1. Пусть, как и в пункте 10 предыдущего отдела, $X,Y,Z$-силы, действующие на каждую точку жидкой массы, отнесенные к осям координат $x,y,z$ и стремящиеся уменьшить эти координаты; тогда прежде всего
$$\mathbf{S}(X\delta x+Y\delta y+Z\delta z)dm$$

будет суммой моментов этих сил.
У упругих жидкостей существует еще одна внутренняя сила, которую называют упругостью и которая стремится их расширить или увеличить их объем. Итак, пусть $\epsilon$ — упругость какой-нибудь частицы $dm$; согласно пункту 9 отдела II, у этой силы, стремящейся увеличить объем $dxdydz$ упомянутой частицы, будет, или можно себе представить существующей, в качестве момента величина $-\epsilon \delta (dxdydz)$. Выражение момента этой силы я сопровождаю здесь знаком минус, так как в данном случае сила стремится увеличить переменную величину $dxdydz$, в то время как силы $X,Y,Z$ стремятся уменьшить переменные $x,y,z$. Следовательно, сумма моментов, получающихся вследствие упругости всей жидкой массы, выразится через — $\mathbf{S}\epsilon \delta (dxdydz)$.

Таким образом общая сумма моментов сил, действующих на жидкость, составит
$$\mathbf{S}(X\delta x+Y\delta y+Z\delta z)dm-{\mathbf{S}}_{\epsilon }\delta (dxdydz);$$

так как здесь не имеется пикаких частных условий, которые должны были бы быть выполнены, то общее уравнение равновесия получится, если мы эту сумму просто приравняем нулю.
2. Итак, для равновесия упругих жидкостей получается уравнение такого же вида, какое мы нашли в предыдущем отделе (п. 10) для равновесия несжимаемых жидкостей, так как в последнем (п. 11)
$$\delta L=\delta (dxdydz),$$

благодаря чему член $\mathbf{S}\lambda \delta L$, получающийся из условия несжимаемости, совершенно аналогичен члену ${\mathbf{S}}_{\delta \delta }(dxdydz)$, получающемуся из момента упругих сил.

Отсюда следует, что формулы, выведенные для равновесия несжимаемых жидкостей, непосредственно и без всяких ограничений могут быть применены и к равновесию упругих жидкостей, если только коэффициент $\lambda$ просто заменить коэффициентом $-\epsilon$, т.е. если допустить, что величина $\lambda$, обозначающая давление $у$ несжимаемых жидкостей, будучи взята с отрицательным знаком, выражает и силу упругости каждого элемента упругой жидкости.
3. Упругость в зависит от плотности и температуры каждой частицы жидкости, и ее следует рассматривать как известную функцию обеих этих величин; но плотность каждой отдельной частицы неизвестна, так как она зависит от отношения массы $dm$ частицы к ее объему $dxdydz$, и дифференциальное исчисление не в состоянии определить этого отношения, зависящего от числа элементарных частид, заключенных в дифференциальном элементе $dxdydz$ жидкой массы.

Поэтому значение упругости можно установить лишь а posteriori — с помощью тех сил, которые поддерживают жидкость в равновесии; следовательно, значение $\epsilon$ надлежит определить тем же путем, каким было определено в пункте 19 предыдущего отдела значение $\lambda$.
4. Поставив — в вместо $\lambda$, мы на основании упомянутого пункта получим уравнения
$$\begin{array}{l}\frac{\partial \epsilon }{\partial x}+\mathrm{\Gamma }X=0\\ \frac{\partial \epsilon }{\partial y}+\mathrm{\Gamma }Y=0\\ \frac{\partial \epsilon }{\partial z}+\mathrm{\Gamma }Z=0\end{array}$$

которые дают
$$d\epsilon +\mathrm{\Gamma }(Xdx+Ydy+Zdz)=0$$

и, следовательно,
$$\epsilon =-\mathbf{S}\mathrm{\Gamma }(Xdx+Ydy+Zdz)+\text{ const. }$$

Таким образом величина $\mathrm{\Gamma }(Xdx+Ydy+Zdz)$ должна быть полным дифференциалом для равновесия жидкостей как упругих, так и несжимаемых.

Отсюда можно, как и в п. 20 предыдущего отдела, сделать вывод, что если величина $Xdx+Ydy+Zdz$ сама по себе является полным дифференциалом, то плотность $\mathrm{\Gamma }$ должна быть одинаковой на каждой поверхности уровня.
5. Если через $\theta$ обозначить температуру, существующую в каждом месте жидкости, то для воздуха обычно принимают, что є пропорционально $\mathrm{\Gamma }\theta$, если отвлечься от других причин, как, например, пары, әлектричество, которые могут повлиять на еө упругость.

Подставим в уравнение
$$d\epsilon +\mathrm{\Gamma }(X\cdot dx+Ydy+Zdz)=0$$

вместо $\mathrm{\Gamma }$ его значение $\frac{\epsilon }{m\theta }$; тогда оно примет следующий вид:
$$m\frac{d\epsilon }{\epsilon }+\frac{Xdx+Ydy+Zdz}{\theta }=0.$$

Так как теплота вызывается местными причинами, то величина $\theta$ является заданной функцией $x,y,z$; следовательно, для того чтобы могло существовать приведенное выше уравнение, необходимо, чтобы величина
$$\frac{Xdx+Ydy+Zdz}{\theta }$$

была полным дифференциалом.
6. Поэтому в естественных условиях, когда
$$Xdx+Ydy+Zdz=d\mathrm{II}$$
(отд. 7, п. 20), $\theta$ должно быть функцией П; следовательно, если $d\mathrm{\Pi }=0$, то и $d\theta =0$; отсюда следует, что на каждой поверхности уровня, к которой силы тяжести направлены перпендикулярно, төплота должна быть повсюду постоянной, в противном случае атмосфера не могла бы находиться в состоянии равновесия. Следовательно, для того чтобы воздух мог оставаться в покое, необходимо, чтобы на всей поверхности земли температура была одинаковой и чтобы при подъеме в атмосфере она изменялась только при переходе от одной поверхности уровня до другой.
7. Что касается уравнения для границ поверхности жидкости, то если к нему нрименить преобразование пункта 32 предыдущего отдела, то оно примет следующий вид:
$${\mathbf{S}}_{\epsilon \delta pd{s}^2}=0;$$

в этом виде оно становится само собою очевидным, так как на поверхности приходится рассматривать только силу упругости $\epsilon$, действующую по линии $p$, перпендикулярной к этой поверхности; в том случае, когда жидкость находится в сосуде, вариации $\delta p$ равны нулю, и приведенное уравнение само собою выполняется; если же часть поверхности свободна, то упругость $\epsilon$ долина равняться нулю; в противном случае жидкость, которую ничто не сдерживало бы, должна была бы рассеяться.
8. В атмосфере упругость $\epsilon$ пропорцпональна барометрической высоте, которую мы обозначим через $h$. Пусть $Z$ — сила тяжести. Выберем ортинату $z$ перпендикулярно к поверхности земли и направим ее снизу вверх; тогда уравнение, приведенное в пункте 5 , примет следующий вид:
$$m\frac{dh}{h}+\frac{Zdz}{\theta }=0;$$

после интегрирования это уравнение, если барометрическую высоту принять равной $H$ при $z=0$, дает
$$m\log \frac{H}{h}=\int \frac{Zdz}{\theta },$$

причем предполагается, что интеграл начинается в той точке, где $z=0$.

Отсюда мы видим, что логарифм отношения барометрических высот, строго говоря, имеет величину, пропорциональную значению интеграла $\int \frac{Zdz}{\theta }$, взятого между высотами соответствующих двух станций наблюдения; кроме того, отсюда видно, что для определения разности высот этих станций следует допустить, что известен закон, связывающий температуру $\theta$ с высотой $z$.
9. Как известно, тяжесть убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от центра земли. Следовательно, если мы примем $r$ в качестве радиуса земли и предположим, что $z$ представляет собою взятую по вертикали высоту станции над поверхностью земли, то мы получим
$$Z=\frac{g}{{(1+\frac{z}{r})}^2},$$

где $g$-сила тяжести на цоверхности земли; отсюда следует
$$Zdz=g\frac{dz}{{(1+\frac{z}{r})}^2}=gdx,$$

если положить
$$x=\frac{z}{1+\frac{z}{r}},$$

так что получится
$$m\log \frac{H}{h}=g\int \frac{dx}{\theta };$$

теперь вся трудность сводится к тому, чтобы получить $\theta$ в функции $x$.
10. Если допустить, что $\theta$ постоянна и если для краткости принять
$$\frac{m\theta }{g}=K,$$

то мы получим
$$x=K\log \frac{H}{h}=K(\log H-\log h),$$

откуда с помощью формулы
$$z=\frac{x}{1-\frac{x}{r}}$$

мы определим значение $z$.
Если мы пренебрежем членом $\frac{x}{r}$, который для не очень больших высот $z$ всегда представляет собою незначительную величину, то мы получим просто $z=x$; это дает нам обычное правило измерения высот с помощью барометра.

Коэффициент $K$ должен быть определен путем наблюдения. Делюк (Deluc) установил, что для постоянной температуры ${16}^{\circ },75$ по термометру Реомюра этот коэффициент равен 10000 , если расчет производить с помощью обыкновенных логарифмов, а высоту измерять в туазах. Для других температур он увеличивал или уменьшал указанный коэффициент на одну 215 -ю его часть на каждый градус выше или ниже ${16}^{\circ },75$, а для температур, изменяющихся от одной станции до другой, он брал просто среднюю арифметическую между температурами этих станций. Позднее приведенное выше правило было улучшено на основании более точных данных и на основании новых поправок, внесенных в коэффициент $K$.
11. Впрочем, когда в качестве одинаковой температуры берут среднюю арифметическую между крайними температурами воздушного столба, то при этом предполагают, что температура убывает в арифметической прогрессии. Для того чтобы посмотреть, что дает такое предположение, примем $\theta =\mathbf{\Theta }(1-nz)$, или, для простоты расчета, лучше $\theta =\mathrm{\Theta }(1-nx)$, где $\mathrm{\Theta }$ — температура для того случая, когда $x=0$. Если это значение подставить в формулу $\frac{dx}{\theta }$, проинтегрировать и затем вместо $n$ подставить его значение, найденное из предыдущего уравнения, то мы получим
$$\begin{array}{rl}\int \frac{dx}{\theta }& =x\cdot \frac{\log \theta -\log \theta }{\theta -\theta }=\\ & =\frac{x}{k}(1-\frac{T+t}{2k}+\frac{T+Tt+t^2}{3k^2}-\dots );\end{array}$$

здесь принято, что $\mathrm{\Theta }=k+T,\theta =k+t$ п $k$ представляет собою некоторую постоянную температуру, а $T,t$ являются показаниями термометра, отсчитанными от этой температуры.

При указанных условиях, если положить
$$\frac{mk}{g}=K$$

и ограничиться приближением только до вторых степеней $T$ и $t$, формула пункта 9 даст
$$x=K[1+\frac{T+t}{2k}-\frac{(T-t{)}^2}{12k^2}]\log \frac{H}{h}.$$

Первые два члена этой формулы соответствуют правилу Делюка, третий же член почти всегда является неощутимым.