38. Общее уравнение на границах, указанное в пункте 27, должно выполняться для всех точек стенок сосуда, в котором содержится жидкость.
Представим это уравнение в следующем виде:
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta x^{\prime}\right) d y d x & +\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta y^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta y^{\prime}\right) d x d z+ \\
& +\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta z^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta z^{\prime}\right) d x d y=0,
\end{aligned}
\]
и рассмотрим сначала член $\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta z^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta z^{\prime}\right) d x d y$; здееь $\delta z^{\prime \prime}$ и $\delta z^{\prime}$ представляют собою вариации координаты $z$, которая принадлежит двум точкам поверхности жидкости, соответствующим одинаковым координатам $x$ и $y$.
Ясно, что вариации $\delta z^{\prime \prime}$ стремятся заставить частицы поверхности уйти из жидкой массы, а вариации $\delta z^{\prime}$, если и те и другие считать положительными, стремятся заставить частиды с противоположной поверхности войти в жидкую массу; следовательно, если вариацию второго вида снабдить знаком минус, то вариации $\delta z^{\prime \prime}$ и – $\delta z^{\prime}$ будут одинаково стремиться удалить частицы поверхности из жидкой массы; в таком случае двойной интеграл
\[
\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta z^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta z^{\prime}\right) d x d y
\]
выразит сумму всех величин $\lambda \delta z d x d y$, соответствующих всем точкам поверхности жидкости, в которых согласно допущению вариации $\delta z$ обладают одной и той же тенденцией к выходу из массы жидкости наружу. При наличии этого условия мы можем приведенному выше интегралу дать следующий более простой вид $\mathbf{S} \lambda \delta z d x d y$.
Аналогичным путем и при тех же условиях мы можем два других двойных интеграла
\[
\mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta y^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta y^{\prime}\right) d x d z \text { и } \mathbf{S}\left(\lambda^{\prime \prime} \delta x^{\prime \prime}-\lambda^{\prime} \delta x^{\prime}\right) d y d z
\]
привести к следующему виду: $\mathbf{S} \lambda \delta y d x d z, \mathbf{S}_{\lambda} \delta x d y d z$.
Итак, рассматриваемое уравнение на границах может быть представлено в таком виде:
\[
\mathbf{S} \lambda \delta z d x d y+\mathbf{S} \lambda \delta y d x d z+\mathbf{S} \lambda \delta z d y d x=0,
\]
которое, на основании анализа пункта 33 , может быть приведено к следующему:
\[
\mathbf{S} \lambda(\cos \alpha \cdot \delta x+\cos \beta \cdot \delta y+\cos \gamma \cdot \delta z) d s^{2}=0 ;
\]
в этом уравнении $\alpha, \beta, \gamma$ представляют собою углы, которые образует с тремя плоскостями $y z, x z$ и $x y$ касательная плоскость к поверхности, проведенная в точке, соответствующей координатам $x, y, z$. Интегрирование этого уравнения распространяется на всю поверхность жидкости, а все вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ следует считать направленными из внутренних частей жидкой массы наружу.
39. В тех точках, где поверхность свободна, вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ остаются неопределенными; поэтому уравнение может быть удовлетворено только при том условии, если мы положим $\lambda=0$, откуда мы получим форму упомянутой поверхности, как мы это видели в пункте 18.
Во всех других точках поверхности, где жидкость соприкасается со стенками сосуда, мы, отмечая одним штрихом величины, относящиеся к этим точкам поверхности, получим для стенок сосуда те же уравнения, какие мы получили раньше (п. 30) для поверхности ядра, покрытого жидкостью. Следовательно, и все те выводы, какие были сделаны из этого уравнения, начиная с упомянутого выше пункта и до конца предшествующего параграфа, могут быть применены к стенкам сосуда, в котором содержится жидкость, независимо от того, какова его форма, неподвижен ли он или же он поддерживается в равюовесии давлением жидкости и влиянием внешних сил, действующих на него в любых направлениях.
