащих к соответствующей стороне. Отмечая линию, соединяющую какие-нибудь две вершины, путем комбинации двух чисел, соответствующих әтим углам, мы таким образом получим
\[
\begin{array}{l}
(1,2)=d x \sqrt{\left(1+\frac{\partial \delta x}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \delta y}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \delta z}{\partial x}\right)^{2}} \\
(1,3)=d y \sqrt{\left(\frac{\partial \delta x}{\partial y}\right)^{2}+\left(1+\frac{\partial \delta y}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \delta z}{\partial y}\right)^{2}} \\
(3,4)=d x \sqrt{\left(1+\frac{\partial \delta x}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \delta y}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \delta z}{\partial x}\right)^{2}} \\
(2,4)=d y \sqrt{\left(\frac{\partial \delta x}{\partial y}\right)^{2}+\left(1+\frac{\partial \delta y}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial \delta z}{\partial y}\right)^{2}}
\end{array}
\]

отсюда видно, что противоположные стороны $(1,2)$, $(3,4)$ между собою равны; точно так же равны между собою стороны $(1,3),(2,4)$; таким образом рассматриваемый четырехугольник представляет собою параллелограмм, смежные стороны которого $(1,2),(1,3)$, если под знаком корня пренебречь бесконечно малыми величинами второго порядка по сравнению с величинами первого порядка, равны
\[
(1,2)=d x\left(1+\frac{\partial \delta x}{\partial x}\right),(1,3)=d y\left(1+\frac{\partial \delta y}{\partial y}\right) .
\]
13. Что касается угла, заключенного между этими двумя сторонами, то его можно определить с помощью диагонали $(2,3)$, которая может быть тоже получена путем извлечения квадратного корня из суммы квадратов разности координат, соответствующих системам (2) и (3); указанным путем мы получим
\[
(2,3)=\sqrt{\left(d x+\frac{\partial \delta x}{\partial x} d x-\frac{\partial \delta y}{\partial y} d y\right)^{2}+\left(d y+\frac{\partial \delta y}{\partial y} d y-\frac{\partial \delta y}{\partial x} d x\right)^{2}+\left(\frac{\partial \delta z}{\partial x} d x-\frac{\partial \delta z}{\partial y} d y\right)^{2}} .
\]

Если искомый угол назовем $\alpha$, то треугольник, образованный тремя сторонами $(1,2),(1,3),(2,3)$, даст
\[
\cos \alpha=\frac{(1,2)^{2}+(1,3)^{2}-(2,3)^{2}}{2(1,2) \times(1,3)} .
\]

Подставив в это выражение найденные выше значения ( 1,2$),(1,3),(2,3)$, перечеркнув те члены, которые взаимно уничтожаются, и отбросив бесконечно малые величины второго и более высоких порядков, мы получим
\[
\cos \alpha=\frac{\partial \delta x}{\partial y}+\frac{\partial \delta y}{\partial x}
\]

отсюда ясно, что угол $\alpha$ отличается от прямого угла лишь на бесконечно малую величину, так как косинус его бесконечно мал.
14. Если мы применим тот же анализ к двум другим сторонам $d x d z, d y d z$ прямоугольного параллелепипеда $d x d y d z$, то найдем, что и эти стороны тоже превращаются в параллелограммы; таким образом и три другие противоположные им стороны тоже превращаются в параллелограммы, как это легко доказать с помощью геометрии. Следовательно, новое тело будет представлять собою параллелепипед, стороны которого, образующие один телесный угол, составляют
\[
d x\left(1+\frac{\partial \delta x}{\partial x}\right), d y\left(1+\frac{\partial \delta y}{\partial y}\right), d z\left(1+\frac{\partial \delta z}{\partial z}\right) ;
\]

если назвать $\alpha, \beta, \gamma$ углы, заключа ющиеся между этими сторонами, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\cos \alpha=\frac{\partial \delta x}{\partial y}+\frac{\partial \delta y}{\partial x}, \\
\cos \beta=\frac{\partial \delta x}{\partial z}+\frac{\partial \delta z}{\partial x}, \\
\cos \gamma=\frac{\partial \delta y}{\partial z}+\frac{\partial \delta z}{\partial y}
\end{array}
\]

на этом основании можно притти к заключению, что с помощью данной нами выше (п. 11) формулы вариация прямоугольного параллелепипеда $d x d y d z$ выражается вполнө строго.

15. Отсюда также видно, что если бы вариации $\delta x$, $\delta y, \delta z$ были соответственно функциями только одной из переменных $x, y, z$, то мы имели бы в точности
\[
\cos \alpha=0, \quad \cos \beta=0, \quad \cos \gamma=0 .
\]

Таким образом прямоугольный параллелепипед $d x d y d z$ и после вариации сохранил бы свою прямоугольную форму. Но так как изменение формы параллелепипеда только бесконечно мало и нисколько не влияет на значение его объема, то отсюда следует, что, нисколько не уменьшая общности выводов, можно допустить, что вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ являются просто функциями соответственно $x, y$ и $z$, как мы это сделали в пункте 31 отдела IV [‘] $\left.{ }^{19}\right]$.
16. Имея таким образом верное значение $\delta(d x d y d z)$, мы можем его применить для $\delta L$, и тогда мы получим
\[
\delta L=d x d y d z\left(\frac{\partial \delta x}{\partial x}+\frac{\partial \delta y}{\partial y}+\frac{\partial \delta z}{\partial z}\right) .
\]

Подставим теперь это значение в общее уравнение пункта 10 и одновременно заменим $d m$ его значением $\Gamma d x d y d z$, тогда мы получим уравнение
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}[\Gamma(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z)+ \\
\left.+\lambda\left(\frac{\partial \delta x}{\partial x}+\frac{\partial \delta y}{\partial y}+\frac{\partial \delta z}{\partial z}\right)\right] d x d y d z=0 .
\end{array}
\]

Здесь остается только освободиться от двойного символа $d \delta$, пользуясь тем методом, который был изложен в § II отдела IV.
17. Расомотрим сначала величину
\[
\mathbf{S}_{\lambda} \frac{\partial \delta x}{\partial x} d x d y d z
\]

где знак $\mathbf{S}$ обозначает тройной интеграл по $x, y, z$; так как дифференциал $\delta x$ относится только к вариации $x$, то ясно, что для того, чтобы освободиться от него, достаточно только учесть интегрирование 17 ж. лагранж, т. I

по $x$; поэтому дадим сначала указанной величине следующий вид:
\[
\mathbf{S}_{d y d z} \mathbf{S} \lambda \frac{\partial \delta x}{\partial x} d x
\]

а затем преобразуем простой интеграл
\[
\mathbf{S} \lambda \frac{\partial \delta x}{\partial x} d x \quad \text { в } \quad \lambda^{\prime \prime} \delta x^{n}-\lambda^{\prime} \delta x^{\prime}-\mathbf{S} \frac{\partial \lambda}{\partial x} \delta x d x ;
\]

здесь величины, обозначенные одним штрихом, относятся к началу интегрирования, а обозначенные двумя штрихами – к точке, в которой интегрирование заканчивается, в соответствии со способом обозначения, принятым в указанном выше месте. Таким образом рассматриваемая величина преобразуется в следующую:
\[
\mathbf{S} d y d z\left(\lambda^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta x^{\prime}\right)-\mathbf{S} d y d z \mathbf{S} \frac{\partial \lambda}{\partial x} \delta x d x,
\]

или, что то же, в
\[
\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta x^{\prime}\right) d y d z-\mathbf{S} \frac{\partial \lambda}{\partial x} \delta x d x d y d z .
\]

Таким же образом и по тем же основаниям величины
\[
\mathbf{S} \lambda \frac{\partial \delta y}{\partial y} d x d y d z \quad \text { и } \quad \mathbf{S} \lambda \frac{\partial \delta z}{\partial z} d x d y d z
\]

преобразуются в следующие:
\[
\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta y^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta y^{\prime}\right) d x d z-\mathbf{S} \frac{\partial \lambda}{\partial y} \delta y d x d y d z
\]

и
\[
\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta z^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta z^{\prime}\right) d x d y-\mathbf{S} \frac{\partial \lambda}{\partial z} \delta z d x d y d z
\]

После подстановки этих величин мы получим следующее общее уравнение для равновесия жидкой массы:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}\left[\left(\Gamma X-\frac{\partial \lambda}{\partial x}\right) \delta x+\left(\Gamma Y-\frac{\partial \lambda}{\partial y}\right) \delta y+\left(\Gamma Z-\frac{\partial \lambda}{\partial z}\right) \delta z\right] d x d y d z+ \\
+\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta x^{\prime}\right) d y d z+\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta y^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta y^{\prime}\right) d x d z+ \\
+\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta z^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta z^{\prime}\right) d x d y=0
\end{array}
\]

здесь остается только приравнять отдельно нулю коэффициенты неопределенных вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$ (отд. IV, п. 16) [20].
18. Итак, прежде всего мы получим следующие три уравнения:
\[
\Gamma X-\frac{\partial \lambda}{\partial x}=0, \quad \Gamma Y-\frac{\partial \lambda}{\partial y}=0, \quad \Gamma Z-\frac{\partial \lambda}{\partial z}=0,
\]

которые должны иметь место во всех точках жидкой массы.

Далее, если жидкость со всех сторон свободна, то вариации $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}, \delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}$, относящиеся к точкам поверхности жидкости, тоже будут неопределенными и, следовательно, надо будет еще приравнять отдельно нулю их коэффициенты, что даст $\lambda^{\prime}=0$, $\lambda^{\prime \prime}=0$, т. е. вообще $\lambda=0$ для всех точек поверхности жидкости; это уравнение послужит для определения формы әтой поверхности.

То же самое будет, если жидкость заключена в сосуд, – для той части ее поверхности, где сосуд открыт; что же касается той части жидкости, которая прилегает к стенкам сосуда, то между вариациями $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}, \delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}$ должны существовать некоторые отношения, обусловливаемые формой этих стенок, так как жидкость может перемещаться только вдоль стенок; дальше мы докажем, что какова бы ни была форма стөнок, члены, содержащие в себе рассматриваемые величины вариации, сами по себе всегда будут равны нулю, так что никаких условий
относительно этой части поверхности жидкости существовать не будет.
19. Три уравнения, установленных нами для условий равновесия жидкости, дают
\[
\frac{\partial \lambda}{\partial x}=\Gamma X, \frac{\partial \lambda}{\partial y}=\Gamma Y, \quad \frac{\partial \lambda}{\partial z}=\Gamma Z ;
\]

а так как
\[
d \lambda=\frac{\partial \lambda}{\partial x} d x+\frac{\partial \lambda}{\partial y} d y+\frac{\partial \lambda}{\partial z} d z,
\]

то мы будем иметь
\[
d \lambda=\Gamma(X d x+Y d y+Z d z) ;
\]

следовательно, величина
\[
\Gamma(X d x+Y d y+Z d z)
\]

должна быть полным дифференциалом по $x, y, z$; в одном этом условии содержатся законы равновесия жидкостей.

Если из тех же уравнений исключить величину $\lambda$, то мы получим следующие уравнения:
\[
\frac{\partial \Gamma X}{\partial y}=\frac{\partial \Gamma Y}{\partial x}, \quad \frac{\partial \Gamma X}{\partial z}=\frac{\partial \Gamma Z}{\partial x}, \quad \frac{\partial \Gamma Y}{\partial z}=\frac{\partial \Gamma Z}{\partial y},
\]

находящиеся в полном соответствии с уравнениями пункта 9.

Таким образом приведенные условия необходимы для того, чтобы жидкая масса могла быть в равновесии, находясь под действием сил $X, Y, Z$. Если они осуществляются благодаря природе этих сил, то создается полная уверенность, что равновесие возможно, и тогда остается только найти ту форму, какую должна принять жидкая масса, чтобы находиться в равновесии, т. е. уравнение наружной поверхности жидкости.

В предыдущем пункте мы уже видели, что в каждой точке этой поверхности мы должны иметь $\lambda=0$.

Но так как $d \lambda=\Gamma(X d x+Y d y+Z d z)$, то путем интегрирования мы получим
\[
\lambda=\int \Gamma(X d x+Y d y+Z d z)+\text { const; }
\]

следовательно, уравнение внешней поверхности будет
\[
\int \Gamma(X d x+Y d y+Z d z)=K,
\]

где $K$-произвольная постоянная; это уравнение будет всегда состоять из конечных членов, так как согласно допущению величина $\Gamma(X d x+Y d y+Z d z)$ является полным дифференциалом.
20. Величина $X d x+Y d y+Z d z$ всегда сама собою является полным дифференциалом, если силы $X, Y, Z$ являются результатом одного или нескольких притяжений, пропорциональных каким-либо функциям расстояний от центров, так как согласно пункту 1 отдела $\mathrm{V}$
\[
X d x+Y d y+Z d z=P d p+Q d q+R d r+\cdots
\]

Обозначив эту величину через $d \Pi$, мы получим $d \lambda=\Gamma d \Pi$; следовательно, для того чтобы $d \lambda$ было полным дифференциалом, требуется, чтобы $\Gamma$ была функцией П. Отсюда вытекает, что и $\lambda=\int \Gamma d \Pi$ должна быть функцией П.

Таким образом в данном случае, имеющем место в природе, мы имеем для формы поверхности уравнение
\[
\text { функция } \Pi=K \text {, }
\]
т. е. П равно постоянной величине; это уравнение тождественно с тем, какое имело бы место, если бы плотность жидкости была постоянной. Далее, так как П на поверхности является постоянной величиной, а $Г$ является функцией. $П$, то отсюда следует, что во всех точках внешней поверхности жидкой массы, находящейся в равновесии, плотность $\Gamma$ должна быть одна и та же.

Внутри жидкости плотность может изменяться каким угодно образом, оставаясь, однако, все время функцией $\Pi$; следовательно, она должна быть постоянной повсюду, где значение П постоянно. Таким образом $\Pi=h$ является общим уравнением слоя равной плотности, если $h$ – постоянная величина. Путем дифференцирования мы, таким образом, получаем в качестве общего уравнения для этих поверхностей
\[
d \Pi=0 \quad \text { или } \quad X d x+Y d y+Z d z=0 .
\]

Легко видеть, что это уравнение представляет собою уравнение поверхностей, к которым перпендикулярна равнодействующая сил $X, Y, Z$ и которые Клеро называет поверхностями уровня. Отсюда следует, что в каждом слое, образованном двумя бесконечно близкими поверхностями уровня, плотность должна быть повс юду одинаковой.

Этот закон должен был бы иметь место на Земле и на планетах, если допустить, что первоначально эти тела были жидкими и при отвердевании сохранили ту форму, которую они приняли под влиянием взаимного притяжения своих частей в сочетании с центробежной силой.
21. Что касается величины $\lambda$, значение которой мы выше определили, то будет уместно отметить, что член $\mathbf{S} \lambda \delta L$ общего уравнения пункта 10 выражает сумму моментов тех сил $\lambda$, которые стремятся уменьшить значение функции $L$ (отд. IV, п. 7). Так как $\delta L=\delta(d x d y d z)$ (п. 11), можно, следовательно, сказать, что сила $\left.\lambda^{*}\right)$ стремится сжать каждую частиду жидкости $d x d y d z$; таким образом эта сила представляет собою не что иное, как давление, испытываемое равномерно со всех сторон частицей жидкости, $\qquad$
*) Это заключение правильно, хотя доказательство его не вполне удовлетворительно. Мы уже неоднократно отмечали, что $\lambda$ нельзя рассматривать как силу, если только не условиться о распространительном толковании обычного знячөния слова сила. (Iрим. Бертрана.)

которому она противодействует благодаря своей несжимаемости.

Таким образом вообще для давления на каждую точку жидкой массы мы имеем выражение
\[
\mathbf{S} \Gamma(P d x+Q d y+R d z),
\]

а так как для равновесия жидкости необходимо, чтобы величина, стоящая под знаком интеграла, была интегрируема, то отсюда следует, что давление может быть всегда выражено с помощью конечной функции координат той частицы, которая испытывает это давление. Таково основное положение теории жидкости, данное Эйлером *).
22. Для того чтобы показать применение уравнения $\Pi=$ const, найденного нами для поверхности жидкой массы в состоянии равновесия (п. 20), рассмотрим случай равновесия океана в предположении, что последний покрывает всю Землю, которую мы представим себе в виде твердого тела эллиптической формы, мало отличающегося от шара; при этом мы предположим, что каждая частица океана притягивается одновременно всеми частидами Земли и океана и в то же время находится под действием центробежной силы, возникающей вследствие равномерного вращения Земли вокруг ее оси.

В данном случае представляется возможным применить те формулы, которые были даны нами в пункте 10 отдела V. Мы обозначили через $\Sigma$ значение функции П для случая, когда силы являются результатом притяжения всех частиц тела заданной формы, и дали выражение $\Sigma$ для того случая, когда притяжение обратно пропорционально квадрату расстояния и когда притягивающее тело представляет собою әллиптический сфероид, мало отличающийся от сферы. Если сохранить обозначения, примененные в указанном пункте, и ограничиться только членами, содер- $\qquad$
*) Mémoires de l’Académie de Berlin, 1755. (При.и. Бер. трана.)

жащими вторые степени эксцентриситетов $e$ и $i$, то мы получим
\[
\Sigma=-m\left(\frac{1}{r}-\frac{e^{2}+i^{2}}{2 \cdot 5 r^{3}}+3 \frac{e^{2} y^{2}+i^{2} z^{2}}{2 \cdot 5 r^{5}}\right),
\]

где $x, y, z$-прямоугольные координаты притягиваемой точки, $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ есть расстояние от этой точки до центра сфероида, а $m$-масса сфероида, равная $\frac{4 \pi}{3} A B C$, где $A, B, C$ – полуоси сфероида.

Если через $\Gamma$ обозначим плотность сфероида, который мы примем однородным, то приведенное выражение $\Sigma$ надо будет помножить на $\Gamma$; если же мы допустим, что данный сфероид содержит в себе в качестве ядра другой сфероид, имеющий иную плотность, чем первый, то к приведенной выше величине надо будет только прибавить значение $\Sigma$ для этого нового сфероида, помноженное на разность плотностей. Таким образом, отмечая штрихом величины, относящиеся к внутреннему сфероиду, и допуская, что его плотность равна $\Gamma+\Gamma^{\prime}$, мы для общего знаения $\Sigma$ получим
\[
\begin{aligned}
\Sigma= & -\frac{\Gamma m+\Gamma^{\prime} m^{\prime}}{r}+\frac{\Gamma m\left(e^{2}+i^{2}\right)+\Gamma^{\prime} m^{\prime}\left(e^{\prime 2}+i^{\prime 2}\right)}{2 \cdot 5 r^{3}}- \\
& -3 \frac{\Gamma m e^{2}+\Gamma^{\prime} m^{\prime} e^{\prime 2}}{2 \cdot 5 r^{5}} y^{2}-3 \frac{\Gamma m i^{2}+\Gamma^{\prime} m^{\prime} i^{\prime 2}}{2 \cdot 5 r^{5}} z^{2} .
\end{aligned}
\]
23. Допустим, что точка, притягиваемая сфероидом, одновременно находится под действием трех сил, выраженных через $f x, g y$ и $h z$, которые направлены по координатам $x, y, z$ и стремятся последние удлинить; тогда $-f x d x,-g y d y$ и – $h z d z$ представят моменты этих сил, а к величине $\Sigma$ придется прибавить члены $-\frac{f x^{2}}{2}-\frac{g y^{2}}{2}-\frac{h z^{2}}{2}$, и тогда мы будем иметь значение $\Pi$, получающееся в результате действия всех сил, приложенных к одной и той же точке. Таким образом уравнение равновесия будет иметь следующий вид:
\[
\Sigma-\frac{f x^{2}+g y^{2}+h z^{2}}{2}=\text { const. }
\]
24. Для того чтобы эти формулы применить к рассматриваемой задаче, допустим теперь, что внешним сфероидом является океан, плотность которого рявна $\Gamma$, а внутренним ядром – земля, имеющая плотность $\Gamma+\Gamma^{\prime}$; притягиваемую точку поместим на поверхности океана, заставив координаты указанной точки $x, y, z$ совпасть с координатами $a, b, c$ внешней поверхности сфероида. В таком случае для равновесия этой поверхности должно существовать уравнение
\[
\begin{aligned}
\frac{\Gamma m+\Gamma^{\prime} m^{\prime}}{r} & -\frac{\Gamma m\left(e^{2}+i^{2}\right)+\Gamma^{\prime} m^{\prime}\left(e^{2}+i^{\prime 2}\right)}{2 \cdot 5 r^{3}}+\frac{f x^{2}}{2}+ \\
+ & \left(3 \frac{\Gamma m e^{2}+\Gamma^{\prime} m^{\prime} e^{\prime 2}}{2 \cdot 5 r^{5}}+\frac{g}{2}\right) y^{2}+ \\
& +\left(3 \frac{\Gamma m i^{2}+\Gamma^{\prime} m^{\prime} l^{\prime 2}}{2 \cdot 5 r^{5}}+\frac{h}{2}\right) z^{2}=\text { const. }
\end{aligned}
\]

Это уравнение, в котором $r=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$, дает форму упомянутой поверхности; но формулы, данные нами в пункте 10 отдела $\mathrm{V}$, предполагают, что эта поверхность выражена с помоцью уравнения
\[
\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}+\frac{z^{2}}{C^{2}}=1,
\]

где $x, y, z$ поставлены вместо $a, b, c$; следовательно, последние два уравнения должны совпасть.

Определим из последнего уравнения значение $r$, выраженное через $у$ и $z$; для этого в формулу $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ подставим вместо $x^{2}$ его значение $A^{2}-\frac{A^{2} y^{2}}{B^{2}}-\frac{A^{2} z^{2}}{C^{2}}$; подставив еце вместо $B^{2}$ и $C^{2}$ значения $A^{2}+t^{2}, A^{2}+i^{2}$ (см. упомянутый выше пункт), мы получим
\[
r^{2}=A^{2}+\frac{e^{2} y^{2}}{A^{2}+e^{2}}+\frac{i^{2} z^{2}}{A^{2}+i^{2}},
\]

откуда, отбросив степени $е$ и $i$ выше $e^{2}$ и $i^{2}$, которых мы здесь не будем принимать во внимание, получим
\[
\frac{1}{r}=\frac{1}{A}-\frac{e^{2} y^{2}+i^{2} z^{2}}{2 A^{5}} .
\]

Подставим теперь это значение $\frac{1}{r}$, а также значение $x^{2}$, в первое уравнение и отбросим члены, в состав которых входят $e^{4}, i^{4}, e^{2} i^{2}, \ldots$; тогда мы получим
\[
\begin{array}{r}
\frac{\Gamma m+\Gamma^{\prime} m^{\prime}}{A}-\frac{\Gamma m\left(e^{2}+i^{2}\right)+\Gamma^{\prime} m^{\prime}\left(e^{\prime 2}+i^{\prime 2}\right)}{2 \cdot 5 A^{3}}+\frac{f A^{2}}{2}+ \\
+\left[3 \frac{\Gamma m e^{2}+\Gamma^{\prime} m^{\prime} e^{22}}{2 \cdot 5 A^{5}}+\frac{g}{2}-\frac{f A^{2}}{2 B^{2}}-\frac{\left(\Gamma m+\Gamma^{\prime} m^{\prime}\right) e^{2}}{2 A^{5}}\right] y^{2}+ \\
+\left[3 \frac{\Gamma m i^{2}+\Gamma^{\prime} m^{\prime} i^{\prime 2}}{2 \cdot 5 A^{5}}+\frac{h}{2}-\frac{f A^{2}}{2 C^{2}}-\frac{\left(\Gamma m+\Gamma^{\prime} m^{\prime}\right) i^{2}}{2 A^{5}}\right] z^{2}= \\
=\text { const }
\end{array}
\]

Для того чтобы это уравнение тождественно удовлетворялось, необходимо, чтобы коәффициенты переменных $y^{2}$ и $z^{2}$ были нулями, что даст нам два следующих уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{3 \Gamma^{\prime} m^{\prime} e^{\prime 2}}{2 \cdot 5 A^{5}}-\frac{\left(2 \Gamma m+5 \Gamma^{\prime} m^{\prime}\right) e^{2}}{2 \cdot 5 A^{5}}+\frac{g}{2}-\frac{f A^{2}}{2 B^{2}}=0 \\
\frac{3 \Gamma^{\prime} m^{\prime} i^{\prime 2}}{2 \cdot 5 A^{5}}-\frac{\left(2 \Gamma m+5 \Gamma^{\prime} m^{\prime}\right) i^{2}}{2 \cdot 5 A^{5}}+\frac{h}{2}-\frac{f A^{2}}{2 C^{2}}=0
\end{array}
\]

Эти уравнения послужат для определения эксцентриситетов $е$ и $i$ эллиптической поверхности океана.
25. Как известно, центробежная сила пропорциональна расстоянию рассматриваемой точки от оси вращения и квадрату угловой скорости вращения. Следовательно, если в качестве оси вращения взять ось 2.4 , которая является и осью координат $x$, и через $\mathrm{f}$ обозначить дентробежную силу на расстоянии $A$ от оси, то для цөнтробежной силы в какой-либо точке сфероида мы получим выражение $\frac{\mathrm{f} u}{A}$, где $u=\sqrt{y^{2}+z^{2}}$. Эта сила, направленная по линии $u$ и стремящаяся ее удлинить, дает момент – $\frac{\mathrm{f} u d u}{A}$, интеграл которого – $\frac{f u^{2}}{2 A}$, или иначе $-\frac{\mathrm{f}\left(y^{2}+z^{2}\right)}{2 A}$, должен быть прибавлен к величине $\Sigma$, если мы желаем принять во внимание и центробежную силу. Таким образом, положив в приведенных выше двух уравнениях $f=0, g=\frac{\mathrm{f}}{A}, \quad h=\frac{\mathrm{f}}{A}$, мы получим условие равновесия океана в результате взаимного притяжения всех частиц океана и Земли и действия центробежной силы, вызываемой вращением Земли.

Так как обе постоянные $g$ и $h$ между собою равны, то приведенные уравнения показывают, что в случае равенства эксцентриситетов $e^{\prime}$ и $i^{\prime}$ Земли мы получим и равенство двух эксцентриситетов поверхности океана. Следовательно, если Земля представляет собою сфероид вращения, то и океан имеет ту же форму, и два рассматриваемых уравнения дадут значения двух әксцентриситетов $e$ и $i$, которые будут отличны от әксцентриситетов $e^{\prime}$ и $i^{\prime}$ Земли.
26. Впрочем, приведенное выше решение представляется точным только до величин $e^{2}, i^{2}, e^{\prime 2}, i^{\prime 2}$. Если бы при определении величин $\Sigma$ и $r$ мы пожелали принять во внимание и члены, содержащие более высокие степени указанных величин, то уравнению
\[
\Sigma-\frac{f\left(y^{2}+z^{2}\right)}{2 A}=\text { const }
\]

вообще уже нельзя было бы удовлетворить для поверхности равновесия; отсюда следует заключить, что, строго говоря, эта поверхность не имеет формы эллиптического сфероида.

Я утверждаю вообще, что в случае однородного сфероида, не имеющего внутреннего ядра с иной ілотностью, притяжения, действующие на какую-либо точку поверхности, будучи разложены по трем осям координат $x, y, z$, выражаются точно с помощью формул
\[
m L x, \quad m M y, \quad m N z,
\]

гце $L, M, N$ – функции $A, B, C$, данные определенными интегралами; отсюда для $\Sigma$ получается следующее точное выражение:
\[
\Sigma=\frac{m}{2}\left(L x^{2}+M y^{2}+N z^{2}\right) .
\]

Так как уравнение равновесия $\Sigma-\frac{\mathrm{f}\left(y^{2}+z^{2}\right)}{2 A}=$ const имеет такой же вид, как и уравнение сфероида $\frac{x^{2}}{A^{2}}+\frac{y^{2}}{B^{2}}+\frac{z^{2}}{C^{2}}=1$, то с помощью произвольной постоянной их можно сделать тождественными при следующих двух условиях:
\[
\frac{m M-\mathrm{f}}{m L}=\frac{A^{2}}{B^{2}}, \quad \frac{m N-\mathrm{f}}{m L}=\frac{A^{2}}{C^{2}} ;
\]

из последующих уравнений следует, что $B=C$, так как величина $M$ является такой же функцией *) от $B, C$, как $N$ от $C, B$; таким образом эти уравнения сводятся к единственному уравнению, которое служит для определения отношения $A$ к $B$.

Этот случай является до настоящего времени единственным, для которого было найдено строгое решение, принадлежащее Маклорену. Таким образом вопрос о форме Земли, рассматриваемый с физической точки зрения, строго разрешен только при наличии предпосылки, что земля представляет собою жидкий и однородный сфероид. В последнем $\qquad$
*) При более детальном исследовании этих уравнений выясняется, что они допускают иное решение и что им может удовлетворить эллипсовд с тремя неравными осями. Это обстоятельство было отмечено Якоби (Jacobi); данный вопрос был разработан Јиувиллем (Liouville) (Journal de I’École Polytechnique, t. XIII). См. примечание в конце настоящего тома. (I рим. Бертрана.)

случае оба найденных выше (п. 24) приближенных уравнения, если положить
\[
\Gamma=1, \quad \Gamma^{\prime}=0, \quad g=h=\frac{\mathrm{f}}{A} \quad \text { и } e=i,
\]

дают следующее уравнение:
\[
\frac{2 m e^{2}}{5 A^{4}}-\mathrm{f}=0 .
\]

Сравним центробежную силу с силой тяжести, принятой за единицу; так как последняя с точностью до величины $e^{2}$ равна $\frac{m}{A^{2}}$, то остается только положить $\frac{m}{A^{2}}=1$, и мы получим
\[
\frac{2 e^{2}}{5 A^{2}}=\mathrm{f}=2 \frac{B^{2}-A^{2}}{5 A^{2}} ;
\]

откуда следует
\[
\frac{B}{A}=\sqrt{1+\frac{5 \mathrm{f}}{2}} .
\]

Но $\mathrm{f}=\frac{1}{288}$, следовательно, приблизительно $\frac{B}{A}=\frac{231}{230}$, как это уже известно с давнего времени.