14. Когда тела, образующие рассматриваемую систему, расположены одно по отношению к другому каким-либо однообразным и правильным образом, вычисления можно упростить и можно приттк к общим и симметричным формулам, применяя обозначения и алгоритм конечных разностей. Мы приведем пример этого, рассмотрев случай, когда произвольное число тел, расположенных на прямой или кривой линии, колеблется под влиянием каких-либо сил и взаимодействий тел.

Пусть $x, y, z$ – прямоугольные координаты одного какого-либо из тел системы, которое мы обозначим через $D m$, причем мы применим прописную букву $D$ для обозначения конечных разностей (I. 17 отд. IV). Мы имеем прежде всего
\[
T=\frac{1}{2} \mathbf{S}\left(\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}\right) D m,
\]

где символ $\mathbf{S}$ выражает сумму, относящуюся ко всей системе.

Функция $V$ должна содержать сумму SП $D m$, происходящую от ускоряющих сил, $P, Q, R, \ldots$, если допустить, что эти силы таковы, что мы имеем
\[
\Pi=\int(P d p+Q d q+P d r+\ldots) .
\]

Указанная функция должна содержать и сумму $\mathbf{S} \int \Phi d D s$, если допустить, что $\Phi$ представляет собою силу, с которой два соседних тела, находящихся на расстоянии $D s$, взаимно притягиваются, и что эта сила является функцией того же расстояния $D s$, так что $\int \Phi d D s$ является интегрируемой величиной, дифференциал которой в смысле $\delta$ равен $Ф \delta D s$. Указанная сила $\Phi$, которую мы рассматриваем как функцию $D s$, может таким образом изменяться от одного тела к другому и, следовательно, она будет также функцией числа или величины, выражающей место каждого тела в ряду всех тел и к которой относится знак суммирования $\mathbf{S}$. В том случае, когда тела вместо взаимного притяжения взаимно отталкиваются, функцию $\Phi$ следует взять отрицательной.
Таким образом мы будем иметь
\[
V=\mathbf{S} \Pi D m+\mathbf{S} \int \Phi d D s
\]

и, следовательно,
\[
\delta V=\mathbf{S} \delta \Pi D m+\mathbf{S} \Phi \delta D s .
\]

Следует отметить, что приведенное выражение $\delta V$ остается в силе и в том случае, когда тела связаны между собою таким образом, что их взаимные расстояния остаются неизменными; в самом деле, в этом случае мы будем иметь условное уравнение $\delta D s=0$, которое даст в выражении $\delta V$ член $\mathbf{S} \lambda \delta D s$ (упомянутый выше пункт).
15. Если әлемент $D s$ выразить с помощью конечных разностей $x, y, z$, то ясно, что мы будем иметь
\[
D s=\sqrt{D x^{2}+D y^{2}+D z^{2}},
\]

и, следовательно, дифферендируя в смысле $\delta$.
\[
\delta D s=\frac{D x \delta D x+D y \delta D y+D z \delta D z}{D s} .
\]

Если подставить это значение и для краткости ввести обозначение $\frac{\Phi}{D s}=\Psi$ (функция $D s$ ), то мы получим
\[
\delta V=\mathbf{S} \delta \Pi D m+\mathbf{S} \Psi(D x \delta D x+D y \delta D y+D z \delta D z) .
\]

Так как символы $D$ и $\delta$ не зависят друг от друга, можно $\delta D$ заменить символом $D \delta$, и тогда мы получим
\[
\delta V=\mathbf{S} \delta \Pi D m+\mathbf{S} \Psi(D x D \delta \dot{x}+D y D \delta y+D z D \delta z) .
\]

Путем интегрирования по частям, примененного к конечным разностям, можно также добиться того, чтобы $D$ перед $\delta$ исчезло.
16. Действительно, мы имеем вообще
\[
\begin{array}{l}
D x y=x D y+y D x+D x D y= \\
\quad=(x+D x) D y+y D x=x, D y+y D x,
\end{array}
\]

если $x$, означает тот член, который следует за $x$ в последовательном ряду членов $x, x+D x, \ldots$ Следовательно, если от разностей перейти к суммам, то мы получим
\[
\mathbf{S} y D x=x y-\mathbf{S} x, D y .
\]

Аналогичным путем мы найдем
\[
\mathbf{S} y D^{2} x=y D x-x, D^{2} y+\mathbf{S} x_{,,} D^{2} y
\]

и так далее, где $x, x_{1}, x_{t}, \ldots$ представляют собою члены, следующие друг за другом в том же ряду.

Для того чтобы выполнить эти суммирования, следует члены, стоящие вне знака $\mathbf{S}$, отнести к последнему члену конечной суммы $\mathbf{S} y D x$ и вычесть те же члены, относящиеся к первому члену. Если знаками нуль и $i$, помещенными внизу букв, обозначить члены, относящиеся к первой и последней точкам, то мы получим нижеследующие формулы полного суммирования:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} y D x=x_{i} y_{i}-x_{0} y_{0}-\mathbf{S} x, D y \text {, } \\
\mathbf{S} y D^{2} x=y_{i} D x_{i}-x_{i+1} D y_{i}-y_{0} D x_{0}+x, D y_{0}+\mathbf{S} x_{, 1} D y \text {, } \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Поскольку символ $\mathbf{S}$ означает полные суммы заданного числа членов, ясно, что вместо членов $x, D y$, $x, D y, \ldots$ под знаком $\mathbf{S}$ можно взять предыдущие члены, которые мы обозначим через $x D, y, x D, y, \ldots$, указывая одним, двумя и т. д. поставленными слева штрихами члены $, y, t y$, предшествующие $y$ в бесконечном ряде $\ldots, y, y, y, y, y,, \ldots$
17. Исходя из изложенного выше, поставим в предыдущих формулах $\delta x$ вместо $x$ и $\Psi D x$ вместо $y$; тогда мы получим следующие преобразования:
\[
\mathbf{S} \Psi D x D \delta x=(\Psi D x \delta x)_{i}-(\Psi \dot{D} x \delta x)_{0}-\mathbf{S} \delta x D,(\Psi D x)
\]

и точно так же
$\mathbf{S} \Psi D y D \delta y=(\Psi D y \delta y)_{i}-(\Psi D y \delta y)_{0}-\mathbf{S} \delta y D,(\Psi D y)$,
$\mathbf{S} \Psi D z D \delta z=(\Psi D z \delta z)_{i}-(\Psi D z \delta z)_{0}-\mathbf{S} \delta z D,(\Psi D z) ;$
соответствующие подстановки следует произвести в выражении для $\delta V$.

Если первое тело и последнее приняты неподвижными, то вариации $\delta x_{0}, \delta y_{0}, \delta z_{0}$ и $\delta x_{i}, \delta y_{i}, \delta z_{i}$, относящиеся к обоим этим телам, равны нулю. Мы сначала примем это допущение, упрощающее формулы, и вследствие этого тогда получим
\[
\begin{array}{l}
\delta V=\mathbf{S} \delta \Pi D m-\mathbf{S} \delta x D_{1}(\Psi D x)- \\
-\mathbf{S} \delta y D_{i}(\Psi D y)-\mathbf{S} d z D_{1}(\Psi D z) .
\end{array}
\]

Вообще же, так как вариации должны исчезать всегда, то если первое тело или последнее, или же оба они неподвижны, следует значение $\Psi$ в начале или в конце принять равным нулю. Таким образом, в силу того, что $\Psi=\frac{\Phi}{D s}$, следует выполнить условие $\Phi_{0}=0$ или $\Phi_{i}=0$, если первое или последнее тело не остается неподвижным; а если бы оба тела двигались, то мы имели бы оба условия $\Phi_{0}=0$ и $\Phi_{i}=0$.
18. После того как вариация $\delta V$ была приведена к указанному простому виду, общие уравнения отд. IV (II. 10), отнесенные к переменным $x, y, z$ каждого из тел системы, дают для әтих переменных следующие три уравнения, в которых я снова ставлю Ф вместо $\Psi D s$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2} x}{d t^{2}} D m+\frac{\delta \Pi}{\delta x} D m-D,\left(\frac{\Phi D x}{D s}\right)=0, \\
\frac{d^{2} y}{d t^{2}} D m+\frac{\delta \Pi}{\delta y} D m-D,\left(\frac{\Phi D y}{D s}\right)=0, \\
\frac{d^{2} z}{d t^{2}} D m+\frac{\delta \Pi}{\delta z} D m-D,\left(\frac{\Phi D z}{D s}\right)=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения являются совершенно точными, каково бы ни было движение тел; однако в том случае, когда эти движения очень малы, указанные уравнения упрощаются и становятся линейными, как мы это видели выше (§ I).
19. Предположим, что в состоянии равновесия системы координаты $x, y, z$ принимают значения $a$, $b, c$ и тто при движении әти координаты равны $a+\xi$, $b+\eta, c+\zeta$, где величины $\xi$, $\eta$, $\zeta$ очень малы. Функдия П превращается в $\Pi+\frac{\partial \Pi}{\partial a} \xi+\frac{\partial \Pi}{\partial b} \eta+\frac{\partial \Pi}{\partial c} \zeta$. Таким образом, если в дальнейшем П рассматривать как функцию только $a, b, c$, то три частных производных $\frac{\delta \Pi}{\delta x}, \frac{\delta \Pi}{\delta y}, \frac{\delta \Pi}{\delta z}$ могут быть выражены следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Pi}{\partial a}+\left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a^{2}} \xi+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial b} \eta+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial c} \zeta\right), \\
\frac{\partial \Pi}{\partial b}+\left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial b} \xi+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b^{2}} \eta+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b \partial c} \zeta\right), \\
\frac{\partial \Pi}{\partial c}+\left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial c} \xi+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b \partial c} \eta+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial c^{2}} \zeta\right) .
\end{array}
\]

После выполнения таких же подстановок $a+\xi, b+\eta$, $c+\zeta$ вместо $x, y, z$ разности $D x, D y, D z$ перейдут в
\[
D a+D \xi, \quad D b+D \eta, \quad D c+D \zeta .
\]

Что касается величины $\Phi$, которая согласно допущению является функцией $D s$, то, если положить для краткости
\[
D f=\sqrt{D a^{2}+D b^{2}+D c^{2}},
\]

мы получим сначала
\[
D s=D f+\frac{D a}{\bar{D} f} D \xi+\frac{D b}{\overline{D f}} D \eta+\frac{D c}{\bar{D} f} D \zeta ;
\]

затем, если через $F$ обозначить то значение, которое принимает функция $\Phi$, когда $D s$ мы заменяем выражением $D f$, и положить $\frac{d F}{d D f}=\frac{F^{\prime}}{D f}$, то с помощью разложения мы получим
\[
\Phi=F+F^{\prime}\left(\frac{D a}{\bar{D} f} \frac{D \xi}{D f}+\frac{D b}{D f} \frac{D \eta}{D f}+\frac{D c}{D f} \frac{D \zeta}{\overline{D f}}\right)
\]

и, следовательно,
\[
\frac{\Phi}{D s}=\frac{F}{D f}+\frac{F^{\prime}-F}{D f}\left(\frac{D a}{D f} \frac{D \xi}{D f}+\frac{D b}{D f} \frac{D \eta}{D f}+\frac{D c}{D f} \frac{D \zeta}{D f}\right) .
\]
20. Указанные подстановки произведем в трех найденных выше уравнениях; так как в состоянии равновесия переменные $\xi, \eta, \zeta$ согласно допущению равны нулю, то эти уравнения должны удовлетворяться при этом допущении; таким образом постоянные члены должны уничтожиться, в результате тего мы сначала получим три условных уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \Pi}{\partial a} D m-D_{1}\left(F \frac{D a}{D f}\right)=0 \\
\frac{\partial \Pi}{\partial b} D m-D_{\prime}\left(F \frac{D b}{D f}\right)=0 \\
\frac{\partial \Pi}{\partial c} D m-D_{r}\left(F \frac{D c}{D f}\right)=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения дают значения, которые должны иметь коэффициенты $a, b, c$ в положении равновесия; легко видеть, что они представляют в общем виде те уравнения, которые мы нащли в отд. V «Статики» для равновесия нескольких тел, соединенных между собою растяжимой или нерастяжимой нитью.
21. Затем, если для краткости положить
\[
\begin{array}{c}
G=F-F^{\prime}, \\
a^{\prime}=\frac{D a}{D f}, \quad b^{\prime}=\frac{D b}{D f}, \quad c^{\prime}=\frac{D_{c}}{D f},
\end{array}
\]

мы получим три следующих уравнения между переменными $\xi, \eta, \zeta$ и $t$ :
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2 \xi}}{d t^{2}} D m+\left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a^{2}} \xi+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial b} \eta+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial c} \zeta\right) D m- \\
-D,\left[F \frac{D \xi}{D f}-G a^{\prime}\left(a^{\prime} \frac{D \xi}{D f}+b^{\prime} \frac{D_{\eta}}{D f}+c^{\prime} \frac{D \zeta}{D f}\right)\right]=0 \\
\frac{d^{2} \eta}{d t^{2}} D m+\left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial b} \xi+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b^{2}} \gamma_{i}+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b} \frac{\partial c}{\partial}\right) D m- \\
-D_{r}\left[F \frac{D_{\eta}}{D f}-G b^{\prime}\left(a^{\prime} \frac{D \xi}{D f}+b^{\prime} \frac{D \eta}{D f}+c^{\prime} \frac{D \zeta}{D f}\right)\right]=0 \\
\frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}} D m+\left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial c}+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b \partial c} \eta+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial c^{2}} \zeta\right) D m- \\
-D,\left[F \frac{D \zeta}{D f}-G c^{\prime}\left(a^{\prime} \frac{D \xi}{D f}+b^{\prime} \frac{D \eta}{D f}+c^{\prime} \frac{D \zeta}{D f}\right)\right]=0 .
\end{array}
\]

Таковы уравнения, служащие для определения колебаний системы, относительно которых мы допускаем, что они очень малы; они относятся к тому виду уравнений, которые называют уравнениями в конечных а бесконечно малых разностлх, и так как они имеют постоянные коəффициенты, то к ним можно применить общий метод, изложенный в предыдущем параграфе.
22. Уравнения пункта 20, содержащие условия равновесия, после перехода от разностей к.
суммам дают
\[
\begin{array}{l}
F \frac{D a}{D f}=\mathbf{S} \frac{\partial \Pi}{\partial a} D m+A, \\
F \frac{D b}{D f}=\mathbf{S} \frac{b \Pi}{\partial b} D m+B, \\
F \frac{D c}{D f}=\mathbf{S} \frac{\partial \Pi}{\partial c} D m+C,
\end{array}
\]

где $A, B, C$ являются произвольными постоянными; из них тотчас же получается
\[
F=\sqrt{\left(\mathbf{S} \frac{\partial \Pi}{\partial a} D m+A\right)^{2}+\left(\mathbf{S} \frac{\partial \Pi}{\partial b} D m+B\right)^{2}+\left(\mathbf{S}_{\frac{\partial \Pi}{\partial c}} D m+C\right)^{2}} .
\]

В том случае, когда $F$ является заданной функцией $D f$, что бывает, когда мы допускаем, что тела взаимно притягиваются или отталкиваются с силой $\Phi$, являющейся функцией их взаимных расстояний $D s$, приведенное значение $F$ дает значение $D f$, которое должно иметь место в состоянии равновесия.

Но в том случае, когда расстояния $D s$ мы рассматриваем как заданные и неизменные, величина $\Phi$, занимающая место множителя $\lambda$ (п. 14), неизвестна, и ее следует определить с помощью приведенной выше формулы; но в данном случае мы имеем
\[
D s=D f
\]

п, следовательно (п. 19),
\[
\frac{D a}{D f} D \xi+\frac{D b}{\bar{D} f} D \eta+\frac{D c}{D f} D \zeta=0,
\]

что упрощает уравнения предыдущего пункта.
23. Идея метода, изложенного в п. 4 , заключается в следующем: мы допускаем, что каждая переменная может быть выражена с помощью одной и той же функции $t$, помноженной на не которую величину, различную для каждой переменной.

Если эту фун кцию обозначить через $\theta$, то мы бу дем иметь
\[
\xi=\theta X, \quad \eta=\theta Y, \quad \zeta=\theta Z ;
\]

подставив эти значения в уравнения п. 21, мы легко увидим, что для удовлетворения этих уравнений необходимо, чтобы переменная $\theta$ была определена с помощью уравнения следующего вида:
\[
\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}+k \theta=0
\]

в самом деле, подставив тогда вместо $\frac{d^{2} \theta}{d t^{2}}$ его значение
– $k \theta$ и разделив все члены на $\theta$, мы получим три следующих уравнения в конечных разностях:
\[
\begin{aligned}
k X D m= & \left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a^{2}} X+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial b} Y+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial c} Z\right) D m- \\
& -D,\left[F \frac{D X}{D f}-G a^{\prime}\left(a^{\prime} \frac{D X}{D f}+b^{\prime} \frac{D Y}{D f}+c^{\prime} \frac{D Z}{D f}\right)\right] \\
k Y D m= & \left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial b} X+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b^{2}} Y+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b \partial c} Z\right) D m- \\
& -D,\left[F \frac{D Y}{D f}-G b^{\prime}\left(a^{\prime} \frac{D X}{D f}+b^{\prime} \frac{D Y}{D f}+c^{\prime} \frac{D Z}{D f}\right)\right], \\
k Z D m= & \left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b \partial c} X+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b \partial c} Y+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial c^{2}} Z\right) D m- \\
& -D,\left[\dot{F} \frac{D Z}{D f}-G c^{\prime}\left(a^{\prime} \frac{D X}{D f}+b^{\prime} \frac{D Y}{D f}+c^{\prime} \frac{D Z}{D f}\right)\right] .
\end{aligned}
\]
24. Уравнение относительно $\theta$ легко интегрируется; оно дает
\[
\theta=E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon),
\]

где $E$ и $\varepsilon$ – две произвольные постоянные.
Что касается уравнений относительно $X, Y, Z$, то они, вообще говоря, поддаются интегрированию в конечных выражениях с помощью известных методов только тогда, когда они-с постоянными коәффициентами; но если разложить конечные разности, обозначенные символом $D$, то они принимают следующий вид (п. 16):
\[
\begin{aligned}
A X_{k}+B Y,+C Z,+A^{\prime} X & +B^{\prime} Y+C^{\prime} Z+ \\
& +A^{\prime \prime}, X+B^{\prime \prime} Y+C^{\prime \prime} Z=0
\end{aligned}
\]

коэффициенты $A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime}, \ldots$ являются постоянными или переменными, но независимыми от $t$, а величина $k$ входит только в значения $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ и притом только в первой степени.

Если обозна чить через $X_{0}, X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots$ последовательные значения $X$, начиная с первого, соответствующего первому телу системы, и точно так же через $Y_{0}, Y_{1}, Y_{2}, Y_{3}, \ldots, Z_{0}, Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}, \ldots$ соответствуюцие им последовательные значения $Y$ и $Z$ и затем эти значения подставить в три уравнения, приведенных к указанному выше виду, то легко видеть, что первые три уравнения дадут значения $X_{2}, Y_{2}, Z_{2}$ в линейных функциях $X_{0}, Y_{0}, Z_{0}, X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$, три следующих дадут $X_{3}, Y_{3}, Z_{3}$ в линейных функциях $X_{2}, Y_{2}, Z_{2}$, $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$, которые путем подстановки значений $X_{2}$, $Y_{2} ; Z_{2}$ тоже станут линейными функциями $X_{0}, Y_{0}, Z_{0}$, $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ и так далее.

Таким образом вообще значения $X_{n+1}, Y_{n+1}, Z_{n+1}$ будут иметь следующий вид:
\[
A X_{0}+B Y_{0}+C Z_{0}+A^{\prime} X_{1}+B^{\prime} Y_{1}+C^{\prime} Z_{1},
\]

причем путем вычислений легко убедиться, что величины $A, B, C$ будут рациональными и целыми функциями $k$ степени ( $n-2$ ) и что величины $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ будут аналогичными функциями ( $n-1$ )-й степени.

Мы допустили (п. 17), что первое и последнее тела системы неподвижны; первое тело относится к индексу нуль; следовательно, если через $n$ обозначить число всех движущихся тел, то последнее тело, которое должно быть неподвижным, относится к индексу $n+1$. Таким образом должно иметь место
\[
\begin{aligned}
X_{0} & =0, & Y_{0} & =0, & Z_{0} & =0, \\
X_{n+1} & =0, & Y_{n+1} & =0, & Z_{n+1} & =0,
\end{aligned}
\]

что дает три линейных уравнения между $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ следующего вида: $A^{\prime} X_{1}+B^{\prime} Y_{1}+C^{\prime} Z_{1}=0$, в которых коәффициенты $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ являются рациональными и целыми функциями $k$, имеющими $n$-e измерение.

Если исключить величины $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$, то получается уравнение степени $3 n$ относительно $k$, что соответствует числу неизвестных $X, Y, Z$, и, следовательно, это уравнение будет иметь $3 n$ корней.

Эти же уравнения дадут и отношения между тремя величинами $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$, так что значение одной из этих величин можно будет взять произвольно. Так как эти отношения выражаются с помощью рациональных функций $k$, можно значения трех величин $X_{1}, Y_{1}, Z_{1}$ выразить с помощью рациональных и целых функций $k$ и, таким образом, неизвестные $X$, $Y, Z$ будут тоже, вообще говоря, выражены с помощью известных рациональных и целых функций $k$.
25 . Обозначим через $k^{\prime}, k^{\prime \prime}, k^{\prime \prime \prime}, \ldots, k^{(3 n)}$ различные корни уравнения относительно $k$, решение которого следует предположить известным, и аналогично обозначим через $X^{\prime}, X^{\prime \prime}, X^{\prime \prime \prime}, \ldots, Y^{\prime}, Y^{\prime \prime}, Y^{\prime \prime \prime}, \ldots, Z^{\prime}$, $Z^{\prime \prime}, Z^{\prime \prime \prime}, \ldots$ соответствующие значения величин $X, Y, Z$, которые получаются в результате подстановки вместо $k$ этих различных корней.

Итак, в соответствии с тем, что мы нашли раньше (II. 23 и 24 ),
\[
\begin{array}{l}
\xi=X E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon) \\
\eta=Y E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon) \\
\zeta=Z E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon) .
\end{array}
\]

Если последовательно подставить различные значения $k$ и взять различные произвольные постоянные $E$ и $\varepsilon$, мы получим столько же частных значений $\xi$, $\eta, \zeta$, сумма которых в соответствии с природой линейных уравнений даст полные значения этих переменных.

Эти частные значения $\xi, \eta, \zeta$ аналогичны тем выражениям, которые представляют малые колебания маятника, имеющего длину $\frac{g}{k}$ (п. 11), при условии, что $k$ является величиной вещественной и положительной; движение каждого тела состоит из такого количества подобных колебаний, сколько имеется различных значений $k$; таким образом в том случае, когда все эти значения между собою несоизмеримы, невозможно, чтобы система когда-нибудь вернулась в свое первоначальное состояние, – по крайней мере, если значения $\xi, \eta$, $\zeta$ не могут быть сведены к частным значениям, соответствующим только одному из корней $k$. Если в этом последнем случае в приведенных выше формулах положить $t=0$, то мы получим $X E \sin \varepsilon, \quad Y E \sin \varepsilon, Z E \sin \varepsilon$ в качестве значений $\xi, \eta, \zeta$ и $X E \cos \varepsilon, Y E \cos \varepsilon, Z E \cos \varepsilon$, в качестве значений $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \eta}{d t}, \frac{d \zeta}{d t}$. Следовательно, для того чтобы этот случай мог иметь место, необходимо чтобы начальные смещения $\xi$, $\eta$, $\zeta$, равно как и на’ чальные скорости $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \eta}{d t}, \frac{d \zeta}{d t}$ были пропорциональны $X, Y, Z$, причем существует столько путей для выполнения этих условий, сколько имеется различных значений $k$.
26. Если обозначить верхними штрихами различные произвольные постоянные, то мы получим
\[
\begin{array}{c}
\xi=X^{\prime} E^{\prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime}}+\varepsilon^{\prime}\right)+X^{\prime \prime} E^{\prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime}\right)+ \\
+X^{\prime \prime} E^{\prime \prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime \prime}\right)+\ldots, \\
\eta=Y^{\prime} E^{\prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime}}+\varepsilon^{\prime}\right)+Y^{\prime \prime} E^{\prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime}\right)+ \\
+Y^{\prime \prime \prime} E^{\prime \prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime \prime}\right)+\ldots, \\
\zeta=Z^{\prime} E^{\prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime}}+\varepsilon^{\prime}\right)+Z^{\prime \prime} E^{\prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime}\right)+ \\
+Z^{\prime \prime} E^{\prime \prime \prime} \cdot \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime \prime}\right)+\ldots,
\end{array}
\]

в качестве полных значений переменных $\xi, \eta, \zeta$, выражающих колебания каждого из тел заданной системы, каково бы ни было их начальное состояние.

Эти значения можно представить в более простом виде, применив знак $\sum$ для выражения суммы значений, соответствующих различным значениям $k$; таким
образом мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\xi=\sum[X E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon)], \\
\eta=\sum[Y E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon)], \\
\zeta=\sum[Z E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon)] .
\end{array}
\]

Частные выражения ідля переменных $\xi_{1}, \eta_{1}, \zeta_{1}, \xi_{2}$, $\eta_{2}, \zeta_{2}, \ldots$ для каждого из тел системы мы получим, подставив в приведенные выше выражения $X_{1}$, $Y_{1}, Z_{1}, X_{2}, Y_{2}, Z_{2}, \ldots$ вместо $X, Y, Z$ и приняв для $E_{1}$ и $\varepsilon$ различные произвольные постоянные $E_{1}, E_{2}, \ldots$, $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots$, зависящие от начального состояния системы.
27. Для того ұтобы эти постоянные определить наиболее простым путем, я снова обращаюсь к уравумножив предварительно первое из них на $X$, второе на $Y$ и третье на $Z$; затем я беру сумму всех этих уравнений, составленных указанным образом, распространив ее на все тела системы, и обозначаю эту сумму символом $\mathbf{S}$; если принять во внимание, что этот символ независим от символа $d$ дифференциалов, относящихся к $t$, то мы получим следующее уравнение:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d^{2}}{d t^{2}} \mathbf{S}(X \xi+Y \eta+Z \zeta) D m+ \\
\quad+\mathbf{S}\left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a^{2}} X+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial b} Y+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial c} Z\right) \xi D m+ \\
\quad+\mathbf{S}\left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial b} X+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b^{2}} Y+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial c} Z\right) \eta D m+ \\
\quad+\mathbf{S}\left(\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial a \partial c} X+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial b \partial c} Y+\frac{\partial^{2} \Pi}{\partial c^{2}} Z\right) \zeta D m- \\
\quad-\mathbf{S} X D,\left[F \frac{D \xi}{D f}-G a^{\prime}\left(a^{\prime} \frac{D \xi}{D f}+b^{\prime} \frac{D_{\eta}}{D f}+c^{\prime} \frac{D \zeta}{D f}\right)\right]- \\
\quad-\mathbf{S} Y D,\left[F \frac{D \eta}{D f}-G b^{\prime}\left(a^{\prime} \frac{D \xi}{D f}+b^{\prime} \frac{D \eta}{D f}+c^{\prime} \frac{D \zeta}{D f}\right)\right]- \\
\quad-\mathbf{S} Z D,\left[F \frac{D \zeta}{D f}-G c^{\prime}\left(a^{\prime} \frac{D \xi}{D f}+b^{\prime} \frac{D \eta}{D f}+c^{\prime} \frac{D \zeta}{D f}\right)\right]=0 .
\end{array}
\]

B этом уравнении члены, содержащие под знаком суммирования $\mathbf{S}$ разности, обознатенные символом $D$, поддаются преобразованиям, аналогичным тем, какие имеют место при интегрированиях по тастям; тип этих преобразований был нами указан в п. 16. Для этого рассмотрим вообще какой-либо член вида $\mathbf{S} X D,(V D \xi)$; с помощью указанных в приведенном пункте преобразований, если при этом мы примем во внимание, что величины $X$ и $\xi$ в начале и в конце интегрирований, сопровождающихся символом $D$, равны нулю (п. 24 ), то получим
\[
\mathbf{S} X D,(V D \xi)=-\mathbf{S} V D \xi D X=\mathbf{S} \xi, D(V D X) .
\]

Hо $\mathbf{S} \xi, D(V D X)$ – это то же самое, что $\mathbf{S} \xi D,(V D X)$, если вместо члена $\xi, D(V D X)$ взять предшествующий ему член.
Итак, мы получим вообще
\[
\mathbf{S} X D_{,}(V D \xi)=\mathbf{S} \xi,(V D X) ;
\]

аналогичные выражения мы получим и для других подобных членов. Таким образом предыдущее уравнение примет следующий вид:
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}} \mathbf{S}(X \xi+Y \eta+Z \zeta) D m+\mathbf{S}[(X) \xi+(Y) \eta+(Z) \zeta]=0 .
\]

Величины, обозначенные через $(X),(Y),(Z)$, будут содержать те же члены, которые образуют правые части уравнений п. 23; таким образом эти уравнения дадут
\[
(X)=k X D m, \quad(Y)=k Y D \dot{m}, \quad(Z)=k Z D m,
\]

откуда следует, что приведенное выше уравнение примет следующий вид:
\[
\frac{d^{2}}{d t^{2}} \mathbf{S}(X \xi+Y \eta+Z \zeta) D m+k \mathbf{S}(X \xi+Y \eta+Z \zeta) D m=0
\]

Отсюда путем интегрирования мы тотчас же получаем
\[
\mathbf{S}(X \xi+Y \eta+Z \zeta) D m=L \sin (t \sqrt{k}+\lambda),
\]

где $L$ и $\lambda$-две произвольные постоянные.
28. Из природы самого исчисления легко видеть, что если в это уравнение вместо $k$ подставить один из корней уравнения относительно $k$, которые мы обозначили через $k^{\prime}, k^{\prime \prime}, k^{\prime \prime \prime}, \ldots$ (п. 25), то мы должны получить результат, тождественный с выражениями для $\xi, \eta, \zeta$ пункта 26 ; следовательно, если в предыдущее уравнение подставить эти самые значения, то оно должно обратиться в абсолютное тождество для всех значений $k$.
Таким образом мы получим тождество
\[
\mathbf{S}\left\{\begin{array}{c}
X \sum[X E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon)]+ \\
+Y \sum[Y E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon)]+ \\
+Z \sum[Z E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon)]
\end{array}\right\} D m=L \sin (t \sqrt{k}+\lambda)
\]

для каждого из значений $k^{\prime}, k^{\prime \prime}, k^{\prime \prime \prime}, \ldots$ величины $k$; а так как это тождество должно иметь место независимо от значения $t$, то нетрудно убедиться, что все члены левой и правой частей уравнения, содержащие в себе одну отсюда прежде всего необходимо следует, что $\lambda=\dot{\varepsilon}$ для всех значений $\lambda$ и $\varepsilon$.

Далее, если обратить внимание на значение знаков $\mathbf{S}$ и $\sum$, из которых первый, $\mathbf{S}$, выражает сумму стоящих под знаком величин, относящихся ко всем телам системы, т. е. сумму величин, которые мы обозначили числами, поставленными в виде знаков у основания букв (п. 24 ), а второй, $\sum$, выражает сумму аналогичных величин, соответствующих всем корням $k^{\prime}, k^{\prime \prime}, k^{\prime \prime \prime}, \ldots, k^{(3 n)}$, которые мы обозначили штрихами вверху (п. 25), то путем сравнения членов, в состав которых входит один и тот же синус, мы получим уравнение
\[
E \mathbf{S}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) D m=L .
\]

Таким образом мы будем иметь вообще
\[
E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon)=\frac{L \sin (t \sqrt{k}+\lambda)}{\mathbf{S}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) D m}
\]

и, следовательно, согласно пункту 27
\[
E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon)=\frac{\mathbf{S}(X \xi+Y \eta+Z \zeta) D m}{\mathbf{S}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) D m} ;
\]

это-уравнение, которое имеет силу для всех значений $k$.
29. Пусть теперь, когда $t=0$,
\[
\xi=\alpha, \quad \eta=\beta, \quad \zeta=\gamma
\]

и
\[
\frac{d \xi}{d t}=\dot{\alpha}, \quad \frac{d \eta}{d t}=\dot{\beta}, \quad \frac{d \zeta}{d t}=\dot{\gamma} ;
\]

эти щесть величин заданы начальным состоянием системы; следовательно, если их ввести в предыдущее уравнение, а также в то уравнение, которое получается путем дифференцирования его по $t$, то, шоложив $t=0$, мы получим следующие значения произвольных постоянных:
\[
\begin{array}{l}
E \sin \varepsilon=\frac{\mathbf{S}\left(X \alpha+Y \beta+Z_{\gamma}\right) D m}{\mathbf{S}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) D m}, \\
E \cos \varepsilon=\frac{1}{\sqrt{k}} \frac{\mathbf{S}\left(X \dot{\alpha}+Y \dot{\beta}+Z_{\gamma}\right) D m}{\mathbf{S}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) D m} .
\end{array}
\]

Следовательно, если эти значения подставить в выражения для $\xi, \eta, \zeta$, приведенные в пункте 26 , то мы, наконец, получим
\[
\begin{aligned}
\xi=\sum( & \left.X \frac{\mathbf{S}(X \alpha+Y \beta+Z \gamma) D m}{\mathbf{S}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) D m} \cos t V \bar{k}\right)+ \\
& +\sum\left(\frac{X}{\sqrt{k}} \frac{\mathbf{S}(X \dot{\alpha}+Y \dot{\beta}+Z \dot{\gamma}) D m}{\mathbf{S}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) D m} \sin t \sqrt{k}\right), \\
\eta=\sum( & \left.Y \frac{\mathbf{S}(X \alpha+Y \beta+Z \gamma) D m}{\mathbf{S}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) D m} \cos t \sqrt{k}\right)+ \\
& +\sum\left(\frac{Y}{\sqrt{k}} \frac{\mathbf{S}(X \dot{\alpha}+Y \dot{\beta}+Z \dot{\gamma}) D m}{\mathbf{S}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) D m} \sin t \sqrt{k}\right), \\
\zeta=\sum( & \left.\frac{\mathbf{S}\left(X \alpha+Y \dot{\beta}+Z_{\gamma}\right) D m}{\mathbf{S}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) D m} \cos t \sqrt{k}\right)+ \\
& +\sum\left(\frac{Z}{\sqrt{k}} \frac{\mathbf{S}\left(X \dot{\alpha}+Y \dot{\beta}+Z_{\gamma}\right) D m}{\mathbf{S}\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}\right) D m} \sin t \sqrt{k}\right) .
\end{aligned}
\]

Эти формулы, столь же замечательные по своей общности, как и по своей простоте, содержат решения многих проблем, анализ которых с помощью других методов был бы очень труден. Мы применим их к двум задачам, которые уже были разрешены в различных работах, но недостаточно полно.