Обратимся к уравнениям
$$\begin{array}{l}\frac{mM-f}{mL}=\frac{A^2}{B^2},\\ \frac{mN-f}{mL}=\frac{A^2}{C^2},\end{array}$$

полученным Лагранжем на стр. 268 ; прежде всего мы вамечаем, что примененное им рассуждение не обосновывает вполне строго равенства осей $B$ и $C$. В самом деле, так как $M$ и $\mathit{N}$ огличаются друг от друга только взаимной заменой букв $B$ и $C$, то ясно, что допущение $B=C$ сводит эти два урав: нения $\mathrm{k}$ одному, но не представляется очевидным, что это допущение необходимо для того, чтобы приведенные уравнения могли существовать одновременно. И пействительно, мы покажем, что сушествуют әллипсоидальные формы с неравными осями, для которых возможно равновесие.

Выражения, обозначенные Лагранжем через $L,M,N$, развернуты в «Небесной механике\» (Méchanique céleste) Лапласа и в вастоящее время их можно найти в большей части курсов механики. Эти выражения следующие *):
$$\begin{array}{l}L=\frac{3\mu }{k^8}{\int }_0^1\frac{x^{2}dx}{H}\\ M=\frac{3\mu }{k^3}{\int }_0^1\frac{x^{2}dx}{(1+{\lambda }^2{x}^2)H}\\ N=\frac{3\mu }{k^8}{\int }_0^1\frac{x^{2}dx}{(1+{\lambda }^{\prime 2}{x}^2)H}\end{array}$$

в этих формулах $\mu$ обозначает массу эллипсоида, и положено
$$\begin{array}{c}\frac{B^2-A^2}{A^2}={\lambda }^2,\frac{C^2-A^2}{A^2}={\lambda }^{\prime 2}\\ H=\sqrt{(1+{\lambda }^2{x}^2)(1+{\lambda }^{\prime 2}{x}^2)}\end{array}$$

Если из уравнений (1) и (2) исключить $f$, то мы получим соотнопение
$$(M-N)(1+{\lambda }^2)(1+{\lambda }^{\prime 2})=L({\lambda }^2-{\lambda }^{\prime 2});$$

или согласно написанным выше выражениям для $L,M$ и
$$({\lambda }^2-{\lambda }^{\prime 2})[(1+{\lambda }^2)(1+{\lambda }^{\prime 2}){\int }_0^1\frac{x^{4}dx}{H^3}-{\int }_0^1\frac{x^{2}dx}{H}]=0.$$
*) Laplace, Méchanique céleste, т. II fTp. ${}^{11}$

Этому равенству можно удовлетворить двумя путями:
1. Если положить ${\lambda }^{\prime }=\lambda$, тто дает рллипсоид вращения и согласуется с указанием Маклорена (Maclaurin), приведенньм Јагранжем.
2. Если положить
$$(1+{\lambda }^2)(1+{\lambda }^{\prime 2}){\int }_0^1\frac{x^{4}dx}{H^3}={\int }_0^1\frac{x^{2}dx}{H},$$

это уравнение дает $\lambda$ в функции ${\lambda }^{\prime }$ и приводит к эллипсоиду с неравными осями, указанному Якоби (Jacobi).

Сверх того можно доказать, что для каждого значения $\lambda$ уравнение (5) дает соответствующее значение ${\lambda }^{\prime }$.

Действительно, представим это уравнение в следующем виде:
$${\int }_0^1\frac{x^2(1-x^2)(1-{\lambda }^2{\lambda }^{\prime 2}{x}^2)dx}{H^3}=0;$$

тогда ясно, что если $\lambda$ приписать определенные значения, то первый член будет положительным, когда ${\lambda }^{\prime }$ равно нулю, и отрицательным, когда ${\lambda }^{\prime }$ очень велико; следовательно, он необходимо обращается в нуль при некотором положительном значении ${\lambda }^{\prime }$.

Более подробно можно ознакомиться с этим вопросом в статье, помещенной Лиувилем в 14 томе Journal de l’École Polytechnique (XXIIl выпуск). Укажем еще статью, помещенную Лиувилем в IV томе его журнала, содержащую несколько интересных замечаний по поводу уравнения (6). Эта статья озаглавлена: Observations sur un mémoire de M. Yvory. Наконец, этот вопрос был исследован немецким математиком Мейером (Меуег) из Кенигсберга. Мейер поставил вопрос *), многие ли әллицсоидальные формы е тремя неравными осями могут дать равновесие при ваданной скорости вращения, и пришел к выводу, что существует только одна подобная форма әллипсоида. Одновременно Мейер доказал, что заданной скорости вращения соответствуют, вообе говоря, две эллипсоидальных формы вращения; впрочем, с этим можно ознакомиться в «Méchanique céleste» Лапласа, т. II, стр. 56.
*) Crell’s Journal, r. XXIV.