2. Пусть
$$L=0,M=0,N=0,\dots$$

различные условные уравнения, вытекающие из природы системы, причем величины $L,M,N,\dots$; представляют собою конечные функции переменных $x,y,z,x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },\dots$; дифференцируя эти выражения, мы получим
$$dL=0,dM=0,dN=0,\dots ;$$

последние уравнения дают ту связь, которая должна существовать между дифференциалами тех же переменных. Вообще с помощью уравнений
$$dL=0,dM=0,dN=0,\dots$$

мы будем выражать условные уравнения между этими дифференциалами — независимо от того, будут ли эти уравнения сами по себе полными дифференциалами или же нет — при условии, что дифференциалы будут только линейными.

Но так как эти уравнения должны служить лишь для исключения в общей формуле равновесия равного количества дифференциалов, после чего каждый из коәффициентов оставшихся дифференциалов должен быть приравнен нулю, то нетрудно, пользуясь теорией исключения линейных уравнений, доказать, что тот же результат может быть получен, если к упомянутой формуле просто прибавить различные условные уравнения
$$dL=0,dM=0,dN=0,\dots ,$$

умножив каждое из них на неопределенный коәффициент; если затем приравнять нулю сумму всех членов, которые умножаются на один и тот же дифференциал, то это даст нам столько частных уравнений, сколько имеется дифференциалов; из этих последних уравнений можно будет под конед исключить неопределенные коэффидиенты, на которые были умножены условные уравнения.
3. Отсюда, таким образом, вытекает следующее крайне простое правило определения условий равновесия любой заданной системы.

Берут сумму моментов всех сил, которые должны находиться в равновесии (отд. II, п. 5), и прибавляют к ним различные дифференциалы функций, которые согласно условиям задачи должны равняться нулю, умножив предварительно каждый из этих дифференциалов на неопределенный коэффициент. Полученную сумму приравнивают нулю и таким образом получают дифференциальное уравнение, которое рассматривают как обычное уравнение для максимумов и минимумов и из которого затем получают столько частных конечных уравнений, сколько имеется переменных величин. Если затом оти уравнения путем исключения освободить от неопределенных коэффициентов, то они дадут все условия, необходимые для равновесия.

Таким образом рассматриваемое дифференциальное уравнение будет иметь следующий вид:
$$\begin{array}{l}Pdp+Qdq+Rdr+\dots \\ \cdots +\lambda dL+\mu dM+udN+\dots =0,\end{array}$$

где $\lambda ,\mu ,u,\dots$ представляют собою неопределенные величины; в дальнейшем мы будем его называть общим уравнением равновесия.

Это уравнение даст для каждой координаты, например для координаты $x$, любого из тел системы уравнение следующего вида:
$$\begin{array}{l}P\frac{\partial p}{\partial x}+Q\frac{\partial q}{\partial x}+R\frac{\partial r}{\partial x}+\cdots \\ \cdots +\lambda \frac{\partial L}{\partial x}+\mu \frac{\partial M}{\partial x}+u\frac{\partial N}{\partial x}+\dots =0;\end{array}$$

таким образом число этих уравнений будет равно числу всех координат тел. Эти уравнения мы будем называть частными уравнениями равновесия.
4. Вся трудность заключается теперь в том, чтобы из последних уравнений исключить неопределенные величины $\lambda ,\mu ,u,\dots$. Правда, этой цели всегда можно добиться с помощью известных приемов; но представляетея целесообразным в каждом отдельном случае избрать те приемы, которые могут привести к наиболее простым результатам. Окончательные уравнения будут содержать все условия, необходимые для предложенной задачи равновесия, а так как число этих уравнений будет равно числу всех координат тел еистемы за вычетом из него числа: неопределенных величин $\lambda ,\mu ,u,\dots$, которые подлежали исключению, и так как сверх того число этих неопределенных величин как раз равно числу конечных условных уравнений $L=0,M=0,N=0,\dots$, то отсюда следует, что вышеупомянутые уравнения совместно с этими последними дадут всегда такое количество уравнений, которое будет равно числу координат всех тел системы; следовательно, их будет достаточно для определения әтих координат и для выяснения положения, какое должно занять каждое тело, чтобы находиться в равновесии.
5. Замечу теперь, что члены $\lambda dL,\mu dM$, . . .ощеro уравнения равновесия можно тоже рассматривать как величины, выражаюцие моменты различных сил, приложенных к той же системе.

В самом деле, принйая во внимание, что $dL$. является дифференциальной функцией переменных $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },x^{\prime \prime },y^{\prime \prime },\dots$, служащих координатами различных тел системы, можно считать, что она составлена из отдельных частей, которые я обозначу через $d{L}^{\prime }$, $d{L}^{\prime \prime },\dots$, так что
$$dL=d{L}^{\prime }+\dot{d}{L}^n+\dots ,$$

где $d{L}^{\prime }$ содержит лишь члены, в которые входят

$d{x}^{\prime },d{y}^{\prime },d{z}^{\prime };d{L}^{\prime \prime }$ содержит лишь члены, в которые входят $d{x}^{\prime \prime },d{y}^{\prime \prime },d{z}^{\prime \prime }$, и т. д.

Таким образом член $\lambda dL$ общего уравнения составлен из членов $\lambda d{L}^{\prime },\lambda d{L}^{\prime \prime },\dots$ Но если чуен $\lambda d{L}^{\prime }$ представить в следующем виде:
$$\begin{array}{l}\lambda \sqrt{{\left(\frac{\partial L^{\prime }}{\partial x^{\prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L^{\prime }}{\partial y^{\prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L^{\prime }}{\partial z^{\prime }}\right)}^2}\times \\ \times \frac{d{L}^{\prime }}{\sqrt{{\left(\frac{\partial L^{\prime }}{\partial x^{\prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L^{\prime }}{\partial y^{\prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L^{\prime }}{\partial z^{\prime }}\right)}^2}},\end{array}$$

п принять во внимание сказанное в пункте 8 отд. II, го станет ясно, что эта величина может выражать момент силы
$$\lambda \sqrt{{\left(\frac{\partial L^{\prime }}{\partial x^{\prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L^{\prime }}{\partial y^{\prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L^{\prime }}{\partial z^{\prime }}\right)}^2},$$

приложенной к телу, координаты которого суть $x^{\prime }$, $y^{\prime },z^{\prime }$, и направленной перпендикулярно i поверхности, уравнение которой $d{L}^{\prime }=0$, если только в нем $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$ рассматривать как переменные величины. Точно так же член $\lambda d{L}^n$ может выразить момент силы
$$\lambda \sqrt{{\left(\frac{\partial L^{\prime \prime }}{\partial x^{\prime \prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial {\overline{L}}^{\prime \prime }}{\partial y^{\prime \prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L^{\prime \prime }}{\partial z^{\prime \prime }}\right)}^2},$$

приложенной к телу, имеющему своими координатами $x^n,y^{\prime \prime },z^n$, и направленной перпендикулярно к поверхности, уравнение которой $d{L}^{\prime \prime }=0$, если только в последнем выражении $x^{\prime \prime },y^{\prime \prime },z^{\prime \prime }$ рассматривать как переменные величины, и так далее.

Слеловательно, вообще член $\lambda dL$ будет эквивалентен действию различных сил, выраженных с помощью
$$\begin{array}{l}\lambda \sqrt{{\left(\frac{\partial L}{\partial x^{\prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L}{\partial y^{\prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L}{\partial z^{\prime }}\right)}^2}\\ \lambda \sqrt{{\left(\frac{\partial L}{\partial x^{\prime \prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L}{\partial y^{\prime \prime }}\right)}^2+{\left(\frac{\partial L}{\partial z^{\prime \prime }}\right)}^2},\dots \end{array}$$

и приложенных соответственно к телам, имеющим координаты $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime },x^{\prime \prime },y^{\prime \prime },z^{\prime \prime },\dots$, причем эти силы направлены перпендикулярно к различным поверхностям, выраженным с помощью уравнения $dL=0$, если в последнем принять в качестве переменных сначала $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$, затем $x^{\prime \prime },y^{\prime \prime },z^{\prime \prime }$ и т. д.
6. Вообще член $\lambda dL$ можно рассматривать как момент некоторой силы*) $\lambda$, стремящейся вызвать изменение значения функции $L$, а так как $dL=$ $=d{L}^{\prime }+d{L}^{\prime \prime }+\dots$, то член $\lambda dL$ выражает моменты нескольких сил, равных $\lambda$ и стремящихся вызвать. изменение функции $L$, если принять во вниманиеотдельно изменения различных координат $x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }$, $x^{\prime \prime },y^{\prime \prime },z^{\prime \prime },\dots$ То же самое относится и к членам $\mu dM,\vee dN,\dots$ (отг. II, п. 9).

Так как в общем уравнении равновесия (п. 3) предполагается, что силы $P,Q,R,\dots$ направлены к центрам, в которых заканчиваются линии $p,q,r,\dots$ и таким образом стремятся укоротить эти линии, то следует считать, что и силы $\lambda ,\mu ,\dots$ стремятся уменьшить значения функций $L,M$, ..
7. Отсюда следует, что каждое условное уравнение әквивалентно одной или нескольким силам, приложенным к системе по заданным направлениям, или вообще стремящимся вызвать изменение значений заданных функций**); таким образом состояние равновесия системы остается одним и тем же, будем ли мы принимать в расчет эти силы, или же мы будем рассматривать условные уравнения.

И, обратно, эти силы могут занять место условных уравнений, вытекающи из природы заданной
*) См. по этому поводу примечание дi пункту 9 отд. II (стр. 60). (Приж. Бертрана.)
**) Это важное положение обладает такой же обцностью, как и принцип виртуальных скоростей, а для применения оно зачастую бывает даже более удобным. Јагранж вывел его пугем анализа своей формулы равновесия, однако позднее Пуансо дал прямое доказательство этого положения, основанное на элементарных приндипах статики. (См. Journal de l’École Polytechnique, XIII cahier, т. VI.) (Ï рим. Бертрана.)

системы; таким образом, применяя әти силы, можно рассматривать тела как совершенно свободные и не подчиненные каким бы то ни было связям. Отсюда ясен метафизический смысл того, почему введение в общее уравнение равновесия членов $\lambda dL+\mu dM+\dots$ приводит к возможности в последующем трактовать это уравнение так, как будто бы все тела системы были совершенно свободны; в этом и заключается идея метода, излагаемого в настоящем отделе.

Собственно говоря, рассматриваемые силы заменяют сопротивления, которые могут испытыватьтела вследствие взаимной их связи или же вследствие наличия препятствий, которые в силу природы системы могут противодействовать их движению; больше того, әти силы представляют собою не что иное, как самые силы әтих сопротивлений, которые должны быть равны и направлены прямо противоцоложно силам давления, развиваемым телами. Как видим, наш метод дает средство для определения әтих сил и сопротивлений; в этом заключается одно из немаловажных преимуществ данного метода.
8. В тех случаях, когда силы $P,Q,R,\dots$ не находятся в равновесии и их хотят заменить эквивалентными силами, направления которых даны, следует к сумме моментов сил $P,Q,R,\dots$ прибавить моменты, вытекающие из условных уравнений $L=0$, $M=0,\dots$, и тогда получится сумма моментов сил, эквивалентных силам $P,Q,R,\dots$ и действию, оказывдемому телами друг на друга в силу условных уравнений.

Если указанным образом использовать все условные уравнения, получающиеся из природы рассматриваемой системы, то можно координаты каждого тела системы рассматривать как величины независимые; для каждой из этих координат, например для координаты $x$, получается величина следующего вида:
$$P\frac{\partial p}{\partial x}+Q\frac{\partial \mathit{q}}{\partial x}+R\frac{\partial r}{\partial x}+\dots +\lambda \frac{\partial \mathit{L}}{\partial x}+\mu \frac{\partial \mathit{M}}{\partial x}+u\frac{\partial \mathit{N}}{\partial x}+\dots$$

готорая выражает результирующую силу по направлению линип $x$; в случае равновесия эта величина, как мы видели в пунгте 3*), должна равняться нулю.