46. Обратимся снова к случаю нерастяжимой нити, но вместо того, чтобы принять ее совершенно гибкой, как мы это делали до сих пор, допустим, что она ушруга – в том смысле, что в каждой точке ее имеется сила, назову ее $E$, которая противодействует изгибанию нити, и қоторая, следовательно, стремится уменьшить угол смежности*). Если мы этот угол на-
*) Принятое Лагранжем выражение дтя исчисления суммы моментов сит упругости неприменимо по отношению $\mathrm{K}$ кривым двойной кривнзны. Это отметил Бине (Binet) в X томе Journal de l’École Polytechnique. См. также мемуар Пуассона, входящий в III том Correspondance sur l’École Polytechnique. Эти геометры правитыно отмечают, уто в выражение суммы зовем $e$, то, как и в пункте 26 (подставив только $\delta$ вместо $d$ ), мы получим для момента каждой силы $E$ выражение $E \delta e ;$ следовательно, $\mathbf{S} E$ фe будет суммой моментов всех сил упругости, действующих на нить по всей ее длине, которую надо будет прибавить $к$ первому члену общего уравнения равновесия, выведенного для случая нерастяжимой и совершенно гибкой нити (п. 29).

Вся трудность задачи заключается в том, чтобы придать интегралу $\mathbf{S} E$ де подходящий вид; для этого следует начать с определения значения $e$. Выше мы нашли (п. 26)
\[
-\cos e=\frac{f^{2}+g^{2}-h^{2}}{2 f g},
\]

откуда следует
\[
\sin ^{2} e=\frac{4 f^{2} g^{2}-\left(f^{2}+g^{2}-h^{2}\right)^{2}}{4 f^{2} g^{2}} .
\]

Для того чтобы эти формулы применить к рассматриваемому случаю, достаточно заметить, что координаты $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, z^{\prime \prime}, x^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}, z^{\prime \prime}$, с помощью которых мы выразили величины $f, g, h$ (п. 12 и 20), здесь превращаются в $x, y, z ; x+d x, y+d y, z+d z ; x+2 d x+d^{2} x$, $y+2 d y+d^{2} y, z+2 d z+d^{2} z$; так что мы имеем
\[
\begin{aligned}
f^{2}= & d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}=d s^{2}, \\
g^{2}= & \left(d x+d^{2} x\right)^{2}+\left(d y+d^{2} y\right)^{2}+\left(d z+d^{2} z\right)^{2}= \\
= & d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}+2\left(d x d^{2} x+d y d^{2} y+d z d^{2} z\right)+ \\
& \quad+\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}= \\
= & d s^{2}+2 d s d^{2} s+\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}, \\
h^{2}= & \left(2 d x+d^{2} x\right)^{2}+\left(2 d y+d^{2} y\right)^{2}+\left(2 d z+d^{2} z\right)^{2}= \\
= & 4 d s^{2}+4 d s d^{2} s+\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2} .
\end{aligned}
\]

моментов следует ввести член, пропорциональный вариации угла между двумя последовательными соприкасающимися шлоскостями, (См. статью в конце настоящего тома.) (Iрим. Бертрана).

Таким образом
\[
f^{2}+g^{2}-h^{2}=-2 d s^{2}-2 d s d^{2} s
\]

и
\[
\begin{array}{l}
4 f^{2} g^{2}-\left(f^{2}+g^{2}-h^{2}\right)^{2}=4 d s^{4}+8 d s^{3} d^{2} s+ \\
+4 d s^{2}\left[\left(d^{2} x\right)^{2}+.\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}\right]-4\left(d s^{2}+d s d^{2} s\right)^{2}= \\
=4 d s^{2}\left[\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}-\left(d^{2} s\right)^{2}\right] .
\end{array}
\]

Если отбросить бесконечно малые третьего порядка, то мы получим
\[
\sin ^{2} e=\frac{\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}-\left(d^{2} s\right)^{2}}{d s^{2}} .
\]

Так как это значение $\sin ^{2} e$ представляет собой бесконечно малую величину второго порядка, то отсюда следует, что $\sin e$, а следовательно, и угол $e$, является бесконечно малой первого порядка, так что
\[
e=\frac{\sqrt{\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}-\left(d^{2} s\right)^{2}}}{d s}
\]

эта формула представляет собою выражение угла смежности любой кривой двойной кривкзны: она находится в соответствии с выражением, приведенным в пункте 41.
47. Продифферендируем теперь $е$ в смысле $\delta$ для того, чтобы получить значение $\delta e$. Так как благодаря условию нерастяжимости нити мы имеем уже $\delta d s=0$ (п. 29), а следовательно, и $d \delta d s=\delta d^{2} s=0$, то при дифферендировании, о котором идет речь, можно $d s$ и $d^{2} s$ рассматривать как постоянные величины. Таким образом мы получим
\[
\delta e=\frac{d^{2} x \delta d^{2} x+d^{2} y \delta d^{2} y+d^{2} z \delta d^{2} z}{d s \sqrt{\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}-\left(d^{2} s\right)^{2}}} .
\]

Подставив это значение в $\mathbf{S} E$ де и положив для краткости
\[
I=\frac{E}{d s \sqrt{\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}-\left(d^{2} s\right)^{2}}},
\]

мы будем иметь
\[
\mathbf{S} E d e=\mathbf{S} I d^{2} x \delta d^{2} x+\mathbf{S} I d^{2} y \delta d^{2} y+\mathbf{S} I d^{2} z \delta d^{2} z .
\]

Если с этими выражениями поступить по правилам, изложенным в п: 15 отд. IV, переменив сначала символ $\delta d$ на $d \delta$ и затем проинтегрировав по частям с тем, чтобы добиться исчезновения символа $d$ перед $\delta$, то мы получим следующие преобразованные выражения:
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S} I d^{2} x \delta d^{2} x= & +I^{\prime \prime} d^{2} x^{\prime \prime} d \delta x^{\prime \prime}-d\left(I^{\prime \prime} d^{2} x^{\prime \prime}\right) \delta x^{\prime \prime}- \\
& -I^{\prime} d^{2} x^{\prime} d \delta x^{\prime}+d\left(I^{\prime} d^{2} x^{\prime}\right) \delta x^{\prime}+\mathbf{S} d^{2}\left(I d^{2} x\right) \delta x, \\
\mathbf{S} I d^{2} y \delta d^{2} y= & +I^{\prime \prime} d^{2} y^{\prime \prime} d \delta y^{\prime \prime}-d\left(I^{\prime \prime} d^{2} y^{\prime \prime}\right) \delta y^{\prime \prime}- \\
& -I^{\prime} d^{2} y^{\prime} d \delta y^{\prime}+d\left(I^{\prime} d^{2} y^{\prime}\right) \delta y^{\prime}+\mathbf{S} d^{2}\left(I d^{2} y\right) \delta y, \\
\mathbf{S} I d^{2} z \delta d^{2} z= & +I^{\prime \prime} d^{2} z^{\prime \prime} d \delta z^{\prime}-d\left(I^{\prime \prime} d^{2} z^{\prime \prime}\right) \delta z^{\prime \prime}- \\
& -I^{\prime} d^{2} z^{\prime} d \delta z^{\prime}+d\left(I^{\prime} d^{2} z^{\prime}\right) \delta z^{\prime}+\mathbf{S} d^{2}\left(I d^{2} z\right) \delta z .
\end{aligned}
\]

Эти различные члены прибавим к членам, образующим первую часть общего уравнения равновесия, указанного в п. 29 , и тогда мы получим уравнение равновесия нерастяжимой и упругой нити.
48. Прежде всего приравняем нулю коэффициенты вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$, находящихся под знаком интеграла $\mathbf{S}$, и получим три следующих неопределенных уравнения
\[
\begin{array}{l}
X d m-d \frac{\lambda d x}{d s}+d^{2}\left(I d^{2} x\right)=0 \\
Y d m-d \frac{\lambda d y}{d s}+d^{2}\left(I d^{2} y\right)=0 \\
Z d m-d \frac{\lambda d z}{d s}+d^{2}\left(I d^{2} z\right)=0
\end{array}
\]

из которых следует исключить неопределенную величину $\lambda$, в результате чего они сведутся к двум уравнениям, которых будет достаточно-для ойределения кривой, образуемой нитью.

Первое интегрирование дает
\[
\begin{array}{l}
\lambda \frac{d x}{d s}-d\left(I d^{2} x\right)=A+\int X d m, \\
\lambda \frac{d y}{d s}-d\left(I d^{2} y\right)=B+\int Y d m, \\
\lambda \frac{d z}{d s}-d\left(I d^{2} z\right)=C+\int Z d m,
\end{array}
\]

где $A, B, C$ – произвольные постоянные; исключив $\lambda$, мы получим
\[
\begin{aligned}
d x d\left(I d^{2} y\right)-d y d & \left(I d^{2} x\right)= \\
= & \left(A+\int X d m\right) d y-\left(B+\int Y d m\right) d x, \\
d x d\left(I d^{2} z\right)-d z d & \left(I d^{2} x\right)= \\
= & \left(A+\int X d m\right) d z-\left(C+\int Z d m\right) d x, \\
d y d\left(I d^{2} z\right)-d z d & \left(I d^{2} y\right)= \\
= & \left(B+\int Y d m\right) d z-\left(C+\int Z d m\right) d y ;
\end{aligned}
\]

последнее из этих уравнений содержится уже в первых двух. Эти уравнения могут быть снова проинтегрированы, после чего получится
\[
\begin{array}{r}
I\left(d x d^{2} y-d y d^{2} x\right)= \\
=F+\int\left(A+\int X d m\right) d y-\int\left(B+\int Y d m\right) d x, \\
I\left(d x d^{2} z-d z d^{2} x\right)= \\
=G+\int\left(A+\int X d m\right) d z+\int\left(C+\int Z d m\right) d x, \\
I\left(d y d^{2} z-d z d^{2} y\right)= \\
=H+\int\left(B+\int Y d m\right) d z-\int\left(C+\int Z d m\right) d y,
\end{array}
\]

де $F, G, H$ – новые постоянные величины.

Но выше (п. 47) мы положили
\[
I=\frac{E}{d s \sqrt{\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}-\left(d^{2} s\right)^{2}}} ;
\]

квадрат знаменателя этого выражения равен
\[
\begin{array}{l}
d s^{2}\left[\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}\right]-d s^{2}\left(d^{2} s\right)^{2}= \\
=\left(d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}\right)\left[\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}\right]- \\
-\left(d x d^{2} x+d y d^{2} y+d z d^{2} z\right)^{2}=\left(d x d^{2} y-d y^{2} x\right)^{2}+ \\
+\left(d x d^{2} z-d z d^{2} x\right)^{2}+\left(d y d^{2} z-d z d^{2} y\right)^{2} .
\end{array}
\]

Следовательно, если мы сложим квадраты трех приведенных выше уравненпй, то мы получим следующее уравнение, в которое уже не входят дифференциалы:
\[
\begin{aligned}
E^{2}= & {\left[F+\int\left(A+\int X d m\right) d y-\int\left(B+\int Y d m\right) d x\right]^{2}+} \\
& +\left[G+\int\left(A+\int X d m\right) d z-\int\left(C+\int Z d m\right) d x\right]^{2}+ \\
& +\left[H+\int\left(B+\int Y d m\right) d z-\int\left(C+\int Z d m\right) d x\right]^{2}
\end{aligned}
\]

а если два из числа тех же уравнений разделить одно на другое, то мы получим следующее уравнение, в которое уже не входит упругость:
\[
\frac{d x d^{2} z-d z d^{2} x}{d x d^{2} y-d y d^{2} x}=\frac{G+\int\left(A+\int X d m\right) d z-\int\left(C+\int Z d m\right) d x}{F+\int\left(A+\int X d m\right) d y-\int\left(B+\int Y d m\right) d x} .
\]

Эти два уравнения и дают возможность наиболее просто определить упругую кривую, принимая при этом во внимание двойную кривизну.
49. Обычно принимают, что упругая сила, противодействующая изгибанию, обратно пропорциональна радиусу крівизны. Следовательно, если этот радиус назвать р, то мы будем иметь $E=\frac{K}{\rho}$, где $K-$ постоянный коэффициент.

Но, как известно, $\mathrm{p}=\frac{d s}{e} ;$ следовательно, $E=\frac{K e}{d s}$, и величина $I$, которую мы положили равной $\frac{E}{e d s^{2}}$ (п.47), оказывается равной $\frac{K}{d s^{3}}$; таким образом она становится постоянной величиной, если мы предположим, а это вполне допустимо, что $d s$ является величиной постоянной.

Таким образом первые три уравнения (п. 48) получат следующий вид:
\[
\begin{array}{c}
X d m-d \frac{\lambda d x}{d s}+K \frac{d^{4} x}{d s^{\mathbf{s}}}=0, \quad Y d m-d \frac{\lambda d y}{d s}+K \frac{d^{4} y}{d s^{\mathbf{z}}}=0, \\
Z d m-d \frac{\lambda d z}{d s}+K \frac{d^{\mathbf{4} z}}{d s^{3}}=0 .
\end{array}
\]

Если все эти трл уравнения сложить, помножив предварительно первое на $\frac{d x}{d s}$, второе на $\frac{d y}{d s}$ и третье на $\frac{d z}{d s}$, то в силу соотношения
\[
\frac{d x}{d s} d \frac{d x}{d s}+\frac{d y}{d s} d \frac{d y}{d s}+\frac{d z}{d s} d \frac{d z}{d s}=\frac{1}{2} d\left(\frac{d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}}{d s^{2}}\right)=0,
\]

мы получим следующее уравнение:
\[
(X d x+Y d y+Z d z) \frac{d m}{d s}+K \frac{d x d^{4} x+d y d^{4} y+d z d^{4} z}{d s^{4}}=d \lambda .
\]

Пусть $\Gamma$ – плотность нити; тогда $d m=\Gamma d s$. Если приведенное выше уравнение проинтегрировать, допустив, что $d s$ – постоянная величина, то опо даст
\[
\begin{aligned}
\lambda & =\int \Gamma(X d x+Y d y+Z d z)+ \\
& +K\left[\frac{d x d^{8} x+d y d^{3} y+d z d^{3} z}{d s^{4}}-\frac{\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}}{2 d s^{4}}\right] .
\end{aligned}
\]

Это значение $\lambda$ выражает натяжение упругой пластинки, т. е. сопротивление, оказываемое ею силе, стремящейся ее удлинить аналогично тому, как это было в п. 31.
14 ж. Лагранж, т. I

50. Наиболес простым и обычным является тот случай, гогда силы $X, Y, Z$, которые согласно допущению действуют на все точки упругой пластинки, равны нулю и когда кривизна пластинки получается исключительно в результате действия сил, приложенных к обоим ее концам. В этом случае интегральные формулы, приведенные в п. 48, при замене $I$ его значением $\frac{K}{d s^{3}}$ дают
\[
\begin{array}{l}
K \frac{d x d^{2} y-d y d^{2} x}{d s^{3}}=F+A y-B x, \\
K \frac{d x d^{2} z-d z d^{2} x}{d s^{3}}=G+A z-C x, \\
K \frac{d y d^{2} z-d z d^{2} y}{d s^{3}}=H+B z-C y ;
\end{array}
\]

однако дальнейшее интегрирование этих уравнений в общем слутае, быть может, и неосуществимо*). Если искривление пластинки производится лишь в одной плоскости, то, приняв эту плоскость в качестве плоскости $x$ и $y$ и положив $d y=d s \sin \varphi$ и $d x=d s \cos \varphi$, мы можем привести первое уравнение, которое в этом случае является единственно необходимым, к следующему виду:
\[
\frac{d \varphi}{d s}=F+A \int \sin \varphi d s-B \int \cos \varphi d s ;
\]

это уравнение после дифференцирования дает
\[
\frac{d^{2} \varphi}{d s^{2}}=A \sin \varphi–B \cos \varphi ;
\]

если последнее умножить на $d \varphi$ и проинтегрировать,
*) Это пнтегрирование было выполнено Бии, который исследовал даже уравнения более общего вида; к последним он пришел, восполнив в общей сумме моментов сил упругости член, пропорциональный вариации угла между двумя последовательными соприкасающимися плоскостями (Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 1844, 1 re Semèstre, p. 1115). (I рим. Бермрана.)

то мы получим
\[
\frac{1}{2} \frac{d \varphi^{2}}{d s^{2}}=A \cos \varphi+B \sin \varphi+D .
\]

откуда
\[
d s=\frac{d \varphi}{\sqrt{2 D+2 A \cos \varphi+2 B \sin \varphi}}
\]

и, следовательно,
\[
d x=\frac{\cos \varphi d \varphi}{\sqrt{2 \bar{D}+2 A \cos \varphi+2 B \sin \varphi}} ;
\]

а так как из первого уравнения мы имеем $F+A y-$ – $B x=\frac{d \varphi}{d s}$, то получается
\[
y=\frac{B x-F}{A}=\frac{1}{A} \sqrt{2 D+2 A \cos \varphi+2 B \sin \varphi} .
\]

Таким образом теперь все сводится к тому, чтобы проинтегрировать выражения для $d s$ и $d x$. Однако эти интегрирования связаны со спрямлением конических сечений. Повидимому, с решением общей проблемы упругой кривой мы до сих пор дальше не продвинулись.
51. Рассмотрим теперь члены общего уравнения, стоящие вне знака $\mathbf{S}$. Члены эти следующие:
\[
\begin{aligned}
{\left[\lambda^{\prime \prime} \frac{d x^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}-\right.} & \left.d\left(I^{\prime \prime} d^{2} x^{\prime \prime}\right)\right] \delta x^{\prime \prime}+I^{\prime \prime} d^{2} x^{\prime \prime} d \delta x^{\prime \prime}+ \\
& +\left[\lambda^{\prime \prime} \frac{d y^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}-d\left(I^{\prime \prime} d^{2} y^{\prime \prime}\right)\right] \delta y^{\prime \prime}+I^{\prime \prime} d^{2} y^{\prime \prime} d \delta y^{\prime \prime}+ \\
& +\left[\lambda^{\prime \prime} \frac{d z^{\prime \prime}}{d s^{\prime \prime}}-d\left(I^{\prime \prime} d^{2} z^{\prime \prime}\right)\right] \delta z^{\prime \prime}+I^{\prime \prime} d^{2} z^{\prime \prime} d \delta z^{\prime \prime}- \\
& -\left[\lambda^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d s^{\prime}}-d\left(I^{\prime} d^{2} x^{\prime}\right)\right] \delta x^{\prime}+I^{\prime} d^{2} x^{\prime} d \delta x^{\prime}- \\
& -\left[\lambda^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d s^{\prime}}-d\left(I^{\prime} d^{2} y\right)\right] \delta y^{\prime}-I^{\prime} d^{2} y^{\prime} d \delta y^{\prime}- \\
& -\left[\lambda^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d z^{\prime}}-d\left(I^{\prime} d^{2} z^{\prime}\right)\right] \delta z^{\prime}-I^{\prime} d^{2} z^{\prime} d \delta z^{\prime}
\end{aligned}
\]

исчезновения этих членов следует добиться независимо от значений $\delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}, d \delta x^{\prime \prime}, \ldots$

Следовательно: 1) если нить совершенно свободна, то коәффициенты двенадцати величин $\delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}, d \delta x^{\prime \prime}$, $d \delta y^{\prime \prime}, d \delta z^{\prime \prime}, \delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}, d \delta x^{\prime}, d \delta y^{\prime}, d \delta z^{\prime}$ должны порознь равняться нулю.

Но из первых интегральных формул п. 48 видно, что если интегрирование начать с первой точки нити, то коэффициенты при $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$ принимают значения $A, B, C$, а коэффициенты при $\delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}$ получают следующий вид:
\[
A+\mathbf{S} X d m, B+\mathbf{S} Y d m, C+\mathbf{S} Z d m .
\]

Таким образом в рассматриваемом случае мы должны иметь
\[
A=0, \quad B=0, \quad C=0
\]

и
\[
\mathbf{S} X d m=0, \quad \mathbf{S} Y d m=0, \quad \mathbf{S} Z d m=0 .
\]

Далее, мы должны также иметь
\[
\begin{aligned}
I^{\prime \prime} d^{2} x^{\prime \prime}=0, & I^{\prime \prime} d^{2} y^{\prime \prime}=0, & I^{\prime \prime} d^{2} z^{\prime \prime}=0 \\
I^{\prime} d^{2} x^{\prime}=0, & I^{\prime} d^{2} y^{\prime}=0, & I^{\prime} d^{2} z^{\prime}=0 ;
\end{aligned}
\]

последнее должно иметь место для того, чтобы исчезали члены, связанные с $d \delta x^{\prime \prime}, d \delta y^{\prime \prime}, \ldots$; отсюда ясно, что вторые интегральные уравнения того же пункта дадут
\[
F=0, \quad G=0, \quad H=0
\]

и
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}\left(d y \int X d m-d x \int Y d m\right)=0, \\
\mathbf{S}\left(d z \int X d m-d x \int Z d m\right)=0, \\
\mathbf{S}\left(d z \int Y d m-d y \int Z d m\right)=0 .
\end{array}
\]

2) Если первый конец нити закреплен, то
\[
\delta x^{\prime}=0, \quad \delta y^{\prime}=0, \quad \delta z^{\prime}=0 ;
\]

следовательно, $A, B, C$ уже не будут равны нулю; но условие, что коэффициенты $\delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}$ должны равняться нулю, дает
\[
A=-\mathbf{S} X d m, \quad B=-\mathbf{S} Y d m, \quad C=-\mathbf{S} Z d m ;
\]

а если сверх того дано и положение касательной в этом первом конце нити, то мы также имеем
\[
d \delta x^{\prime}=0, \quad d \delta y^{\prime}=0, \quad d \delta z^{\prime}=0 ;
\]

следовательно, $F, G, H$ уже не будут нулями; однако условие, что коэффициенты $d \delta x^{\prime \prime}, d \delta y^{\prime \prime}, d \delta z^{\prime \prime}$ должны равняться нулю, приводит нас к следующим соотношениям:
\[
\begin{aligned}
F & =\mathbf{S}\left[\left(B+\int Y d m\right) d x-\left(A+\int X d m\right) d y\right] \\
G & =\mathbf{S}\left[\left(C+\int Z d m\right) d x-\left(A+\int X \dot{a} m\right) d z\right] \\
H & =\mathbf{S}\left[\left(C+\int Z d m\right) d y-\left(B+\int Y d m\right) d z\right]
\end{aligned}
\]

Совершенно таким же образом следует учитывать состояние второго конца нити.
3) Если бы помимо сил, действующих на все точки нити, существовали еще особые силы $X^{\prime}, Y^{\prime}, Z^{\prime}, X^{\prime \prime}$, $Y^{\prime \prime}, Z^{\prime \prime}$, приложенные к одному и к другому концам нити, то к приведенным выше членам следовало бы только прибавить следующие:
\[
X^{\prime} \delta x^{\prime}+Y^{\prime} \delta y^{\prime}+Z^{\prime} \delta z^{\prime}+X^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}+Y^{\prime \prime} \delta y^{\prime \prime}+Z^{\prime \prime} \delta z^{\prime \prime},
\]

а если бы сверх того имелись еще и другие условия, касающиеся концов нити, то и дальше следовало бы всегда поступать точно таким же образом и согласно тем же правилам.
52. Если бы мы пожелали, чтобы нить была упруга в двух отношениях, как в смысле растяжимости, так и в смысле гибкости, то нам следовало бы в общем уравнении вместо члена $\mathbf{S} \lambda d \delta s$ иметь член $\mathbf{S} F d \delta$, т. е. просто вместо $\lambda$ поставить $F$, понимая под $F$ силу упругости, противодействующую растяжению нити (п. 42). Однако в этом случае следует сверх того в выражении для $\delta e$ рассматривать $d s$ как величину переменную; следовательно, к значению $\delta e$, приведенному в п. 47, надо еще прибавить два сле: дующих члена:
\[
-\frac{e \delta d s}{d s}-\frac{d^{2} s \delta d^{2} s}{e d s^{2}} .
\]

Тогда к значению $\mathbb{S} E \delta$, указанному в том же пункте, прибавится
\[
-\mathbf{S} \frac{E e}{d s} \delta d s-\mathbf{S} \frac{E d^{2} s}{e d s^{2}} \delta d^{2} s .
\]

Но последниіі член сначала приводится к следующему виду:
\[
-\frac{E^{\prime \prime} d^{2} s^{\prime \prime}}{e^{n} d s^{\prime 2}} d \delta s^{\prime \prime}+\frac{E^{\prime} d^{2} s^{\prime}}{e^{\prime} d s^{2}} d \delta s^{\prime}+\mathbf{S} d \frac{E d^{2} s}{e d s^{2}} \delta d s ;
\]

таким образом к значению $\mathbf{S} E$ фe следует прибавить члены
\[
-\frac{E^{\prime \prime} d^{2} s^{\prime \prime}}{e^{\prime \prime} d s^{\prime 2}} d \delta s^{\prime \prime}+\frac{E^{\prime} d^{2} s^{\prime}}{e^{\prime} d s^{\prime 2}} d \delta s^{\prime}+\mathbf{S}\left(d \frac{E d^{2} s}{e d s^{2}}-\frac{E e}{d s}\right) \delta d s .
\]

Последний член этого выражения аналогичен члену $\mathbf{S} F \delta d s$ и поэтому может быть так же преобразован; что касается двух других членов, то в них следует только вместо $d \delta s$ подставить его значение $\frac{d x d \delta x+d y d \delta y+d z d \delta z}{d s}$, снабдив все буквы одним или двумя штрихами,

Отсюда легко заключить, что для решения настоящей задачи мы имеем те же формулы, что и для случая, когда мы допускаем, что упругая нить нерастяжима. В этих формулах следует лишь вместо $\lambda$ поставить $F+d \frac{E d^{2} s}{e d s^{2}}-\frac{E e}{d s}$, и к членам, чтоящим вне знака $\mathbf{S}$, прибавить два члена $\frac{E^{\prime} d^{2} s^{\prime}}{e^{\prime} d s^{\prime 2}} d \delta s^{\prime}-\frac{E^{\prime \prime} d^{2} s^{\prime \prime}}{e^{\prime \prime} d s^{\prime 2}} d \delta s^{\prime \prime}$.

Так как в уравнении кривой величина $\lambda$ должна быть исключена, то отсюда следует, что уравнение упругой пластинки будет одним и тем же, независимо от того, примем ли мы, что она растяжима или же нет. Но натяжение нити, выражающееся с помощью $\lambda$ или с помощью $F$, ногда пить неупруга (п. 43), увеличится благодаря упругости на величину
\[
d \frac{E \rho d^{2} s}{d s^{3}}-\frac{E}{\rho}, \text { так как } e=\frac{d s}{\rho}(\text { п. } 49) .
\]