22. Мы сохраним для особой главы полное решение общей проблемы о вращении твердого тела любой формы; здесь мы исследуем лишь тот случай, когда мгновенная ось вращения остается неподвижной в пространстве или по крайней мере остается всегда параллельной самой себе в то время, как тело движется поступательно, так как этот случай может быть легко разрешен с помощью формул предыдущего параграфа и так как он дает возможность установить изящные свойства тех осей, которые называют главными или естественными осями вращения.

Вернемся к основным уравнениям пункта 17; положим для краткости письма
\[
\begin{array}{ll}
l=\mathbf{S} x^{2} D m, & f=\mathbf{S} y z D m \\
m=\mathbf{S} y^{2} D m, & g=\mathbf{S} x z D m, \\
n=\mathbf{S} z^{2} D m, & h=\mathbf{S} x y D m
\end{array}
\]

и подставим вместо $\dot{\psi}, \dot{\omega}, \dot{\varphi}$ соответствующие значения $\dot{\theta} \cos \lambda, \dot{\theta} \cos \mu, \dot{\theta} \cos
u$, где $\dot{\theta}$ представляет собою скорость вращения вокруг мгновенной оси, образующей с осями $x, y, z$ углы $\lambda, \mu,
u$. Эти уравнения после деления на $\dot{\theta}$ перейдут тогда в следующие:
\[
\begin{aligned}
(m+n) \cos \lambda-h \cos \mu-g \cos
u & =\frac{A}{\dot{\theta}}, \\
(l+n) \cos \mu-h \cos \lambda-f \cos
u & =\frac{B}{\dot{\theta}}, \\
(l+m) \cos
u-g \cos \lambda-f \cos \mu & =\frac{C}{\dot{\theta}},
\end{aligned}
\]

23. Шесть величин $l, m, n, f, g, h$ являются переменными; продифференцировав их, подставив вместо $d x, d y, d z$ выражения $\dot{x} d t, \dot{y} d t, \dot{z} d t$ и затем вместо $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$ их значения (см. упомянутый пункт), мы получим
\[
\begin{aligned}
d l & =2(g \cos \mu-h \cos
u) \dot{\theta} d t, \\
d m & =2(h \cos
u-f \cos \lambda) \dot{\theta} d t, \\
d n & =2(f \cos \lambda-g \cos \mu) \dot{\theta} d t, \\
d f & =[(m-n) \cos \lambda+g \cos
u-h \cos \mu] \dot{\theta} d t, \\
d g & =[(n-l) \cos \mu+h \cos \lambda-f \cos
u] \dot{\theta} d t, \\
d h & =[(l-m) \cos
u+f \cos \mu-g \cos \lambda] \dot{\theta} d t .
\end{aligned}
\]

Эти шесть уравнений совместно с тремя уравнениями, приведенными в предыдущем пункте, содержат общее решение; однако мы здесь рассмотрим только тот случай, когда углы $\lambda, \mu$, ү остаются неизменными, и тогда вопрос сведется к тому, чтобы выяснить, при каких условиях указанные величины могут быть постоянными.
24. Для этой цели следует лишь три первых уравнения продифференцировать на основе указанного допущения и затем подставить значения дифференциалов $d l, d m, \ldots$; тогда после деления на $\dot{\theta} d t$ мы получим следующие три уравнения:
\[
\begin{array}{r}
f\left(\cos ^{2}
u-\cos ^{2} \mu\right)-g \cos \lambda \cos \mu+h \cos \lambda \cos
u+ \\
+(m-n) \cos \mu \cos
u=-\frac{A d \dot{\theta}}{\dot{\theta}^{3} d t} \\
f \cos \lambda \cos \mu+g\left(\cos ^{2} \lambda-\cos ^{2}
u\right)-h \cos \mu \cos
u+ \\
+(n-l) \cos \lambda \cos
u=-\frac{B}{\dot{\theta}^{3}} \frac{d \dot{\theta}}{d t} \\
-f \cos \lambda \cos
u+g \cos \mu \cos
u+h\left(\cos ^{2} \mu-\cos ^{2} \lambda\right)+ \\
+(l-m) \cos \lambda \cos \mu=-\dot{\theta}^{3} \frac{d \dot{\theta}}{d t}
\end{array}
\]

Если эти три уравнения сложить, помножив предварительно первое из них на $\cos \lambda$, второе на $\cos \mu$ и третье на $\cos
u$, то мы получим уравнение
\[
\frac{A \cos \lambda+B \cos \mu+C \cos
u}{\dot{\theta}^{3}} \frac{d \dot{\theta}}{d t}=0,
\]

которое дает
\[
d \dot{\theta}=0, \text { или } A \cos \lambda+B \cos \mu+C \cos
u=0 .
\]

Ниже (п. 38) мы увидим, что величина
\[
A \dot{\psi}+B \dot{\omega}+C \dot{\varphi},
\]

представляющая собою то же, что
\[
(A \cos \lambda+B \cos \mu+C \cos
u) \dot{\theta},
\]

выражает живую силу тела, которая никогда не может быть равной нулю, если тело находится в движении.

Таким образом следует вообще допустить, что $d \dot{\theta}=0$ и, следовательно, что скорость вращения $\dot{\theta}$ является постоянной величиной. При этих условиях приведенные выше три уравнения сводятся к двум, дающим отношения $\cos \lambda, \cos \mu, \cos
u$; а так как мы имеем
\[
\cos ^{2} \lambda+\cos ^{2} \mu+\cos ^{2}
u=1,
\]

то указанных отношений достаточно для ошределения трех косинусов.
25. Положим
\[
s=\frac{\cos \mu}{\cos \lambda}, \quad u=\frac{\cos \gamma}{\cos \lambda} ;
\]

тогда приведенные выше три уравнения, если принять во внимание, что $d \dot{\theta}=0$, преобразуются к следующему виду:
\[
\begin{array}{l}
f\left(u^{2}-s^{2}\right)-g s+h u+(m-n) s u=0, \\
g\left(1-u^{2}\right)-h s u+f s+(n-l) u=0, \\
h\left(s^{2}-1\right)+g s u-f u+(l-m) s=0 .
\end{array}
\]

Последнее из этих уравнений дает
\[
u=\frac{h\left(s^{2}-1\right)+(l-m) s}{f-g s} .
\]

Если это значение подставить в первое уравнение или во второе: или, еще лучше, в сумму обоих этих уравнений, предварительно помножив одно из них на $g$, а другое на $f$, 一 с целью исключения члена, содержащего $u^{2}$, 一то мы получим
\[
\begin{array}{l}
{\left[g h(m-n)+f\left(g^{2}-h^{2}\right)\right] s^{3}+} \\
+\left[g(l-m)(m-n)+f h(n-2 l+m)+g\left(g^{2}+h^{2}-\right.\right. \\
\left.\left.-2 f^{2}\right)\right] s^{2}+[f(l-m)(m-n)+g h(n-2 m+l)+ \\
\left.\quad+f\left(f^{2}+h^{2}-2 g^{2}\right)\right] s+f h(l-n)+g\left(f^{2}-h^{2}\right)=0 .
\end{array}
\]

Это уравнение, будучи третьей степени, необходимо имеет один вещественный корень; таким образом мы обязательно будем иметь одно значение $s$ и соответствующее ему значение $u$, с помощью которых можно будет определить положение постоянной оси равномерного вращения. Но так как это определение зависит от величин $l, m, n, f, g, h$, изменяющихся со временем $t$, то следует еще доказать, что изменчивость указанных величин совершенно не влияет на значение двух величин $s$ и $u$.
26. Для этой цели обозначим через $P, Q, R$ левые части трех уравнений пункта 22 ; тогда левые части уравнения пункта 24 примут вид $\frac{d P}{\dot{\theta} d t}, \frac{d Q}{\dot{\theta} d t}, \frac{d R}{\dot{\theta} d t}$, причем вместо $d l, d m, \ldots$ поставлены их значения. Но легко видеть, что после проведения указанных подстановок мы получим
\[
\begin{array}{l}
d P=(R \cos \mu-Q \cos
u) \dot{\theta} d t \\
d Q=(P \cos
u-R \cos \lambda) \dot{\theta} d t, \\
d R=(Q \cos \lambda-P \cos \mu) \dot{\theta} d t .
\end{array}
\]

Из этих уравнений, в которых $\lambda, \mu,
u$ и $\dot{\theta}-$ постоянные величины, легко видеть, что если значения $\frac{d P}{d t}, \frac{d Q}{d t}, \frac{d R}{d t}$ равны нулю, когда $t$ равно нулю или же равно какой-нибудь заданной величине, то и значения $\frac{d^{2} P}{d t^{2}}, \frac{d^{2} Q}{d t^{2}}, \frac{d^{2} R}{d t^{2}}$, а также $\frac{d^{3} P}{d t^{3}}, \frac{d^{3} Q}{d t^{3}}, \frac{d^{3} R}{d t^{3}}$ и так далее до бесконечности, тоже равны нулю для того же значения $t$.

Но на основании теоремы Тейлора мы знаем, что когда $t$ переходит в $t+t^{\prime}$, то значение функции $\frac{d P}{d t}$ одновременно переходит в
\[
\frac{d P}{d t}+\frac{d^{2} P}{d t^{2}} t^{\prime}+\frac{1}{2} \frac{d^{3} P}{d t^{3}} t^{\prime 2}+\frac{1}{2 \cdot 3} \frac{d^{4} P}{d t^{4}} t^{\prime 3}+\ldots
\]

Следовательно, если $\frac{d P}{d t}=0$, когда $t^{\prime}=0$, то мы всегда имеем $\frac{d P}{d t}=0$, каково бы ни было значение $t^{\prime}$. То же самое относится и к значениям $\frac{d Q}{d t}$ и $\frac{d R}{d t}$.

Отсюда следует, что если уравнения пункта 25 , являющиеся только преобразованными уравнениями $\frac{d P}{d t}=0, \frac{d Q}{d t}=0, \frac{d R}{d t}=0$, имеют силу в какое-либо мгновение, то они сохраняют силу и для любого времени $t$, 一 если только допустить, что $s$ и $u$ – постоянные величины. Следовательно, значения указанных величин будут независимы от изменчивости величин $l, m, n, f, g, h$. Таким образом достаточно будет определить значения әтих последних величин для любого положения тела по отношению к неподвижным осям $x, y, z$, чтобы получить значения величин $s$ и $u$, определяющих положение оси вращения, которая должна оставаться неподвижной в пространстве, или, во всяком случае, всегда параллельной самой себе, когда тело находится в поступательном движении.

А так как эта ось в силу своей природы в течение некоторого мгновения неподвижна внутри тела

носкольку последнее согласно допущению должно вращаться около этой оси, то отсюда следует, что она должна всегда оставаться неподвижной; ведь ясно, что если бы в следующее мгновение она изменила свое положение в теле, то она необходимо изменила бы и свое положение в пространстве, что, однако, противоречит принятому допущению.
27. После того как определено положение этой оси в пространстве, ничто не мешает нам допустить, что она совпадает с осью $x$, положение которой произвольно.

Можно, таким образом, допустить, что $\lambda$ равняется нулю, и, следовательно, что $\cos \lambda=1$, что даст нам
\[
s=0, u=0 .
\]

Отсюда с помощью уравнений пункта 25 мы находим
\[
g=0, h=0 .
\]

Таким образом рассматриваемая ось обладает тем свойством, что если ее принять за ось $x$, то значения обоих интегралов $\mathbf{S} x y D m, \mathbf{S} x z D m$ (п. 22) становятся равными нулю.
Допустим теперь, что в наших формулах
\[
g=0, \quad h=0,
\]

и обозначим через $f^{\prime}, l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}$ значения, которые при этом получают величины $f, l, m, n$. Это допущение прежде всего дает
\[
s=0, u=0,
\]
т. е. приведенный выше случай. Далее, для $s$ и $и$ оно дает бесконечные значения, а следовательно,
\[
\cos \lambda=0, \lambda=90^{\circ} ;
\]

это значение соответствует остальным двум корням уравнения третьей степени относительно $s$ и, следовательно, соответствует положению двух других осей.

Но первое из уравнений относительно $s$ и $и$ (п. 25), если $g$ и $h$ равпы нулю, переходят в
\[
f^{\prime}\left(u^{2}-s^{2}\right)+\left(m^{\prime}-n^{\prime}\right) s u=0,
\]

а если вместо $s$ и $u$ подставить их значения, то мы получим
\[
f^{\prime}\left(\cos ^{2}
u+\cos ^{2} \mu\right)+\left(m^{\prime}-n^{\prime}\right) \cos \mu \cos
u=0 ;
\]

если в выражении
\[
\cos ^{2} \lambda+\cos ^{2} \mu+\cos ^{2}
u=1
\]

мы положим $\cos \lambda=0$, то мы будем иметь
\[
\cos
u=\sqrt{1-\cos ^{2} \mu}=\sin \mu,
\]

и приведенное выше уравнение сведется к следующему:
\[
\operatorname{tang} 2 \mu=\frac{2 f^{\prime}}{m^{\prime}-n^{\prime}},
\]

дающему для угла $\mu$ два значения, из которых одно больше другого на $90^{\circ}$.

Итак, если за ось $x$ мы взяли первую ось вращения, то две другие оси равномерного вращения будут лежать в плоскости $y z$ и образуют с осью $y$ углы $\mu$ и $\mu+90^{\circ}$. Таким образом три оси вращения будут, наподобие осям координат, между собою взаимно перпендикулярны. Следовательно, эти последние две оси можно будет тоже принять в качестве осей $y$ и $z$; тогда мы будем иметь $\mu=0$ и стало быть $f^{\prime}=0$; поэтому и значение интеграла $\mathbf{S} y z$ Lm тоже будет равно нулю.
28. Итак, для каждого твердого тела, какова бы ни была его форма и структура, существуют по отношению к любой точке этого тела три взаимно перпендикулярные оси, пересекающиеся в этой точке, вокруг которых тело может вращаться свободно и равномерно; эти три оси определяютея с помощью следующих уеловий:
\[
\mathbf{S}_{x y D m}=0, \mathbf{S}_{x z D m}=0, \mathbf{S}_{y z} D m=0,
\]

при әтом предполагается, что указанные оси приняты в качестве осей координат $x, y, z$.

Если эти оси проходят через центр тяжести тела, то согласно Эйлеру, которому мы обязаны их открытием, их называют главными осями; их называют также естественными осями врацения или вообще главными осями, независимо от того, проходят ли они через центр тяжести или нет.
29. Если положить
\[
f=0, g=0, h=0,
\]

что имеет место по отношению к трем главным осям, то с помощью уравнений пункта 23 мы получим также
\[
\frac{d l}{d t}=0, \frac{d m}{d t}=0, \frac{d n}{d t}=0,
\]

откуда ясно, что в данном случае величины $l, m, n$ имеют наибольшие или наименьшие значения. Для того чтобы получить возможность решить, имеем ли мы здесь дело с максимумами или минимумами, следует лишь определить зйачения $\frac{d^{2} l}{d t^{2}}, \frac{d^{2} m}{d t^{2}}, \frac{d^{2} n}{d t^{2}}$; в силу постоянства $\dot{\theta}$ мы найдем
\[
\begin{aligned}
\frac{d^{2} l}{d t^{2}} & =2\left[(n-l) \cos ^{2} \mu-(l-m) \cos ^{2}
u\right] \dot{\theta}^{2} \\
\frac{d^{2} m}{d t^{2}} & =2\left[(l-m) \cos ^{2}
u-(m-n) \cos ^{2} \lambda\right] \dot{\theta}^{2} \\
\frac{d^{2} n}{d t^{2}} & =2\left[(m-n) \cos ^{2} \lambda-(n-l) \cos ^{2} \mu\right] \dot{\theta}^{2}
\end{aligned}
\]

Следовательно, если $l>m, m>n$, то значение $\frac{d^{2} l}{d t^{2}}$ всегда будет отрицательным, значение $\frac{d^{2} n}{d t^{2}}$ всегда бу дет положительным, а значение $\frac{d^{2} m}{d t^{2}}$ может быть положительным или отрицательным; таким образом $l$ всегда будет максимумом, $n$ – минимумом, а $m$ не

будет ни тем, ни другим. Кроме того, мы видим, что $\frac{d^{2} l}{d t^{2}}+\frac{d^{2} m}{d t^{2}}$ будет всегда иметьотрицательное значение, а $\frac{d^{2} m}{d t^{2}}+\frac{d^{2} n}{d t^{2}}$ будет всегда иметь положительное значение; таким образом величина $l+m$ будет всегда максимумом, а $m+n$ – минимумом.

Величины $l+m, l+n, m+n$, выражающие суммы произведений каждой частицы тела на квадрат ее расстояния от трех осей $x, y, z$, называются, по Эйлеру, моментами инерции тела по отношению к этим осям; они являются для вращательного движения тем же, чем для поступательного движения являются простые массы, так как именно на эти моменты следует делить моменты сил импульса, чтобы получить скорости вращения вокруг тех же осей.

Путем рассмотрения наибольших и наименьших моментов инерции Эйлер и нашел главные оси; в настоящее время их обычно определяют с помощью трех условий
\[
\mathbf{S}_{x y D m}=0, \mathbf{S}_{x z D m}=0, \mathbf{S}_{y z D m}=0 .
\]
30. Так как на основании анализа, изложенного в пункте 27, мы вполне уверены, что уравнение относительно $s$ (п. 25) имеет три вещественных корня, то их всегда можно легко найти, если упомянутое уравнение, освободившись от второго его члена, сравнить с известным уравнением
\[
x^{3}-3 r^{2} x-2 r^{3} \cos \varphi=0,
\]

имеющим следующие три корня:
\[
2 r \cos \frac{\varphi}{3},-2 r \cos \left(60^{\circ}+\frac{\varphi}{3}\right),-2 r \cos \left(60^{\circ}-\frac{\varphi}{3}\right) .
\]

Таким образом мы получим три значения $s$, которые мы обозначим через $s, s^{\prime}, s^{\prime \prime}$, и соответствующие значения $u, u^{\prime}, u^{\prime \prime}$. Если, далее, мы обозначим через $\lambda, \lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}$ углы, образуемые тремя главными осями с осью $x$, через $\mu, \mu^{\prime}, \mu^{\prime \prime}$ утын, образуемые ими с осью $y$, и через $v, v^{\prime}, v^{\prime \prime}$ углы, образуемые ими с осью $z$, то на основании п. 24 и 25 , мы получим
\[
\begin{array}{l}
\cos \lambda=\frac{1}{\sqrt{1+s^{2}+u^{2}}}, \\
\cos \mu=\frac{s}{\sqrt{1+s^{2}+u^{2}}}, \\
\cos
u=\frac{u}{\sqrt{1+s^{2}+u^{2}}} ;
\end{array}
\]

аналогичные выражения мы получим также, если снабдим буквы $\lambda, \mu,
u, s, u$ одним или двумя штрихами. Таким образом определение трех главных осей может быть легко осуществлено с помощью этих формул для всякого твердого тела любой формы, однородного или неоднородного, если только нам известно значение величин $f, g, h, l, m, n$ относительно неподвижных осей $x, y, z$ для какого-нибудь заданного положения тела.

Если найденные значения $\cos \lambda, \cos \mu, \cos
u$ подставить в три уравнения пункта 22, то мы получим значения моментов $A, B, C$, необходимых для приведения во вращение с постоянной заданной скоростью $\dot{\theta}$ тела вокруг неподвижной в пространстве оси, положение которой задано теми же углами $\lambda, \mu, v$ и которая одновременно будет одной из главных осей тела, если для $s$ и $u$ взять один из трех корней уравнения относительно $s\left[{ }^{25}\right]$.
31. Так как указанные оси всегда взаимно перпендикулярны, то в формулах пункта 20 их можно взять в качестве осей $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$. В силу природы указанных осей мы, таким образом, будем иметь
\[
\mathbf{S} x^{\prime} y^{\prime} D m=0, \mathbf{S} x^{\prime} z^{\prime} D m=0, \mathbf{S}_{y^{\prime} z^{\prime} D m}=0 ;
\]

а если положить
\[
l^{\prime}=\mathbf{S} x^{\prime 2} D m, m^{\prime}=\mathbf{S} y^{\prime 2} D m, \quad n^{\prime}=\mathbf{S}_{z^{\prime 2} D m},
\]

то три уравнения упомянутого выше пункта получат следующий простой вид:
\[
\begin{aligned}
\left(m^{\prime}+n^{\prime}\right) \dot{\psi}^{\prime} & =A^{\prime}, \\
\left(l^{\prime}+m^{\prime}\right) \dot{\omega}^{\prime} & =B^{\prime}, \\
\left(l^{\prime}+n^{\prime}\right) \dot{\varphi}^{\prime} & =C^{\prime} ;
\end{aligned}
\]

пз әтих уравнений мы тотчас же получаем скорости вращения $\dot{\psi}^{\prime}, \dot{\omega}^{\prime}, \dot{\varphi}^{\prime}$ вокруг трех главных осей.

Здесь будет как раз уместно доказать предложение, упомянутое нами в пункте 19. В самом деле, если положить
\[
A=0, B=0, C=0,
\]

то мы будем также иметь (п. 20)
\[
A^{\prime}=0, B^{\prime}=0, C^{\prime}=0 ;
\]

следовательно, приведенные выше уравнения дадут
\[
\dot{\psi}^{\prime}=0, \dot{\omega}^{\prime}=0, \dot{\varphi}^{\prime}=0,
\]

так как для тела трех измерений величины $l, m, n$ никогда не могут быть равны нулю. Отсюда мы должны сделать вывод, что если первоначальные моменты равны нулю, то никакое вращательное движение невозможно.

Если из трех моментов $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ какие-либо два, например $B^{\prime}$ и $C^{\prime}$, равны нулю, что бывает в том случае, когда импульс происходит в плоскости $y^{\prime} z^{\prime}$, то две скорости врацения $\dot{\omega}, \dot{\varphi}$ тоже равны нулю, и тело движется вокруг главной оси $x^{\prime}$ со скоростью $\psi^{\prime}$. Но согласно формуле пункта 20 мы имеем
\[
A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2}=A^{2}+B^{2}+C^{2},
\]

в силу основных уравнений между величинами $\alpha, \beta$, $\gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$; следовательно, если мы ноложим
\[
B^{\prime}=0, C^{\prime}=0,
\]

то. мы будем иметь
\[
A^{\prime}=\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}},
\]

таким образом $A^{\prime}$ будет величиной постоянной; поэтому согласно первому уравнению скорость $\psi^{\prime}$ тоже будет постоянной.
32. Что касается значений $l^{\prime}, m^{\prime}, n^{\prime}$, то их легко вывести из значений $l, m, n, f, g, h$, так как в силу условных уравнений (Статика отд. III, п. 10) выражения для $x, y, z$ через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ обратно дадут
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=\alpha x+\alpha^{\prime} y+\alpha^{\prime \prime} z, \\
y^{\prime}=\beta x+\beta^{\prime} y+\beta^{\prime \prime} z, \\
z^{\prime}=\gamma x+\gamma^{\prime} y+\gamma^{\prime \prime} z .
\end{array}
\]

Но если за оси $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ принять главные оси, то на основании пункта 21 легко видеть, что величины $\alpha, \alpha^{\prime}, \alpha^{\prime \prime}$ будут тождественны с $\cos \lambda, \cos \mu$, $\cos
u$, что точно так же $\beta, \beta^{\prime}, \beta^{\prime \prime}$ будут тождественны с $\cos \lambda^{\prime}, \cos \mu^{\prime}, \cos
u^{\prime}$ и $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}-\cos \lambda^{\prime \prime}, \cos \mu^{\prime \prime}, \cos
u^{\prime \prime}$.

Если подставить приведенные выше значения әтих косинусов (п. 20), то мы получим
\[
\begin{aligned}
x^{\prime} & =\frac{x+s y+u z}{\sqrt{1+s^{2}+u^{2}}}, \\
y^{\prime} & =\frac{x+s^{\prime} y+u^{\prime} z}{\sqrt{1+s^{\prime 2}+u^{\prime 2}}}, \\
z^{\prime} & =\frac{x+s^{\prime \prime} y+u^{\prime \prime} z}{\sqrt{1-s^{\prime 2}+u^{\prime 2}}} .
\end{aligned}
\]

Возведем эти выражения во вторую степень и проинтегрируем, предварительно помножив их на $\mathrm{Dm}$; тогда мы получим
\[
\begin{aligned}
l^{\prime} & =\frac{l+s^{2} m+u^{2} n+2 s h+2 u g+2 s u f}{1+s^{2}+u^{2}} \\
m^{\prime} & =\frac{l+s^{\prime 2} m+u^{\prime 2} n+2 s^{\prime} h+2 u^{\prime} g+2 s^{\prime} u^{\prime} f}{1+s^{\prime 2}+u^{\prime 2}} \\
n^{\prime} & =\frac{l+s^{\prime \prime 2} m+u^{\prime \prime 2} n+2 s^{\prime \prime} h+2 u^{\prime \prime} g+2 s^{\prime \prime} u^{\prime \prime} f}{1+s^{\prime 2}+u^{\prime \prime 2}}
\end{aligned}
\]

Определение главных осей различных тел можно найти в большинстве курсов механики; у тел, имеющих симметричную форму, осью фигуры всегда является одна из главных осей; две другие можно затем найти с помощью формулы пункта 27.