1. Известно, что Лагранж в своей знаменитой книге, озаглавленной им «Аналитическая механика», поставил себе целью свести механику к общим формулам, выведенным из өдинственного принципа виртуальных скоростей, или, вернее, из дифференциальной формулы, выражающей этот принцип. Для придания своему труду большего совершенства автор при разрешении исследуемых им проблем старается избегать при. менения каких бы то ни было чертежей или аргументов, основанных на геометрических или механических соображениях; все операции производятся у него путем исчисления и с помощью простых преобразований координат; даже столь естественный и простой вопрос, как вопрос о сложении сил, приложенных в одной точке, мы видим представленным в чисто аналитическом виде.
«Если какие-либо силы $P, Q, R, \ldots$, натравленные по линиям $p, q, r, \ldots$, действуют на одну и ту же точку, и мы захотели бы эти силы свести к трем другим силам $\Xi$, П, $\Sigma$, направленным по линиям $\xi, \pi$, $\sigma$, то для этого,– говорит автор,-нам следует лишь рассмотреть равновесие сил $P, Q$, $R, \ldots$ и $\Xi, \Psi, \Phi$, приложенных к той же точке и направленных соответственно по линиям $p, q, r, \ldots,-\xi,-\psi,-\varphi$, и следовательно, составить уравнение
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots-\Xi d \xi-\Psi d \psi-\Phi d \varphi=0,
\]

которое должно оставаться верным, каким бы образом мы ни меняли положение точки встречи всех сил. Но каковы бы ни были линии $\xi, \pi, \sigma$, ясно, что если только все они не лежат в одной и той же плоскости, их будет достаточно для определения положения этой точки, следовательно, линии $p, q, r, \ldots$ можно всегда выразить с помощью функций переменных $\xi, \pi, \sigma$, и приведенное выше уравнение должно иметь силу для вариаций указанных трех величин наждой в отдельности; отсюда следует, что мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\Xi=P \frac{\partial p}{\partial \xi}+Q \frac{\partial q}{\partial \xi}+R \frac{\partial r}{\partial \xi}+\ldots, \\
\Pi=P \frac{\partial p}{\partial \pi}+Q \frac{\partial q}{\partial \pi}+R \frac{\partial r}{\partial \pi}+\ldots, \\
\left.\left.\mathbf{\Sigma}=P \frac{\partial p}{\partial \sigma}+Q \frac{\partial q}{\partial \sigma}+R \frac{\partial r}{\partial \sigma}+\ldots\right\rangle^{*}\right) .
\end{array}
\]

Таковы формулы, данные Лагранжем для того, чтобы силы $P, Q, R, \ldots$, приложенные к одной и той же точке и действующие по направлениям линий $p, q, r, \ldots$, свести к трем другим силам $\Xi, \Pi, \Sigma$, направленным по трем любым заданным линиям $\xi, \pi, \sigma$; эти выражения к тому же совершенно аналогичны тем, какие мы имеем для преобразования любой системы сил, действующих на различные точки, связанные между собою произвольным образом, – в друтую’эквивалентную систему сил $\Xi, \Pi, \Sigma$, приложенных к тем же точкам по другим направлениям $\xi, \pi, \sigma, \ldots$
2. По поводу приведенного положения Лагранжа следует сделать одно существенное замечание, которое, цовидимому, ускользнуло от внимания автора «Аналитической механики» Замечание это сводится к тому, что рассматриваемые формулы совершенно не подходят, как это можно было бы предположить, ко всем видам линий или координат $\xi, \pi, \sigma, \ldots$, хотя эти линии и пригодны для определения положений тел. Приведенные формулы хороши только в том случае, когда ати новые линии (подобно первым $p, q, r, \ldots$ ) представляют собою расстояния рассматриваемых тел от каких-либо неподвижных чентров или от каких-либо неподвиюных плоскостей, как это имеет место в случае обычных координат $x, y, z$, обозначающи расстояние исследуемой точки от трех неподвижных взаимно перпендикуллрных плоскостей. Вообще, можно сказать, что для того, чтобы эти формулы были верными, требуется, чтобы природа линий $\xi, \pi, \sigma, \ldots$ была такова, чтобы их дифферендиалы $d \xi, d \pi, d \sigma, \ldots$ выражали виртуальиые скорости точки приложения сил $\Xi, \Pi, \Sigma, \ldots$, т. е. чтобы
*) Приведенные выше строки взяты из первого издания, стр. 62; во втором издании, опубликованңом Лагранжем (см. стр. 153-154 настоящей книги), они’были автором несколько видоизменены, но замечания Пуансо применимы к новой редакдй совершенно так же, как и қ старой. (Прим. Бертрана.)

любая из них, $d \xi$, была прлмоуеольной проекцией на направлөние силы $Z$ бесконечно малого перемещения, которое мы представляем себе сообщенным әтой точке в пространстве; без әтого условия все указанные аналитические преобразования, хотя бы с точки зрения чистого анализа они и были верными, окажутся неверными в области механики и приведут к неправильным выводам.
3. Предположим, например, что речь идет об одной едичственной точке, подверженной действию любых сил $P, Q, R, \ldots$, направленных по линиям или радиусам-векторам $p, q, r, \ldots$, и что мы желаем эти силы свести к трем силам $E$, ‘ $\Pi$, $\Sigma$, дей’ ствующим по трем координатам $\xi, \pi$, $\sigma$, параллельным трем неподвижным осям, находящимся друг к другу под косьми углами; согласно теорйи автора можно было бы подумать, что для исқомых сил мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\Xi=P \frac{\partial p}{\partial \xi}+Q \frac{\partial q}{\partial \xi}+R \frac{\partial r}{\partial \xi}+\ldots, \\
\Pi=P \frac{\partial p}{\partial \pi}+Q \frac{\partial q}{\partial \pi}+R \frac{\partial r}{\partial \pi}+\ldots, \\
\mathbf{\Sigma}=P \frac{\partial p}{\partial \sigma}+Q \frac{\partial q}{\partial \sigma}+R \frac{\partial r}{\partial \sigma}+\ldots
\end{array}
\]

однако это неверно, так как можно доказать, что равнодействующая сил $P, Q, R, \ldots$ не будет тождественна равнодействующей трех сил $\Xi, \Pi, \Sigma$, оределяемых с помощью приведенных уравнений.

В самом деле, пусть $f(p, q, r, \ldots)$-любая функция радиусов-векторов $p, q, r, \ldots$; обозначим через $f^{\prime}(p), f^{\prime}(q), f^{\prime}(r) \ldots$ первые функции этой функции, взятые по отношению к линиям $p, g, r, \ldots$ Я доказал *), что силы $P, Q, R, \ldots$, пропорциональные этим первым функциям и направленные по соответствующим линиям $p, q, r, \ldots$, имеют равнодействующую, перпендикулярную к кривой поверхности, заданной уравнеу ием
\[
f(p, q, r)=\text { const, }
\]

причем $p, q, r, \ldots$ рассматриваются как переменные.
Представим себе теперь три наклонные оси, не расположенные в одной и той же плоскости, и пусть $\xi, \pi, \sigma$-три координаты точки приложения сил по отношению к этим осям; тогда линии $p, q, r, \ldots$ можно всегда выразить с
*) См. Statique Пуансо и мемуар, озаглавленный Théorie générale de l’équilibre et du mouvement des systèmes (Journal de l’École Polytechnique, XIII cahier). (Прия. Бертрана.)

номощью координат $\xi, \pi$, о; если эти выражения внести в функцию $f(p, q, r, \ldots)$ вместо $p, q, r, \ldots$, то мы будем иметь
\[
f(p, q, r, \ldots)=\varphi(\xi, \pi, \sigma)=\text { const, }
\]

откуда, дифференцируя последовательно по $\xi, \pi$, б, мы получим
\[
\begin{array}{l}
f^{\prime}(p) \frac{\partial p}{\partial \xi}+f^{\prime}(q) \frac{\partial q}{\partial \xi}+f^{\prime}(r) \frac{\partial r}{\partial \xi}+\ldots=\varphi^{\prime}(\xi), \\
f^{\prime}(p) \frac{\partial p}{\partial \pi}+f^{\prime}(q) \frac{\partial q}{\partial \pi}+f^{\prime}(r) \frac{\partial r}{\partial \pi}+\ldots=\varphi^{\prime}(\pi), \\
f^{\prime}(p) \frac{\partial p}{\partial \sigma}+f^{\prime}(q) \frac{\partial q}{\partial \sigma}+f^{\prime}(r) \frac{\partial r}{\partial \sigma}+\ldots=\varphi^{\prime}(\sigma) .
\end{array}
\]

Следовательно, согласно формулам Лагранжа три силы $\Xi, \Pi$, $\Sigma$, к которым сводятся силы $f^{\prime}(p), f^{\prime}(q), f^{\prime}(r)$, будут выражены с помощью
\[
\Xi=\varphi^{\prime}(\xi), \quad \Pi=\varphi^{\prime}(\pi), \quad \Sigma=\varphi^{\prime}(\sigma) .
\]

Таким образом $\varphi^{\prime}(\xi), \varphi^{\prime}(\pi), \varphi^{\prime}(\sigma)$ должны представлять собою три силы, равнодействующая которых тождественна равнодействующей рассматриваемых сил $f^{\prime}(p), f^{\prime}(q), f^{\prime}(r), \ldots$ и, следовательно, направлена перпендикулярно к поверхности, заданной уравнением
\[
f(p, q, r, \ldots)=\text { const. }
\]

Но эта поверхность тождественна такой поверхности, которая была бы задана уравнением
\[
\varphi(\xi, \pi, \sigma)=\text { const }
\]

между косоугольными координатами $\xi, \pi$, б. Следовательно, если рассмотреть поверхность; представленную уравнением
\[
\varphi(\xi, \pi, \sigma)=\text { const }
\]

между тремя координатами $\xi, \pi, \sigma$, относительчо трех косо угольных осей, то можно было бы утверждать, что три силь, направленные по атим координатам и пропорциональные трем первын функциям $\varphi^{\prime}(\xi), \varphi^{\prime}(\pi), \varphi^{\prime}(\sigma)$, дают равнодействующу, перпендикулярную к рассматриваемой поверхности, или находятся на этой поверхности в равновесии. Но это неверно, в чем можно убедиться непосредственно с помощью самого принципа виртуальных скоростей.

В самом деле, для равновесия точки, к которой приложены три силы $\varphi^{\prime}(\xi), \varphi^{\prime}(\pi), \varphi^{\prime}(\sigma)$, требуется, чтобы сумма вир пуальных моментов этих сил была равна нулю для каждого бесконечно малого перемещения $d s$, какое мы пожелали бы дать этой точке на поверхности. Следовательно, өсли мы обозначим через $\delta \xi, \delta \pi$, $\delta$ три прямоугольные проекции на три косоугольнне оси $\xi$, $\pi$, б, то для равновесия необходимо, чтобы всегда имело место равенство
\[
\varphi^{\prime}(\xi) \delta \xi+\varphi^{\prime}(\pi) \delta \pi+\varphi^{\prime}(\sigma) \delta \sigma=0,
\]

или же, так как $d s$ представляет собою диагональ ромбоэдра гранями которого являются дифференциалы $d \xi, d \pi, d \sigma$, и так как три проекции $d s$ на направлении этих граней выражаются с помощью следующих формул:
\[
\begin{array}{l}
\delta \xi=d \xi+\lambda d \pi+\mu d \sigma, \\
\delta \pi=d \pi+v d \sigma+\lambda d \xi, \\
\delta \sigma=d \sigma+\mu d \xi+
u d \pi
\end{array}
\]
(где $\lambda, \mu,
u-$ косинусы углов $\xi \hat{\pi}, \hat{\xi}, \hat{\pi \sigma}$; образуемых между собою осями координат), то, если вместо $\delta \xi, \delta \pi$, $\delta$ подставить их значения, для равновесия требуется, чтобы между дифференциалами $d \xi, d \pi, d \sigma$ всегда имело место уравнение
\[
\begin{aligned}
{\left[\varphi^{\prime}(\xi)+\lambda \varphi^{\prime}(\pi)+\mu \varphi^{\prime}(\sigma)\right] } & d \xi+\left[\varphi^{\prime}(\pi)+
u \varphi^{\prime}(\sigma)+\lambda \varphi^{\prime}(\xi)\right] d \pi+ \\
+ & {\left[\varphi^{\prime}(\sigma)+\mu \varphi^{\prime}(\xi)+
u \varphi^{\prime}(\pi)\right] d \sigma=0 . }
\end{aligned}
\]

С другой стороны, так как движущаяся точка всегда остается на поверхности, одновременно должно существовать уравнение
\[
\varphi^{\prime}(\xi) d \xi+\varphi^{\prime}(\pi) d \pi+\varphi^{\prime}(\dot{\sigma}) d \sigma=0 .
\]

Но ясно, что уравнения (1) п (2) не могут одновременно существовать, если только кодффицентм $d \xi, d \pi, d \sigma$ в одном из них не будут пропорциональны коэфрициттам тех же неопределенных величин во втором уравнении и, следовательно, если только мы не будем иметь следующи двух уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\varphi^{\prime}(\xi)\left[
u \varphi^{\prime}(\sigma)+\lambda \varphi^{\prime}(\xi)\right]-\varphi^{\prime}(\pi)\left[\lambda \varphi^{\prime}(\pi)+\mu \varphi^{\prime}(\sigma)\right]=0, \\
\varphi^{\prime}(\xi)\left[
u \varphi^{\prime}(\pi)+\mu \varphi^{\prime}(\xi)\right]-\varphi^{\prime}(\sigma)\left[\lambda \varphi^{\prime}(\pi)+\mu \varphi^{\prime}(\sigma)\right]=0 ;
\end{array}
\]

а эти уравнения не могут иметь места в общем случае, т. е. независимо от переменных $\xi, \pi, \sigma$, и, следовательно, от положения точки на рассматриваемой поверхности.

Таким образом движущаяся точка с любыми координатами $\xi, \pi$, $\sigma$ не может быть удержана в равновесии на поверхности тремя силами $\varphi^{\prime}(\xi), \varphi^{\prime}(\pi), \varphi^{\prime}(\sigma)$; значит, результирующая әтих сил не направлена нормально к этой поверхности и, следовательно, она не тождественна равнодействующей заданных сил $f^{\prime}(p), f^{\prime}(q), f^{\prime}(r), \ldots$, что и требпалось доказать.

4. Итак, формулы Лагранжа для преобразования сил в цредположении, что координаты $\xi, \pi$, $\sigma$ – косоугольные, неверны, и существует только один случай, когда ошибка может исчезнуть, а именно тот случай, когда координаты $\xi$, $\pi$, $\sigma$ удовлетворяют приведенным выше двум уравнениям и одновременно удовлетворяют уравнению поверхности
\[
\varphi(\xi, \pi, \sigma)=\text { const, }
\]

что, как видим, соответствует только определенной точке этой поверхности или известной определенной пропорции между тремя силами $\varphi^{\prime}(\xi), \varphi^{\prime}(\pi), \varphi^{\prime}(\sigma)$. Однако даже в этом единственном случае, когда равнодействующая трех сил $\Xi$, I, $\Sigma$ имеет такое же направление, как равнодействующая рассматриваемых сил $f^{\prime}(p), f^{\prime}(q), \ldots$, мы найдем, что она имеет неодинаковую с ней величину; таким образом мы получаем вывод неверный и с этой стороны.
В. том случае, когда вее три косинуса $\lambda, \mu,
u$ равны нулю, приведенные выше два условия всегда сами по себе выполняются, и формулы Лагранжа оказываются всегда правильными. Таков случай координат $\xi, \pi, \sigma$, отнесенных к трем взаимно перпендихулярным осям. Действительно, для подобных координат дифференциалы $d \xi, d \pi, d \sigma$ представляют собою выражения самих виртуальных скоростей движущейся точки, измеренных по направлению этих линий, и дифференциальное уравнение
\[
\varphi^{\prime}(\xi) d \xi+\varphi^{\prime}(\pi) d \pi+\varphi^{\prime}(\sigma) d \sigma=0,
\]

выведенное из уравнения поверхности, выражает равенство нулю суммы виртуальных моментов трех сил $\varphi^{\prime}(\xi), \varphi^{\prime}(\pi)$, $\varphi^{\prime}(\sigma)$ и, следовательно, равновесие әтих сил в точке, которая согласно допущөнию должна описывать эту поверхность.

Но при любом ином допущении, при котором все три величины $\lambda, \mu$, v не равны нулю, приведенные два условия не могут быть выполнены независимо от значений $\xi$, $\pi$, $\sigma$, и указанные формулы всегда оказываются неверными.
5. Пусть, например, мы имеем чрезвычайно простой случай точки, расположенной на окружности неподвижного круга. Если взять уравнение этого круга в прямоугольных координатах $x$ и $y$, то мы будем иметь
\[
f(x, y)=x^{2}+y^{2}=\text { const, }
\]

ткуда
\[
f^{\prime}(x) d x+f^{\prime}(y) d y=2 x d x+2 y d y=0 ;
\]

в данном случае можно с полным основанием утверждать, что две силы $X$ и $Y$, взятые по направлению координат в отношении первых функций $f^{\prime}(x), f^{\prime}(y)$, дают равнодействующую, перпендикулярную к окружности круга, и удерживают точку их приложения в равновесии на этой окружности.

Но если вместо этих прямоугольных координат $x, y$ взять две другие $\xi$ и $\pi$ с тем же началом и, скажем, одну из них, $\xi$, взять по направлению $x$, а другую, $\pi$, под углом $\alpha$ к первой, что даст
\[
x=\xi+\pi \cos \alpha, \quad y=\pi \sin \alpha,
\]

то после подстановки мы получим
\[
f(x, y)=\varphi(\xi, \pi)=\pi^{2}+\xi^{2}+2 \pi \xi \cos \alpha=\text { const, }
\]

откуда
\[
\varphi^{\prime}(\xi) d \xi+\varphi^{\prime}(\pi) d \pi=2(\xi+\pi \cos \alpha) d \xi+2(\pi+\xi \cos \alpha) d \pi=0 .
\]

Но ясно, что две силы, пропорциональные $\varphi^{\prime}(\xi)$ и $\varphi^{\prime}(\pi)$, т. е в данном случае пропордиональные $(\xi+\pi \cos x)$ и $(\pi+\xi \cos \alpha)$, не дают равнодействующей; перпендикулярной к окружности рассматриваемого круга; в самом деле, для әтого было бы необходимо, чтобы равнодействующая проходила через центр и, следовательно, чтобы две ее составляющие по направлениям $\xi$ и $\pi$ были пропорциональны просто $\xi$ и $\pi$, а не $(\xi+\pi \cos \alpha)$ и $(\pi+\xi \cos \alpha)$.

Таким образом, хотя мы здесь имеем (если положить $\left.\varphi^{\prime}(\xi)=\Xi, \varphi^{\prime}(\pi)=\Pi\right)$ уравнения
\[
\Xi=X \frac{\partial x}{\partial \xi}+Y \frac{\partial y}{\partial \xi}, \quad \Pi=X \frac{\partial x}{\partial \pi}+Y \frac{\partial y}{\partial \pi},
\]

нельзя утверждать, что две силы $X$ и $Y$, направленные по прямоугольным осям $x$ и $y$, могут быть приведены к двум силам $\Xi$ и $\Pi$, направленным вдоль осей косоугольных координат $\xi$ и $\pi$.
Для того чтобы имело место соотношение
\[
\xi+\pi \cos \alpha: \pi+\xi \cos \alpha=\xi: \pi,
\]

мы должны иметь $\cos \alpha=0$, что представляет собою случай взаимно перпендикулярных координат $\xi$ и $\pi$.

Или же мы должны иметь $\xi=\pi$, а это представляет только частный случай положения рассматриваемой точки $M$ на окружности круга, уравнение которого
\[
\varphi(\xi, \pi)=\text { const. }
\]

Но даже в том өдинственном случае, когда равнодействующая двух сил $\Xi$ и П имеет одинаковое направление с равнодействующей двух сил $X$ и $Y$, мы найдем, что эти две равнодействующие
\[
\sqrt{\overline{3}^{2}+2 \Xi \Pi \cos \alpha+\Pi^{2}} \text { и } \sqrt{X^{2}+Y^{2}}
\]
имеют различные значения и что первая из них относится ко второй, как $1+\cos \alpha$ относится к единиде.

Таким образом, если $\cos \alpha$ не равен нулю или, что то же, если координаты $\xi$ и $\pi$ косоугольные, то рассматриваемые силы $\boldsymbol{X}$ и $\boldsymbol{Y}$ никогда не могут быть приведены к двум силам $\Xi$ и II, заданным формулами Јагранжа.
6. В приведенном выше анализе, для того чтобы представить силы $P, Q, R, \ldots$, которые надо было привести к другим силам, я взял просто первые функции одной и той же произвольной функции $f(p, q, r, \ldots)$ радиусов-векторов $p, q, r, \ldots$, вдоль которых силы направлены; әто только прием, с помощью которого можно тотчас же определить направление равнодействующей силы при посредстве направления нормали к кривой поверхности, которая получается, если ззять уравнение
\[
f(p, q, r, \ldots)=\text { const. }
\]

Но так как может возникнуть мысль, что подобное догущение представляет собою нечто, ограничивающее наше доказательство случаем определенных сил, то будет уместно отметить, что оно годится для любых сил $P, Q, R, \ldots$, заданных каким угодно образом. В самом деле, какова бы ни была избранная нами функция $f$, мы имеем возможность поместить центры сил где угодно по их направлениям $p, q, r, \ldots$, и всегда, можем выбрать для этих линий такие длины, которые дают
\[
f^{\prime}(p)=P, \quad f^{\prime}(q)=Q, \quad f^{\prime}(r)=R, \ldots
\]

Впрочем, если бы мы взяли силы любой величины $A, B, C, \ldots$. то очевидно их всегда можно рассматривать как первые функции линейной функции
\[
A p+B q+C r+\ldots,
\]

взятые по отношению к линиям $p, q, r, \ldots$, по которым согласно условию силы нашравлены. Таким образом наше допущение всегда законно, и наше доказательство обладает всей требуемой общностью.
7. Итак, мы видим, что в небесной механике, основанной исключительно на приніипе виртуальных скоростей, единственные координаты, которыми допустимо пользоваться, должны обладать тем свойством, что их дифференциалы цредставляют в этих координатах прямоугольные проекции малых отрезков, оптсываемых согласно предположению в пространстве точкой приложения сил. Это имеет место в случае координат $p, q, r, \ldots, x, y, z$, о которых мы говорили выше, а также тех координат, которые состоят из радиуса-вектора $\rho$ и двух углов или дуг круга $\varphi$, $\psi$, перпендикулярных к этому радиусу, и т. п. Но следует исключить вее те координаты $\xi, \pi$, $\sigma$, которые не обладают указанным свойством. Таким образом будет неверно утверждать, что при данном аналитическом методе нас ничто не заставляет отдавать предпочтение прлмоуеольным координатам перед иными линиями или величинами, определяючими полоюения тел, и т.д. (см. «Аналитическая механика», стр. 62); по этому поводу следует еще отметить, что принцип виртуальных скоростей не дает столь общего метода, как это можно было бы предположить.

Так, например, в том случае, когда несколько сил $P, Q$, $R, S, \ldots$ находится в равновесии, будучи приложены в одной точке, принцип виртуальных скоростей говорит просто, что прямоугольные проекции сил на любую прямую, проходящую через эту точку, должны дать сумму, равную нулю. В самом деле, если мы назовем $d u$ любую линию, выражающую перемещение точки приложения сил в пространстве, то линии $d p$, $d q, d r, \ldots$ будут не чем иным, как прямолинейными проекциями $d u$ на линии $p, q, r, \ldots$, указывающие направления сил $P, Q, R, \ldots$ Следовательно, если мы назовем $i, i^{\prime}, i^{\prime \prime}, \ldots$ углы наклона әтих сил $к$ линии $d u$, то мы будем иметь
\[
d p=d u \cos i, \quad d q=d u \cos i^{\prime}, \quad d r=d u \cos i^{\prime \prime}, \ldots,
\]

и уравнение виртуальных скоростей
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots=0,
\]

іосле разделения всех членов на общий множитель $d u$ перейдет в
\[
P \cos i+Q \cos i^{\prime}+R \cos i^{\prime \prime}+\ldots=0 ;
\]

последнее уравненде показывает, что силы, спроектированные под прямым углом на любую ось, должны в случае равновесия дать сумму, равную нулю. Но принцип сложения сил говорит более общо, что если силы спроектировать на какую-либо ось с помощью линий, параллельных одной и той же плоскости, находящейся под любым углом наклона к этой оси, то сумма всех этих косоугольных проекций должна быть равна нулю. Дело не в том, что второе положение нельяя легко обосновать с помощью первого, но выражение второго принципа, очевидно, носит более общий характер, чем выражение приндипа виртуальных скоростей.

Точно так же можно отметить, что уравнения равновесия твердой системы доказаны в «Аналитической механике» только по отношению к трем взаимно перпендикулярным осям; однако, как я показал в своей «Статике», совершенно такие же уравнения получаются по отношению к любым трем косоугольным осям. Таким образом и в әтом примере принцип виртуальных скоростей не является столь общим, как принцип сложения сил. Он не является также и столь прямым; в самом деле, если он приводит к трем первым уравнениям при применении прямоугольных координат $x, y, z$, то три последних уравнения он может дать только при замене әтих координат другими координатами иного вида, причем их выбор представляется произвольным или кажется произведенным только для того, чтобы получить уравнения равновесия, которые наперед известны.

Впрочем, хотя Јагранж дает основание полагать, что при его методе можно применять координаты любого вида, если только они пригодны для определения положений тел, чрезвычайно интересно, что әтот математик никогда не применял иных координат, кроме тех, которые фактически подходят к принципу виртуальных скоростей; по крайней мере я не знаю такого примера и полагаю, что его и нельзя найти в работах Лагранжа. В самом деле, если бы для разрешения какой-либо проблемы он попытался воспользоваться нөкоторыми координатами, недопустимыми при его методе, то весьма вероятно, что заметная ошибна в каком-либо полученном им выводе навела бы его на мысль об ошибочности его формул; тогда, конечно, он сам не замедлил бы сделать по этому поводу ясную оговорку, по крайней мере во втором издании своего прекрасного труда.
8. Как бы то ни было, все могло бы быть очень просто исправлено, и мне казалось целесообразным указать это раньше, чем закончить настоящую статью, так как причина ошибки сразу видна и сверх того ясно, что́ нужно сделать для того, чтобы еө избежать, не отказываясь от применения тех координат, которые дают повод для этой ошибки.

В самом деле, какова бы ни была природа тех координат, $\xi, \pi, \sigma, \ldots$, в которые мы желаем преобразовать линии или радиусы-векторы $p, q, r, \ldots$ известно, что всегда мояно, вместе с Лагранжем взять следующеө совершенно правильное уравнение:
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots=\Sigma d \xi+\Pi d \pi+\mathbf{\Sigma} d \sigma+\ldots,
\]

где $\Xi, \Pi, \Sigma, \ldots$ представляют собою величины, выраженные с помощью уравнений пункта 1 .

Но теперь я отмечу, что в левой части уравнения дифференциалы $d p, d q, d r, \ldots$ обозначают виртуальнье скорости точки приложения сил по нащравлениям линий $p, q, r, \ldots$ и что, таким образом, каждый член $P d p$ представляет собою виртуальный момент силы $P$. Если в правой части уравнения дифференциалы $d \xi, d \pi, d \sigma, \ldots$ обладают төм жө свойством, т. е. если каждое $d \xi$ обозначает виртуальную скорость точки по направлению $\xi$, то каждый член $z$ тоже является виртуальным моментом силы, выраженной через $\Xi$; тогда из данного уравнения, содержащего в себе две суммы виртуальных моментов, которые всегда остаются равными между собою, можно с полным основанием сделать вывод, что система сил $\Xi, \Pi, \Sigma, \ldots$ способна заменить систему заданных сил $P, Q, R, \ldots$

Но если дифферендиалы $d \xi, d \pi, d \sigma, \ldots$ не обладают указанным свойством, то каждый член типа $\Xi d \xi$ уже не является виртуральным моментом силы $\Xi$, и тогда согласно самому принципу виртуальных скоростей нельзя делать вывода, к которому мы пришли раньше, что совокупность сил $\Xi, \Pi, \Sigma, \ldots$ эквивалентна совокупности заданных сил. Такова та своеобразная ошибка, в которую мы впали бы, если бы из правильного приндипа и из верного уравнения мы сделали неверный вывод, не обратив внимания на то обстоятельство, что фактически данное уравнение представлено не в том виде, который соответствует выражению принципа. И одновременно в этом можно увидеть средство для избежания подобной ошибки, не изменяя координат $\xi, \pi, \sigma, \ldots$, которые могли бы дать повод для этой ошибки,

В самом деле, если бы мы пожелали получить действительные силы $\Xi^{\prime}, \Pi^{\prime}, \Sigma^{\prime}, \ldots$, которые, будучи направлены по координатам $\xi, \pi, \sigma, \ldots$, способны заменить силы $P, Q$, $R, S, \ldots$ то следовало бы начать с того, чтобы в уравнении вместо дифференциалов $d \xi, d \pi, d \sigma, \ldots$ подставить их выражения в функции самих виртуальных екоростей; эти значения, как в и. 3 , я обозначу через $\delta \xi$, $\delta \pi, \delta \circ, \ldots$; далее следует объединить в виде одного члена все члены, в состав которых входит $\delta \xi$, точно так же в один член объединить все члены, в состав которых входит $\delta \pi, \ldots$; тогда наше црежнее уравнение будет представлено в следующем новом виде:
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots=\Xi^{\prime} \delta \xi+\Pi^{\prime} \delta \pi+\Sigma^{\prime} \delta \sigma+\ldots,
\]

из которого уже можно будет сделать правильный вывод, что совокупность сил $\Xi^{\prime}, \Pi^{\prime}, \Sigma^{\prime}, \ldots$ вцолне әквивалентна совокупности сил $P, Q, R, \ldots$, так как сумма виртуальных моментов тех и других всегда одна и та же.
9. Если бы мы захотели это вычисление произвести для случая координат $\xi, \pi$, $\sigma$, параллельных трем косоугольным осям, то, сохраняя обозначения п. 3 , мы получили бы следующие значения:
\[
\begin{array}{l}
\Xi^{\prime}=\frac{\Xi\left(1-
u^{2}\right)+\Pi(\mu
u-\lambda)+\Sigma(\lambda
u-\mu)}{1-\lambda^{2}-\mu^{2}-
u^{2}-2 \lambda \mu
u}, \\
\Pi^{\prime}=\frac{\Pi\left(1-\mu^{2}\right)+\Sigma(\lambda \mu-
u)+\Xi(\mu
u-\lambda)}{1-\lambda^{2}-\mu^{2}-
u^{2}-2 \lambda \mu
u}, \\
\Sigma^{\prime}=\frac{\Sigma\left(1-
u^{2}\right)+\Xi(\lambda \mu-
u)+\Pi(\lambda
u-\mu)}{1-\lambda^{2}-\mu^{2}-
u^{2}-2 \lambda \mu
u} ;
\end{array}
\]

кан видим, эти значения не тождественны значениям $\Xi, \Pi, \Sigma$ и их можно свести к последним только в том случаө, когда все три косинуса $\lambda$, $\mu$, v равны нулю, т.е. в том случае, когда все три оси взаимно перпендикулярны; әтот случай поясняет и подтверждает наш прежний анализ.
10. Из тех же внражений мы также видим, что урав: нөния
\[
\begin{array}{l}
\Xi^{\prime}=0 \\
\Pi^{\prime}=0, \\
\Sigma^{\prime}=0
\end{array}
\]

влекут за собою следующее:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{\Xi}=0, \\
\Pi=0, \\
\Sigma=0,
\end{array}
\]

и наоборот. Следовательно, если мы ищем только условия равновесия между силами $P, Q, R, \ldots$, то можно, не опасаясь, впасть в ошибку, ограничиться следующими тремя уравнениями:
\[
\begin{array}{l}
0=\boldsymbol{\Xi}=P \frac{\partial p}{\partial \xi}+Q \frac{\partial q}{\partial \xi}+\cdots, \\
0=\Pi=P \frac{\partial p}{\partial \pi}+Q \frac{\partial q}{\partial \pi}+\ldots \\
0=\boldsymbol{\Sigma}=P \frac{\partial p}{\partial \sigma}+Q \frac{\partial p}{\partial \sigma}+\cdots
\end{array}
\]

Если же силы $P, Q, R, \ldots$ не уравновешивают друг друга и их требуется привестик другим силам, направленным по $\xi, \pi, \sigma$, то в качөстве эквивалентных сил необходимо взять не $\Xi, \Pi, \bar{\Xi}, \mathbf{\Sigma}$, а обязательно значения $\Xi^{\prime}, \Pi^{\prime}, \Sigma^{\prime}$.

То, что я сказал выше; может быть без труда применено к любой системе сил, действующих на различные точки, связанные между собою произвольным образом. Таким образом уравнения равновесия, данные Лагранжем (стр. 63 наст. изд., Статика отд. II, и. 12 и след.), всегда хороши, но формулы, приведенные в конце п. 15 для эквивалентности двух систем сил, верны лишь в случае определенных координат.

Мы могли бы ещр многое сказать по поводу указанного положения, но настоящее исследование уже слишком затянулось, а с другой стороны өсли в этом встретится надобность, мы вернемся к этому вопресу при другом случае.