2. На основе сделанных выше предпосылок допустим сначала, что тело, или точка, к которой приложены силы $P, Q, R, \ldots$, совершенно свободна; в таком случае между координатами $x, y, z$ не существует никакого условного уравнения, и величина $X d x+Y d y+Z d z$ должна равняться нулю независимо от значений $d x, d y, d z$ (отд. II, п. 10). Отсюда тотчас же получаются три частных уравнения
\[
X=0, \quad Y=0, \quad Z=0 .
\]

Эти уравнения содержат законы равновесия любого количества сил, сходящихся в одной и той же точке.
3. Если в выражениях для $X, Y, Z$ положить $P=p, Q=q, R=r, \ldots$, что вцолне допустимо, так как безразлично, к каким точкам по напему предположению силы направлены, если только эти точки лежат на направлениях сил, то получаются следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
x-a+x-f+x-l+\ldots=0 \\
y-b+y-g+y-m+\ldots=0 \\
z-c+z-h+z-n+\ldots=0
\end{array}
\]

отсюда, если допустить, что вообще число сил $P, Q, R, \ldots$ равно $\mu$, следует
\[
\begin{array}{l}
x=\frac{a+f+l+\ldots}{\mu}, \\
y=\frac{b+g+m+\ldots}{\mu}, \\
z=\frac{c+h+n+\ldots}{\mu},
\end{array}
\]

Эти выражения для $x, y, z$ показывают, что точка, к которой силы приложены, находится в центре тяжести точек, к которым эти силы направлены.

Отсюда вытекает теорема Лейбница, заключающаяся в следующем: если произвольное количество сил находится в равновесии в какой-либо точке и если из этой точки провести прямые линии, представляющие как величину, так и направление каждой силы, то эта точка является центром тяжести всех тех точек, в которых эти линии заканчиваются.

Таким образом, если имеются только четыре силы и если представить себе пирамиду, четыре вершины которой находятся в концах прямых линий, изображающих силы, то между этими четырьмя силами равновесие будет существовать только в том случае, если точка, на которую они действуют, будет центром тяжести пирамиды; в самом деле, из геометрии известно, что центр тяжести каждой пирамиды совпадает с пентром тяжести четырех равных по своей массе тел, помещенных в четырех углах пирамиды. Последняя теорема принадлежит Робервалю.
4. Предположим теперь, что тело или точка, на которую действуют силы $P, Q, R, \ldots$, не является совершенно свободной, но вынуждена двигаться по заданной поверхности или линии; в таком случае будет существовать одно или два условных уравнения между координатами $x, y, z$, которые будут представлять собою не что иное, как самые уравнения указанной поверхности или линии.

Пусть $L=0$ является уравнением поверхности, по которой тело может только скользить; прибавим к сумме моментов сил $X d x+Y d y+Z d z$ член $\lambda d L$ (отд. IV, п. 3), и тогда получится общее уравнение равновесия
\[
X d x+Y d y+Z d z+\lambda d L=0,
\]

где $\lambda$ будет величиной неопределенной.

—————————————————————-
0096_teor_meh_book10_orig_page-0152.jpg.txt

РАЗРЕШЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ПРОБЛЕМ СТАТИКИ
151
Но так как $L$ является известной функцией $x$, $y, z$, то путем дифференцирования мы получим
\[
d L=\frac{\partial L}{\partial x} d x+\frac{\partial L}{\partial y} d y+\frac{\partial L}{\partial z} d z .
\]

Подставив это выражение в общее уравнение и приравняв затем отдельно нулю суммы всех членов, являющихся множителями при каждом из дифференциалов $d x, d y, d z$, получим три следующих частных уравнения равновесия:
\[
X+\lambda \frac{\partial L}{\partial x}=0, \quad Y+\lambda \frac{\partial L}{\partial y}=0, \quad Z+\lambda \frac{\partial L}{\partial z}=0,
\]

из которых досле исключения $\lambda$ получатся следующие два уравнения:
\[
Y \frac{\partial L}{\partial x}-X \frac{\partial L}{\partial y}=0, \quad Z \frac{\partial L}{\partial x}-X \frac{\partial L}{\partial z}=0,
\]

содержащие искомые условия равновесия тела, вынужденного оставаться на заданной поверхности.
5. Если мы применим здесь теорию, изложенную в пункте 5 отдела IV, то мы придем к выводу, что поверхность должна оказывать телу сопротивление, равное
\[
\lambda \sqrt{\left(\frac{\partial L}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial L}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial L}{\partial z}\right)^{2}}
\]

и направленное перпендикулярно к поверхности, имеющей своим уравнением $d L=0$, т. е. перпендикулярно к той самой поверхности, на которой тело вынуждено оставаться; а так как
\[
\lambda \frac{\partial L}{\partial x}=-X, \quad \lambda \frac{\partial L}{\partial y}=-Y, \quad \lambda \frac{\partial L}{\partial z}=-Z,
\]

то отсюда следует, что давление тела на поверхность (давленис, которое должно быть равно и направлено прямо противоположно сопротивлению поверхности) выражается через $\sqrt{X^{2}+Y^{2}+Z^{2}}$ и направлено пер-

—————————————————————-
0096_teor_meh_book10_orig_page-0153.jpg.txt

152
СТАТИКА
пендикулярно к той же поверхности. К этому условию только и сводятся два уравнения, найденные выше для равновесия тела, в чем легко убедиться, пользуясь методом сложения сил.
6. Впрочем, в случае единственного тела, находящегося под действием заданных сил, условия равновесия могут быть определены еще проще, а именно, если непосредственно в уравнение
\[
X d x+Y d y+Z d z=0
\]

подставить вместо дифференциала $d z$ его значение
\[
-\frac{\frac{\partial L}{\partial x} d x+\frac{\partial L}{\partial y} d y}{\frac{\partial L}{\partial z}},
\]

найденное из дифференциального уравнения заданной поверхности, по которой тело может скользить, и приравнять нулю коәффициенты дифференциалов $d x$ и $d y$, остающихся неопределенными; все это следует из общего метода, изложенного в пункте 10 отдела II.
Таким образом мы сразу получаем два уравнения
\[
X-Z \frac{\frac{\partial L}{\partial x}}{\frac{\partial L}{\partial z}}=0, \quad Y-Z \frac{\frac{\partial L}{\partial y}}{\frac{\partial L}{\partial z}}=0,
\]

совпадающие с уравнениями, найденными нами выше.
Аналогично, если тело подчинено тому условию, что оно должно двигаться по заданной линии, определяемой с помощью двух дифференциальных уравнений $d y=p d x, d z=q d x$, то останется лишь подетавить эти значения $d y$ и $d z$ в уравнение $X d x+Y d y+$ $+Z d z=0$; после сокращения на $d x$ мы получаем уравнение
\[
X+Y p+Z q=0,
\]

которое и представляет собою уравнение равновесия.

Однако во всех случаях, когда рассматривается несколько тел, находящихся в равновесии, изложенный в предыдущем отделе метод неопределенных коэффициентов всегда имеет препмущество как с точки зрения легкости, так и с точки зрения простоты и однородности вычислений.