Обратимся к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\frac{m M-f}{m L}=\frac{A^{2}}{B^{2}}, \\
\frac{m N-f}{m L}=\frac{A^{2}}{C^{2}},
\end{array}
\]
полученным Лагранжем на стр. 268 ; прежде всего мы вамечаем, что примененное им рассуждение не обосновывает вполне строго равенства осей $B$ и $C$. В самом деле, так как $M$ и $\boldsymbol{N}$ огличаются друг от друга только взаимной заменой букв $B$ и $C$, то ясно, что допущение $B=C$ сводит эти два урав: нения $\mathrm{k}$ одному, но не представляется очевидным, что это допущение необходимо для того, чтобы приведенные уравнения могли существовать одновременно. И пействительно, мы покажем, что сушествуют әллипсоидальные формы с неравными осями, для которых возможно равновесие.
Выражения, обозначенные Лагранжем через $L, M, N$, развернуты в «Небесной механике\” (Méchanique céleste) Лапласа и в вастоящее время их можно найти в большей части курсов механики. Эти выражения следующие *):
\[
\begin{array}{l}
L=\frac{3 \mu}{k^{8}} \int_{0}^{1} \frac{x^{2} d x}{H} \\
M=\frac{3 \mu}{k^{3}} \int_{0}^{1} \frac{x^{2} d x}{\left(1+\lambda^{2} x^{2}\right) H} \\
N=\frac{3 \mu}{k^{8}} \int_{0}^{1} \frac{x^{2} d x}{\left(1+\lambda^{\prime 2} x^{2}\right) H}
\end{array}
\]
в этих формулах $\mu$ обозначает массу эллипсоида, и положено
\[
\begin{array}{c}
\frac{B^{2}-A^{2}}{A^{2}}=\lambda^{2}, \quad \frac{C^{2}-A^{2}}{A^{2}}=\lambda^{\prime 2} \\
H=\sqrt{\left(1+\lambda^{2} x^{2}\right)\left(1+\lambda^{\prime 2} x^{2}\right)}
\end{array}
\]
Если из уравнений (1) и (2) исключить $f$, то мы получим соотнопение
\[
(M-N)\left(1+\lambda^{2}\right)\left(1+\lambda^{\prime 2}\right)=L\left(\lambda^{2}-\lambda^{\prime 2}\right) ;
\]
или согласно написанным выше выражениям для $L, M$ и
\[
\left(\lambda^{2}-\lambda^{\prime 2}\right)\left[\left(1+\lambda^{2}\right)\left(1+\lambda^{\prime 2}\right) \int_{0}^{1} \frac{x^{4} d x}{H^{3}}-\int_{0}^{1} \frac{x^{2} d x}{H}\right]=0 .
\]
*) Laplace, Méchanique céleste, т. II fTp. $^{11}$
Этому равенству можно удовлетворить двумя путями:
1. Если положить $\lambda^{\prime}=\lambda$, тто дает рллипсоид вращения и согласуется с указанием Маклорена (Maclaurin), приведенньм Јагранжем.
2. Если положить
\[
\left(1+\lambda^{2}\right)\left(1+\lambda^{\prime 2}\right) \int_{0}^{1} \frac{x^{4} d x}{H^{3}}=\int_{0}^{1} \frac{x^{2} d x}{H},
\]
это уравнение дает $\lambda$ в функции $\lambda^{\prime}$ и приводит к эллипсоиду с неравными осями, указанному Якоби (Jacobi).
Сверх того можно доказать, что для каждого значения $\lambda$ уравнение (5) дает соответствующее значение $\lambda^{\prime}$.
Действительно, представим это уравнение в следующем виде:
\[
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}\left(1-x^{2}\right)\left(1-\lambda^{2} \lambda^{\prime 2} x^{2}\right) d x}{H^{3}}=0 ;
\]
тогда ясно, что если $\lambda$ приписать определенные значения, то первый член будет положительным, когда $\lambda^{\prime}$ равно нулю, и отрицательным, когда $\lambda^{\prime}$ очень велико; следовательно, он необходимо обращается в нуль при некотором положительном значении $\lambda^{\prime}$.
Более подробно можно ознакомиться с этим вопросом в статье, помещенной Лиувилем в 14 томе Journal de l’École Polytechnique (XXIIl выпуск). Укажем еще статью, помещенную Лиувилем в IV томе его журнала, содержащую несколько интересных замечаний по поводу уравнения (6). Эта статья озаглавлена: Observations sur un mémoire de M. Yvory. Наконец, этот вопрос был исследован немецким математиком Мейером (Меуег) из Кенигсберга. Мейер поставил вопрос *), многие ли әллицсоидальные формы е тремя неравными осями могут дать равновесие при ваданной скорости вращения, и пришел к выводу, что существует только одна подобная форма әллипсоида. Одновременно Мейер доказал, что заданной скорости вращения соответствуют, вообе говоря, две эллипсоидальных формы вращения; впрочем, с этим можно ознакомиться в «Méchanique céleste» Лапласа, т. II, стр. 56.
*) Crell’s Journal, r. XXIV.
