7. Рассмотрим теперь движение системы вокруг какой-либо неподвижной точки и допустим, что она может совершенно свободно вращаться вокруг этой точки в любом направлении. Если отвлечься от взаимных движений тел системы одних по отношению к другим, то в соответствии с тем, что было установлено в \”Статике» (отд. III, п. 8), вращение вокруг каждой из трех осей $x, y, z$ даст следующие выражения вариаций для $\delta x, \delta y, \delta z$ :
\[
\delta x=z \delta \omega-y \delta \varphi, \quad \delta y=x \delta \varphi-z \delta \psi, \delta z=y \delta \psi-x \delta \omega,
\]

где $\delta \varphi, \delta \omega, \delta \psi$ представляют собою әлементарные вращения вокруг трех осей $z, y, x$ и могут оставаться произвольными.

Эти выражения являются общими для вариаций координат всех тел системы; их следует лишь подставить в формулу пункта 5 предыдущего отдела, предварительно сведя все вариации к $\delta x, \delta y, \delta z$, и
*) Это заключение носит слишком абсолютный характер. Действительно, диффегенциальное уравнение, связывающее $\xi, \eta, \zeta$, имеет совершенно тот же вид, что и уравнение между $x, y, z$, но силы $X, Y, Z$ не выражаются одинаково по отношению к указанным двум системам переменных. Так, например, если мы представим себе две точки, взаимно притягивающие друг друга силой, обратно пропордиональной квадрату расстояния, то по отношению к подвижным осям, проходящим через центр тяжести, эти точки будут описывать әллипсы; по отношению же к неподвижным осям их траектории будут гораздо более сложными. (Прим. Бертрана.)

затем отдельно приравнять нулю все величины, в состав которых входят три неопределенных величины $\delta \varphi, \delta \omega, \delta \psi$.

Тогда, как и в названном выше пункте «Статики», мы прежде всего найдем, что вариация $\delta \bar{p}$ станет равной нулю и что таким образом члены, происходящие от внутренних сил $\bar{P}$ системы, не содержащие вариаций $\delta \varphi, \delta \omega, \delta \psi$, ничего не прибавят к рассматриваемому уравнению. Кроме того, как мы видели в том же пункте, мы найдем, что когда сила $P$ направлена к началу координат, вариац̆ия $\delta p$ равна нулю, и таким образом указанная сила совершенно не входит в эти уравнения.

Следовательно, если просто сделать указанные подстановки для $\delta x, \delta y, \delta z$, заменив, как и раньше (п. 2), силы $P, Q, R, \ldots$ силами $X, Y, Z$, то мы получим для вариаций $\delta \varphi, \delta \omega, \delta \psi$ следующее уравнение:
\[
\mathbf{S} m\left\{\begin{array}{c}
\left(x \frac{d^{2} y}{d^{2} t}-y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+Y x-X y\right) \delta \varphi+ \\
+\left(z \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-x \frac{d^{2} z}{d t^{2}}+X z-Z x\right) \delta \omega+ \\
+\left(y \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-z \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+Z y-Y z\right) \delta \psi
\end{array}\right\}=0
\]

а так как вариации $\delta \varphi, \delta \psi, \delta \omega$ являются общими для всех тел системы, то они не войдут в выражение, стоящее под знаком $\mathbf{S}$; таким образом мы получим три следующих уравнения по отношению к каждой из этих вариаций:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} m\left(x \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+x Y-y X\right)=0, \\
\mathbf{S} m\left(z \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-x \frac{d^{2} z}{d t^{2}}+z X-x Z\right)=0, \\
\mathbf{S} m\left(y \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-z \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+y Z-z Y\right)=0 .
\end{array}
\]
Эти уравнения имеют место одновременно, если система может свободно вращаться вокруг каждой из трех осей, т. е. во всех тех случаях, когда система устроена таким образом, что она может свободно вращаться в любом направлении вокруг неподвижной точки, являющейся началом координат.

Следует отметить, что эти уравнения имеют всегда место независимо от взаимодействия между телами, в каком бы виде оно ни осуществлялось, хотя бы даже в виде взәимного столкновения тел системы, как мы әто видели в пункте 3 , и по тем же основаниям; сверх того они независимы от сил, направленных $\kappa$ неподвижной точке, в которой находится начало координат.
8. Для того чтобы составить себе более ясное представление об этих уравнениях, заметим:
1) что величины
\[
x d^{2} y-y d^{2} x, \quad z d^{2} x-x d^{2} z, \quad y d^{2} z-z d^{2} y
\]

являются дифференциалами следующих величин:
\[
x d y-y d x, \quad z d x-x d z, \quad y d z-z d y,
\]

выражающих удвоенное значение әлементарных секторов, описываемых телом $m$ в плоскостях $x y, x z$ и $y z$, т. е. в плоскостях, шерпендикулярных к осям $z, y$ и $x$. В самом деле, если в выражении $x d y-y d x$ вместо $x$ и $y$ подставить их значения $\rho \cos \varphi$, $\rho \sin \varphi$, то мы получим $\rho^{2} \delta \varphi$, представляющее удвоенное значение площади, заключенной между радиусом-вектором $\rho$ п следующим радиусом, составляющим с ним угол $d \varphi$;
2) что величины $X, Y, Z$ представляют собою силы, действующие на каждое тело $m$ вдоль координат $x, y, z$ по направлению к их началу и являющиеся результирующими всех сил $P, Q, R, \ldots$, действующих на эти тела в любых направлениях, и что,

таким образом, величины
\[
y X-x Y, \quad x Z-z X, \quad z Y-y Z
\]

представляют собою моменты сил, стремящихся вращать тела вокруг каждой из трех осей координат $z, y, x$, – если слово «момент» принять в его обычном смысле произведения силы на перпендикуляр, опущенный на его направление.
9. Если на систему не действуют никакие внешние силы или же если она находится только под действием сил, направленных к точке, принятой нами в качестве начала координат, то приведенные выше три уравнения принимают следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} m\left(x \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}\right)=0, \\
\mathbf{S} m\left(z \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-x \frac{d^{2} z}{d t^{2}}\right)=0, \\
\mathbf{S} m\left(y \frac{d^{2} z}{d t^{2}}-z \frac{d^{2} y}{d t^{2}}\right)=0 ;
\end{array}
\]

если их проинтегрировать по переменной $t$ и ввести три произвольных постоянных $A, B, C$, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} m\left(x \frac{d y}{d t}-y \frac{d x}{d t}\right)=C, \\
\mathbf{S} m\left(z \frac{d x}{d t}-x \frac{d z}{d t}\right)=B, \\
\mathbf{S} m\left(y \frac{d z}{d t}-z \frac{d y}{d t}\right)=A .
\end{array}
\]

Последние три уравнения, очевидно, содержат в себе причцип площадей, о котором мы упомянули в первом отделе.

10. Кстати, следует отметить, что эти уравнения принадлежат к тому роду уравнений, которые были указаны в пункте 10 предыдущего отдела, так что путем изменения осей координат можно ввести три новые произвольные постоянные.

Пусть $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ – новые координаты, тогда мы будем также иметь
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} m\left(x^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d t}-y^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d t}\right)=C^{\prime}, \\
\mathbf{S} m\left(z^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d t}-x^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d t}\right)=B^{\prime}, \\
\mathbf{S} m\left(y^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d t}-z^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d t}\right)=A^{\prime},
\end{array}
\]

где величины $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ будут тоже произвольными постоянными, но отличными от $A, B, C$.

Подставим теперь в выражение $x d y-y d x$ значе. ния $x, y$ выраженные через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, приведенные в упомянутом пункте того же отдела; тогда мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
x d y-y d x=+\left(\alpha \beta^{\prime}-\beta \alpha^{\prime}\right)\left(x^{\prime} d y^{\prime}-y^{\prime} d x^{\prime}\right)+ \\
+\left(\gamma \alpha^{\prime}-\alpha \gamma^{\prime}\right)\left(z^{\prime} d x^{\prime}-x^{\prime} d z^{\prime}\right)+\left(\beta \gamma^{\prime}-\gamma \beta^{\prime}\right)\left(y^{\prime} d z^{\prime}-z^{\prime} d y^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Точно так же мы получим
\[
\begin{array}{l}
z d x-x d z=+\left(\beta \alpha^{\prime \prime}-\alpha \beta^{\prime \prime}\right)\left(x^{\prime} d y^{\prime}-y^{\prime} d x^{\prime}\right)+ \\
+\left(\alpha \gamma^{\prime \prime}-\gamma \alpha^{\prime \prime}\right)\left(z^{\prime} d x^{\prime}-x^{\prime} d z^{\prime}\right)+\left(\gamma \beta^{\prime \prime}-\beta \gamma^{\prime \prime}\right)\left(y^{\prime} d z^{\prime}-z^{\prime} d y^{\prime}\right), \\
y d z-z d y=+\left(\alpha^{\prime} \beta^{\prime \prime}-\beta^{\prime} \alpha^{\prime \prime}\right)\left(x^{\prime} d y^{\prime}-y^{\prime} d x^{\prime}\right)+ \\
+\left(\gamma^{\prime} \alpha^{\prime \prime}-\alpha^{\prime} \gamma^{\prime \prime}\right)\left(z^{\prime} d x^{\prime}-x^{\prime} d z^{\prime}\right)+ \\
+\left(\gamma^{\prime} \beta^{\prime \prime}-\beta^{\prime} \gamma^{\prime \prime}\right)\left(y^{\prime} d z^{\prime}-z^{\prime} d y^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Если все члены этих уравнений снабдить знаком $\mathbf{S}$, предварительно умножив их на $m$ и разделив на $d t$, и затем вместо интегралов, обозначенных знаком $\mathbf{S}$, подставить соответствующие им значения $A, B, C, A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
C=\left(\alpha \beta^{\prime}-\beta \alpha^{\prime}\right) C^{\prime}+\left(\gamma \alpha^{\prime}-\alpha \gamma^{\prime}\right) B^{\prime}+\left(\beta \gamma^{\prime}-\gamma \beta^{\prime}\right) A^{\prime}, \\
B=\left(\beta \alpha^{\prime \prime}-\alpha \beta^{\prime \prime}\right) C^{\prime}+\left(\alpha \gamma^{\prime \prime}-\gamma \alpha^{\prime \prime}\right) B^{\prime}+\left(\gamma \beta^{\prime \prime}-\beta \gamma^{\prime \prime}\right) A^{\prime}, \\
A=\left(\alpha^{\prime} \beta^{\prime \prime}-\beta^{\prime} \alpha^{\prime \prime}\right) C^{\prime}+\left(\gamma^{\prime} \alpha^{\prime \prime}-\alpha^{\prime} \gamma^{\prime \prime}\right) B^{\prime}+\left(\gamma^{\prime} \beta^{\prime \prime}-\beta^{\prime} \gamma^{\prime \prime}\right) A^{\prime} .
\end{array}
\]

Эти формулы можно свести к более простому выражению, если принять во внимание существование тождества
\[
\begin{array}{l}
\left(\alpha \beta^{\prime}-\beta \alpha^{\prime}\right)^{2}+\left(\beta \alpha^{\prime \prime}-\alpha \beta^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(\alpha^{\prime} \beta^{\prime \prime}-\beta^{\prime} \alpha^{\prime \prime}\right)^{2}= \\
\quad=\left(\alpha^{2}+\alpha^{2}+\alpha^{\prime 2}\right)\left(\beta^{2}+\beta^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}\right)-\left(\alpha \beta+\alpha^{\prime} \beta^{\prime}+\alpha^{\prime \prime} \beta^{\prime \prime}\right)^{2}
\end{array}
\]

на основании условных уравнений (Статика, отд. III, п. 10) последняя величина сводится к единиде. Сверх того мы имеем следующие тождества:
\[
\begin{array}{l}
\alpha\left(\alpha^{\prime} \beta^{\prime \prime}-\beta^{\prime} \alpha^{\prime \prime}\right)+\alpha^{\prime}\left(\beta \alpha^{\prime \prime}-\alpha \beta^{\prime \prime}\right)+\alpha^{\prime \prime}\left(\alpha \beta^{\prime}-\beta \alpha^{\prime}\right)=0, \\
\beta\left(\alpha^{\prime} \beta^{\prime \prime}-\beta^{\prime} \alpha^{\prime \prime}\right)+\beta^{\prime}\left(\beta \alpha^{\prime \prime}-\alpha \beta^{\prime \prime}\right)+\beta^{\prime \prime}\left(\alpha \beta^{\prime}-\beta \alpha^{\prime}\right)=0 .
\end{array}
\]

Следовательно, если эти тождества сравнить с тремя условными уравнениями
\[
\gamma^{2}+\gamma^{\prime 2}+\gamma^{\prime 2}=1, \quad \alpha \gamma+\alpha^{\prime} \gamma^{\prime}+\alpha^{\prime \prime} \gamma^{\prime \prime}=0, \quad \beta \gamma+\beta^{\prime} \gamma^{\prime}+\beta^{\prime \prime} \gamma^{\prime \prime}=0,
\]

то легко притти к заключению, что
\[
\alpha^{\prime} \beta^{\prime \prime}-\beta^{\prime} \alpha^{n}=\gamma, \quad \beta \alpha^{\prime \prime}-\alpha \beta^{n}=\gamma^{\prime}, \quad \alpha \beta^{\prime}-\beta \alpha^{\prime}=\gamma^{\prime \prime} .
\]

Величины $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{n}$ могли бы иметь и знак -, но так как при совпадении осей $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ с осями $x, y, z$ мы должны иметь (Статика, отд. III, п. 11)
\[
\begin{aligned}
\alpha=1, \quad \beta=0, \quad \gamma=0, \\
\alpha^{\prime}=0, \quad \beta^{\prime}=1, \quad \gamma^{\prime}=0, \\
\alpha^{\prime \prime}=0, \quad \beta^{n}=0, \quad \gamma^{\prime \prime}=1,
\end{aligned}
\]

то это условие может иметь место только в том случае, если мы примем $\gamma^{n}$, а следовательно, и $\gamma^{\prime}$ и $\gamma$ положительными.
Тем же путем мы найдем
\[
\begin{array}{l}
\gamma^{\prime} \alpha^{\prime \prime}-\alpha^{\prime} \gamma^{\prime \prime}=\beta, \quad \alpha \gamma^{\prime \prime}-\gamma \alpha^{\prime \prime}=\beta^{\prime}, \quad \gamma \alpha^{\prime}-\alpha \gamma^{\prime}=\beta^{\prime \prime}, \\
\gamma^{\prime} \beta^{n}-\beta^{\prime} \gamma^{\prime \prime}=\alpha, \quad \gamma \beta^{\prime \prime}-\beta \gamma^{\prime \prime}=\alpha^{\prime}, \quad \beta \gamma^{\prime}-\gamma \beta^{\prime}=\alpha^{\prime \prime} ; \\
\end{array}
\]

так что мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
A=\alpha A^{\prime}+\beta B^{\prime}+\gamma C^{\prime}, \\
B=\alpha^{\prime} A^{\prime}+\beta^{\prime} B^{\prime}+\gamma^{\prime} C^{\prime}, \\
C=\alpha^{\prime \prime} A^{\prime}+\beta^{\prime \prime} B^{\prime}+\gamma^{\prime \prime} C^{\prime},
\end{array}
\]

откуда с помощью условных уравнений пункта 10 (Статика, отд. III) получается
\[
\begin{array}{c}
A^{\prime}=A \alpha+B \alpha^{\prime}+C \alpha^{\prime \prime}, \\
B^{\prime}=A \beta+B \beta^{\prime}+C \beta^{\prime \prime}, \\
C^{\prime}=A \gamma+B \gamma^{\prime}+C \gamma^{\prime \prime}, \\
A^{2}+B^{2}+C^{2}=A^{\prime 2}+B^{\prime 2}+C^{\prime 2} .
\end{array}
\]

Из последнего уравнения следует, что вообще
\[
\begin{array}{l}
{\left[\mathbf{S} m\left(x \frac{d y}{d t}-y \frac{d x}{d t}\right)\right]^{2}+} \\
+\left[\mathbf{S} m\left(z \frac{d x}{d t}-x \frac{d z}{d t}\right)\right]^{2}+ \\
+\left[\mathbf{S} m\left(y \frac{d z}{d t}-z \frac{d y}{d t}\right)\right]^{2}= \\
=\left[\mathbf{S} m\left(x^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d t}-y^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d t}\right)\right]^{2}+ \\
+ {\left[\mathbf{S} m\left(z^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d t}-x^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d t}\right)\right]^{2}+} \\
+ {\left[\mathbf{S} m\left(y^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d t}-z^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d t}\right)\right]^{2} }
\end{array}
\]

откуда можно сделать вывод, что функция
\[
\begin{aligned}
& {\left[\mathbf{S} m\left(x \frac{d y}{d t}-y \frac{d x}{d t}\right)\right]^{2}+} \\
+ & {\left[\mathbf{S} m\left(z \frac{d x}{d t}-x \frac{d z}{d t}\right)\right]^{2}+} \\
+ & {\left[\mathbf{S} m\left(y \frac{d z}{d t}-z \frac{d y}{d t}\right)\right]^{2} }
\end{aligned}
\]

имеет всегда значение, независимое от плоскости проекции и от положения в пространстве осей координат $x, y, z$, – при условии, если эти координаты взаимно перпендикулярны.

11. Найденные выше выражения для $A, B, C$ через $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ аналогичны выражениям для $x, y, z$ через $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, приведенным в пункте 9 предыдущего отдела. Следовательно, если положить
\[
x^{\prime}=A^{\prime}, \quad y^{\prime}=B^{\prime}, \quad z^{\prime}=C^{\prime},
\]

то мы будем иметь
\[
A=x, \quad B=y, \quad C=z ;
\]

и обратно, $x=A, y=B, z=C$ даст $A^{\prime}=x^{\prime}, B^{\prime}=y^{\prime}$, $C^{\prime}=z^{\prime}$. Это значит, что $A, B, C$ и $A^{\prime}, B^{\prime}, C^{\prime}$ представляют собою две системы координат, соответствующие одной и той же точке, причем первая из них отнесена к осям $x, y, z$, а вторая к осям $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$.

Отсюда тотчас же становится ясно, что можно сделать
\[
A^{\prime}=0, \quad B^{\prime}=0,
\]

если ось $C^{\prime}$ или $z^{\prime}$ провести через точку, которой соответствуют координаты $A, B, C$, и что тогда координата будет иметь наибольшее свое значение, равное $\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}$. В этом случае
\[
A=\gamma C^{\prime}, \quad B=\gamma^{\prime} C^{\prime}, \quad C=\gamma^{\prime \prime} C^{\prime},
\]

и легко доказать, что коэффициенты $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}$ представят собою не что иное, как косинусы углов, образуемых линией $C^{\prime}$ с осями $A, B, C$.
Таким образом решение уравнений
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} m\left(x^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d t}-y^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d t}\right)=C^{\prime} \\
\mathbf{S} m\left(z^{\prime} \frac{d x^{\prime}}{d t}-x^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d t}\right)=0 \\
\mathbf{S} m\left(y^{\prime} \frac{d z^{\prime}}{d t}-z^{\prime} \frac{d y^{\prime}}{d t}\right)=0
\end{array}
\]

даст решение следующих уравнений:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} m\left(x \frac{d y}{d t}-y \frac{d x}{d t}\right)=\gamma^{\prime \prime} C^{\prime}, \\
\mathbf{S} m\left(z \frac{d x}{d t}-x \frac{d z}{d t}\right)=\gamma^{\prime} C^{\prime}, \\
\mathbf{S} m\left(y \frac{d z}{d t}-z \frac{d y}{d t}\right)=\gamma C^{\prime},
\end{array}
\]

где $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{n}$ – три постоянные величины, связанные между собою соотношением
\[
\gamma^{2}+\gamma^{\prime 2} \div \gamma^{\prime \prime 2}=1,
\]

так что две из них являются произвольными.
Плоскость, перпендикулярная к оси $C^{\prime}$, когда $C^{\prime}$ является максимумом, представляет собою именно ту плоскость, которую Лаплас называет неизменной плоскостью; он же первый доказал ее существование и положение.

Положение этой плоскости легко определить с помощью уравнений
\[
A=\gamma C^{\prime}, \quad B=\gamma^{\prime} C^{\prime}, \quad C=\gamma^{\prime \prime} C^{\prime} ;
\]

в самом деле, так как величины $\gamma, \gamma^{\prime}, \gamma^{\prime \prime}$ представляют собою косинусы углов, которые ось $C^{\prime}$, или $z^{\prime}$, перпендикулярная к неизменной плоскости, образует с осями $x, y, z$ системы, то, назвав эти углы $l, m, n$, мы в силу $C^{\prime}=\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}$ будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\cos l=\frac{A}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}, \quad \cos m=\frac{B}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}, \\
\cos n=\frac{C}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} .
\end{array}
\]
12. Если система свободна, т. е. если в системе не имеется никакой точки, которая должна оставаться неподвижной, то можно начало координат $x, y, z$, которое согласно допущению должно быть нешодвижным, избрать в каком угодно месте; следовательно, те свойства площадей и моментов, которые были нами выше доказаны, будут иметь место по отношению к любой неподвижной точке, произвольно взятой в пространстве.

Но согласно тому, что было нами доказано в пункте 6, эти же свойства остаются в силе и по отношению к центру, тяжести всей системы независимо от того, будет ли этот центр неподвижен или нет. В самом деле, если в трех уравнениях пункта 7 вместо $x, y, z$ подставить величины $x^{\prime}+\xi, y^{\prime}+\eta$, $z^{\prime}+\zeta$, приписывая, как в пункте 3 , координаты $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ центру тяжести системы, и если принять во внимание три уравнения этого последнего пункта, то мы получим следующие преобразованные уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} m\left(\xi \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}-\eta \frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}+\xi Y-\eta X\right)=0 \\
\mathbf{S} m\left(\zeta \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}-\xi \frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}+\zeta X-\xi Z\right)=0 \\
\mathbf{S} m\left(\eta \frac{d^{2} \zeta}{d t^{2}}-\zeta \frac{d^{2} \eta}{d t^{2}}+\eta Z-\zeta Y\right)=0
\end{array}
\]

как видим, эти уравнения подобны уравнениям пункта 7: все их различие заключается в том, что вместо координат $x, y, z$, отнесенных к неподвижной точке, мы имеем координаты $\xi, \eta ; \zeta$, начало которых лежит в центре тяжести системы.

Таким образом в том случае, когда ускоряющие силы равны нулю, мы имеем интегралы
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}_{m}\left(\xi \frac{d \eta}{d t}-\eta \frac{d \xi}{d t}\right)=C, \\
\mathbf{S}_{m}\left(\zeta \frac{d \xi}{d t}-\xi \frac{d \zeta}{d t}\right)=B, \\
\mathbf{S} m\left(\eta \frac{d \zeta}{d t}-\zeta \frac{d \eta}{d t}\right)=A,
\end{array}
\]

по поводу которых можно сделать замечания, аналогичные тем, какие были нами сделаны относительно уравнений пункта 9.

13. В том случае, когда одно из тел системы удерживается в неподвижном состоянии каким-либо препятствием, мы, поместив начало координат в этом теле, будем иметь перед собою случай, указанный в п. 7. Если же мы допустим, что два тела системы нешодвижны, то линию, проходящую через эти два тела, следует рассматривать как ось, вокруг которой система может свободно вращаться; приняв эту ось за ось координат $z$, мы на основании того же пункта получим просто
\[
\delta x=-y \delta \varphi, \quad \delta y=x \delta \varphi,
\]

где $\delta \varphi$-элементарное вращение вокруг указанной оси, которое должно оставаться неопределенным. Таким образом мы будем иметь только одно уравнение относительно упомянутой вариации $\delta \varphi$, а именно:
\[
\mathbf{S} m\left(x \frac{d^{2} y}{d t^{2}}-y \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+x Y-y X\right)=0 ;
\]

а так как момент $x Y-y X$ внешних сил по отношению к оси вращения равен нулю, то путем интегрирования, как в пункте 9 , мы получим
\[
\mathbf{S} m\left(x \frac{d y}{d t}-y \frac{d x}{d t}\right)=C .
\]

Это уравнение выражает принцип площадей по отношению к плоскости $x y$, перпендикулярной к оси вращения, на которую должны проектироваться площади, описываемые телами.

Если бы мы допустили, что три тела системы остаются неподвижными, то положение каждого из остальных тел в пространстве определилось бы его расстояниями от указанных трех тел; в этом случае уже не существовало бы никаких вариаций, независимых от природы системы и от взаимного расположения тел, из которых можно было бы вывести общие уравнения для движения любой системы.