60. Так как условие твердости тела заключается в том, что все точки его постоянно занимают в нем одни и те же положения и сохраняют неизменными взаимные свои расстояния; то между вариациями $\delta x$, $\delta y,\delta z$ мы имеем те же условные уравнения, какие были найдены в пункте 53; ведь ясно, что если мы представим себе внутри этого тела какую-либо кривую, то достаточно, чтобы все точки этой кривой сохраняли неизменными взаимные свои расстояния, как бы тело ни двигалось; таким образом с помощью указанных уравнений можно непосредственно определить значения интересующих нас вариаций.

С этой целью я обращаю внимание на то обстоятельство, что если мы перейдем к дифференциалам второго порядка, то всегда можно один из дифференциалов первого порядка считать постоянным; допустим поэтому, что $dx$-постоянное число; тогда; следовательно, $d^{2}x=0,d^{3}x=0,\dots ;$ благодаря этому второе и третье уравнения примут следующий вид:
$$d^{2}y{d}^2\delta y+d^{2}z{d}^2\delta z=0\text{ и }{d}^{3}y{d}^3\delta y+d^{3}z{d}^3\delta z=0.$$

Первое из этих уравнений дает сначала $d^2\delta y=$ $=-\frac{d^{2}z}{d^{2}y}{d}^2\delta z$, а затем после дифференцирования
$$d^3\delta y=\frac{d^{2}z}{d^{2}y}{d}^3\delta z-[\frac{d^{3}z}{d^{2}y}-\frac{d^{2}z{d}^{3}y}{{\left(d^{2}y\right)}^2}]d^2\delta z.$$
Если это выражение подставить во второе уравнение, то оно будет делиться на $d^{3}z-\frac{d^{3}y{d}^{2}z}{d^{2}y}$ и после деления получится
$$d^3\delta z-\frac{d^{3}y}{d^{2}y}{d}^2\delta z=0;$$

откуда путем интегрирования получается
$$d^2\delta z=\delta L{d}^{2}y,$$

где $\delta L$ — постоянная величина. Имея значение $d^2\delta z$, мы получим
$$d^2\delta y=-\delta L{d}^{2}z.$$

Если мы снова проинтегрируем и дополнительно пведеи постоянные — $\delta Mdx,\delta Ndx$, то мы будем иметь
$$d\delta z=\delta Ldy-\delta Mdx,d\delta y=-\delta Ldz+\delta Ndx,$$

а эти величины, будучи подставлены в первое условное уравнение, т. е. в
$$dxd\delta x+dyd\delta y+dzd\delta z=0,$$

приведут его к следующему виду:
$$d\delta x=-\delta Ndy+\delta Mdz.$$

Наконец, после третьего интегрирования и после введения трех новых постоянных $\delta l,\delta m,\delta n$ мы получим
$$\begin{array}{l}\delta x=\delta l-y\delta N+z\delta M,\\ \delta y=\delta m+x\delta N-z\delta L,\\ \delta z=\delta n-x\delta M+y\delta L.\end{array}$$

Легко убедиться в том, что эти выражения удовлетворяют не только первым трем условным уравнениям, указанным в пункте 53, но и всем другим, каких можно было бы найтп бесчисленное множество;

все эти уравнения заключаются в следующем общем выражении:
$$d^{n}x{d}^n\delta x+d^{n}y{d}^n\delta y+d^{n}z{d}^n\delta z=0.$$

Таковы, следовательно, значения $\delta x,\delta y,\delta z$ для любой системы точек, связанных между собою таким образом, что они постоянно сохраняют одни и те же взаимные расстояния; поэтому указанные значения служат не только для случая любой подвижной кривой неизменной формы, но и для случая твердого тела, имеющего какую угодно форму.

Эйлер впервые нашел эти простые и изящные формы — для того, чтобы выразить вариации коордипат всех точек твердого тела, движущегося в пространстве. Он пришел к ним на основании соображений, выведенных из дифференциального исчисления, но отличных от тех, которыми мы воспользовались, и, как мне кажется, менее строгих *). См. в томе Берлинской академии за 1760 r. мемуар: Découverte d’un nouveau principe de mécanique.
61. Так как приведенные выше значения $\delta x,\delta y,\delta z$ уже удовлетворяют условным уравнениям задачи, то ясно, что остается только подставить их в выражение
$$\mathbf{S}(X\delta x+Y\delta y+Z\delta z)dm$$

и добиться того, чтобы оно было равно нулю независимо от единственно оставшихся неопределенными величин $\delta l,\delta m,\delta n,\delta L,\delta M,\delta N$.

Но эти величины являются общими для всех точек тела, поэтому при подстановке их следует вывести за знак $\mathbf{S}$; тогда, следовательно, мы получим
*) Доказательство Эйлера действительно является менее прямым, чем доказательство Лагранжа; но мне не удалось установить точки зрения, исходя из которой Эйлера можно было бы обвинить в недостаточной строгости его доказательства. (Iрим. Бертрана.)

следующее общее уравнение равновесия для твердого тела любой формы
$$\begin{array}{r}\delta l\mathbf{S}Xdm+\delta m\mathbf{S}Ydm+\delta n\mathbf{S}Zdm+\delta N\mathbf{S}(Yx-Xy)dm+\\ +\delta M\mathbf{S}(Xz-Zx)dm+\delta L\mathbf{S}(Zy-Yz)dm=0\end{array}$$

откуда выводятся особые уравнения равновесия в соответствии с различными условиями задачи.
62. Во-первых если мы допустим, что тело совершенно свободно, то все шесть вариаций $\delta l$, $\delta m$, $\delta n,\delta L,\delta M,\delta N$ будут неопределенными, и тогда следует отдельно приравнять нулю величины, на которые эти вариации умножаются; это даст нам уже известные шесть уравнений
$$\begin{array}{c}\mathbf{S}Xdm=0,\mathbf{S}Ydm=0,\mathbf{S}Zdm=0,\\ \mathbf{S}(Yx-Xy)dm=0,\mathbf{S}(Xz-Zx)dm=0,\\ \mathbf{S}(Zy-Yz)dm=0.\end{array}$$

Во-вторых, если тело имеет одну неподвияную точку, вокруг которой оно может свободно рращаться во всех направлениях, то, назвав $a,b,c$ координаты $x,y,z$ этой точки, мы должны иметь
$$\delta a=0,\delta b=0,\delta c=0.$$

Следовательно,
$$\begin{array}{c}\delta l-b\delta N+c\delta M=0,\delta m-c\delta L+a\delta N=0,\\ \delta n-a\delta M+b\delta L=0;\end{array}$$

откуда получается
$$\delta l=b\delta N-c\delta M,\delta m=c\delta L-a\delta N,\delta n=a\delta M-b\delta L.$$

Подставим эти значения в общее уравнение предыдущего пункта и, подведя под знак $\mathbf{S}$ величины $a,b,c$, являющисея постояным по отношению ін

различным точкам тела, мы получим следующее преобрразованное уравнение:
$$\begin{array}{l}+\delta N\mathbf{S}[Y(x-a)-X(y-b)]dm+\\ +\delta M\mathbf{S}[X(z-c)-Z(x-a)]dm+\\ +\delta L\mathbf{S}[Z(y-b)-Y(z-c)]dm=0,\end{array}$$

из которо можио потучить три уравнения, а именно:
$$\begin{array}{l}\mathbf{S}[Y(x-a)-X(y-b)]dm=0,\\ \mathbf{S}[X(z-c)-Z(x-a)]dm=0,\\ \mathbf{S}[Z(y-b)-Y(z-c)]dm=0.\end{array}$$
$\mathrm{B}$-третьих, если тело пмеет две неподвияные точки и $f,g,h$ представляют собой координаты $x,y,z$ второй точки, то мы будем иметь
$$\delta l=g\delta N-h\delta M,\delta m=h\delta L-f\delta N,\delta n=f\delta M-g\delta L;$$

еравнив эти зпачения $\delta l,\delta m,\delta n$ с приведенными выне, мы получим
$$\begin{array}{c}(g-b)\delta N-(h-c)\delta M=0,(f-a)\delta N-(h-c)\delta L=0,\\ (f-a)\delta M-(g-b)\delta L=0.\end{array}$$

Первые два из этих уравнений дадут
$$\delta L=\frac{f-a}{h-c}\delta N,\delta M=\frac{g-b}{h-c}\delta N;$$

гaп झє! әти значения удовлетворяют и третьему уранению, то отсюда следует, тто вариация $\delta N$ остаетчя неопределенной.

Если произвести эти подстановни в наїденное вище преобразованное уравнение, то мы получим
$$\delta N\left\{\begin{array}{l}+(h-c)\mathbf{S}[Y(x-a)-X(y-b)]dm\\ +(g-b)\mathbf{S}[X(z-c)-Z(x-a)]dm\\ +(f-a)\mathbf{S}[Z(y-b)-Y(z-c)]dm\end{array}\right\}=0;$$

таким образом условия равновесия будут заключаться в следующем единственном уравнении:
$$\begin{array}{l}+(h-c)\mathbf{S}[Y(x-a)-X(y-b)]dm+\\ +(g-b)\mathbf{S}[X(z-c)-Z(x-a)]dm+\\ +(f-a)\mathbf{S}[Z(y-b)-Y(z-c)]dm=0.\end{array}$$
63. Эти уравнения соответствуют тем уравнениям, которые мы дали раньше в отделе III для равновесия изолированной системы точек неизменяемой формы; мы могли бы условия этого равновесия непосредственно применить к условиям равновесия твердого тела любой формы, все точки которого находятся под действием заданных сил. Но мы сочли небесполезным, в целях демонстрации плодотворности нашего метода, рассмотреть эту задачу особо и совершенно не пользуясь решенными раньше задачами.

Впрочем, если бы две точки тела, которые предполагались неподвижными, в действительности двигались по заданным линиям или поверхностям, или же были бы связаны друг с другом каким угодно образом, то мы тогда имели бы еще одно или несколько дифференциальных уравнений между вариациями координат $a,b,c,f,g,h$, соответствующих этим точкам; подставив вместо этих гариаций их выражения через $\delta l,\delta m,\delta n,\delta L,\delta M,\delta N$, на основе общих формул пункта 60, мы получили бы столько уравнений между этими последними вариациями, сколько нужно для того, чтобы с их помощью определить некоторые из этих вариаций при посредстве остальных; подставив затем эти значения в общее уравнение и приравняв нулю каждый из коэффициентов оставшихся вариаций, мы получили бы все уравнения, необходимые для равновесия.

Ход вычислений, как видим, остается все время одним и тем же. Это именно и следует признать одним из главнейших преимуществ данного метода.

64. Найденные выше (п. 60) выражения для вариаций $\delta x,\delta y,\delta z$ позволяют видеть, что эти вариации представляют собою не что иное, как результат поступательных и вращательных движений, которые мы особо рассмотрели в отделе III.

Действительно, ясно, что члены $\delta l,\delta m,\delta n$, являющиеся общими для всех точек тела, представляют собою малые пути, пробегаемые телом по направлениям координат $x,y,z$ при наличии какого-либо поступательного движения; из формул пункта 8 того же отдела можно также увидеть, что члены $z\delta M-y\delta N$, $x\delta N-z\delta L,y\delta L-x\delta M$ представляют собою малые пути, проходимые по тем же направлениям каждой точкой тела вследствие вращательных движений $\delta L$, $\delta M,\delta N$ вокруг трех осей $x,y,z$; эти величины $\delta L$, $\delta M,\delta N$ соответствуют величинам $d\psi ,d\omega ,d\phi$ упомянутого выше пункта. Таким образом приведенные выше выражения можно было бы получить и непосредственно, исходя только из рассмотрения этих движений, что, правда, было бы проще, но представляло бы собою менее прямой путь. Изложенный же выше анализ приводит естественно к этим выражениям и этим доказывает более прямым путем и в более общем виде, чем это было сделано в пункте 10 отдела III, тто, когда различные точки системы постоянно сохраняют неизменным свое взаимное положение, система в любое мгновение может иметь только поступательное движение в пространстве и вращательное движение вокруг трех взаимно перпендикулярных осей [18].