33. Вообще говоря, как бы ни были расположены или связаны друг с другом различные тела, образующие систему, если только это расположение не зависит от времени, т. е. если условные уравнения между координатами различных тел совершенно не содержат переменной $t$, ясно, что в общей формуле динамики всегда можно приравнять вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ дифференциалам $d x, d y, d z$, выражающим пути, фактически пройденные телом за мгновение $d t$, в то время как вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ должны выражать некоторые пути, которые могли бы быть пройдены телами за то же мгновение, если принять во внимание взаимное расположение этих тел.

Подобное допущение является частным и может, следовательно, дать только одно уравнение, но так как оно не зависит от формы системы, то оно обладает тем преимуществом, что дает общее уравнение для движения любой системы.

Следовательно, если в общую формулу пункта 5 (предыд. отд.) вместо вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$ подставить дифференциалы $d x, d y, d z$, а стало быть и вместо вариаций $\delta p, \delta q, \delta r, \ldots$, зависящих от $\delta x, \delta y, \delta z, \ldots$, подставить дифференциалы $d p, d q, d r, \ldots$, то мы получим следующее общее уравнение, имеющее силу для любой системы тел:
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S} m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} d x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} d y+\right. & \frac{d^{2} z}{d t^{2}} d z+P d p+ \\
& +Q d q+R d r+\ldots)=0 .
\end{aligned}
\]
34. В том случае, когда величина
\[
p d p+Q d q+R d r+\ldots
\]
интегрируема, что имеет место, когда силы $P, Q$, $R$,… направлены к неподвижным центрам или к телам той же системы, и являются функциями расстояний $p, q, r, \ldots$, мы можем, положивши
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots=d \Pi,
\]

привести указанное выше уравнение к следующему виду:
\[
\mathbf{S} m\left(\frac{d^{2} x}{d t^{2}} d x+\frac{d^{2} y}{d t^{2}} d y+\frac{d^{2} z}{d t^{2}} d z+d \Pi\right)=0 ;
\]

последнее уравнение после интегрирования дает
\[
\mathbf{S} m\left[\frac{1}{2}\left(\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}\right)+11\right]=H,
\]

где $H$ обозначает произвольную постоянную, равную значению левой части уравнения в заданное мгновение.

Последнее уравнение содержит принцип, известный под названием принципа сохранения живых сил. В самом деле, так как $d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}$ представляет собою квадрат пути, проходимого телом в течение мгновения $d t$, то
\[
\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}
\]

будет квадратом его скорости, а
\[
m\left(\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}\right)
\]

его живой силой. Следовательно,
\[
\mathbf{S} m\left(\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}\right)
\]

представит сумму живых сил всех тел, или живую силу всей системы; из рассматриваемого уравнения видно, что эта живая сила равна величине
\[
2 H-2 \mathbf{S} \Pi m \text {, }
\]

зависящей просто от ускоряющих сил, действующих на тела, и нисколько не зависящей от их взаимных связей; таким образом живая сила системы в любое мгновение равна той живой силе, которой обладали бы тела, если бы, находясь под действием тех же сил, каждое из них двигалось свободно по описанной им линии. Поэтому указанное свойство движения и получило название сохранения живых сил.
35. Приведенный принцип имеет место и в том случае, если движение тел отнести к их центру тяжести; в самом деле, если, как раньше (п. 3), обозначить через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ три координаты центра тяжести и положить
\[
x=x^{\prime}+\xi, \quad y=y^{\prime}+\eta, \quad z=z^{\prime}+\zeta,
\]

то координаты $\xi, \eta, \zeta$ будут иметь свое начало в центре тяжести. Тогда мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{1}{2} \mathbf{S} m\left(\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}\right)= \\
=\frac{1}{2}\left(\frac{d x^{\prime 2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{\prime 2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{\prime 2}}{d t^{2}}\right) \mathbf{S} m+ \\
\quad+\frac{1}{2} \mathbf{S} m\left(\frac{d \xi^{2}}{d t^{2}}+\frac{d \eta^{2}}{d t^{2}}+\frac{d \zeta^{2}}{d t^{2}}\right)+\frac{d x^{\prime}}{d t} \mathbf{S} m \frac{d \xi}{d t}+ \\
\quad+\frac{d y^{\prime}}{d t} \mathbf{S} m \frac{d \eta}{d t}+\frac{d z^{\prime}}{d t} \mathbf{S} m \frac{d \zeta}{d t} .
\end{array}
\]

В силу природы центра тяжести мы имеем (см. упомянутый пункт)
\[
\mathbf{S} m \frac{d \xi}{d t}=0, \quad \mathbf{S} m \frac{d \eta}{d t}=0, \quad \mathbf{S} m \frac{d \zeta}{d t}=0 .
\]

Следовательно, если мы приведенное уравнение продифференцируем и вычтем из уравнения, указанного в пункте 33, то мы получим
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{d^{2} x^{\prime}}{d t^{3}} d x^{\prime}+\frac{d^{2} y^{\prime}}{d t^{2}} d y^{\prime}+\frac{d^{2} z^{\prime}}{d t^{2}} d z^{\prime}\right) \mathbf{S} m+ \\
+\mathbf{S} m\left(\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}} d \xi+\frac{d^{2} \eta}{d t^{2}} d \eta+\frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}} d \zeta\right)+ \\
+\mathbf{S} m(P d p+Q d q+R d r+\ldots)=0
\end{aligned}
\]

Вместо
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots
\]

подставим эквивалентную величину
\[
X d x+Y d y+Z d z
\]

и вместо $d x, d y, d z$ подставим значения $d x^{\prime}+d \xi$, $d y^{\prime}+d \eta, d z^{\prime}+d \zeta$; тогда, в силу дифференциальных уравнений пункта 3 , последнее уравнение примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S} m\left(\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}} d \xi+\frac{d^{2} \eta}{d t^{2}} d \eta\right. & \left.+\frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}} d \zeta\right)+ \\
& +\mathbf{S} m(X d \xi+Y d \eta+Z d \zeta)=0,
\end{aligned}
\]

аналогичный уравнению пункта 33 ; однако здесь величина
\[
X d \xi+Y d \eta+Z d \zeta
\]

будет интегрируемой только в том случае, если силы будут действовать по направлению к самим телам системы и будут пропорциональны функциям расстояний. В этом случае мы будем иметь
\[
\frac{1}{2} \mathbf{S} m\left(\frac{d \xi^{2}}{d t^{2}}+\frac{d \eta^{2}}{d t^{2}}+\frac{d \zeta^{2}}{d t^{2}}\right)=H,
\]

уравнение, содержащее сохранение эсивых сил относительно центра тяжести [26].
36. Впрочем, условия для приндипа эсивых сил не аналогичны условиям для принципов центра тяжести и площадей; последние имеют место независимо от тех действий, которые тела системы могут проявить друг по отношению к другу, даже в том случае, когда тела соударяются, – так как все внутренние силы исчезают из уравнений, выражающих оба эти принципа.

Уравнение сохранения живых сил содержит все члены, происходящие как от внешних, так и от внутренних сил: сно не зависит только от действия тел, вызванного их взаимной связью. Этот принцип имеет место и при движении неупругих жидкостей, если последние образуют сплошную массу и между их частями не происходит никаких столкновений. В том случае, когда величина живых сил после столкновения упругих тел имеет то же значение, что и до столкновения, считают, что и тела после столкновения вернулись в то состояние, в каком они были до удара; таким образом члены $\int P d p$ выражения $\Pi$, которые зависят от сил $P$, происходящих от упругости тела, и значение которых бывает максимальным, когда сжатие достигает наивысшей стешени, — затем во время возвращения к первоначальному состоянию равномерно убывают и к концу столкновения становятся равными нулю. Только при этом допущении сохранение живых сил может иметь место и при столкновении упругих тел.

Во всех прочих случаях, когда происходят внезапные изменения в скоростях некоторых тел системы, общая сумма живой силы уменьшается на величину тех живых сил, которые могли вызвать әти изменения; указанная величина может быть всегда измерена суммой масс, умноженных на квадраты скоростей, которые были әтими массами потеряны или могли считаться потерянными при внезапных изменениях реальных скоростей тел. Такова теорема, найденная Карно (Carnot) для удара твердых тел.
37. В уравнении пункта 11 предыдущего отдела можно тоже допустить, что вариации $\delta x, \delta y$, $\delta z$ пропорциональны скоростям $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, полученным телом благодаря импульсу. В таком случае мы будем иметь уравнение
\[
\mathbf{S}\left[m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)+X \dot{x}+Y \dot{y}+Z \dot{z}\right]=0,
\]

в котором часть $\mathbf{S} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)$ выражает живую силу всей системы.

Если это уравнение соединить с трөмя уравнениями пункта 14, то мы получим свойство максимумов $и$ минимумов по отношению $к$ линии, вокруг которой система вращается в первое мгновение, когда она получила какой-либо импульс; эту линию можно также назвать меновенной осью вращения.

Если мы обозначим через $\alpha, \beta, \gamma$ те части скоростей $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, которые зависят от изменения взаимного расположения тел системы *) и если мы их прибавим
*) Указанные величины $\alpha, \beta$ и $\gamma$ не являются достаточно определенными. Действительно, каково бы ни было смещение системы, изменяющейся по своему виду, его всегда можно рассматривать как результирующее некоторого произвольного движения, сообщенного отвердевшей системе, и затем второго движения, вызывающего изменение взаимного расположения рассматриваемых точек. Неопределенность величин $\alpha, \beta$ и $\gamma$ делает настоящий пункт 37 крайне неясным. Я должен сознаться, что не был в состоянии понять ход мыслей Лагранжа и не мог вложить какой-либо точный смысл в теорему, которой заканчивается этот параграф. Поэтому приведенные ниже примечания относятся только кслучаю твердой системы. (Прим. Бертрана.)

Вполне присоединяясь к приведенным выше замечаниям, мы предлагаем следующее толкование вывода, полученного Лагранжем: если в формулах, дающих значения $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, мы будем рассматривать $\alpha, \beta, \gamma$ как заданные функции $x_{1} y, z$, а $\dot{\omega}, \dot{\varphi}, \dot{\psi}$-как произвольные переменные, то это приведет к рассмотрению всех движений системы, при которых деформация к концу бесконечно малого промежутка времени останется одной и той же; ибо если, например, определить производную расстояния двух точен системы по времени, то можно легко установить, что эта производная совершенно не зависит от произвольных величин $\dot{\omega}, \dot{\varphi}, \dot{\psi}$ и, следовательно, сохраняет одну и ту же величину, когда әти произвольные величины принимают любые возможные значения. Стало быть, теорема Лагранжа может быть выражена следующим образом.

Если двиюение, получаемое си стемой под действием задан. ных импульсов, сравнить со всеми двиясениями, при которых деформачия $к$ концу бесконечно малого промежутка времени оставалась бы неизменной, то живая сила; приобретенная системой при естественном движении, будет вседда максимумом или минимумом.

Сверх того, из доказательства; данного Бертраном в дальнейшем примечании, следует, что эта живал сила всегда будет максимумом.

Предложение Јагранжа содержится, впрочем, как частный случай в весьма общей теореме, которой мы обязаны ШІурму (Sturm); изложение этой теоремы можно найти в статье, помещенной в Comptes rendus de l’Académie des Sciences, roмXIII, к тем скоростям, которые получаются в результате вращений (п. 17), то мы получим- полные значения $\dot{x}, \dot{y}, \dot{z}$, которые выразятся следу ющим образом:
$\dot{x}=z \dot{\omega}-y \dot{\varphi}+\alpha, \quad \dot{y}=x \dot{\varphi}-z \dot{\psi}+\beta, \quad \dot{z}=y \dot{\psi}-z \dot{\omega}+\gamma$.
Предположим теперь, что мы продифференцировали эти значения, рассматривая при этом в качестве переменных только $\dot{\psi}, \dot{\omega}, \dot{\varphi}$, и что эти дифференциалы обозначили с помощью символа $\delta *$ ); тогда мы получим $\dot{\delta}=z \dot{\omega}-y \dot{\phi}, \quad \delta \dot{y}=x \delta \dot{\varphi}-z \delta \dot{\psi}, \quad \delta \dot{z}=y \delta \dot{\psi}-x \delta \dot{\omega}$. Если три уравнения пункта 14 помножить соответственно на $\delta \dot{\varphi}, \delta \dot{\omega}, \delta \dot{\psi}$ и сложить, а затем подвести под знак интеграла $\mathbf{S}$ дифференциалы $\delta \dot{\varphi}$, $\dot{\delta} \omega, \delta \dot{\psi}$, являющиеся общими для всех тел, то путем подстановки приведенных выше значений мы получим
\[
\mathbf{S}[m(\dot{x} \delta \dot{x}+\dot{y} \dot{y}+\dot{z} \delta \dot{z})+X \delta \dot{x}+Y \dot{\delta} \dot{y}+Z \dot{z}]=\dot{0} .
\]

Но найденное нами выше уравнение живой силы, будучи продифференцировано в смысле символа $\delta * *$ ), даeт
\[
\mathbf{S}[2 m(\dot{x} \dot{\delta}+\dot{y} \dot{y}+\dot{z} \dot{\delta})+X \dot{\delta}+Y \dot{\delta} y+Z \dot{\delta}]=0 .
\]

стр. 1045, а доказательство – в посмертном мемуаре Штурма. опубликованном Пруэ (Prouhet) (см. Sturm, Leçons de Mécanique, t. II). (Прим Дарбу.)
*) Указанные вариации, выраженные символом $\delta$, относятся к изменениям, испытываемым скоростями вследствие введения новых связей, причем движущие силы остаются неизменными. Так, например, в случае твердого тела вариации $\delta$ могут возникнуть вследствие введения в систему неподвижной оси. (Прим. Бертрана.)
**) Если допустить, что вариации, обозначенные через $\delta$, ивляются конечными, то путем дифференцирования уравнения живых сил мы получим
\[
\begin{aligned}
\mathbf{S}\left\{2 m(\dot{x} \dot{\delta} \dot{x}+\dot{y} \dot{y}+z \dot{\delta})+m\left[(\dot{\delta} \dot{x})^{2}\right.\right. & \left.+(\delta \dot{y})+(\delta \dot{z})^{2}\right]+ \\
& +X \dot{\delta} \dot{x}+Y \dot{y}+Z \dot{\delta}\}=0,
\end{aligned}
\]

Таким образом путем сравнения последних двух уравнений мы получаем
\[
\mathbf{S} m(\dot{x} \delta \dot{x}+\dot{y} \delta \dot{y}+\dot{z} \delta \dot{z})=0
\]

и, следовательно,
\[
\delta \mathbf{S} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)=0 ;
\]

из последнего видно, что живая сила, приобретенная системой в результате импульса, является всегда максимумом или минимумом *) по отношению $\mathrm{k}$ вращениям вокруг трех осей; а так как эти три вращения складываются в единое вращение вокруг мгновений оси, то отсюда следует, что положение этой оси таково, что живая сила всей системы по отношению к этой же оси является наименьшей или наибольшей.

Эйлер доказал указанное свойство мгновенной оси вращения для твердых тел любой формы; из приведенного выше анализа видно, что оно является общим свойством для всякой системы тел, как связанных между собою, так и не связанных,– когда эти тела получают какие-нибудь импульсы.
38. Когда система представляет собою твердое тело, способное свободно вращаться вокруг точки и не находящееся под действием какой-либо ускоряю-
а если продолжить это рассуждение, приняв во внимание новые члены, введенные благодаря указанному допущению, то мы найдем
\[
\delta \mathbf{S} m\left(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}+\dot{z}^{2}\right)=-\mathbf{S} m\left[(\delta \dot{x})^{2}+(\delta \dot{y})^{2}+(\delta \dot{z})^{2}\right] .
\]

Отсюда видно, что приращение живых сил-является отрицательным и равно сумме живых сил, связанных со скоростями, потерянными различными точками (Iрим. Бертрана.)
*) Из предшествующего примечания следует, что она всегда бывает максимумом. Это было вцервые установлено Делонә (Delaunay), который доказал его совершенно иным путем (Journal de Liouville, серия I, т. V, crp. 255). (IIрим. Бертрана.)

щей силы, то из сочетания уравнения живых сил с уравнением площадей можно вывести отношение, достойное быть отмеченным благодаря своей простоте, которое, насколько я знаю, до сих пор еще не было отмечено, а именно, отношение между скоростями вращения $\dot{\psi}, \dot{\omega}, \dot{\varphi}$ вокруг трех неподвижных осей координат $x, y, z$. В этом случае мы имеем просто (II. 17)
\[
\begin{array}{l}
d x=\dot{x} d t=(z \dot{\omega}-y \dot{\varphi}) d t \\
d y=\dot{y} d t=(x \dot{\varphi}-z \dot{\psi}) d t \\
d z=\dot{z} d t=(y \dot{\psi}-x \dot{\omega}) d t
\end{array}
\]

Если три последних уравнения пункта 9 сложить, помножив их соответственно на $\dot{\varphi}, \dot{\omega}, \dot{\psi}$, подвести әти величины под знак $\mathbf{S}$ и подставить $\frac{d x}{d t}, \frac{d y}{d t}, \frac{d z}{d t}$ вместо их значений, то мы получим
\[
\mathbf{S} m\left(\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}\right)=A \dot{\psi}+B \dot{\omega}+C \dot{\varphi} ;
\]

но уравнение п. 34 при $\Pi=0$ дает
\[
\frac{1}{2} \mathbf{S} m\left(\frac{d x^{2}}{d t^{2}}+\frac{d y^{2}}{d t^{2}}+\frac{d z^{2}}{d t^{2}}\right)=H \text {. }
\]

Таким образом мы имеем
\[
A \dot{\psi}+B \dot{\omega}+C \dot{\varphi}=2 H,
\]

где $A, B, C$ являются моментами первоначальных импульсов, а $H$ представляет собою произвольную постоянную, которая необходимо должна быть положительной.

Если в этом уравнении вместо $A, B, C$ подставить выражения пункта 11
\[
\gamma C^{\prime}, \gamma^{\prime} C^{\prime}, \gamma^{\prime \prime} C^{\prime}
\]

или $C^{\prime} \cos l, C^{\prime} \cos m, C^{\prime} \cos n$, а вместо $\dot{\psi}, \dot{\omega}, \dot{\varphi}$ значения пункта 17
\[
\dot{\theta} \cos \lambda, \quad \dot{\theta} \cos \mu, \quad \dot{\theta} \cos
u,
\]

то мы получим
\[
\dot{\theta}(\cos l \cos \lambda+\cos m \cos \mu+\cos n \cos
u)=\frac{2 H}{C^{\prime}} .
\]

В этой формуле $l, m, n$ представляют собою углы, образуемые осью, перпендикулярной к неизменной плоскости, с неподвижными осями $x, y, z$, а $\lambda, \mu,
u$ представляют собою углы, образуемые с теми же осями мгновенной осью стожного вращения, скорость которого равна $\dot{\theta}$. Таким образом, если мы обозначим через $\sigma$ угол, образуемый мгновенной осью вращения с осью, перпендикулярной к неизменной плоскости, то с помощью известной формулы мы получим
\[
\cos \sigma=\cos l \cos \lambda+\cos m \cos \mu+\cos n \cos
u
\]

и, следовательно, $\dot{\theta} \cos \sigma=\frac{2 H}{\bar{C}^{\prime}}$, где величина $\frac{2 H}{\overline{C^{\prime}}}$ является постоянной, зависящей от начального состояния; отсюда получается независимое от формы тела соотношение между фактической скоростью вращения в каждое мгновение и положением оси вращения относительно неизменной плоскости.

Между прочим, если плоскость $x y$ выбрать таким образом, чтобы она прошла через центр тела и через прямую, по направлению которой произошел импульс, то постоянные величины $A$ и $B$ будут равны нулю (п. 16) и найденное выше общее уравнение сведется к следующему
\[
\dot{\varphi}=2 H ;
\]

из последнего видно, что скорость вращения по отношению к оси $z$, т. е. параллельно плоскости импульса, остается всегда неизменной.