60. Так как условие твердости тела заключается в том, что все точки его постоянно занимают в нем одни и те же положения и сохраняют неизменными взаимные свои расстояния; то между вариациями $\delta x$, $\delta y, \delta z$ мы имеем те же условные уравнения, какие были найдены в пункте 53; ведь ясно, что если мы представим себе внутри этого тела какую-либо кривую, то достаточно, чтобы все точки этой кривой сохраняли неизменными взаимные свои расстояния, как бы тело ни двигалось; таким образом с помощью указанных уравнений можно непосредственно определить значения интересующих нас вариаций.

С этой целью я обращаю внимание на то обстоятельство, что если мы перейдем к дифференциалам второго порядка, то всегда можно один из дифференциалов первого порядка считать постоянным; допустим поэтому, что $d x$-постоянное число; тогда; следовательно, $d^{2} x=0, d^{3} x=0, \ldots ;$ благодаря этому второе и третье уравнения примут следующий вид:
\[
d^{2} y d^{2} \delta y+d^{2} z d^{2} \delta z=0 \quad \text { и } \quad d^{3} y d^{3} \delta y+d^{3} z d^{3} \delta z=0 .
\]

Первое из этих уравнений дает сначала $d^{2} \delta y=$ $=-\frac{d^{2} z}{d^{2} y} d^{2} \delta z$, а затем после дифференцирования
\[
d^{3} \delta y=\frac{d^{2} z}{d^{2} y} d^{3} \delta z-\left[\frac{d^{3} z}{d^{2} y}-\frac{d^{2} z d^{3} y}{\left(d^{2} y\right)^{2}}\right] d^{2} \delta z .
\]
Если это выражение подставить во второе уравнение, то оно будет делиться на $d^{3} z-\frac{d^{3} y d^{2} z}{d^{2} y}$ и после деления получится
\[
d^{3} \delta z-\frac{d^{3} y}{d^{2} y} d^{2} \delta z=0 ;
\]

откуда путем интегрирования получается
\[
d^{2} \delta z=\delta L d^{2} y,
\]

где $\delta L$ – постоянная величина. Имея значение $d^{2} \delta z$, мы получим
\[
d^{2} \delta y=-\delta L d^{2} z .
\]

Если мы снова проинтегрируем и дополнительно пведеи постоянные – $\delta M d x, \delta N d x$, то мы будем иметь
\[
d \delta z=\delta L d y-\delta M d x, \quad d \delta y=-\delta L d z+\delta N d x,
\]

а эти величины, будучи подставлены в первое условное уравнение, т. е. в
\[
d x d \delta x+d y d \delta y+d z d \delta z=0,
\]

приведут его к следующему виду:
\[
d \delta x=-\delta N d y+\delta M d z .
\]

Наконец, после третьего интегрирования и после введения трех новых постоянных $\delta l, \delta m, \delta n$ мы получим
\[
\begin{array}{l}
\delta x=\delta l-y \delta N+z \delta M, \\
\delta y=\delta m+x \delta N-z \delta L, \\
\delta z=\delta n-x \delta M+y \delta L .
\end{array}
\]

Легко убедиться в том, что эти выражения удовлетворяют не только первым трем условным уравнениям, указанным в пункте 53, но и всем другим, каких можно было бы найтп бесчисленное множество;

все эти уравнения заключаются в следующем общем выражении:
\[
d^{n} x d^{n} \delta x+d^{n} y d^{n} \delta y+d^{n} z d^{n} \delta z=0 .
\]

Таковы, следовательно, значения $\delta x, \delta y, \delta z$ для любой системы точек, связанных между собою таким образом, что они постоянно сохраняют одни и те же взаимные расстояния; поэтому указанные значения служат не только для случая любой подвижной кривой неизменной формы, но и для случая твердого тела, имеющего какую угодно форму.

Эйлер впервые нашел эти простые и изящные формы – для того, чтобы выразить вариации коордипат всех точек твердого тела, движущегося в пространстве. Он пришел к ним на основании соображений, выведенных из дифференциального исчисления, но отличных от тех, которыми мы воспользовались, и, как мне кажется, менее строгих *). См. в томе Берлинской академии за 1760 r. мемуар: Découverte d’un nouveau principe de mécanique.
61. Так как приведенные выше значения $\delta x, \delta y, \delta z$ уже удовлетворяют условным уравнениям задачи, то ясно, что остается только подставить их в выражение
\[
\mathbf{S}(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z) d m
\]

и добиться того, чтобы оно было равно нулю независимо от единственно оставшихся неопределенными величин $\delta l, \delta m, \delta n, \delta L, \delta M, \delta N$.

Но эти величины являются общими для всех точек тела, поэтому при подстановке их следует вывести за знак $\mathbf{S}$; тогда, следовательно, мы получим
*) Доказательство Эйлера действительно является менее прямым, чем доказательство Лагранжа; но мне не удалось установить точки зрения, исходя из которой Эйлера можно было бы обвинить в недостаточной строгости его доказательства. (Iрим. Бертрана.)

следующее общее уравнение равновесия для твердого тела любой формы
\[
\begin{array}{r}
\delta l \mathbf{S} X d m+\delta m \mathbf{S} Y d m+\delta n \mathbf{S} Z d m+\delta N \mathbf{S}(Y x-X y) d m+ \\
+\delta M \mathbf{S}(X z-Z x) d m+\delta L \mathbf{S}(Z y-Y z) d m=0
\end{array}
\]

откуда выводятся особые уравнения равновесия в соответствии с различными условиями задачи.
62. Во-первых если мы допустим, что тело совершенно свободно, то все шесть вариаций $\delta l$, $\delta m$, $\delta n, \delta L, \delta M, \delta N$ будут неопределенными, и тогда следует отдельно приравнять нулю величины, на которые эти вариации умножаются; это даст нам уже известные шесть уравнений
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{S} X d m=0, \quad \mathbf{S} Y d m=0, \quad \mathbf{S} Z d m=0, \\
\mathbf{S}(Y x-X y) d m=0, \quad \mathbf{S}(X z-Z x) d m=0, \\
\mathbf{S}(Z y-Y z) d m=0 .
\end{array}
\]

Во-вторых, если тело имеет одну неподвияную точку, вокруг которой оно может свободно рращаться во всех направлениях, то, назвав $a, b, c$ координаты $x, y, z$ этой точки, мы должны иметь
\[
\delta a=0, \quad \delta b=0, \quad \delta c=0 .
\]

Следовательно,
\[
\begin{array}{c}
\delta l-b \delta N+c \delta M=0, \delta m-c \delta L+a \delta N=0, \\
\delta n-a \delta M+b \delta L=0 ;
\end{array}
\]

откуда получается
\[
\delta l=b \delta N-c \delta M, \delta m=c \delta L-a \delta N, \delta n=a \delta M-b \delta L .
\]

Подставим эти значения в общее уравнение предыдущего пункта и, подведя под знак $\mathbf{S}$ величины $a, b, c$, являющисея постояным по отношению ін

различным точкам тела, мы получим следующее преобрразованное уравнение:
\[
\begin{array}{l}
+\delta N \mathbf{S}[Y(x-a)-X(y-b)] d m+ \\
+\delta M \mathbf{S}[X(z-c)-Z(x-a)] d m+ \\
\quad+\delta L \mathbf{S}[Z(y-b)-Y(z-c)] d m=0,
\end{array}
\]

из которо можио потучить три уравнения, а именно:
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}[Y(x-a)-X(y-b)] d m=0, \\
\mathbf{S}[X(z-c)-Z(x-a)] d m=0, \\
\mathbf{S}[Z(y-b)-Y(z-c)] d m=0 .
\end{array}
\]
$\mathrm{B}$-третьих, если тело пмеет две неподвияные точки и $f, g, h$ представляют собой координаты $x, y, z$ второй точки, то мы будем иметь
\[
\delta l=g \delta N-h \delta M, \delta m=h \delta L-f \delta N, \delta n=f \delta M-g \delta L ;
\]

еравнив эти зпачения $\delta l, \delta m, \delta n$ с приведенными выне, мы получим
\[
\begin{array}{c}
(g-b) \delta N-(h-c) \delta M=0,(f-a) \delta N-(h-c) \delta L=0, \\
(f-a) \delta M-(g-b) \delta L=0 .
\end{array}
\]

Первые два из этих уравнений дадут
\[
\delta L=\frac{f-a}{h-c} \delta N, \quad \delta M=\frac{g-b}{h-c} \delta N ;
\]

гaп झє! әти значения удовлетворяют и третьему уранению, то отсюда следует, тто вариация $\delta N$ остаетчя неопределенной.

Если произвести эти подстановни в наїденное вище преобразованное уравнение, то мы получим
\[
\delta N\left\{\begin{array}{l}
+(h-c) \mathbf{S}[Y(x-a)-X(y-b)] d m \\
+(g-b) \mathbf{S}[X(z-c)-Z(x-a)] d m \\
+(f-a) \mathbf{S}[Z(y-b)-Y(z-c)] d m
\end{array}\right\}=0 ;
\]

таким образом условия равновесия будут заключаться в следующем единственном уравнении:
\[
\begin{array}{l}
+(h-c) \mathbf{S}[Y(x-a)-X(y-b)] d m+ \\
+(g-b) \mathbf{S}[X(z-c)-Z(x-a)] d m+ \\
+(f-a) \mathbf{S}[Z(y-b)-Y(z-c)] d m=0 .
\end{array}
\]
63. Эти уравнения соответствуют тем уравнениям, которые мы дали раньше в отделе III для равновесия изолированной системы точек неизменяемой формы; мы могли бы условия этого равновесия непосредственно применить к условиям равновесия твердого тела любой формы, все точки которого находятся под действием заданных сил. Но мы сочли небесполезным, в целях демонстрации плодотворности нашего метода, рассмотреть эту задачу особо и совершенно не пользуясь решенными раньше задачами.

Впрочем, если бы две точки тела, которые предполагались неподвижными, в действительности двигались по заданным линиям или поверхностям, или же были бы связаны друг с другом каким угодно образом, то мы тогда имели бы еще одно или несколько дифференциальных уравнений между вариациями координат $a, b, c, f, g, h$, соответствующих этим точкам; подставив вместо этих гариаций их выражения через $\delta l, \delta m, \delta n, \delta L, \delta M, \delta N$, на основе общих формул пункта 60, мы получили бы столько уравнений между этими последними вариациями, сколько нужно для того, чтобы с их помощью определить некоторые из этих вариаций при посредстве остальных; подставив затем эти значения в общее уравнение и приравняв нулю каждый из коэффициентов оставшихся вариаций, мы получили бы все уравнения, необходимые для равновесия.

Ход вычислений, как видим, остается все время одним и тем же. Это именно и следует признать одним из главнейших преимуществ данного метода.

64. Найденные выше (п. 60) выражения для вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$ позволяют видеть, что эти вариации представляют собою не что иное, как результат поступательных и вращательных движений, которые мы особо рассмотрели в отделе III.

Действительно, ясно, что члены $\delta l, \delta m, \delta n$, являющиеся общими для всех точек тела, представляют собою малые пути, пробегаемые телом по направлениям координат $x, y, z$ при наличии какого-либо поступательного движения; из формул пункта 8 того же отдела можно также увидеть, что члены $z \delta M-y \delta N$, $x \delta N-z \delta L, y \delta L-x \delta M$ представляют собою малые пути, проходимые по тем же направлениям каждой точкой тела вследствие вращательных движений $\delta L$, $\delta M, \delta N$ вокруг трех осей $x, y, z$; эти величины $\delta L$, $\delta M, \delta N$ соответствуют величинам $d \psi, d \omega, d \varphi$ упомянутого выше пункта. Таким образом приведенные выше выражения можно было бы получить и непосредственно, исходя только из рассмотрения этих движений, что, правда, было бы проще, но представляло бы собою менее прямой путь. Изложенный же выше анализ приводит естественно к этим выражениям и этим доказывает более прямым путем и в более общем виде, чем это было сделано в пункте 10 отдела III, тто, когда различные точки системы постоянно сохраняют неизменным свое взаимное положение, система в любое мгновение может иметь только поступательное движение в пространстве и вращательное движение вокруг трех взаимно перпендикулярных осей [18].