Существует уже много трактатов о механике, но план настоящего трактата является совершенно новым. Я поставил себе целью свести теорию механики и методы решения связанных с нею задач к общим формулам, простое развитие которых дает все уравнения, необходимые для решения каждой задачи. Я надеюсь, что способ, каким я постарался этого достичь, не оставит желать чего-либо лучшего.

Кроме того, эта работа принесет пользу и в другом отношении: она объединит и представит с одной и той же точки зрения различные принципы, открытые до сих пор с целью облегчения решения механических задач, укажет их связь и взаимную зависимость и даст возможность судить об их правильности и сфере их применения.

Я делю эту работу на две части: статику, или теорию равновесия, и динамику, или теорию движения; в каждой из әтих частей я отдельно рассматриваю твердые и жидкие тела.

В этой работе совершенно отсутствуют какие бы то ни было чертежи. Излагаемые мною методы не требуют ни построений, ни геометрических или механических рассуждений; они требуют только алгеб-
*) Цифрами в квадратных скоб́ках отмечены примечангя редакторов русского перевода, помещенные в копде тома. (Iाри. ред.)

раических операций, подчиненных планомерному и однообразному ходу. Все любящие анализ с удовольствием убедятся в том, что механика становится новой отраслью анализа, и будут мне благодарны за то, что этим путем я расширил область его применения *).

Таков план, который я попытался осуществить в первом издаиии настоящего трактата, опубликованного в 1788 году. Настоящее издание представляет собою со многих точек зрения новую работу, выполненную по тому же, но только расширенному, плану. Здесь уделено больше внимания изложению принципов и общих формул и отведено больше места приложениям, в которых содержится разрепение основных проблем, относящихся к области механики.

Мы сохранили обычные обозначения дифференциального исчисления, так как они соответствуют системе бесконечно малых величин, принятой в настоящем трактате. Если дух этой системы хорошо усвоен и если в точности ее результатов убедилисы, (c) помощью геометрического метода первых и последних отношений, или с помощью аналитического метода производных функдий, то бесконечно малые величины можно применять в качестве надежного и удобного средства для сокращения и упрощения доказательств. Таким именно образом доказательства древних сокрацаются с помощью метода неделимых.

Укажем теперь главнейшие дополнения, которыми настоящее издание отличается от предшествующего.

Первый отдел первой части содержит в себе более полный анализ трех принципов статики с новыми замечаниями о природе и связи этих принципов; он заканчивается прямым доказательством принципа виртуальных скоростей, совершенно независимым от других двух принципов.
*) Это начало предисловия Јагранжа ко второму изданию целиком воспроизводит его предисловие к первому изданию, которое мы здесь не приводим. (Прим. ред.)

Во втором отделе дано более строгое доказательство положения, что принцип виртуальных скоростей дія любого числа сил, находящихся в равновесии, может быть выведен из того случая, когда имеется только две силы, что приводит этот принцип непосредственно к принципу рычага; уравнения, вытекающие из этого принципа, даны в более общем виде, и үказаны условия, необходимые для тою, чтобы какая-либо система сил была эквивалентна другой (\”истеме сил и была в состоянии ее заменить.

В третьем отделе мы выводим более прямым путем формулы мгновенных вращательных движений I сложения этих движений, а отсюда выводим теорию моментов и их сложения; мы излагаем здесь мало пзвестное свойство центра тяжести и даем новое доказательство максимумов и минимумов, имеющих несто при состоянии равновесия.

Четвертый отдел содержит более общие и более простые формулы для решения задач, связанных с методом вариаций; путем сопоставления этих формул (: формулами равновесия тел изменяющейся формы мы показываем, что задачи, касающиеся равновесия этих тел, относятся к разряду задач, известных под ндзванием общих изопе ринет рџческих задач, и решаются тем же самым путем.

IIятый отдел излагает некоторые новые проблемы \” содержит в себе важные замечания по поводу нскоторых решений, приведенных уже в первом издании.

В шестом отделе мы прибавили некоторые детали, насающиеся исторического анализа принципов гидростатики.

В седьмом отделе мы придали больше строгости и общности определению деформаций частиц жидкости п спльно упростили анализ членов, относящихся к границам массы жидкости; из этих членов мы вывели теорию действия жидкостей на погруженные в них твердые тела или на стенки сосудов, в которых ои заклютены, а отсюла получили прямое доказательство теоремы, что при равновесии твердого тела с жидкостью силы, действующие на твердое тело, являются теми же, как если бы жидкость образовала лишь единую массу с твердым телом. В этом же отделе, равно как и в следующем, где трактуется вопрос о равновесии упругих жидкостей, мы прибавили несколько случаев применения общих формул равновесия жидкостей.

Вторая часть настоящей работы, динамика, получила большее количество добавлений.

В первом отделе мы дали более полный, а в некоторых частях более точный исторический анализ принципов динамики.

Второй отдел содержит в себе важное добавление, в котором указывается, в каких случаях общие формулы динамики, а следовательно, и уравнения, получающиеся отсюда для движения системы тел, не зависят от положения осей координат в пространстве; отсюда получается возможность путем введения трех новых произвольных постоянных обобщить решение, в котором некоторые постоянные были положены равными нулю.

В третьем отделе уделено больше внимания свойствам, относящимся і движению центра тяжести и к площадям, описанным системой тел; мы прибавили здесь теорию главных осей или равномерного вращения, выведенную из рассмотрения мгновенных вращательных движений с помощью анализа, отличного от того, какой применялся до сих пор; далее, мы доказываем некоторые новые теоремы о вращении твердого тела или системы тел – для случая, когда это вращение происходит вследствие первоначального толчка.

Четвертый отдел остался почти в том же виде, как и в первом издании.

Но пятый отдел является совершенно новым; он содержит в себе теорию вариации произвольных постоянных, которая послужила темой для трех мемуаров, напечатанных в Mémoires de la première Classe de l’Institut за 1808 г., однако здесь эта теория изложена более просто и в виде общего приближенного метода решения всех механических задач – для стучаев, когда имеются возмущающие силы, величина которых незначительна по сравнению с главными силами.

Отметим здесь, чтобы указать область, которую способна охватить эта теория, что функция $V$, зависящая от главных сил, может быть функцией только независимых переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, а также времени $t$, но что не обязательно, чтобы функция, обозначенная через $\Omega$ и зависящая от возмущающих сил, обязательно имела тот же характер. Каковы бы ни были эти силы, достаточно, разложив их для кажtого тела $m$ системы на три силы $X, Y, Z$, направленные по координатам $x, y, z$ в сторону их возрастания, выразить эти координаты в функции независимых переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, и тогда вместо частных производных $\frac{\partial \Omega}{\partial \xi}, \frac{\partial \Omega}{\partial \psi}, \ldots$ можно подставить соответствующие суммы
$\mathbf{S} m\left(X \frac{\partial x}{\partial \xi}+Y \frac{\partial y}{\partial \xi}+Z \frac{\partial z}{\partial \xi}\right), \quad \mathbf{S} m\left(X \frac{\partial x}{\partial \psi}+Y \frac{\partial y}{\partial \psi}+Z \frac{\partial z}{\partial \psi}\right), \ldots$ п, следовательно, вместо $\Delta \Omega$ – величину
\[
\mathbf{S} m(X \Delta x+Y \Delta y+Z \Delta z),
\]

где $\Delta$ обозначает вариацию по отношению к произвольным постоянным, так что $\frac{\partial \Omega}{\partial \alpha}$ можно заменить выражением
\[
\mathbf{S} m\left(X \frac{\partial x}{\partial \alpha}+Y \frac{\partial y}{\partial x}+Z \frac{\partial z}{\partial \alpha}\right)
\]

равным образом можно заменить другие частные производные $\Omega$. Этим путем можно достичь того, что настоящий метод станет применимым и к возмущающим силам, выраженным в функции любых переменных.

Наконец, в шестом отделе, являющемся последним в этом томе и соответствющем первому параграфу пятой главы предшествующего издания, прибавлены различные замечания и сверх того решение некоторых задач о малых колебаниях тел; он заканчивается теорией колеблющихєя струн, которую я дал в первом томе «Mémoires de Turin» и которую я здесь изложил более просто и приняв во внимание возражения, выдвинутые против этой теории Даламбером (d’Alembert) в первом томе его \”Opuscules».