8. Теперь предположим, что после разрешения задачи, содержащейся в дифференциальных уравнениях п. 3 , путем полного интегрирования этих уравнений, возникает вопрос о разрешении той же задачи, но с прибавлением новых сил, приложенных к той же системе, причем эти силы направлены к неподвижным центрам или же к центрам, движущимся каким угодно образом, и пропорциональны функциям расстояний от этих центров. Эти новые силы, которые можно рассматривать как силы, возмущающие движение системы, и которые имеют природу, подобную силам $P, Q, R, \ldots$, от которых зависит функция $V$, прибавят к этой функции аналогичную функцию, которую мы обозначим через – $\Omega$. Таким образом надо будет подставить только $V-\Omega$ вместо $V$ в уравнениях п. 10 (предыдущего отдела) и, следовательно, $Z-\Omega$ вместо $Z$ в соответствующих членах уравнений п. 3 , содержащих чаотные дифференциалы $Z$ по $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, – чтобы получить уравнения новой задачи, которые, таким образом, будут иметь следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
d \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}-\frac{\partial Z}{\partial \xi} d t=\frac{\partial \Omega}{\partial \xi} d t \\
d \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}-\frac{\partial Z}{\partial \psi} d t=\frac{\partial \Omega}{\partial \psi} d t \\
d \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}-\frac{\partial Z}{\partial \varphi} d t=\frac{\partial \Omega}{\partial \varphi} d t \\
. . . . . . . . . .
\end{array}
\]
9. Если допустить, что нам известны выражения переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ через $t$ и через произвольные постоянные в случае, когда правые части приведенных уравнений равны нулю, можно, сохраняя неизменными эти выражения, но делая переменными

их произвольные постоянные, добиться того, что они будут полностью удовлетворять этим уравнениям; приводимый нами ниже анализ и имеет целью дать простейшие формулы для определения этих постоянных, ставших переменными.

Прежде всего отметим, что число эих постоянных вдвое больше числа переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, как мы әто уже указали выше (п. 2), и, следовательно, вдвое больше числа уравнений, которым мы должны удовлетворить; поэтому мы можем их подчинить еще некоторому количеству произвольных условий, равному числу этих переменных.

Наиболее простыми и в то же время наиболее подходящими для этого являются условия, заключающиеся в том, что значения $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d \varphi}{d t}, \ldots$ coхpaняют тот же вид, как если. бы достоянные в них совершенно не изменялись. При этих условиях нө только пространства, проходимые телами, но и их скорости будут выражаться аналогичиыми формулами, как в том случае, когда произвольные постоянные остаются неизменными, что имеет место при отсутствии каких-либо возмущающих сил, так и в случае, когда они изменяются вследствие действия әтих сил.

Сверх того указанные условия обладают еще тем преимуществом, что дифференциальные уравнения между новыми переменными они сводят к уравнениям первого порядка, в результате чего мы получаем вдвое большее число уравнений, но зато лишь первого порядка.
10. Если, как в п. 4, символ $\delta$ применить для обозначения дифференциалов, получающихся исключительно вследствие варьирования произвольных постоянных, а символ $d$ относить только к дифференциалам, взятым по времени $t$, то условия, о которых мы только что говорили, выразятся с помощью уравнений
\[
\delta \xi=0, \quad \delta \psi=0, \quad \delta \varphi=0 .
\]

Следует отметить, что в этих уравнениях все произвольные постоянные должны одновременно рассматриваться как переменные, так чтто в дальнейшем символ $\delta$ будет указывать на одновременное *) изменение всех произвольных постоянных, – между тем как в формулах п. 4 и следующих тот же символ, равно как и другой символ $\Delta$, означал вообще дифференциалы, относящиеся к изменению всех постоянных, или же только некоторых из них, произвольно взятых.

Итак, өсли изменять все величины, то дифференциалы $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ будут просто $d \xi, d \psi, d \varphi, \ldots$, или $\xi^{\prime} d t, \psi^{\prime} d t, \varphi^{\prime} d t, \ldots$, как если бы изменялось только время $t$.

Таким образом функция $Z$ в уравнениях п. 8 будет одной и той же независимо от того, будем ли мы произвольные постоянные считать переменными или нет; но если их рассматривать как переменные, то к дифференциалам $d \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}, d \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}, d \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}, \ldots, \quad$ следует прибавить члены $\delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}, \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}, \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}, \ldots$, появляющиеся вследствие варьирования этих постоянных.

C другой стороны, согласно допущению, функции $t$ и постоянных, выражающие значения $\xi, \psi$, $\varphi, \ldots$ тождественно удовлетворяют тем же самым уравнениям, но только в том случае, когда эти постоянные не варьируют, отсутствуют вторые члены, каковы бы в остальном ни были их значения; отсюда ясно, что члены
\[
d \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}-\frac{\partial \dot{Z}}{\partial \xi} d t, \quad d_{1} \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}-\frac{\partial Z}{\partial \psi} d t, d \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}-\frac{\partial Z}{\partial \varphi} d t, \ldots
\]

должны взаимно уничтожиться и, следовательно, их можно заранее опустить.
*) То-есть изменение функций, ноторые замещают эти постоянные и которые в каждой задаче являются вполне определенными, так что их значение является функцией времени, изменение которого не имеет совершенно ничего произвольного. (Iгим. Бертрана.)

Таким образом для вариации произвольных постоянных мы будем иметь просто следующие уравнения:
\[
\delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}=\frac{\partial \Omega}{\partial \xi} d t, \quad \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}=\frac{\partial \Omega}{\partial \psi} d t, \quad \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}=\frac{\partial \Omega}{\partial \varphi} d t, \ldots ;
\]

последние следует скомбинировать с приведенными только что уравнениями $\delta \xi=0, \quad \delta \psi=0, \delta \varphi=0, \ldots$.

Так как число этих уравнений вдвое превышает число переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ и, следовательно, равно числу произвольных постоянных (п. 2), то их окажется достаточно для определения всех этих постоянных, ставпих переменными.
11. Если найденные нами только что уравнения помножить соответственно на $\Delta \xi, \Delta \psi, \Delta \varphi, \ldots$ и затем сложить, то мы получим
\[
\begin{aligned}
\Delta \xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+ & \Delta \psi \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\Delta \varphi \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\ldots= \\
& =\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \xi} \Delta \xi+\frac{\partial \Omega}{\partial \psi} \Delta \psi+\frac{\partial \Omega}{\partial \varphi} \Delta \varphi+\ldots\right) d t .
\end{aligned}
\]

Выражения $\Delta \xi, \Delta \psi, \Delta \varphi, \ldots$ означают здесь, как и в п. 4, дифференциалы функций $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ в предположении, что изменяются каким угодно образом только произвольные постоянные, причем они могут изменяться или все одновременно, или же только некоторые из них.

Если $\Omega$ рассматривать как функцию $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, то, продифференцировав согласно символу $\Delta$, мы получим
\[
\Delta \Omega=\frac{\partial \Omega}{\partial \xi} \Delta \xi+\frac{\partial \Omega}{\partial \psi} \Delta \psi+\frac{\partial \Omega}{\partial \varphi} \Delta \varphi+\ldots
\]

Следовательно, мы будем иметь
\[
\Delta \Omega d t=\Delta \xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\Delta \psi \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\Delta \varphi \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\ldots .
\]

Вычтем из правой части этого уравнения величину
\[
\delta \xi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\delta \psi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\delta \varphi \Delta \frac{\partial Z}{r \varphi^{\prime}}+\ldots,
\]

которая в силу условных уравнений $\delta \xi=0, \delta \psi=0$, $\delta \varphi=0, \ldots$ равна нулю, тогда мы получим следующее общее уравнение:
\[
\begin{aligned}
\Delta \Omega d t & =\Delta \xi \delta \frac{\partial Z}{\partial \xi^{\prime}}+\Delta \psi \delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}+\Delta \varphi \delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}+\ldots- \\
& -\delta \xi \Delta \frac{d Z}{\partial \xi^{\prime}}-\delta \psi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \psi^{\prime}}-\delta \varphi \Delta \frac{\partial Z}{\partial \varphi^{\prime}}-\ldots= \\
& =\Delta \xi \delta \frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}+\Delta \psi \delta \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}+\Delta \varphi \delta \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}+\ldots- \\
& -\delta \xi \Delta \frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}-\delta \psi \Delta \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}-\delta \varphi \Delta \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}-\ldots,
\end{aligned}
\]

поставив $T$ вместо $Z$, как мы это сделали в пункте 7 .
Мы видим, что правая часть приведенного выше уравнения представляет собою ту самую функцию, относительно которой мы показали, что она должна быть независимой от времени $t$ (п. 7); отсюда следует, что если в ней подставить значения $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ в функции времени и произвольных постоянных, можно $t$ положить равным нулю или какому угодно числу.
12. Следовательно, если предположить, а это всегда допустимо, что эти функции, а равно и функции, выражающиө значения $\frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}, \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}, \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}, \ldots$, разложены в ряды по восходящим степеням $t$, так что
\[
\begin{array}{l}
\xi=\alpha+\alpha^{\prime} t+\alpha^{\prime \prime} t^{2}+\alpha^{\prime \prime \prime} t^{3}+\ldots, \\
\psi=\beta+\beta^{\prime} t+\beta^{\prime \prime} t^{2}+\beta^{\prime \prime} t^{3}+\ldots, \\
\varphi=\gamma+\gamma^{\prime} t+\gamma^{\prime \prime} t^{2}+\gamma^{\prime \prime \prime} t^{3}+\ldots . \\
\text {……………………. } \\
\frac{\partial T}{\partial \dot{\xi}}=\lambda+\lambda^{\prime} t+\lambda^{\prime \prime} t^{2}+\lambda^{\prime \prime \prime} t^{3}+\ldots, \\
\frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}=\mu+\mu^{\prime} t+\mu^{\prime \prime} t^{2}+\mu^{\prime \prime \prime} t^{3}+\ldots, \\
\frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}=v+v^{\prime} t+v^{\prime \prime} t^{2}+v^{\prime \prime \prime} t^{3}+\ldots, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

и если эти значения подставить в правую часть уравнения предыдущего пункта, то мы можем положить $t=0$, в результате чего они сведутся только к своим первым членам $\alpha, \beta, \gamma ; \ldots, \lambda, \mu,
u, \ldots$

Таким образом указанное уравнение примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\Delta \Omega d t=\Delta \alpha \delta \lambda+ & \Delta \beta \delta \mu+\Delta \gamma \delta
u+\ldots- \\
& -\Delta \lambda \delta \alpha-\Delta \mu \delta \beta-\Delta
u \delta \gamma-\ldots
\end{aligned}
\]
13. Величины $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \lambda, \mu,
u, \ldots$ могут быть только функциями произвольных постоянных, вносимых двойным интегрированием в конечные выражения переменных $\xi, \” \psi, \varphi, \ldots$, и их можно тоже принять в качестве этих самых постоянных величин.

Действительно, произвольными постоянными, придающими решению какой-либо задачи механики всю ту общность, какую она способна иметь, являются начальные значения переменных, а равно начальные значения их первых производных, иначе говоря значения $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ и $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d \varphi}{d t}, \ldots$ при $t=0$; таким образом в принятых намй для $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ выражениях эти значения равны $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \alpha^{\prime}, \beta^{\prime}$, $\gamma^{\prime}, \ldots$ А так как $T$ является заданной функцией $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ и $\xi^{\prime}=\frac{d \xi}{d t}, \quad \psi^{\prime}=\frac{d \psi}{d t}, \quad \varphi^{\prime}=\frac{d \varphi}{d t}, \ldots$, то ясно, что если положить $t=0$ в функциях $\frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}, \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}, \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}, \ldots$, что их сведет к $\lambda, \mu,
u, \ldots$, то эти постоянные $\lambda, \mu,
u, \ldots$ будут такими же функциями постоянных $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \alpha^{\prime} ; \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}, \ldots$, какими являются функции $\frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}, \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}, \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}, \ldots$ по отношению к переменным $\xi, \psi, \varphi, \ldots, \xi^{\prime}, \psi^{\prime}, \varphi^{\prime}, \ldots$ Следовательно, вместо того чтобы в качестве произвольных постоянных взять непосредственно $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}, \ldots$, можно взять зависящие от них $\lambda, \mu,
u, \ldots$ Таким

образом мы будем иметь $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \lambda, \mu,
u, \ldots$ в качестве произвольных постоянных в выражениях для $\xi$, , $\varphi, \ldots$; причем, как мы видим, число этих ностоянных ровно вдвое больше числа переменных $\check{\zeta}, \psi, \varphi, \ldots$

В соответствии с изложенным дифференциал $\Delta \Omega$, в катором символ, $\Delta$ должен быть отнесен только к произвольным постоянным, входящим в состав $\Omega$ в связи со значениями $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, содержащими эти постоянные,- получит следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\Delta \Omega=\frac{\partial \Omega}{\partial \alpha} \Delta \alpha+ & \frac{\partial \Omega}{\partial \beta} \Delta \beta+\frac{\partial \Omega}{\partial \gamma} \Delta \gamma+\ldots+ \\
& +\frac{\partial \Omega}{\partial \lambda} \Delta \lambda+\frac{\partial \Omega}{\partial \mu} \Delta \mu+\frac{\partial \Omega}{\partial
u} \Delta
u+\ldots
\end{aligned}
\]

Если это выражение подставить в первый член уравнения предыдущего пункта и расположить члены по дифференциалам, обозначенным симзолом $\Delta$, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \alpha} d t-\delta \lambda\right) \Delta \alpha+\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \beta} d t-\delta \mu\right) \Delta \beta+ \\
+\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \gamma} d t-\delta
u\right) \Delta \gamma+\ldots+\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \lambda} d t+\delta \alpha\right) \Delta \lambda+ \\
+\left(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu} d t+\delta \beta\right) \Delta \mu+\left(\frac{\partial \Omega}{\partial
u} d t+\delta \gamma\right) \Delta
u+\ldots=0
\end{array}
\]

Так как дифференциалам $\Delta \alpha, \Delta \beta, \ldots$, обозначенным символом $\Delta$, можно дать любое значение, то необходимо, чтобы уравнение оставалось в силе независимо от этих дифферендиалов, что дает нам столько частных уравнений, сколько имеется постоянных, а именно
\[
\begin{array}{lll}
\frac{\partial \Omega}{\partial \alpha} d t=\delta \lambda, & \frac{\partial \Omega}{\partial \beta} d t=\delta \mu, & \frac{\partial \Omega}{\partial \gamma} d t=\delta
u, \ldots \\
\frac{\partial \Omega}{\partial \lambda} d t=-\delta \alpha, & \frac{\partial \Omega}{\partial \mu} d t=-\delta \beta, & \frac{\partial \dot{\Omega}}{\partial
u} d t=-\delta \gamma, \ldots
\end{array}
\]

14. Дифференциалы, обозначенные символом $\delta$, являются собственно дифферендиалами произвольных постоянных, ставших переменными (п. 10); а так как эти дифференциалы могут быть теперь отнесены и ко времени $t$, то представляется допустимым и даже удобным заменить символ $\delta$ символом $d$; тогда для определения новых переменных $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \lambda, \mu,
u, \ldots$ мы будем иметь следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d \alpha}{d t}=-\frac{\partial \Omega}{\partial \lambda}, \quad \frac{d \beta}{d t}=-\frac{\partial \Omega}{\partial \mu}, \quad \frac{d \gamma}{d t}=-\frac{\partial \Omega}{\partial
u}, \ldots, \\
\frac{d \lambda}{d t}=+\frac{\partial \Omega}{\partial \alpha}, \quad \frac{d \mu}{d t}=+\frac{\partial \Omega}{\partial \beta}, \quad \frac{d
u}{d t}=+\frac{\partial \Omega}{\partial \gamma}, \ldots ;
\end{array}
\]

как видим, эти уравнения имеют очень простой вид и таким образом дают наиболее простое решение задачи о варьировании произвольных постоянных.
15. Так как функция $\Omega$ содержит величины $\alpha$, $\beta, \gamma, \ldots, \lambda, \mu,
u, \ldots$, то их следует рассматривать как переменные; также и в частных дифференциалах этой функции, но так как согласно допущению значение $\Omega$, зависящее от возмущающих сил, очень мало, то ясно, что и вариации произвольных постоянных будут очень малыми, а потому в первом приближении их можно рассматривать в частных дифференциалах $\Omega$ как постоянные и принимать во внимание их изменчивость лишь при дальнейших приближениях.

Обозначим через $a, b, c, \ldots, l, m, n, \ldots$ постоянные части $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \lambda, \mu,
u, \ldots$ и через $\alpha^{\prime}, \beta^{\prime}$, $\gamma^{\prime}, \ldots \lambda^{\prime}, \mu^{\prime},
u^{\prime}, \ldots$ – их переменные части, которые, будучи одного порядка с величиной $\Omega$, необходимо должны быть очень малыми, и пусть $O$-значение, принимаемое величиной $\Omega$, когда $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \lambda, \mu,
u, \ldots$, заменяются величинами $a, b, c, \ldots, l, m, n, \ldots$
Таким образом мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\alpha=a+\alpha^{\prime}, \quad \beta=b+\beta^{\prime}, \quad \gamma=c+\gamma^{\prime}, \ldots, \\
\lambda=l+\lambda^{\prime}, \quad \mu=m+\mu^{\prime}, \quad
u=n+
u^{\prime}, \ldots,
\end{array}
\]

а путөм разложения получим
\[
\begin{aligned}
\Omega=O & +\frac{\partial O}{\partial a} \alpha^{\prime}+\frac{\partial O}{\partial b} \beta^{\prime}+\frac{\partial O}{\partial c} \gamma^{\prime}+\ldots+ \\
& +\frac{\partial O}{\partial l} \lambda^{\prime}+\frac{\partial O}{\partial m} \mu^{\prime}+\frac{\partial O}{\partial n}
u^{\prime}+\ldots+ \\
& +\ldots \ldots \ldots
\end{aligned}
\]

Дифференциальные уравнения предыдущего пункта дадут
\[
\begin{array}{l}
d \alpha^{\prime}=-\frac{\partial \Omega}{\partial l} d t, \quad d \beta^{\prime}=-\frac{\partial \Omega}{\partial m} d t, \quad d \gamma^{\prime}=-\frac{\partial \Omega}{\partial n} d t, \ldots, \\
d \lambda^{\prime}=+\frac{\partial \Omega}{\partial a} d t, \quad d \mu^{\prime}=+\frac{\partial \Omega}{\partial b} d t, \quad d v^{\prime}=+\frac{\partial \Omega}{\partial c} d t, \ldots, \\
\end{array}
\]

так как очевидно, что частные дифференциалы по $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \lambda, \mu,
u, \ldots$ могут быть отнесены к аналогичным величинам $a, b, c, \ldots, l, m, n, \ldots$

Для первого приближения мы будем иметь $\Omega=O$, где $O$ представляет собою функцию только $t$; следовательно, путем интегрирования мы получим
\[
\begin{array}{ll}
\alpha^{\prime}=-\int \frac{\partial O}{\partial l} d t, \quad \beta^{\prime}=-\int \frac{\partial O}{\partial m} d t, \quad \gamma^{\prime}=-\int \frac{\partial O}{\partial n} d t, \ldots, \\
\lambda^{\prime}=+\int \frac{\partial O}{\partial a} d t, \quad \mu^{\prime}=+\int \frac{\partial O}{\partial b} d t, \quad
u^{\prime}=+\int \frac{\partial O}{\partial c} d t, \ldots
\end{array}
\]

Подставив эти значения в выражения для $\Omega$, мы получим для второго приближения
\[
\begin{aligned}
\Omega=O & +\frac{\partial O}{d l} \int \frac{\partial O}{\partial a} d t-\frac{\partial O}{\partial a} \int \frac{\partial O}{\partial l} d t+ \\
& +\frac{\partial O}{\partial m} \int \frac{\partial O}{\partial b} d t-\frac{\partial O}{\partial b} \int \frac{\partial O}{\partial m} d t+ \\
& +\cdots \cdots
\end{aligned}
\]

и так далее.
16. Здесь следует сделать одно важное замечание. Если функция $O$ содержит время только под знаком синуса или косинуса, то ясно, что в первом приближении значение $\Omega$ будет содержать только те же синус и косинус. Однако может возникнуть сомнение, не будет ли эта функция в дальнейших своих приближениях содержать членов, в которых время $t$ находится вне знаков синуса и косинуса и которые, непрерывно нарастая, увеличивают значение $\Omega$ до бесконечности и, таким образом, делают приближение неверным.

Для того чтобы устранить это сомнение, отметим, что подобные члены могут произойти линь от постоянной части $\Omega$, т. е. от части, которая совершенно не содержит синуса и косинуса, заключающего в себе $t$.

Так, пусть $A$ будет этой частью, которая является функцией произвольных постоянных $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$, $\lambda, \mu,
u, \ldots$ Тогда и $O$ будет содержать в себе подобную функцию $a, b, c, \ldots, l, m, n, \ldots$, которую мы тоже обозначим через $A$.

Подставив $A$ вместо $O$ в выражение $\Omega$, приведенное в предыдущем пункте, мы получим во втором приближении ту часть $\Omega$, которая происходит от постоянной $A$; эта часть составит
\[
\begin{array}{l}
A+\frac{\partial A}{\partial l} \frac{\partial A}{\partial a} t-\frac{\partial A}{\partial a} \frac{\partial A}{\partial l} t+\frac{\partial A}{\partial m} \frac{\partial A}{\partial b} t-\frac{\partial A}{\partial b} \frac{\partial A}{\partial m} t+ \\
\text { + . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Как видим, здесь члены, содержащие в себе $t$, взаимно уничтожаются.

Таким образом мы уверены, что второе приближение не даст в $\Omega$ какого-либо члена, который возрастал бы со временем $t$; следовало бы однако еще посмотреть, не могут ли образоваться подобные члены при дальнейших приближениях.

Впрочем, тот же самый постоянный член $A$ мог бы еще дать в $\Omega$ члены, умноженные на $t$, которые скомбинированы с непостоянными членами той же функции $\Omega$; но тогда это $t$, стоящее вне синуса или косинуса, было бы одновременно умножено на синус или косинус углов, пропорциональных времени. То же самое имело бы место, если бы коәффициент $t$ под знаком синуса или косинуса был функцией произвольных постоянных $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$, так как в әтом случае частные дифференцирования $\Omega$ по этим постоянным вывели бы $t$ из-под знака синуса или косинуса. Можно, однако, отметить, что вообще, когда последовательные приближения приводят к появлению членов указаннего вида, в которых синус или косинус оказывается умноженным на угол, стоящий под знаком синуса или косинуса, то этого рода члены почти всегда являются результатом разложения других синусов или косинусов и их можно избежать, интегрируя дифферендиальные уравнения непосредственно между произвольными постоянными величинами, ставшими ныне переменными.
17. Хотя примененные нами произвольные постоянные являются такими величинами, ғоторые представляются нам более естественными и которые приводят к более простым результатам, тем не менее зачастую бывает так, что различные интеграции вводят вместо них другие постоянные, которые, однако, могут быть лишь функциями первых.

Обозначим вообще через $a, b, c, \ldots$, произвольныө постоянные, которые должны войти в выражения переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, причем число этих постоянных долнно быть вдвое больше числа переменных. Для того чтобы получить соотношения между этими новыми постоянными и первоначальными, достаточно положить $t=0$ в значениях функций $\xi, \psi, \varphi \ldots$, $\frac{\partial T}{\partial \xi^{\prime}}, \frac{\partial T}{\partial \psi^{\prime}}, \frac{\partial T}{\partial \varphi^{\prime}}, \ldots$ и полученные при этом результаты приравнять величинам $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \lambda, \mu,
u, \ldots$ Указанным путем мы получим такое количество уравнений между различными постоянными, что с их помощью можно будет определить значения $a, b, c, \ldots$ в функции $\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \lambda, \mu,
u, \ldots$

Итак, мы будем рассматривать эти функции как известные; дифференцирование нам даст тотчас же
\[
\begin{aligned}
d a=+\frac{\partial a}{\partial \alpha} d \alpha+ & \frac{\partial a}{\partial \beta} d \beta+\frac{\partial a}{\partial \gamma} d \gamma+\ldots+ \\
& +\frac{\partial a}{\partial \lambda} d \lambda+\frac{\partial a}{\partial \mu} d \mu+\frac{\partial a}{\partial
u} d
u+\ldots
\end{aligned}
\]

Следовательно, подставив найденные только что (II. 14) значения $d \alpha, d \beta, \ldots$ и разделив на $d t$, мы получим
\[
\begin{aligned}
\frac{d a}{d t}= & +\frac{\partial a}{\partial \lambda} \frac{\partial \Omega}{\partial \alpha}+\frac{\partial a}{\partial \mu} \frac{\partial \Omega}{\partial \beta}+\frac{\partial a}{\partial
u} \frac{\partial \Omega}{\partial \gamma}+\ldots- \\
& –\frac{\partial a}{\partial \alpha} \frac{\partial \Omega}{\partial \lambda}-\frac{\partial a}{\partial \beta} \frac{\partial \Omega}{\partial \mu}-\frac{\partial a}{\partial \gamma} \frac{\partial \Omega}{\partial
u}+\ldots
\end{aligned}
\]

Аналогичные выражения будут получены нами для значений $\frac{d b}{d t}, \frac{d c}{d t}, \ldots$, для которых достаточно в предыдущем уравнении вместо $a$ поставить $b, c, \ldots$
18. Приведенные формулы содержат, однако, еще частные дифференциалы $\Omega$ по постоянным $\alpha, \beta$, $\gamma, \ldots$, и их следует заменить частными дифференциалами по $a, b, c, \ldots$, что легко выполннется с помощью известных операций.

Действительно, так как $\Omega$ рассматривается теперь как функция $a, b, c, \ldots$ и так как эти последние величины сами по себе являются функциями $\alpha, \beta$, $\gamma, \ldots, \lambda, \mu,
u, \ldots$, то согласно алгорифму частных дифферендиалов мы тотчас же получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Omega}{\partial a}=\frac{\partial \Omega}{\partial a} \frac{\partial a}{\partial \alpha}+\frac{\partial \Omega}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial \alpha}+\frac{\partial \Omega}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial \alpha}+\ldots, \\
\frac{\partial \Omega}{\partial \beta}=\frac{\partial \Omega}{\partial a} \frac{d a}{\partial \beta}+\frac{\partial \Omega}{\partial b} \frac{\partial b}{\partial \beta}+\frac{\partial \Omega}{\partial c} \frac{\partial c}{\partial \beta}+\ldots, \\
\cdots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots
\end{array}
\]

и эти значения следует только подставить в выражения для $\frac{d a}{d t}, \frac{d b}{d t}, \ldots$ предыдущего пункта.

Если произвести указанные подстановки и расположить члены по частным дифференциалам $\Omega$, то мы прежде всего увидим, что коәффициент $\frac{\partial \Omega}{\partial a}$ в значении $\frac{d a}{d t}$ равен нулю, что коәффициент $\frac{\partial \Omega}{\partial b}$ в значении $\frac{d b}{d t}$ равен нулю и т. д.

Чтобы выразить $\frac{d a}{d t}$, мы применим формулу
\[
\frac{d a}{d t}=(a, b) \frac{\partial \Omega}{\partial b}+(a, c) \frac{\partial \Omega}{\partial c}+\ldots ;
\]

тогда мы получим
\[
\begin{array}{l}
(a, b)=+\frac{\partial a}{\partial \lambda} \frac{\partial b}{\partial \alpha}+\frac{\partial a}{\partial \mu} \frac{\partial b}{\partial \beta}+\frac{\partial a}{\partial
u} \frac{\partial b}{\partial \gamma}+\ldots- \\
-\frac{\partial a}{\partial \alpha} \frac{\partial b}{\partial \lambda}-\frac{\partial a}{\partial \beta} \frac{\partial b}{\partial \mu}-\frac{\partial a}{\partial \gamma} \frac{\partial b}{\partial
u}-\ldots \\
(a, c)=+\frac{\partial a}{\partial \lambda} \frac{\partial c}{\partial \alpha}+\frac{\partial a}{\partial \mu} \frac{\partial c}{\partial \beta}+\frac{\partial a}{\partial
u} \frac{\partial c}{\partial \gamma}+\ldots- \\
-\frac{\partial a}{\partial \alpha} \frac{\partial c}{\partial \lambda}-\frac{\partial a}{\partial \beta} \frac{\partial c}{\partial \mu}-\frac{\partial a}{\partial \gamma} \frac{\partial c}{\partial
u} \ldots \\
\ldots \ldots
\end{array}
\]

Для того чтобы получить значение $\frac{d b}{d t}$, следует только в приведенных выше формулах поставить $b$ на место $a$ и $a$ на место $b$, приняв при этом во внимание, что $(b, a)=-(a, b)$; таким образом мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{d b}{d t}=-(a, b) \frac{\partial \Omega}{\partial a}+(b, c) \frac{\partial \Omega}{\partial c}+\ldots, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . } \\
(b, c)=\frac{\partial b}{\partial \lambda} \frac{\partial c}{\partial \alpha}+\frac{\partial b}{\partial \mu} \frac{\partial c}{\partial \beta}+\frac{\partial b}{\partial
u} \frac{\partial c}{\partial \gamma}+\ldots- \\
-\frac{\partial b}{\partial \alpha} \frac{\partial c}{\partial \lambda}-\frac{\partial b}{\partial \beta} \frac{\partial c}{\partial \mu}-\frac{\partial b}{\partial \gamma} \frac{\partial c}{\partial
u}-\ldots, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Вообще, если через $k$ обозначить какую-либо из произвольных постоянных $a, b, c, \ldots$ и принять во внимание, что значение символов; выраженных двумя скобками, равно нулю, когда обе буквы, стоящие в скобках, тождественны, и что оно изменяет свой знак, когда порядок букв изменяется, то мы получим следующие общие формулы:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d k}{d t}=(k, a) \frac{\partial \Omega}{\partial a}+(k, b) \frac{\partial \Omega}{\partial b}+(k, c) \frac{\partial \Omega}{\partial c}+\ldots \\
(k, a)=+\frac{\partial k}{\partial \lambda} \frac{\partial a}{\partial \alpha}+\frac{\partial k}{\partial \mu} \frac{\partial a}{\partial \beta}+\frac{\partial k}{\partial
u} \frac{\partial a}{\partial \gamma}+\ldots- \\
-\frac{\partial k}{\partial \alpha} \frac{\partial a}{\partial \lambda}-\frac{\partial k}{\partial \beta} \frac{\partial a}{\partial \mu}-\frac{\partial k}{\partial \gamma} \frac{\partial a}{\partial
u}-\ldots, \\
\ldots . \ldots \ldots
\end{array}
\]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19. Приведенные выше формулы применяются главным образом в теории планет для вычисления их возмущений путем еведения задачи к вариации произвольных постоянных, являющихся элементами первпначального движения. Они особенно полезны для определения тех изменений, которые астрономы называют вековыми, так как они имеют очень длинные периоды и не зависят от тех изменений, которые происходят в первоначальных переменных величинах.

Уравнения п. 18 не содержат в себе никаких иных функций времени, кроме частных дифференциалов функции $\Omega$; поэтому, когда определяют ту часть $A$ функции $\Omega$, которая не зависит от времени $t$ и содержит только произвольные постоянные $a, b, c, \ldots$, путем разложения в ряды или каким-либо иным способом, то достаточно в этих уравнениях поставить $A$ вместо $\Omega$, и тогда мы прямо получим уравнения между величинами $a, b, c, \ldots$, которые стали перемевными, и временем $t$; эти уравнения послужат для определения их вековых изменений, так как они совершенно свободны от всяких синусов и косинусов.