53. Займемся теперь случаем нерастяжимой и пегибной нити; здесь мы будем иметь для суммы моментов сил ту же самую интегральную формулу, что и для случая, упомянутого в п. 28 , т. с. $\mathbf{S}(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z) d m$. Далее, условие нерастяжимости нити даст, как и в указанном выше пункте, $\delta d s=0$; в силу неизгибаемости $\delta e=0$, так как угол смежности должен остаться постоянным. Однако, как мы сейчас увидим, этих двух условий еще недостаточно в том случае, когда кривая имеет ґвойную кривизну.

Для того чтобы разрешить вопрос наиболее просто и наиболее прямым путем, я отмечу, что здесь все сводится к тому, что различные точки кривой, образуемой нитью, постоянно сохраняют между собою одни и те же взаимные расстояния. ІІэтому, если рассмотреть большое количество расположенных друг за другом точен, координаты которых соответственно равны
\[
\begin{array}{c}
x, y, z, \quad x+d x, \quad y+d y, z+d z, x+2 d x+d^{2} x, \\
y+2 d y+d^{2} y, \quad z+2 d z+d^{2} z, \ldots,
\end{array}
\]

то ясно, что квадраты расстояний мекду первой из этих точек и следующими выразятся с помющью величин
\[
\begin{array}{c}
d x^{2}+d y^{2}+d z^{2} \\
\left(2 d x+d^{2} x\right)^{2}+\left(2 d y+d^{2} y\right)^{2}+\left(2 d z+d^{2} z\right)^{2} \\
\left(3 d x+3 d^{2} x+d^{3} x\right)^{2}+\left(3 d y+3 d^{2} y+d^{3} y\right)^{2}+ \\
+\left(3 d z+3 d^{2} z+d^{3} z\right)^{2}, \ldots
\end{array}
\]

Для краткости положим
\[
\begin{array}{r}
d x^{2}+d y^{2}+d z^{2}=\alpha, \\
\left(d^{2} x\right)^{2}+\left(d^{2} y\right)^{2}+\left(d^{2} z\right)^{2}=\beta, \\
\left(d^{3} x\right)^{2}+\left(d^{3} y\right)^{2}+\left(d^{3} z\right)^{2}=\gamma, \\
\ldots . \cdots \cdots
\end{array}
\]

если приведенные величины развернуть, то ои шримут стедующпй вид:
\[
\begin{array}{l}
\alpha \text {, } \\
4 \alpha+2 d \alpha+\beta, \\
9 \alpha+9 d \alpha+9 \beta+3\left(d^{2} \alpha-2 \beta\right)+3 d \beta+\gamma, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Но вариации этих величин должны равняткся пулю на всем протяжении кривой, что дает следующие неопределенные уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\delta \alpha=0, \\
4 \delta \alpha+2 \delta d \alpha+\delta \beta=0, \\
9 \delta \alpha+9 \delta d \alpha+3 \delta \beta+3 \delta d^{2} \alpha+3 \delta d \beta+\delta \gamma=0, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Но если $\delta \alpha$ равно нулю, то и $d \delta \alpha=\delta d \alpha=0$; следовательно, $\delta \beta=0$. Отсюда получается $d^{2} \delta \alpha=\delta d^{2} \alpha=0$, $d \delta \beta=\delta d \beta=0$; следовательно, $\delta \gamma=0$ и т. д.

Таким образом условные уравнения для нерастяжимости и несгибаемости нити сведутся к следующим: $\delta \alpha=0, \delta \beta=0, \delta \gamma=0$, т. е. если продифференцировать и вместо $\delta d$ поставить $d \delta$, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
d x d \delta x+d y d \delta y+d z d \delta z=0, \\
d^{2} x d^{2} \delta x+d^{2} y d^{2} \delta y+d^{2} z d^{2} \delta z=0, \\
d^{3} x d^{3} \delta x+d^{3} y d^{3} \delta y+d^{3} z d^{3} \delta z=0, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Ясно, что для определения трех вариаций $\delta x, \delta y$, $\delta z$ достаточно трех из этих уравнений; отсюда прежде всего можно заключить, что если мы удовлетворим первым трем уравнениям, то и все прочие уравнения, которых можно привести бесчисленное количество, будут тоже удовлетворены. В этом, как мы увидим ниже (п. 60)*), можно убедиться и путем расчета.
*) Iриведенные уравнения выражают, что $\alpha, \beta, \gamma$ во время перемещения кривой сохраняют одно и то же значение. это условие эквивалентно следующим уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{d x}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d y}{d s}\right)^{2}+\left(\frac{d z}{d s}\right)^{2}=1, \\
\left(\frac{d^{2} x}{d s^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} y}{d s^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{2} z}{d s^{2}}\right)^{2}=\varphi(s), \\
\left(\frac{d^{3} x}{d s^{3}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{3} y}{d s^{3}}\right)^{2}+\left(\frac{d^{3} z}{d s^{3}}\right)^{2}=\psi(s) ;
\end{array}
\]

первое из этих уравнений очевидно; второе выражает, что кривизна рассматриваемой линии является определенной функцией дуги $s$; наконец, третье уравнение, в сочетании с двумя другими, выражает, что вторая кривизна является определенной функцией $s$. Если написать условные уравнения в указанном выше виде, отличающемся от лагранжевского только введенными нами делителями $d s^{2}, d s^{4}, d s^{6}$, то вычисления остаются совершенно теми же, но только множители. обозначенные дальше через $\lambda, \mu$, v, будут конечными, между тем как согласно обозначению Јагранжа следует допустить, что они представляют собою бесконечно малые величины различных порядков. Было, однако, отмечено, что это последнее обстоятельство представляет собою отрицательную сторону способа выражения Јагранжа. В самом деле, если воспользоваться приемом, столь часто применявшимся Лагранжем, то

54. Итак, с помощью нашего метода получается следующее общее уравнение равновесия:
\[
\begin{aligned}
0= & +\mathbf{S}(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z) d m+ \\
& +\mathbf{S} \lambda(d x d \delta x+d y d \delta y+d z d \delta z)+ \\
& +\mathbf{S}_{\mu}\left(d^{2} x d^{2} \delta x+d^{2} y d^{2} \delta y+d^{2} z d^{2} \delta z\right)+ \\
& +\mathbf{S}
u\left(d^{3} x d^{3} \delta x+d^{3} y d^{3} \delta y+d^{3} z d^{3} \delta z\right),
\end{aligned}
\]

которое с помощью указаних выпе преобразованиї приводится к такому виду:
\[
\begin{aligned}
0= & +\mathbf{S}\left[X d m-d(\lambda d x)+d^{2}\left(\mu d^{2} x\right)-d^{3}\left(v d^{3} x\right)\right] \delta x+ \\
& +\mathbf{S}\left[Y d m-d(\lambda d y)+d^{2}\left(\mu d^{2} y\right)-d^{3}\left(v d^{3} y\right)\right] \delta y+ \\
& +\mathbf{S}\left[Z d m-d(\lambda d z)+d^{2}\left(\mu d^{2} z\right)-d^{3}\left(v d^{3} z\right)\right] \delta z+ \\
& +\left[\lambda^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}-d\left(\mu^{\prime \prime} d^{2} x^{\prime \prime}\right)+d^{2}\left(
u^{\prime \prime} d^{3} x^{\prime \prime}\right)\right] \delta x^{\prime \prime}+ \\
& +\left[\mu^{\prime \prime} d^{2} x^{\prime \prime}-d\left(
u^{\prime \prime} d^{3} x^{\prime \prime}\right)\right] d \delta x^{\prime \prime}+v^{\prime \prime} d^{3} x^{\prime \prime} d^{2} \delta x^{\prime \prime}+ \\
& +\left[\lambda^{\prime \prime} d y^{\prime \prime}-d\left(\mu^{\prime \prime} d^{2} y^{\prime \prime}\right)+d^{2}\left(
u^{\prime \prime} d^{3} y^{\prime \prime}\right)\right] \delta y^{\prime \prime}+ \\
& +\left[\mu^{\prime \prime} d^{2} y^{\prime \prime}-d\left(
u^{\prime \prime} d^{3} y^{\prime \prime}\right)\right] d \delta y^{\prime \prime}+v^{\prime \prime} d^{3} y^{\prime \prime} d^{2} \delta y^{\prime \prime}+ \\
& +\left[\lambda^{\prime \prime} d z^{\prime \prime}-d\left(\mu^{\prime \prime} d^{2} z^{\prime \prime}\right)+d^{2}\left(
u^{\prime \prime} d^{3} z^{\prime \prime}\right)\right] \delta z^{\prime \prime}+ \\
& +\left[\mu^{\prime \prime} d^{2} z^{\prime \prime}-d\left(
u^{\prime \prime} d^{3} z^{\prime \prime}\right)\right] d \delta z^{\prime \prime}+v^{\prime \prime} d^{3} z^{\prime \prime} d^{2} \delta z^{\prime \prime}- \\
& +\left[\lambda^{\prime} d x^{\prime}-d\left(\mu^{\prime} d^{2} x^{\prime}\right)+d^{2}\left(v^{\prime} d^{3} x^{\prime}\right)\right] \delta x^{\prime}- \\
& -\left[\mu^{\prime} d^{2} x^{\prime}-d\left(v^{\prime} d^{3} x^{\prime}\right)\right] d \delta x^{\prime}-v^{\prime} d^{3} x^{\prime} d^{2} \delta x^{\prime} \\
& -\left[\lambda^{\prime} d y^{\prime}-d\left(\mu^{\prime} d^{2} y^{\prime}\right)+d^{2}\left(v^{\prime} d^{3} y^{\prime}\right)\right] \delta y^{\prime}- \\
& -\left[\mu^{\prime} d^{2} y^{\prime}-d\left(
u^{\prime} d^{3} y^{\prime}\right)\right] d \delta y^{\prime}-v^{\prime} d^{3} y^{\prime} d^{2} \delta y^{\prime}- \\
& -\left[\lambda^{\prime} d z^{\prime}-d\left(\mu^{\prime} d^{2} z^{\prime}\right)+d^{2}\left(
u^{\prime} d^{3} z^{\prime}\right)\right] \delta z^{\prime}- \\
& -\left[\mu^{\prime} d^{2} z^{\prime}-d\left(
u^{\prime} d^{3} z^{\prime}\right)\right] d \delta z^{\prime}-v^{\prime} d^{3} z^{\prime} d^{2} \delta z^{\prime} .
\end{aligned}
\]

множители $\lambda, \mu$, v выразят те силы, которые стремятея изменить функции $\alpha, \beta, \gamma ;$ в таком случае должно показаться странным, что әти силы бесконечно малы, и в особенности. что достаточно чисто алгебраческого преобразования для того, чтобы они приняли конечные значения. Однако әта особенность станет понятной, если мы примем во внимание, что обычно коәффидиентам $\lambda$, $\mu$, v не присваивают названия сил, принятого для них только в обычной фигуральной речи Јагранжа. Мы несколько раз указывали, что этого выражения не следует понимать в буквальном смыеле (см. примечание к II. 9 отд. II, стр. 60). (Iрим. Бертрана.)

55. Приравняв сначала нулю коэффициенты вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$ под знаком $\mathbf{S}$, мы получим три следующих неопределенных уравнения:
\[
\begin{array}{l}
X d m-d(\lambda d x)+d^{2}\left(\mu d^{2} x\right)-d^{3}\left(
u d^{3} x\right)=0, \\
Y d m-d(\lambda d y)+d^{2}\left(\mu d^{2} y\right)-d^{3}\left(
u d^{3} y\right)=0, \\
Z d m-d(\lambda d z)+d^{2}\left(\mu d^{2} z\right)-d^{3}\left(
u d^{3} z\right)=0,
\end{array}
\]

которые содержат в себе три неопределенные переменные величины $\lambda, \mu,
u$ и служат только для определения этих величин. Таким образом здесь нет неопределенных уравнений между различными силами $X, Y, Z$, которые согласно допущению приложены ко всем точкам стержня и, следовательно, условия равновесия будут зависеть только от членов, находящихся вне знака $\mathbf{S}$. Но так как эти члены содержат в себе неизвестные величины $\lambda, \mu$,, , то следует начать с определения этих неизвестных.

Для этого следует приведенше выше уравнения проинтегрировать, что легко сделать, и тогда мы получим три следующих уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\int X d m-\lambda d x+d\left(\mu d^{2} x\right)-d^{2}\left(
u d^{3} x\right)=A, \\
\int Y d m-\lambda d y+d\left(\mu d^{2} y\right)-d^{2}\left(
u d^{3} y\right)=B, \\
\int Z d m-\lambda d z+d\left(\mu d^{2} z\right)-d^{2}\left(
u d^{3} z\right)=C,
\end{array}
\]

где $A, B, C$-три произвольных постоянных.
Исключив теперь $\lambda$, мы получим трп уравнения
\[
\begin{array}{l}
d y \int X d m-d x \int Y d m+d y d\left(\mu d^{2} x\right)- \\
-d x d\left(\mu d^{2} y\right)-d y d^{2}\left(
u d^{3} x\right)+d x d^{2}\left(
u d^{3} y\right)=A d y-B d x, \\
d z \int X d m-d x \int Z d m+d z d\left(\mu d^{2} x\right)- \\
-d x d\left(\mu d^{2} z\right)-d z d^{2}\left(
u d^{3} x\right)+d x d^{2}\left(
u d^{3} z\right)=A d z-C d x, \\
d z \int Y d m-d y \int Z d m+d z d\left(\mu d^{2} y\right)- \\
-d y d\left(\mu d^{2} z\right)-d z d^{2}\left(
u d^{3} y\right)+d y d^{2}\left(
u d^{3} z\right)=B d z-C d y,
\end{array}
\]

которые тоже могут быть проинтегрированы, после чего получается
\[
\begin{array}{c}
y \int X d m-x \int Y d m-\int(X y-Y x) d m+ \\
+\mu\left(d y d^{2} x-d x d^{2} y\right)-d y d\left(
u d^{3} x\right)+d x d\left(
u d^{3} y\right)+ \\
+
u\left(d^{2} y d^{3} x-d^{2} x d^{3} y\right)=A y-B x+F, \\
z \int X d m-x \int Z d m-\int(X z-Z x) d m+ \\
\quad+\mu\left(d z d^{2} x-d x d^{2} z\right)-d z d\left(
u d^{3} x\right)+d x d\left(
u d^{3} z\right)+ \\
\quad+
u\left(d^{2} z d^{3} x-d^{2} x d^{3} z\right)=A z-C x+G, \\
z \int Y d m-y \int Z d m-\int(Y z-Z y) d m+ \\
\quad+\mu\left(d z d^{2} y-d y d^{2} z-d z d\left(
u d^{3} y\right)+d y d\left(
u d^{3} z\right)+\right. \\
\quad+
u\left(d^{2} z d^{3} y-d^{2} y d^{3} z\right)=B z-C y+H ;
\end{array}
\]

здесь $F, G, H$ представляют собою новые произвольпые постоянные.

Три последних уравнения послужат для определения трех величин $\mu,
u$ и $d v$, а три первых интеграла уравнений дадут значения $\lambda, d \mu, d^{2}
u$. Этим путем у нас будут определены все неизвестные величины, входящие в состав членов, стоящих вне знака $\mathbf{S}$. Для этого следует в шести найденных нами уравнениях отметить одним штрихом или двумя все буквы, за исключением произвольных постоянных, затем в первом случае положить равными нулю величины, снабженные знаком $\int$, считая их отнесенными к первой точке нити, во втором же случае заменить у этих величин $\int$ знаком $\mathbf{S}$, с тем, чтобы отнести их к последней точке нити.
56. На основе изложенного определим теперь условия, какие могут получиться в результате уничтожения членов общего уравнения равновесия (п. 54), стоящих вне знака $\mathbf{S}$.

Прежде всего, если мы допустим, что стержень совершенно свободен, то все вариации $\delta x^{\prime}, \delta y^{\prime}, \delta z^{\prime}$, $d \delta x^{\prime}, \quad d \delta y^{\prime}, \quad d \delta z^{\prime}, \quad d^{2} \delta x^{\prime}, \quad d^{2} \delta y^{\prime}, d^{2} \delta z^{\prime}$ и $\delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}$, $\delta z^{\prime \prime}, d \delta x^{\prime \prime}, \ldots$ будут неопределенными; следовательно, каждый из коэффициентов при них надо приравнять нулю; ясно, что тогда величины $\lambda^{\prime}, \mu^{\prime},
u^{\prime}, d \mu^{\prime}$, $d
u^{\prime}, d^{2}
u^{\prime}$, а также $\lambda^{\prime \prime}, \mu^{\prime \prime},
u^{\prime \prime}, d \mu^{\prime \prime}, d
u^{\prime \prime}, d^{2}
u^{\prime \prime}$ должны равняться нулю.

Первые три интеграла предыдущего пункта, будучи отнесены к первой и последней точкам нити, дадут следующие шесть условий:
\[
\begin{array}{c}
A=0, \quad B=0, \quad C=0, \\
\mathbf{S} X d m=A, \quad \mathbf{S} Y d m=B, \quad \mathbf{S} Z d m=C ;
\end{array}
\]

последние три интеграла в свою очередь дадут следующие шесть уравнений:
\[
\begin{array}{c}
A y^{\prime}-B x^{\prime}+F=0, \\
A z^{\prime}-C x^{\prime}-G=0, \\
B z^{\prime}-C y^{\prime}+H=0 ; \\
y^{\prime \prime} \mathbf{S} X d m-x^{\prime \prime} \mathbf{S} Y d m-\mathbf{S}(X y-Y x) d m=A y^{\prime \prime}-B x^{\prime \prime}+F, \\
z^{\prime \prime} \mathbf{S} X d m-x^{\prime \prime} \mathbf{S} Z d m-\mathbf{S}(X z-Z x) d m=A z^{\prime \prime}-C x^{\prime \prime}+G, \\
z^{\prime \prime} \mathbf{S} Y d m-y^{\prime \prime} \mathbf{S} Z d m-\mathbf{S}(Y z-Z y) d m=B z^{\prime \prime}-C y^{\prime \prime}+H .
\end{array}
\]

Следовательно,
\[
A=0, \quad B=0, \quad C=0, \quad F=0, \quad G=0, \quad H=0,
\]

а потому
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S} X d m=0, \quad \mathbf{S}(X y-Y x) d m=0, \\
\mathbf{S} Y d m=0, \quad \mathbf{S}(X z-Z x) d m=0, \\
\mathbf{S} Z d m=0, \quad \mathbf{S}(Y z-Z y) d m=0 .
\end{array}
\]

Таким образом последние шесть уравнений являются единственно необходимыми для равновесия негибкого стержня, если последний не имеет неподвижной точки. Сказанное совпадает с тем, что мы установили выше (п. 25); это могло бы быть выведено и непосредственно из теории, изложенной в отделе III, что и было нами отмечено в упомянутом пункте.
57. Теперь предположим, что на стержне имеется одна неподвижная точка, причем этой точкой является первый конец стержня. В таком случае мы будем иметь
\[
\delta x^{\prime}=0, \quad \delta y^{\prime}=0, \quad \delta z^{\prime}=0 ;
\]

таким образом члены, в состав которых входят эти вариации, сами собою исчезнут; следовательно, достаточно приравнять нулю коэффициенты вариаций $d \delta x^{\prime}, d \delta y^{\prime}, d \delta z^{\prime}, d^{2} \delta x^{\prime}, d^{2} \delta y^{\prime}, d^{2} \delta z^{\prime}$, а также коэффициенты вариаций $\delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}, d \delta x^{\prime \prime}, d \delta y^{\prime \prime}, \ldots$

Но легко видеть, что для этого достаточно будет, как и в предыдущем случае, положить $\mu^{\prime}=0,
u^{\prime}=0$, $d
u^{\prime}=0$ и затем
\[
\begin{array}{r}
\lambda^{\prime \prime}=0, \quad \mu^{\prime \prime}=0, \quad
u^{\prime \prime}=0, \\
d \mu^{\prime \prime}=0, \quad d
u^{\prime \prime}=0, \quad d^{2}
u^{\prime \prime}=0 .
\end{array}
\]

Тогда мы найдем те же условия, что и в предыдущем пункте, но только при этом $A, B, C$ уже не будут равны нулю.

Итагі, мы будем иметь $A=\mathbf{S} X d m, B=\mathbf{S} Y d m$, $C=\mathbf{S} Z d m$ и дальше
\[
F=B x^{\prime}-A y^{\prime}, \quad G=C x^{\prime}-A z^{\prime}, \quad H=C y^{\prime}-B z^{\prime} ;
\]

три других уравнения примут тогда следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
-\mathbf{S}(X y-Y x) d m=B x^{\prime}-A y^{\prime}, \\
-\mathbf{S}(X z-Z x) d m=C x^{\prime}-A z^{\prime}, \\
-\mathbf{S}(Y z-Z y) d m=C y^{\prime}-B z^{\prime},
\end{array}
\]

или, иначе,
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}(X y-Y x) d m+x^{\prime} \mathbf{S} Y d m-y^{\prime} \mathbf{S} X d m=0, \\
\mathbf{S}(X z-Z x) d m+x^{\prime} \mathbf{S} Z d m-z^{\prime} \mathbf{S} X d m=0, \\
\mathbf{S}(Y z-Z y) d m+y^{\prime} \mathbf{S} Z d m-z^{\prime} \mathbf{S} Y d m=0,
\end{array}
\]

или, что то же,
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}\left[X\left(y-y^{\prime}\right)-Y\left(x-x^{\prime}\right)\right] d m=0, \\
\mathbf{S}\left[X\left(z-z^{\prime}\right)-Z\left(x-x^{\prime}\right)\right] d m=0, \\
\mathbf{S}\left[Y\left(z-z^{\prime}\right)-Z\left(y-y^{\prime}\right)\right] d m=0 .
\end{array}
\]

Таковы уравнения, единственно необходимые для равновесия; ясно, что они соответствуют уравнениям, найденным в пункте 24 .
58. Если бы стержень в своей первой точке был закреплен таким образом, тто неподвижной оставалась бы не только первая точка, но и насательная в этой тотке, тогда мы имели бы не только $\delta x^{\prime}=0$, $\delta y^{\prime}=0, \delta z^{\prime}=0$, но и
$\delta d x^{\prime}=d \delta x^{\prime}=0, \quad \delta d y^{\prime}=d \delta y^{\prime}=0, \quad \delta d z^{\prime}=d \delta z^{\prime}=0 ;$
следовательно, все члены, в состав которых входят эти величины, сами собою исчезли бы, и нам оставалось бы лиш добиться исчезновения членов, в состав которых входят вариации $d^{2} \delta x^{\prime}, d^{2} \delta y^{\prime}, d^{2} \delta z^{\prime}$ и $\delta x^{\prime \prime}, \delta y^{\prime \prime}, \delta z^{\prime \prime}, d \delta x^{\prime \prime}, d \delta y^{\prime \prime}, \ldots$

Таким образом в данном случае мы имели бы только нижеследующие условия:
\[
\begin{array}{c}

u^{\prime}=0, \quad \lambda^{\prime \prime}=0, \quad \mu^{\prime \prime}=0, \quad
u^{\prime \prime}=0 \\
d \mu^{\prime \prime}=0, \quad d
u^{\prime \prime}=0, \quad d^{2}
u^{\prime \prime}=0
\end{array}
\]

следовательно, и здесь постояниые $A, B, C$ будут иметь значения
\[
A=\mathbf{S} X d m, \quad B=\mathbf{S} Y d m, \quad C=\mathbf{S} Z d m ;
\]

цалее, если три последних интеграла пункта 55 применить к последней точке стержня, то они дадут
\[
\begin{aligned}
F & =\mathbf{S}(Y x-X y) d m, \\
G & =\mathbf{S}(Z x-X z) d m, \\
H & =\mathbf{S}(Z y-Y z) d m .
\end{aligned}
\]

А если те же уравнения применить к первой точке, то мы будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\mu^{\prime}\left(d y^{\prime} d^{2} x^{\prime}-d x^{\prime} d^{2} y^{\prime}\right)-d
u^{\prime \prime}\left(d y^{\prime} d^{3} x^{\prime}-d x^{\prime} d^{3} y^{\prime}\right)= \\
=A y^{\prime}-B x^{\prime}+F, \\
\mu^{\prime}\left(d z^{\prime} d^{2} x^{\prime}-d x^{\prime} d^{2} z^{\prime}\right)-d v^{\prime}\left(d z^{\prime} d^{3} x^{\prime}-d x^{\prime} d^{3} z^{\prime}\right)= \\
=A z^{\prime}-C x^{\prime}+G, \\
\mu^{\prime}\left(d z^{\prime} d^{2} y^{\prime}-d y^{\prime} d^{2} z^{\prime}\right)-d v^{\prime}\left(d z^{\prime} d^{3} y^{\prime}-d y^{\prime} d^{3} z^{\prime}\right)= \\
=B z^{\prime}-C y^{\prime}+H,
\end{array}
\]

откуда, по исключении $\mu^{\prime}$ и $d v^{\prime}$, получится следующее уравнение:
\[
\begin{array}{l}
A\left(y^{\prime} d z^{\prime}-z^{\prime} d y^{\prime}\right)+B\left(z^{\prime} d x^{\prime}-x^{\prime} d z^{\prime}\right)+ \\
\quad+C\left(x^{\prime} d y^{\prime}-y^{\prime} d x^{\prime}\right)+F d z^{\prime}-G d y^{\prime}+H d x^{\prime}=0 .
\end{array}
\]

Таково уравнение, необходимое для того, чтобы предотвратить вращение стержня вокруг его первой касательной, которая согласно допущению остается неподвижной; легко видеть, что в том случае, когда стержень образует прямую линию, первый член этого уравнения превращается в нуль.
59. Как на недостаток нашего метода можно было бы указать на пространность приведенного выше решения, которое действительно длиннее решения, данного для гибкой нити; между тем, при пользовании обычными методами последняя задача представляется гораздо более трудной, чем задача о равновесии жесткого стержня, находящегося под действием любых сил; происходит это от того, что при разрешении задачи о гибкой нити приходится определять путем сложения сил форму кривой,
каую нить должна принять для того, чтобы находиться в равновесии; в случае же стержня эта кривая бывает задана, и для равновесия требуется лишь, чтобы моменты сил обратились в нуль. Но іогда мы ставим себе целью при разрешении всех проблем пользоваться единообразным приемом и переходить от одной проблемы к другой последовательно, по мере прибавления новых условий, то ясно, что случай негибкой нити менее прост, чем случай гибкой нити, так как несгибаемость выражается аналитически постоянством взаимных расстояний между точками нити. И если в настоящем случае, когда кривая задана заранее, она уже не является результатом расчета, нак в случае гибкой нити, то это обстоятельство должно быть отмечено анализом и действительно отмечается тем, что в трех неопределенных уравнениях относительно $x, y, z$, указанных в п. 55, остаются три произвольные величины $\lambda, \mu,
u$, так что эти уравнения могут быть применены к любой заданной гривой. Таким образом на указанные уравнения не следует смотреть как на бесполезное излишество; кроме того, что они служат для определения трех неизвестных $\lambda, \mu,
u$, от которых зависят условия равновесия, они одновременно выражают *) силы, противодействующие тому, чтобы значения трех функций $\alpha, \beta, \gamma$ изменялись под действием сил, приложенных к нити.

Конечно, три неопределенные величины $\lambda, \mu,
u$ должны быть заменены тремя условными уравнениями, выражающими тот факт, что дифференциальные функции $\alpha, \beta, \gamma$ следует рассматривать как заданные. Но так кан в силу природы дифференциального исчисления абсолютное значение дифференциалов остается неопределенным и задано может быть только их отношение, то эти три $\qquad$
*) См. примечание к пункту 53 (стр. 217). (Iрим. Бертрана.)
15 ж. ЛІгранж, т. I

условия должны быть эквивалентнымп лишь двум уравнениям, содержащим отношения трех величин $\alpha, \beta, \gamma ;$ этих двух уравнений достаточно для определения кривой.

Действительно, из выпеденного выше (п. 46) ясно, что угол сменности, образованный двумя последовательными элементами кривой, равен
\[
\frac{\sqrt{4 \alpha \beta-d \alpha^{2}}}{2 \alpha},
\]

где $\alpha, \beta, \gamma$ сохраняют значения, указанные в пункте 53 ; таким образом радиус кривизны выражается через
\[
\frac{2 \alpha \sqrt{\alpha}}{\sqrt{4 \alpha \beta-d \alpha^{2}}} .
\]

Следовательно, так как этот радиус предполагается заданным, то и форма кривой, если она простой кривизны, дана; если же это-кривая двойной кривизны, то нетрудно доказать, что вторая кривизна, происходящая от угла смежности, образуемого двумя плоскостями, проходящими через два соседних әлемента кривой, зависит от отношения трех величин: $\left.\alpha, \beta, \gamma^{*}\right)$. Таким образом рассматриваемые три условия, относящиеся к кривой, сводятся к тому, что эта кривая должна быть задана, как это и предполагается по условиям задачи **).

Анализ этой задачи можно было бы распространить и на случай поверхности или твердого тела,
*) Вторая кривизна зависит также и от $d \beta$. (П/ им. Бертрана.)
**) Изложенные выводы показывают, что две кривые совместимы, если в обепх кривых радиусы первой и второй кривизны выражаются одними и теми же функциям дуги. Следовательно, если в обенх кривых радиусы постоянны и соответственно равны между собою, то эти кривые идентичны; а тат как всегда можпо определить винтовую линию, имеющую заданные радиусы кривизны, то всякая кривая, у которой радиусы кривизны постоянны, представляет собою винтовую линию. Многие геометры дали изящное доказательство этой теоремы. См. две статьи, одну –I Iюизё (Puiseux) и вторую Ceppo (Serret) в Journal de Mathématiques de Liouville, $1^{\text {-ière }}$ série, t. VII, p. 65 и t. XVI, p. 193. (Iри.и. Бертрана.)

все точки которых находятся под действием любых сил; но мы покажем, как его можно упростить, исходя из тех же условных уравнений и определив заранее с их помощю вид вариаций координат.