B IV отделе «Динамики\” Лагранж указал чрезвычайно интересный вид, какой получают уравнения қинамиқи, если вместо координат различных точек подставить любую систему переменных. В настоящей статье мы вернемся к составлению этих уравнений. Затем мы укажем чрезвычайно удачное преобразование, которому подверг их Гамильтон (Hamilton) и из которого можно вывести́ ряд свойств их интегралов; нодходящих ко всем тем проблемам, при которых применяется преобразование Гамильтона.
I.
Пусть $x_{1}, y_{1}, z_{1}, x_{2}, y_{2}, z_{2}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$ представляют собою $3 n$ координат точек системы. $\Pi_{1}=0, \Pi_{2}=0, \ldots, \Pi_{3 n-k}=0$ представляют собою $3 n-k$ уравнений связей, определяющих систему, причем $3 n$ координат могут фигурировать в этих уравнениях любым образом вместе со временем $t$; обозначим через $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k} k$ новых переменных, так что $3 n$ координат $x_{1}, y_{1}, z_{1}, \ldots, x_{n}, y_{n}, z_{n}$ можно выразить в функции этих шеременных и времени $t$. Фориулы, выражающие координаты, конечно, таковы, что уравнения $\Pi_{1}=0, \Pi_{2}=0, \ldots, \Pi_{3 n-k}=0$ тождественно удовлетворяются, если вместо различных коор.динат нодставить их выражения в функции новых переменных.

Как известно, общий тип уравнений движения представдяется в следующем виде:
\[
\left.\begin{array}{l}
m_{i} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}=X_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial \Pi_{1}}{\partial x_{i}}+\lambda_{2} \frac{\partial \Pi_{3}}{\partial x_{i}}+\ldots+\lambda_{3 n-k} \frac{\partial \Pi_{3 n-k}}{\partial x_{i}}, \\
m_{i} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}=Y_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial \Pi_{1}}{\partial y_{i}}+\lambda_{2} \frac{\partial \Pi_{2}}{\partial y_{i}}+\ldots+\lambda_{3 n-k} \frac{\partial \Pi_{3 n-k}}{\partial y_{i}}, \\
m_{i} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}=Z_{i}+\lambda_{1} \frac{\partial \Pi_{1}}{\partial z_{i}}+\lambda_{2} \frac{\partial \Pi_{2}}{\partial z_{i}}+\ldots+\lambda_{3 n-k} \frac{\partial \Pi_{3 n-k}}{\partial z_{i}} ;
\end{array}\right\}
\]

буква $i$ обозначает любое делое число, не превышающее $n, m_{t}$ обозначает массу точки, координаты которой равцы $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, а $\ddot{X}_{i}, Y_{i}, Z_{i}$-составляющие силы, действующей на эту точку.

Умножим уравнения (1) соответственно на $\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{m}}, \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{m}}, \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{m}}$ и прибавим их ко всем аналогичным уравнениям, которые получаются, если индексу $i$ приписать $n$ значений, которые он может принять; тогда мы получим
\[
\begin{aligned}
\sum m_{i}\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{m}} \frac{d^{2} x_{i}}{d t^{2}}\right. & \left.+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{m}} \frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{m}} \frac{d^{2} z_{i}}{d t^{2}}\right)= \\
& =\sum\left(X_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{m}}+Y_{i} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{m}}+Z_{i} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{m}}\right)
\end{aligned}
\]

множители $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots, \lambda_{3 n-k}$ при сложении исчезают ввиду наличия соотношения
\[
\sum\left(\frac{\partial \Pi_{\alpha}}{\partial x_{\beta}} \frac{\partial x_{\beta}}{\partial q_{m}}+\frac{\partial \Pi_{\alpha}}{\partial y_{\beta}} \frac{\partial y_{\beta}}{\partial q_{m}}+\frac{\partial \Pi_{\alpha}}{\partial z_{\beta}} \frac{\partial z_{\beta}}{\partial q_{m}}\right)=0,
\]

которое получается вследствие того, что функция П $\alpha$ (где $\alpha$ обозначает любой индекс, не превышающий $3 n-k$ ) тождественно обращается в нуль при замещении $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}$, $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ их значениями в функции $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{h}$ и $t$.

Правую часть уравнения (2) мы должны рассматривать как известную функцию переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$ и $t$, так как согласно условиям задачи величины $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}, x_{i}, y_{i}, z_{i}$ даны в функции указанных $k+1$ переменных. Таким образом правую часть не приходится преобразовывать и мы еө обозначим буквой $Q_{m}$.

Для преобразования левой части напишем ее в следуюшем виде:
\[
\sum m_{i}\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{m}} \frac{d x_{i}^{\prime}}{d t}+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{m}} \frac{d y_{i}^{\prime}}{d t}+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{m}} \frac{d z_{i}{ }^{\prime}}{d t}\right),
\]

обозначив через $x_{i}{ }^{\prime}, y_{i}{ }^{\prime}, z_{i}{ }^{\prime}$ составляющие скорости точки, координаты которой равны $x_{i}, y_{i}, z_{i}$. Мы имеем тождественно
\[
\begin{array}{l}
\sum m_{i}\left(\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{m}} \frac{d x_{i}^{\prime}}{d t}+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{m}} \frac{d y_{i}^{\prime}}{d t}+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{m}} \frac{d z_{i}{ }^{\prime}}{d t}\right)= \\
=\frac{d}{d t} \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{m}}+y_{i}^{\prime} \frac{\partial y_{i}}{d q_{m}}+z_{i}{ }^{\prime} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{m}}\right)- \\
-\sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime} \frac{d}{d t} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{m}}+y_{i}^{\prime} \frac{d}{d t} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{m}}+z_{i}^{\prime} \frac{d}{d t} \cdot \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{m}}\right) .
\end{array}
\]

Согласно допущению $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ даны в функции $q_{1}, q_{s}, \ldots, q_{k}$ и $t$; путем дифференцирования формул, выражающих әту функциональную зависимость, мы получим
\[
\left.\begin{array}{l}
x_{i}{ }^{\prime}=\frac{\partial x_{i}}{\partial t}+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime} \\
y_{i}{ }^{\prime}=\frac{\partial y_{i}}{\partial t}+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial y_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime} \\
z_{i}{ }^{\prime}=\frac{\partial z_{i}}{\partial t}+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial z_{i}}{\partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime},
\end{array}\right\}
\]

откуда можно заключить
\[
\frac{\partial x_{i}}{\partial q_{m}}=\frac{\partial x_{i}^{\prime}}{\partial q_{m}^{\prime}}, \quad \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{m}^{\prime}}=\frac{\partial y_{i}^{\prime}}{\partial q_{m}^{\prime}}, \quad \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{m}}=\frac{\partial z_{i}^{\prime}}{\partial q_{m}^{\prime}} ;
\]

кроме того, мы имеем
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{m}}=\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{m} \partial t}+\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{1} \partial q_{m}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{2} \partial q_{m}} q_{2}{ }^{\prime}+\cdots+\frac{\partial^{2} x_{i}}{\partial q_{k} \partial q_{m}} q_{k}{ }^{\prime},
\]

что согласно значению $x_{i}{ }^{\prime}$, получающемуся с помощью уравнения (6), әквивалентно $\frac{\partial x^{\prime}}{\partial q_{m}}$. Точно так же мы получим
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{m}}=\frac{\partial y_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{m}}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{m}}=\frac{\partial z_{i}{ }^{\prime}}{\partial q_{m}} .
\]

Если принять во внимание эти соотношения и сверх того положить
\[
T=\frac{1}{2} \sum m_{i}\left(x_{i}^{\prime 2}+y_{i}^{\prime 2}+z_{i}{ }^{\prime 2}\right),
\]

то уравнение (4) примет следующий вид:
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{m}^{\prime}}-\frac{\partial T}{\partial q_{m}}=Q_{m}
\]

Давая индексу $m$ последовательно все значения $1,2, \ldots, k$, мы получим $k$ уравнений указанного вида и таким образом составим $k$ дифференциальных уравнений:
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{1}{ }^{\prime}}-\frac{\partial T}{\partial q_{1}}=Q_{1} \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial{q_{2}}^{\prime}}-\frac{\partial T}{\partial q_{2}}=Q_{2} \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{k}{ }^{\prime}}-\frac{\partial T}{\partial q_{k}}=Q_{k}
\end{array}
\]

которые, представляют собою точности уравнения Лагранжа. В этих уравнениях неизвестными являются $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$ и их производные $q_{1}{ }^{\prime}, q_{2}{ }^{\prime}, \ldots, q_{k}{ }^{\prime} ; Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{k}$ являются заданными функциями әтих неизвестных; то же самое относится к $T$; в самом деле, так как согласно допущению $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ заданы, то путем дифференцирования можно получить $x_{i}{ }^{\prime}, y_{i}{ }^{\prime}, z_{i}{ }^{\prime}$. Важно отметить, что согласно правилам дифференцирования $x_{i}{ }^{\prime}, y_{i}{ }^{\prime}, z_{i}{ }^{\prime}$ будут линейными функциями $q_{1}{ }^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{k}{ }^{\prime}$ и, следовательно, $T$ будет целой алгебрапческой функцией второго цорядка всех этих различных производных. Если выражения $x_{i}, y_{i}, z_{i}$ не содержат явно бунвы $t$, а это будет иметь место во всех тех елучаях, когда связи будут независимы от времени, то, как легко видеть, $x_{i}^{\prime}, y_{i}^{\prime} z_{i}^{\prime}$ будут однородными функциямй первого порядка, а стало бнть $T$ будет однородной функцией второго порядка по отношению к переменным $q_{1}^{\prime}$. $q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}$. Это замечание имеет очень большое значение.
II.
В последующих рассуждениях представим себе систему, связи которой не зависят от времени и которая находится под действием сил, составляющие ноторых являются частными нроизводными одной и той же фунқдии. Одним словом допустим, что к задаче, которой мы займемся, применим принцип живых сил.
Возьмем вновь дифференциальные уравнения движения
\[
\left.\begin{array}{c}
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{1}{ }^{\prime}}-\frac{\partial T}{\partial q_{2}}=Q_{1}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{2}{ }^{\prime}}-\frac{\partial T}{\partial q_{2}}=Q_{2}, \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial q_{k}{ }^{\prime}}-\frac{\partial T}{\partial q_{k}}=Q_{k},
\end{array}\right\}
\]

которые представляют собою уравнения второго порядка; их можно свести к уравнениям первого порядка, если $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}$ рассматривать как $k$ новых неизвестных, определяемых уравнениями
\[
\frac{d q_{1}}{d t}=q_{1}^{\prime} ; \quad \frac{d q_{2}}{d t}=q_{2}^{\prime}, \ldots, \quad \frac{d q_{k}}{d t}=q_{k}^{\prime} ;
\]

указаңным путем мы получим систему $2 k$ уравнений первого порядка.

У Пуассона была мысль о греобразовании систем (1) : (2) путем подстановки вместо неизвестных $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}$ новых нейными функциями, но он полнөстью не раввил своего преобразования, и Гамильтон первый дал очень проетье уравнения, к которым нас могут привести эти новые переменныө.
Положим
\[
\frac{\partial T}{\partial q_{1}{ }^{\prime}}=p_{1}, \quad \frac{\partial T}{\partial q_{2}{ }^{\prime}}=p_{2}, \ldots, \quad \frac{\partial T}{\partial q_{h}{ }^{\prime}}=p_{k} .
\]

Тогда уравнения (1) примут следующий вид:
\[
\frac{d p_{1}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{1}}=Q_{1}, \quad \frac{d p_{2}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{2}}=Q_{2}, \ldots, \quad \frac{d p_{k}}{d t}-\frac{\partial T}{\partial q_{k}}=Q_{k} ;
\]

но подстановка переменных $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$ вместо $q_{1}{ }^{\prime}, q_{2}{ }^{\prime}, \ldots, q_{k}{ }^{\prime}$ требует, чтобы были преобразованы и правые части әтих уравнений. В самом деле, ясно, что если $T$ выражено в функции $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}, q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}$, а затем в функции $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$, $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$, то в әтих двух видах она не будет имөть одной и той жө производной по $q_{m}$.

Так как $T$ является однородной функцией второго порядка переменних $q_{1}{ }^{\prime}, q_{2}{ }^{\prime}, \ldots q_{k}{ }^{\prime}$, то мы имеем тождественно
\[
2 T=q_{1}{ }^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{1}{ }^{\prime}}+q_{2}{ }^{\prime} \frac{\partial \mathscr{T}}{\partial{q_{2}}^{\prime}}+\ldots+q_{k}{ }^{\prime} \frac{\partial T}{\partial{q_{k}}^{\prime}},
\]

что можно написать в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
T=q_{1}{ }^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{1}{ }^{\prime}}+q_{2}{ }^{\prime} \frac{\partial T}{\partial q_{2}{ }^{\prime}}+\ldots+{q_{k}}^{\prime} \frac{\partial T}{\partial{q_{k}}^{\prime}}-T= \\
=q_{1}{ }^{\prime} p_{1}+q_{2}{ }^{\prime} p_{2}+\cdots+q_{k}{ }^{\prime} p_{k}-T \text {. } \\
\end{array}
\]

Возьмем вариации обеих частей, одновременно изменяя все переменные; тогда мы получим
\[
\begin{aligned}
\delta T=q_{1}{ }^{\prime} \delta p_{1}+q_{2}{ }^{\prime} \delta p_{2} & +\ldots+q_{k}{ }^{\prime} \delta p_{k}- \\
& -\frac{\partial T}{\partial q_{1}} \delta q_{1}-\frac{\partial T}{\partial q_{2}} \delta q_{2}-\ldots-\frac{\partial T}{\partial q_{k}} \delta q_{k} .
\end{aligned}
\]
(В правой части опускаем члөны $p_{m} \delta q_{m}^{\prime}$ и $-\frac{\partial T}{\partial q_{m}^{\prime}} \delta q_{m}^{\prime}$, которые взаимно уничтожаются.)

Но рассматривая $T$ как функцию $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}, q_{1}$, $q_{2}, \ldots, q_{k}$, мы из уравнения (4), очевидно, получим
\[
\begin{array}{lll}
\frac{\partial T}{\partial p_{1}}=q_{1}{ }^{\prime}, & \frac{\partial T}{\partial p_{2}}=q_{2}{ }^{\prime}, \ldots, & \frac{\partial T}{\partial p_{k}}=q_{k}{ }^{\prime}, \\
\frac{\partial T}{\partial q_{1}}=-\frac{\partial T}{\partial q_{1}}, & \frac{\partial T}{\partial q_{2}}=-\frac{\partial T}{\partial q_{2}}, \ldots, & \frac{\partial T}{\partial q_{k}}=-\frac{\partial T}{\partial q_{k}} .
\end{array}
\]

Благодаря уравнениям (6) уравнения движения получают следующий вид:
\[
\frac{d p_{1}}{d t}=Q_{1}-\frac{\partial T}{\partial q_{1}}, \frac{d p_{2}}{d t}=Q_{2}-\frac{\partial T}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{d p_{k}}{d t}=Q_{k}-\frac{\partial T}{\partial q_{k}},
\]

а если к ним присоединить соотношения (5),
\[
\frac{\partial T}{\partial p_{1}}=\frac{d q_{1}}{d t}, \quad \frac{\partial T}{\partial p_{2}}=\frac{d q_{2}}{d t}, \ldots, \frac{\partial T}{\partial p_{k}}=\frac{d q_{k}}{d t},
\]

то мы получим $2 k$ дифференциальных уравнений первого порядка между неизвестными $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$. Для того чтобы эти уравнения упростить, вспомним, что $X_{i}, Y_{i}, Z_{i}$, составляющие силы, действующей на точку $x_{i}, y_{i}, z_{i}$, являются согласно допущению частными производными одной и той же функции $\boldsymbol{U}$, следовательно, мы имеем
\[
X_{i}=\frac{\partial U}{\partial x_{i}}, \quad Y_{i}=\frac{\partial U}{\partial y_{i}}, \quad Z_{i}=\frac{\partial U}{\partial z_{i}} ;
\]

поэтому, если принять во внимание определение функции $Q_{m}$ :
\[
Q_{m}=\sum X_{i} \frac{\partial x_{i}}{\partial q_{m}}+Y_{i} \frac{\partial y_{i}}{\partial q_{m}}+Z_{i} \frac{\partial z_{i}}{\partial q_{m}},
\]

мы придем к следующему выводу:
\[
Q_{m}=\frac{\partial U}{\partial q_{m}} .
\]

Если значения, получающиеся с помощью этой формулы, подставить в уравнения (А) вместо $Q_{1}, Q_{2}, \ldots, Q_{k}$ и сверх того ноложить $U-T=H$, то этп уравпения примут следующий вид:
\[
\frac{d p_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \quad \frac{d p_{2}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial q_{2}}, \ldots, \quad \frac{d p_{k}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial q_{k}} ;
\]

кроме того мы примем во внимание, что так как $\boldsymbol{U}$ не содержит $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$, то мы имеем $\frac{\partial H}{\partial p_{i}}=-\frac{\partial T}{\partial p_{i}}$; поэтому уравнения (В) могут быть написаны в следующем виде:
\[
\frac{d q_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \quad \frac{d q_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \ldots, \quad \frac{d q_{k}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{k}} .
\]

Cистемы (C) и (D) дают в наиболее простом виде уравнения задачи мехапики, к которой применим принцип живых сил. Как видим, две задачи этого рода отличаются друг от друга только числом переменных и видом функции $H$.
III.
Хотя, вообще говоря, мы далеки от того, чтобы иметь возможность проинтег рировать уравнения (C) и (D) предыдущего параграфа, тем не мепее их вид позволяет нам притти к ряду очень важных теорем. которые применимы ко всем вопросам, представляемым этими уравнениями.

Мы начнем с вывода следующей теоремы; данной Гамильтоном.

Теорема. Все интегралы механической задачи, х которой приженим принцип живых сил, моеут быть найдены, если приравнять постолнным величинам частные производные одной и той эе функции, валтые по отношению к другим постолнным.

Возьмем дифференпиальные уравнения механической задачи, к копорой применим принцип живых сил
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d p_{1}}{d t}+\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \quad \frac{d p_{2}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{d p_{k}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial q_{k}}, \\
\frac{d q_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \quad \frac{d q_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \ldots, \frac{d q_{k}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{k}} .
\end{array}\right\}
\]

Предположим, что после интегрирования этих уравнений $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$ нам станут известными в функции $t$ и $2 k$ произвольных постоянных. Если подставить эти значения в функцию $H$, то, продифференцировав полученный результат по одной из постоянных $\alpha$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \boldsymbol{H}}{\partial \alpha}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial p_{1}}{\partial \alpha}+\ldots+\frac{\partial H}{\partial p_{k}} \frac{\partial p_{k}}{\partial \alpha}+ \\
+\frac{\partial H}{\partial q_{1}} \frac{\partial q_{1}}{\partial \alpha}+\frac{\partial H}{\partial q_{2}} \frac{\partial q_{2}}{\partial \alpha}+\ldots+\frac{\partial H}{\partial q_{k}} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha},
\end{array}
\]
т. е. если принять во внимание уравнения (1), которые со-гласно допущению удовлетворяются
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial H}{\partial \alpha}=-\frac{d q_{1}}{d t} \frac{\partial p_{1}}{\partial \alpha} & -\frac{d q_{2}}{d t} \frac{\partial p_{3}}{\partial \alpha}-\ldots-\frac{d q_{k}}{d t} \frac{\partial p_{k}}{\partial \alpha}+ \\
& +\frac{d p_{1}}{d t} \frac{\partial q_{1}}{\partial \alpha}+\frac{d p_{2}}{d t} \frac{\partial q_{2}}{\partial \alpha}+\ldots+\frac{d p_{k}}{d t} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha}
\end{aligned}
\]

последнее можно представить в следующем виде:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial H}{\partial \alpha}=\frac{d}{d t}\left(p_{1}\right. & \left.\frac{\partial q_{1}}{\partial \alpha}+p_{2} \frac{\partial q_{2}}{\partial \alpha}+\ldots+p_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha}\right)- \\
& -\frac{\partial}{\partial \alpha}\left(p_{1} \frac{d q_{1}}{d t}+p_{2} \frac{d q_{2}}{d t}+\ldots+p_{k} \frac{d q_{k}}{d t}\right) .
\end{aligned}
\]

Но так как $T$ – однородная функция второй степени по отношению к $q_{1}^{\prime}, g_{2}{ }^{\prime}, \ldots, q_{k}{ }^{\prime}$, то мы имеем
\[
\frac{\partial T}{\partial q_{1}{ }^{\prime}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial T}{\partial q_{2}{ }^{\prime}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial T}{\partial q_{k}{ }^{\prime}} q_{k}^{\prime}=2 T .
\]

А это выражение тождественно тому выражению, производная которого по $\alpha$ фигурирует в правой части уравнения (3), так что это уравнение принимает следующий вид?
\[
\frac{\partial H}{\partial \alpha}=\frac{d}{d t}\left(p_{1} \frac{\partial q_{1}}{\partial \alpha}+p_{2} \frac{\partial q_{2}}{\partial \alpha}+\ldots+p_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha}\right)-2 \frac{\partial T}{\partial \alpha},
\]

иди же
\[
\frac{\partial(\boldsymbol{H}+2 T)}{\partial \alpha}-\frac{d}{d t}\left(p_{1} \frac{\partial q_{1}}{\partial \alpha}+p_{2} \frac{\partial q_{2}}{\partial \alpha}+\cdots+p_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha}\right) .
\]

Если обе части этоге уравнения проинтегрировать по $\boldsymbol{t}$,то мы цолучим
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial \alpha} \int_{0}^{t}(H+2 T) d t= & +\left(p_{1} \frac{\partial q_{1}}{\partial \alpha}+p_{2} \frac{\partial q_{2}}{\partial \alpha}+\ldots+p_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha}\right)_{t}- \\
& -\left(p_{1} \frac{\partial q_{1}}{\partial \alpha}+p_{2} \frac{\partial q_{2}}{\partial \alpha}+\ldots+p_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha}\right)_{0} ;
\end{aligned}
\]

индексы 0 и $t$, поставленные внизу возле скобок, указывают, что время следует принять равным нулю или $t$.
\[
\text { Интеграл } \int_{0}^{t}(H+2 T) d t \text { является функцией } t \text { и } 2 k \text { провз- }
\]

вольных постоянных; если мы его обозначим через $S$, то приведенное выше уравнение примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial S}{\partial \alpha}=\left(p_{1} \frac{\partial q_{1}}{\partial \alpha}+\right. & \left.p_{1} \frac{\partial q_{2}}{\partial \alpha}+\cdots+p_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha}\right)_{t}- \\
& -\left(p_{1} \frac{\partial q_{1}}{\partial \alpha}+p_{2} \frac{\partial q_{2}}{\partial \alpha}+\ldots+p_{k} \frac{\partial q_{k}}{\partial \alpha}\right)_{0}
\end{aligned}
\]

өсли последнее умножить на $d \alpha$ и затем сложить со всеми аналогичными уравнениями, которые получатся при последовательной замене постоякпой $\alpha$ всеми постоянными, фигуриру. ющими в интегралах данной задачи, то мы получим
\[
\begin{aligned}
\delta S=p_{1} \delta q_{1}+p_{2} \delta q_{2}+\cdots+ & p_{k} \delta q_{k}-\left(p_{1}\right)_{0}\left(\delta q_{1}\right)_{0}- \\
& -\left(p_{2}\right)_{0}\left(\delta q_{2}\right)_{0}-\ldots-\left(p_{k}\right)_{0}\left(\delta q_{k}\right)_{0},
\end{aligned}
\]

где символом $\delta$ обозначена полная вариация функции различных постолнных, когда носле,тие одновременно все изменяются.

Теперь отметим, что $S$, явпяющаяся функцией $t$ и $2 k$ произвольных постоянных, может быть выражена в функции $t$ и $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k},\left(q_{1}\right)_{0},\left(q_{2}\right)_{0}, \ldots,\left(q_{k}\right)_{0}$. В самом деле, допустим, что $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$ являются функциями $t$ и $2 k$ постояннцх; если в $k$ уравнениях, определяющих эти величины, положить $t=0$, то мы получим $k$ новых уравнений, в которых $\left(q_{1}\right)_{0}$, $\left(q_{2}\right)_{0}, \ldots,\left(q_{k}\right)_{0}$ заменят собою $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$ и которые, будучи присоединены к предылущим уравнениям, позволят выразить $2 k$ постоянных в функции $t$ и $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k},\left(q_{1}\right)_{0},\left(q_{2}\right)_{0}, \ldots,\left(q_{k}\right)_{0}$.

Если допустить, что указанное вычисление произведено, го уравнение (7) даст вариацию $S$, когда все переменные, от которых зависит эта функция, за исключением лишь $t$, получают бесконечно малые приращения. На основании принципов дифферендиального исчисления мы приходим к.следующим уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
\left.\frac{\partial S}{\partial\left(q_{1}\right)_{0}}=-\left(p_{1}\right)_{0}, \frac{\partial S}{\partial\left(q_{2}\right)_{0}}=-\left(p_{2}\right)_{0}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial\left(q_{k}\right)_{0}}=-\left(p_{k}\right)_{0} ;\right\} \\
\end{array}
\]

так как эти уравнения имеют место между $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$, $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$, временем $t$ и $2 k$ постоянными $\left(p_{1}\right)_{0},\left(p_{2}\right)_{0}, \ldots$, $\left(p_{k}\right)_{0},\left(q_{1}\right)_{0},\left(q_{2}\right)_{0}, \ldots,\left(q_{k}\right)_{0}$, то, очевидно, опи являются полными интегралами проблемы. Можно заметить, что уравпения, входящие в состав второго ғяда г руппы 8 ; , образуют отдельную систему, в которой не фигурируют $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$ и которая, следовательно, позволяет вычислить пеизвестные $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$ в функции времени и всех начальных значений $\left(q_{1}\right)_{0},\left(q_{2}\right)_{0}, \ldots,\left(q_{k}\right)_{0},\left(p_{1}\right)_{0},\left(p_{2}\right)_{0}, \ldots,\left(p_{k}\right)_{0}$.
IV.
Если судить по тому, как в прошлом параграфе была введена функция $S$, можно было бы подумать, что для определения этой функции пеобходимо прелварительно разрешить рассматриваемую залачу. Но мы сейчас покажем, что эта функдия удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению в частных производных первого порядка, каждый полный интеграл которого может заменить эту функцию при образовании интегралов механической задачи.
Мы положили
\[
S=\int_{0}^{t}(H+2 T) d t
\]

на основании параграфа II имеем
\[
H=U-T,
\]

следовательно,
\[
S=\int_{0}^{t}(U+T) d t .
\]

Продифференцируем обе части этого равевства по $t$, причем примем во внимание, что $S$ содержит $t$ явно, а также $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}$, зависящие от времени; тогда мы будем иметь
\[
U+T=\frac{\partial S}{\partial t}+\frac{\partial S}{\partial q_{1}} \frac{d q_{1}}{d t}+\frac{\partial S}{\partial q_{3}} \frac{d q_{2}}{d t}+\ldots+\frac{\partial S}{\partial q_{k}} \frac{d q_{k}}{d t} .
\]

Но $\frac{d q_{1}}{d t}, \frac{d q_{2}}{d t}, \ldots, \frac{d q_{k}}{d t}$ являются линейными функциями $p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{k}$, т. е. (параграф III) функциями $\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \frac{\partial S}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_{k}}$; таким образом благодаря подстановке этих значений уравнение (2) станет цифференциальным уравнением в тастных производных второго порядка по отношению к производным $\mathcal{S}$. Для составления этого уравнения следует, как мы әто указали, цреобразовать сумму
\[
\frac{\partial S}{\partial q_{1}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial S}{\partial q_{2}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial S}{\partial q_{k}} q_{k}^{\prime},
\]

входяпую в состав второй части, но результат этого вычисления, очевидно, останется тем же, если вместо этой суммы подставить выражение
\[
p_{1} q_{1}^{\prime}+p_{2} q_{2}^{\prime}+\ldots+p_{k} q_{k}^{\prime},
\]

отличающееся от нее лишь заменой $\frac{\partial S}{\partial \eta_{1}}, \frac{\partial S}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_{k}}$ величинами $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$, – заменой, әффект которой будет уничтожен благодаря обратной замене, которую придется стелать в конце вычисления. Но так как $T$-однокодная функция второго порядка по отношению к $q_{1}^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}$, то мы имеем следующее тождество
\[
\begin{aligned}
2 T & =\frac{\partial T}{\partial q_{1}^{\prime}} q_{1}^{\prime}+\frac{\partial T}{\partial q_{2}^{\prime}} q_{2}^{\prime}+\ldots+\frac{\partial T}{\partial q_{k}^{\prime}} q_{k}^{\prime}= \\
& =p_{1} q_{1}^{\prime}+p_{2} q_{2}^{\prime}+\ldots+p_{k} q_{k}^{\prime}
\end{aligned}
\]

так что уравнение (2), которому удовлетворяет функция $S$, может быть символически написано следующим образом:
\[
U+T=\frac{\partial S}{\partial t}+2 T
\]

T. e
\[
\boldsymbol{U}=\frac{\partial \mathcal{S}}{\partial t}+(T)
\]

Скобки у T, указывают на то; тто эта функция должна быть выражена в функции $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$ И что затем эти переменные должны быть заменены величинами
\[
\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial \mathcal{S}}{\partial q_{k}} .
\]

Уравнение (3) допускает бесчисленное множество решений, причем каждое из них содержит $k$ произвольных постоянных; Јагранж называет их полными (completes) интедралами. Одним из әтих интегралов будет функция $S$, которую мы определили в предылущем параграфе, но мы сейчас покажем, что всякий другой полный интеграл может еө заменить и дать решение исследуемой нами механической проблемы.
В самом деле, пусть
\[
S=F\left(t, q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}, a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k}\right)
\]

один из подобных интегралов, тождественно удовлетворяющий уравнению (3) и содержащий $k$ произвольных постоянных; если положить
\[
\frac{\partial S}{\partial a_{1}}=b_{1}, \quad \frac{\partial S}{\partial a_{2}}=b_{2}, \ldots, \frac{\partial \dot{S}}{\partial a_{k}}=b_{k},
\]

то я утверждаю, что мы булем иметь полное решение предложенной задачи и что приведенные уравнения (5) дадут зна чения $q_{1}, q_{2}, \cdots, q_{k}$ в функции $t$ и $2 k$ чровзвольны постовнны. Для того чтобр ато доказать, напомним, что слетующие дифференцильные уравнения являются уравнеңиями движенй:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d p_{1}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \frac{d p_{2}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial q_{2}}, \cdots, \frac{d p_{k}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial q_{k}}, \\
\frac{d q_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \frac{d q_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \cdots, \frac{d q_{k}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{k}},
\end{array}\right\}
\]

где $H$ обозначает разноеть $U-T$ Так как $U$ не содержит в себе $\boldsymbol{p}_{i} p_{\text {, }}, \ldots, p_{i}$, то мы имеем
\[
\frac{\partial H}{\partial p_{1}}=\frac{\partial T}{\partial \vec{p}_{1}}
\]

так что второй ряд уравнений (6) может быть написан в следующем виде:
\[
\frac{d q_{1}}{d t}=\frac{\partial T}{\partial p_{1}}, \frac{d q_{2}}{d t}=\frac{\partial T}{\partial p_{2}}, \ldots, \frac{d q_{k}}{d t}=\frac{\partial T}{\partial p_{k}} .
\]

Мы начнем с того, что покажем, что эти уравнения (7) могут быть получены из системы уравнений (5).

Если уравнения (5) продифферендировать по $t$, то мы получим уравнение
\[
\frac{\partial^{2} S}{\partial a_{1} \partial t}+\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1} \partial a_{1}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{2} \partial a_{1}} q_{\mathrm{s}}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{k} \partial a_{1}} q_{k}^{\prime}=0,
\]

к которому следует присоединить $k-1$ уравнений, получаюпихся путем замены в этом уравнении буквы $a_{1}$ буквами $a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{k}$. Полученная таким образом система $k$ уравнений даст значения $q_{1}{ }^{\prime}, q_{2}{ }^{\prime}, \ldots, q_{k}^{\prime}$, вытекающие из соотношений (5).

А если продифферевдировать по $a_{1}$ уравнение (3), которому $S$ тождественно удовлетворяет, то мы получим
\[
\frac{\partial^{2} S}{\partial t \partial a_{1}}+\frac{\partial(T)}{\partial a_{1}}=0 ;
\]
$\frac{\partial(T)}{\partial a_{1}}$ обозначает здесь производную по $a_{1}$ выражения, в которое преобразуется $T$, когда $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$ в нем замещаются величинами $\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \frac{\partial S}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_{k}}$. Но на основании этого мы, очевидно, имеем
\[
\frac{\partial(T)}{\partial a_{1}} \doteq \frac{\partial T}{\partial p_{1}} \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1} \partial a_{1}}+\frac{\partial T}{\partial p_{2}} \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{\mathbf{s}} \partial a_{1}}+\cdots+\frac{\partial T}{\partial p_{k}} \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{k} \partial a_{1}} ;
\]

в правой части этого уравнения следует еще преобразовать $\frac{\partial T}{\partial p_{1}}, \frac{\partial T}{\partial p_{2}}, \ldots, \frac{\partial T}{\partial p_{k}}$, заменив в них $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$ величинами $\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \frac{\partial S}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_{k}}$. Для того чтобы отметить это преобразование, поместим эти величины в скобках. Тогда уравнение (9) примет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} S}{\partial t \partial a_{1}}+\left(\frac{\partial T}{\partial p_{1}}\right) \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1} \partial a_{1}}+\left(\frac{\partial T}{\partial p_{2}}\right) \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{2} \partial a_{1}}+\ldots+ \\
+\left(\frac{\partial T}{\partial p_{k}}\right) \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{k} \partial a_{1}}=0 ;
\end{array}
\]
к этому уравнению можно присоединить еще $k-1$ аналогичных уравнений, которые могут быть обравованы путем замены в нем $a_{1}$ величинами $a_{2}, a_{3}, \ldots, a_{k}$. Но если полученную таким образом систему уравнений сравнить с уравнениями типа (8), то мы придем к выводу, что последнее удовлетворяется следующими значениями неизвестных $q_{1}{ }^{\prime}, q_{2}^{\prime}, \ldots, q_{k}{ }^{\prime}$ :
\[
q_{1}^{\prime}=\left(\frac{\partial T}{\partial p_{1}}\right), \quad q_{2}^{\prime}=\left(\frac{\partial T}{\partial p_{2}}\right), \ldots, q_{k}^{\prime}=\left(\frac{\partial T}{\partial p_{k}}\right) .
\]

Но выше [параграф II, уравнение (5)] были выведены соотношения
\[
\frac{\partial T}{\partial p_{1}}=q_{1}{ }^{\prime}, \quad \frac{\partial T}{\partial p_{2}}=q_{2}{ }^{\prime}, \ldots, \quad \frac{\partial T}{\partial p_{k}}=q_{h^{\prime}},
\]

так что предыдущие формулы могут быть написаны следующим образом:
\[
q_{1}{ }^{\prime}=\left(q_{1}{ }^{\prime}\right), \quad q_{2}{ }^{\prime}=\left(q_{2}{ }^{\prime}\right), \ldots, q_{k^{\prime}}=\left(q_{k}{ }^{\prime}\right),
\]

где $\left(q_{1}{ }^{\prime}\right),\left(q_{2}{ }^{\prime}\right), \ldots,\left(q_{k}{ }^{\prime}\right)$ обозначают величины, в которые обращаютея $q_{1}{ }^{\prime}, \quad q_{2}{ }^{\prime}, \ldots, q_{k}{ }^{\prime}$, когда их выражают в функции переменных $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{b}$, а затем последние замещают с помощью $\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \frac{\partial S}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_{k}}$. Предположим теперь, что, проведя указавное преобразование в правых частях уравнений (12), мы одновременно с помощъю тех же формул, которыми мы воспользовались, выразим левые части их в функции $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$; тогда мы составим систему уравнений, обе части которых будут отличаться друг от друга только заменой $p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}$ выражениями $\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \frac{\partial S}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_{k}}$ и из которых, следовательно, мы выведем
\[
p_{1}=\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \quad p_{2}=\frac{\partial S}{\partial q_{2}}, \ldots, p_{k}=\frac{\partial S}{\partial q_{k}} .
\]

Если мы вернемся тешерь к уравнениям (12); то их можно будет написать следующим образом:
\[
q_{1}{ }^{\prime}=\frac{\partial T}{\partial p_{1}}, \quad q_{2}{ }^{\prime}=\frac{\partial T}{\partial p_{2}}, \ldots, q_{k}{ }^{\prime}=\frac{\partial T}{\partial q_{k}},
\]
т. е., опустив скобки, назначение которых заключается только в том, чтобы указать подстановку $\frac{\partial S}{\partial q_{1}}, \frac{\partial S}{\partial q_{2}}, \ldots, \frac{\partial S}{\partial q_{b}}$

вместо величин, равных им в силу уравнений (14). Формулы (15) образуют половину дифференциальных уравнений движения, которые, таким образом, удовлетворены. Нижеследующие уравнения, будучи присоединены к системе (15), представляют полные условия задачи:
\[
\frac{d p_{1}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, \frac{d p_{2}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial q_{3}}, \ldots, \frac{d p_{k}}{d t}=\frac{\partial H}{\partial q_{k}} .
\]

Для того чтобы показать, что эти уравнения тоже удовлетворены, продиффференцируем по $t$ уравнения (14); полученные при этом результаты будут иметь следующий вид:
\[
\frac{d p_{1}}{d t}=\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1} \partial t}+\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1}{ }^{2}} q_{1}{ }^{\prime}+\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1} \partial q_{2}} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1} \partial q_{k}} q_{k}{ }^{\prime},
\]

или, если $q_{1}{ }^{\prime}, q_{2}{ }^{\prime}, \ldots, q_{k}{ }^{\prime}$ заменить их значениями $\frac{\partial T}{\partial p_{1}}, \frac{\partial T}{\partial p_{\mathbf{2}}}, \ldots, \frac{\partial T}{\partial p_{k}}$,
\[
\frac{d p_{1}}{d t}=\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1} \partial t}+\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1}^{2}} \frac{\partial T}{\partial p_{1}}+\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1} \partial q_{2}} \frac{\partial T}{\partial p_{2}}+\ldots+\frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1} \partial q_{k}} \frac{\partial T}{\partial p_{k}} .
\]

Продифференцируем тецерь по $q_{1}$ уравнение
\[
U=\frac{\partial S}{\partial t}+(T)
\]

получим
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial U}{\partial q_{1}}=\frac{\partial^{2} S}{\partial t} \partial q_{1} & +\frac{\partial(T)}{\partial q_{1}}= \\
& =\frac{\partial^{2} S}{\partial t \partial q_{1}}+\left(\frac{\partial T}{\partial q_{1}}\right)+\left(\frac{\partial T}{\partial p_{1}}\right) \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1}{ }^{2}}+ \\
& +\left(\frac{\partial T}{\partial p_{2}}\right) \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{2} \partial q_{1}}+\ldots+\left(\frac{\partial T}{\partial p_{k}}\right) \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{k} \partial q_{1}}
\end{aligned}
\]

или, заменив $\left(\frac{\partial T}{\partial p_{1}}\right)\left(\frac{\partial T}{\partial p_{2}}\right), \ldots$ их значениями $q_{1}{ }^{\prime},{q_{2}}^{\prime}, \ldots, q_{k}{ }^{\prime}$,
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial U}{\partial q_{1}}=\frac{\partial^{2} S}{\partial t \partial q_{1}}+\left(\frac{\partial T}{\partial q_{1}}\right)+q_{1}{ }^{\prime} \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{1}^{2}} & +q_{2}{ }^{\prime} \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{2} \partial q_{1}}+ \\
& +\ldots+q_{k}{ }^{\prime} \frac{\partial^{2} S}{\partial q_{k} \partial q_{1}}
\end{aligned}
\]

Сравнив уравнения (17) и (21), мы придем к следующему выводу:
\[
\frac{d p_{1}}{d t}=\frac{\partial U}{\partial q_{1}}-\left(\frac{\partial T}{\partial q_{1}}\right) .
\]
Но в силу соотношений (14) мы можем опустить скобки у $\frac{\partial T}{\partial q_{1}}$, и тогда, наконец, мы получим
\[
\frac{d p_{1}}{d t}=\frac{\partial(U-T)}{\partial q_{1}}=\frac{\partial H}{\partial q_{1}} .
\]

Здесь мы имеем как раз то соотношение, которое мы хотели вывести; аналогичные выражения мы получим для $\frac{d p_{2}}{d t}, \ldots, \frac{d p_{k}}{d t}$ и, таким образом, докажем, что все уравнения движения удовлетворяются системой соотношений (5).

Мысль о замещении функции $S$ Гамильтона каким-либо из интегралов уравнения, которому она удовлетворяет, принадлежит Якоби*). Он привел доказательство этого положения-для случая системы без связей. После этого многие математики исследовали тот же вопрос, но я полагаю, что приведенное выше доказательство является простейшим из всех, какие были даны до настоящего времени.
V.
Гамильтон называет функцию $S$, к которой относятся приведенные выше рассуждения, главной функцией задачи. Он рассматривает сверх того другую функцию, которую он называет характеристической и которую мы обозначим через $\boldsymbol{V}$. Мы считаем своим долгом дать здесь определение этой функдии $V$ и изложить наиболее важное ее свойство. Гамильтон впервые дал именно эту функдию, и я нолагаю, что при ознакомлении с ней легче всего будет понять те идеи, которыми он руководствовался.

Функция $V$ представляет собою не что иное, как интеграл $\int_{0}^{t} d t \sum m v^{2}$, который рассматривают в связи с принципом наименьшего действия, так что в процессе доказательства этого цринципа можно, как мы это сейчас увидим, наиболее естественным путем притти к прекрасному открытию Гамильтона.

Согласно обозначению, принятому в настоящей статье, мы имеем
\[
V=\int_{0}^{t} 2 T d t=\int_{0}^{t}\left(p_{1} q_{1}{ }^{\prime}+p_{2} q_{2}{ }^{\prime}+\ldots+p_{n} q_{n}{ }^{\prime}\right) d t,
\]
*) Crell’s Journal, XVII.

откуда слөдует
\[
\begin{aligned}
\delta V=\int_{0}^{t}\left(p_{1} \delta p_{1}{ }^{\prime}+\right. & \left.p_{2} \delta \underline{q}_{2}{ }^{\prime}+\ldots+p_{n} \delta q_{n}{ }^{\prime}\right) d t+ \\
& +\int_{0}^{t}\left(q_{1}{ }^{\prime} \delta p_{1}+q_{2}{ }^{\prime} \delta p_{2}+\ldots+q_{n}{ }^{\prime} \delta p_{n}\right) d t
\end{aligned}
\]

где символ $\delta$ относится к вариации всех постоянных величин, фигурирующих в выражениях $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{n}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{n}$.

Интегрируя по частям члены первого интеграла и приняв во внимание, что $\delta q_{1}{ }^{\prime}=\frac{d \delta q_{1}}{d t}$, мы нолучим
\[
\begin{array}{l}
\delta V=\int_{0}^{t}\left(-\delta q_{1} \frac{d p_{1}}{d t}-\delta q_{2} \frac{d p_{2}}{d t}-\ldots-\delta q_{n} \frac{d p_{n}}{d t}+q_{1}{ }^{\prime} \delta p_{1}+\right. \\
\left.+q_{2}{ }^{\prime} \delta p_{2}+\ldots+q_{n}{ }^{\prime} \delta p_{n}\right) d t+\left(p_{1} \delta q_{1}+p_{2} \delta q_{3}+\ldots+p_{n} \delta q_{n}\right)_{0}^{t}
\end{array}
\]

индексы 0 и $t$, поставленные позади скобок, указывают, что здесь следует для времени прннять последовательно вначения 0 и $t$ и затем взять разность двух полученных результатов. Но согласно дифференциальным уравнениям движения мы, очевидно, имеем
\[
\begin{array}{l}
-\delta H=-\delta q_{1} \frac{d p_{1}}{d t}-\delta q_{2} \frac{d p_{2}}{d t}-\ldots-\delta q_{n} \frac{d p_{n}}{d t}+ \\
+q_{1}^{\prime} \delta p_{1}+q_{2}{ }^{\prime} \delta p_{2}+\ldots+q_{n}{ }^{\prime} \delta p_{n}
\end{array}
\]

а так как вследствие принципа живых сил $\delta H$ – постоянная величина, то приведенное уравнение принимает следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\delta V= & -t \delta \boldsymbol{H}+p_{1} \delta q_{1}+p_{2} \delta q_{2}+\ldots+ \\
& +p_{n} \delta q_{n}-p_{1}^{0} \delta q_{1}^{0}-p_{2}^{0} \delta q_{2}^{0}-\ldots-p_{n}^{0} \delta q_{n}^{0} .
\end{aligned}
\]

Следовательно, если рассматривать $V$ как функцию $q_{1}, q_{2}, \ldots$, $q_{n}, q_{1}^{0}, q_{2}, \ldots, q_{n}^{0}$ и $H$, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\frac{\partial V}{\partial q_{1}}=p_{1}, \quad \frac{\partial V}{\partial q_{2}}=p_{2}, \ldots, \quad \frac{\partial V}{\partial q_{n}}=p_{n}, \\
\frac{\partial V}{\partial q_{2}^{0}}=-p_{1}^{0}, \quad \frac{\partial V}{\partial q_{2}^{0}}=-p_{1}^{0}, \ldots, \quad \frac{\partial V}{\partial q_{n}^{0}}=-p_{n}^{0}, \quad \frac{\partial V}{\partial H}=-t .
\end{array}
\]

Эти уравнения можно рассматривать как полное решение поставленной задачи, которая, следовательно, будет разрешена, если достичь определения характеристической функции $V ; V$, как и $S$, удовлетворяет частному дифференциальному уравнению, единственного полного интеграла которого достаточно для решения задачи. Но для исследования этого уравнения мы отоплем читателя $\mathrm{K}$ мемуару Якоби, который подробно проанализировал случай свободной системы; что касается случая системы с любыми связями, то он не представит никаких затруднений для лиц, которыө усвоили аналогичные предложения, изложенные выше применительно к функции $S$.

Мы не можем здесь указать какого-либо частного применения теории, послужившей предметом настоящей статьи. По әтому поводу можно с цользой посмотреть многочисленные мемуары Лиувилля, нацечатанные в XIV и XVI томах его журнала п в Additions à la Connaissance des Temps за $1850 \mathrm{r}$.