2. Допустим сначала, что жидкость заключена в бесконечно тонком канале или трубке заданной формы, и вообразим себе, что жидкость разделена на бесконечно малые слои или части, высота которых пусть будет $d s$, а поперечное сечение $\omega$; тогда можно положить $d m=\omega d s$, так как сечение трубки $\omega$ согласно допущению бесконечно мало, а $d s$ представляет собою элемент кривой, обравуемой трубкой. Теперь представим себе, что жидкость получает небольшое движение и бесконечно мало изменяет свое положение в трубке, причем $\delta s$ представляет собою небольшое
пространство, проходимое по трубке слоем или частицей $d m$; тогда ясно, что $\omega \delta s$ выразит количество жидкости, которое одновременно пройдет через каждое из сечений $\omega$ трубки. Но в силу несжимаемости жидкости это количество должно быть повсюду одинаковым; следовательно, если положить $\omega \delta s=\alpha$, то $\alpha$ будет постоянной по всей линии трубки. Таким образом мы будем иметь $\omega=\frac{\alpha}{\delta s}$, а следовательно, $d m=\frac{\alpha d s}{\delta s}$; стало быть, формула, выражающая сумму моментов сил, если постоянную $\alpha$ вынести за знак интеграла, получит следующий вид:
\[
\alpha \mathbf{S}(P \delta p+Q \delta q+R \delta r+\ldots) \frac{d s}{\delta s} .
\]

Так как $\delta p, \delta q, \delta r, \ldots$ являются вариациями линий $p, q, r, \ldots$, соответствующими вариации $\delta s$, то ясно, что эти вариации должны находиться между собою в таких же отношениях, как дифференциалы $d p, d q, d r, \ldots$, ибо форма трубки задана; поэтому мы будем иметь
\[
\frac{\delta p}{\delta s}=\frac{d p}{d s}, \quad \frac{\delta q}{\delta s}=\frac{d q}{d s}, \frac{\delta r}{\delta s}=\frac{d r}{d s}, \ldots ;
\]

благодаря этому приведенная выше формула получит следующий вид:
\[
\alpha \mathbf{S}(P d p+Q d q+R d r+\ldots),
\]

где дифференциалы $d p, d q, d r, \ldots$ относятся к кривой линии трубки, а знак $\mathbf{S}$ указывает на то, что интеграл берется по всему протяжению трубки.

Следовательно, если приведенную величину приравнять нулю, то у нас получится уравнение
\[
\mathbf{S}(P d p+Q d q+R d r+\ldots)=0,
\]

которое содержит в себе общий закон равновесия жидкости, заключенной в трубку любой формы.

3. Пусть помимо сил $P, Q, R, \ldots$, действующих на каждую точку жидкости, на одном из концов трубки имеется еще и внешняя сила $\Pi^{\prime}$, действующая на поверхность жидкости при посредстве поршня и перпендикулярно к стенкам сосуда; тогда обозначим через $\delta s^{\prime}$ малый путь, проходимый тем слоем жидкости, который согласно допущению сжат силой П’, в то время как другие слои проходят отличные от него пути $\delta s$; в таком случае к сумме моментов сил $P, Q, R, \ldots$ следует прибавить момент силы $\mathrm{II}^{\prime}$, который выразится через $\Pi^{\prime} \delta s^{\prime}$. Но если мы назовем $\omega^{\prime}$ сечение трубки в том месте, где действует сила $\Pi^{\prime}$, то $\omega^{\prime} \delta s^{\prime}$ выразит количество жидкости, проходящей через сечение $\omega^{\prime}$, в то время как через любое другое сечение $\omega$ проходит количество жидкости $\omega \delta s$.

Но несжимаемость жидкости требует, чтобы эти количества были повсюду одинаковы; следовательно, аналогично тому, как мы приняли $\omega \delta s=\alpha$, мы будем также иметь $\omega^{\prime} \delta s^{\prime}=\alpha$, откуда вытекает $\delta s^{\prime}=\frac{\alpha}{\omega^{\prime}}$. Таким образом общая сумма моментов сил, действующих на жидкость, выразится с помощью следующей формулы:
\[
\alpha\left[\frac{\Pi^{\prime}}{\omega^{\prime}}+\mathbf{S}(P d p+Q d q+R d r+\ldots)\right],
\]

и уравнение равновесия будет иметь следующий вид:
\[
\frac{\Pi^{\prime}}{\omega^{\prime}}+\mathbf{S}(P d p+Q d q+R d r+\ldots)=0 .
\]
4. Ясно, что в состоянии равновесия сила П’ должна быть уравновешена давлением жидкости на поршень, цоперечное сечение которого равно ‘ $\omega^{\prime}$, откуда следует, что это давление будет равно- П’ и, значит, будет равно
\[
\omega^{\prime} \mathbf{S}(P d p+Q d q+R d r+\ldots) .
\]

Тагим образом вообще давление жидкости на каждую точку поршня выразится с помощью интегрального выражения
\[
\mathbf{S}(P d p+Q d q+R d r+\ldots),
\]

причем этот интеграл должен быть взят по всей длине трубки. Давление останется тем же, если вместо подвижного поршня мы представим себе неподвижное дно, запирающее трубку с одной стороны.
5. Если на другом конце трубки имеется другая сила $\Pi^{\prime \prime}$, которая тоже действует при посредстве поршня, то, обозначив через $\omega^{\prime \prime}$ поперечное сечение канала в этом месте, мы аналогично прежнему получим для равновесия жидкости следующее уравнение:
\[
\frac{\Pi^{\prime}}{\omega^{\prime}}+\frac{\Pi^{\prime \prime}}{\omega^{\prime \prime}}+\mathbf{S}(P d p+Q d q+R d r+\ldots)=0 .
\]
6. Следовательно, в том случае, когда жидкость подвергается сжатию только со стороны двух внешних сил $\Pi^{\prime}$ и $\Pi^{\prime \prime}$, приложенных к поверхностям $\omega^{\prime}$ и $\omega^{\prime \prime}$, для равновесия требуется, чтобы существовало равенство $\frac{\Pi^{\prime}}{\omega^{\prime}}+\frac{\Pi^{\prime \prime}}{\omega^{\prime \prime}}=0$; отсюда ясно, что силы $\Pi^{\prime}$ и $\Pi^{\prime \prime}$ должны иметь противоноложные направления и в то же время должны быть обратно пропорциональны поверхностям $\omega^{\prime}$ и $\omega^{n}$, на которые они действуют; это последнее положение принимают обычно в качестве опытного принципа или, по меньшей мере, в качестве следствия, вытекающего из принципа равенства давления по всем направлениям, в котором, по мнению большинства авторов по гидростатике, и заключается природа жидкостей.
7. Знание законов равновесия жидкости, заключенной в очень узкую трубку любой формы, может привести к познанию законов равновесия любой массы жидкости, заключенной в какой-либо сосуд или же не заключенной в него.

В самом деле, если жидкая масса находится в равновесии, и мы представим себе какой-нибудь пересекающий ее канал, то ясно, что жидкость, содержащаяся в этом канале, будет и сама находиться в равновесии, т. е. независимо от остальной жидкости. Следовательно, для равновесия этого канала, если отвлечься от внешних сил, мы будем иметь (п. 2)
\[
\mathbf{S}(P d p+Q d q+R d r+\ldots)=0 .
\]

Так как форма канала должна быть неопределенной, то приведенное уравнение должно быть независимым от этой формы; отсюда можно тотчас же притти к выводу, как это сделал Клеро в своей «Théorie de la figure de la Terre», что величина $P d p+Q d q+$ $+R d r+\ldots$ должна быть полным дифференциалом. Но к әтому заключению можно притти и с помощью анализа, причем одновременно можно установить отношения, какие должны существовать между величинами $P, Q, R, \ldots$ С этой целью достаточно только варьировать интеграл
\[
\mathbf{S}(P d p+Q d q+R d r+\ldots)
\]

по методу вариаций и положить его вариацию равной нулю.
8. Обозначим вообще через $\Psi$ значение интеграла
\[
\mathbf{S}(P d p+Q d q+R d r+\ldots),
\]

взятого по всей длине канала; тогда необходимо, чтобы
\[
\delta \Psi=0 .
\]

Но путем дифференцирования мы получим
\[
\begin{aligned}
\delta \Psi & =\delta \mathbf{S}(P d p+Q d q+R d r+\ldots)= \\
& =\mathbf{S} \delta(P d p+Q d q+R d r+\ldots)= \\
& =\mathbf{S}(P \delta d p+Q \delta d q+R \delta d r+\ldots+ \\
& \quad+\delta P d p+\delta Q d q+\delta R d r+\ldots)
\end{aligned}
\]

Поставив $d \delta$ вместо $\delta d$ и освободившись затем путем интегрирования по частям от двойного символа $d \delta$, мы получим
\[
\begin{aligned}
\delta \Psi=P \delta p & +Q \delta q+R \delta r+\ldots+ \\
& +\mathbf{S}(\delta P d p-d P \delta p+\delta Q d q-d Q \delta q+ \\
& +\delta R d r-d R \delta r+\ldots)
\end{aligned}
\]

здесь члены, стоящие вне знака $\mathbf{S}$, относятся к пределам интеграла, выраженного с помощью этого знака, и, следовательно, соответствуют концам канала; таким образом, если мы предположим, что эти концы неподвижны, то соответствующие им вариации $\delta p$, $\delta q, \delta r, \ldots$ будут равны нулю и рассматриваемые члены сами собою исчезнут.

Далее, так как величины $P, Q, R, \ldots$, выражающие силы, являются функциями $p, q, r, \ldots$, или же всегда могут быть рассматриваемы как их функции, то ясно, что та часть $\delta \Psi$, которая имеет перед собою знак $\mathbf{S}$, не поддается дальнейшему преобразованию; следовательно, для того чтобы вообще имело место $\delta \Psi=0$, необходимо, чтобы упомянутая часть сама по себе равнялась нулю и, значит, чтобы для каждой точки жидкости имело место тождество
\[
\delta P d p-d P \delta p+\delta Q d q-d Q \delta q+\delta R d r-d R \delta r+\ldots=0 .
\]

Если выражения сил $P, Q, R, \ldots$ рассматривать как некоторые функции $p, q, r, \ldots$, то согласно общепринятому обозначению мы будем иметь
\[
d P=\frac{\partial P}{\partial P} d p+\frac{\partial P}{\partial q} d q+\frac{\partial P}{\partial r} d r+\ldots,
\]

а также
\[
\delta P=\frac{\partial P}{\partial p} \delta p+\frac{\partial P}{\partial q} \delta q+\frac{\partial P}{\partial r} \delta r+\ldots ;
\]

аналогичные выражения мы будем иметь и для других дифференциалов. Если эти выражения подставить в приведенное выше уравнение и расположить члены в определенном порядке, то оно примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
0= & +\left(\frac{\partial P}{\partial q}-\frac{\partial Q}{\partial p}\right)(\delta q d p-d q \delta p)+ \\
& +\left(\frac{\partial P}{\partial r}-\frac{\partial R}{\partial p}\right)(\delta r d p-d r \delta p)+ \\
& +\left(\frac{\partial Q}{\partial r}-\frac{\partial R}{\partial q}\right)(\delta r d q-d r \delta q)+ \\
& + \text {. . . . . . . . }
\end{aligned}
\]

это уравнение должно быть в силе независимо от дифференциалов $d p, d q, d r, \ldots ; \delta p, \delta q, \delta r, \ldots$

Следовательно, если между переменными $p, q, r, \ldots$. не существует никаких заданных отношений, надо положить в отдельности
\[
\frac{\partial P}{\partial q}-\frac{\partial Q}{\partial p}=0, \quad \frac{\partial P}{\partial r}-\frac{\partial R}{\partial p}=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial r}-\frac{\partial R}{\partial q}=0, \ldots
\]

Приведенные уравнения представляют собою известные условные уравнения для интегрируемости выражения
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots
\]
9. Когда линии $p, q, r, \ldots$, как в рассматриваемом случае, относятся к одной и той же точке пространства, они могут зависеть только от трех координат этой точки, а силы $P, Q, R, \ldots$ могут быть всегда сведены к трем силам, действующим по направлениям координат (отд. V, п. 7). Таким образом, если $p, q, r$ принять в качестве этих координат, будь то координаты прямоугольные или какие-либо иные *), а $P, Q, R, \ldots$ принять в качестве сил, действуюших на каждую частиду жидкости по направлению тех
*) Это утверждение не вполне верно. Если силы $P, Q, R$ ойозначают составляющие, параллельные трем косоугольным осям координдт, а $p, q, r$ – координаты относительно тех же осей, то сумма виртуальных моментов не равна $P d p+Q d q+$ $+R d r$ и приведенные выше соображения не могут быть применены к әтому случаю. (Iри.м Бертрана.)

же координат, то величины $P, Q, R$, рассматриваемые как функции $p, q, r$, должны удовлетворять следующим трем уравнениям:
\[
\frac{\partial P}{\partial q}-\frac{\partial Q}{\partial p}=0, \quad \frac{\partial P}{\partial r}-\frac{\partial R}{\partial p}=0, \quad \frac{\partial Q}{\partial r}-\frac{\partial R}{\partial q}=0 .
\]

Таковы условия, необходимые для того, чтобы масса жидкости могла находиться в равновесии, когда на все ее точки действуют силы $P, Q, R$.

Впрочем, до сих пор мы отвлекались от плотности жидкости, или точнее, мы считали ее постоянной и равной единице; однако, если бы мы пожелали допустить, что плотность является переменной, то, обозначив через $\Gamma$ плотность какой-либо частицы $d m$, мы имели бы (п. 2) $d m=\Gamma \omega d s$, и величины $P, Q, R, \ldots$ следовало бы помножить на $\Gamma$. Таким образом для равновесия жидкостей с переменной плотностью мы получили бы те же законы, что и для жидкостей с постоянной плотностью, причем нам пришлось бы только помножить различные силы на плотность той точки, на которую они действуют, т. е. нам пришлось бы вместо $P, Q, R, \ldots$ написать $\Gamma P, \Gamma Q, \Gamma R, \ldots$