26. Рассмотрим снова случай трех тел, соединенных между собою стержнем, и предположим сверх того, что в точке, где находится второе тело, стержень обладает упругостью – в том смысле, что расстояния от упомянутой точки до первой и последней остаются неизменными, но угол, образуемый линиями соединения среднего тела с двумя другими телами, может изменяться и что действие этой упругости заключается в увеличении указанного угла, а следовательно, в уменьшении внешнего угла, образуемого одной из сторон и продолжением другой.

Назовем $E$ – силу упругости*) и $e$-внешний угол, который эта сила стремится уменьшить; момент этой силы выразится через $E$ de (отд. II, П. 9), так что сумма моментов всех сил системы составит
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime} d x^{\prime}+Y^{\prime} d y^{\prime}+Z^{\prime} d z^{\prime}+X^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}+Y^{\prime \prime} d y^{\prime \prime}+Z^{\prime \prime} d z^{\prime \prime}+ \\
+X^{\prime \prime \prime} d x^{\prime \prime \prime}+Y^{\prime \prime \prime} d y^{\prime \prime \prime}+Z^{\prime \prime \prime} d z^{\prime \prime \prime}+E d e .
\end{array}
\]

Но условия задачи здесь те же самые, что и в п. 12 ; значит, $d f=0$ и $d g=0$; поэтому мы имеем следующее общее уравнение равновесия:
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime} d x^{\prime}+Y^{\prime} d y^{\prime}+Z^{\prime} d z^{\prime}+X^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}+Y^{\prime \prime} d y^{\prime \prime}+Z^{\prime \prime} d z^{\prime \prime}+ \\
\quad+X^{\prime \prime \prime} d x^{\prime \prime \prime}+Y^{\prime \prime \prime} d y^{\prime \prime \prime}+Z^{\prime \prime \prime} d z^{\prime \prime \prime}+E d e+\lambda d f+\mu d g=0 .
\end{array}
\]

Здесь остается только подставить значения $d e, d f$, $d g$. Значения $d f$ и $d g$ остаются теми же, что и в упомянутом выше пункте.

Для определения значения $d e$ заметим, что если обозначить через $h$ прямолинейное расстояние между первым телом и третьим, то в треугольнике, имеющем своими сторонами $f, g, h$, угол, противолежащий $\qquad$
*) Слово сила употреблено здесь не в обычном своем значении. Лагранж считает очевидным, что если совокупность сил, вызванных упругостью, имеет сумму моментов, равную нулю, когда угол е является неизменным, то эта сумма может вообще считаться пропордиональной $d e$; он выражает ее тогда через $E$ de,где $E$ представляет собою силу только в том слу. чае, если принять условие, указанное в пункте 9 отд. II.См. примечание к этому пункту (стр. 60). (II ри.s. Бертрана.)

єтороне $h$, составит $180^{\circ}-e$; следовательно, на основании известной теоремы мы имеем
\[
-\cos e=\frac{f^{2}+g^{2}-h^{2}}{2 f g},
\]

откуда путем дифференцирования можно получить значение $d e$; но так как согласно условиям задачи мы имеем
\[
d f=0 \text { и } d g=0,
\]

то достаточно варьировать $e$ и $h$, в результате чего получится
\[
d e=-\frac{h d h}{f g \sin e} .
\]

Если это значение подставить в предыдущее уравнение, то легко убедиться, что оно получит тот же вид, что и общее уравнение равновесия в случае, рассмотренном в пункте 20 , если только в последнем положить $
u=-\frac{E h}{f g \sin e}$. Таким образом и частные уравнения будут в обоих случаях одинаковы – с тем единственным отличием, тто в уравнениях упомянутого пункта величина $
u$ является неопределенной и, следовательно, подлежит исключению, между тем как в рассматриваемом здесь случае эта величина представляется вполне известной *) и исключению подлежат лишь две неопределенные величины $\lambda$ и $\mu$; таким образом в последнем случае остается налицо одним окончательным уравнением больше, чем в упомянутом выше случае, т. е. семь окончательных уравнений вместо шести. Но так как, независимо от того, является ли величина $v$ известной или нет, $\qquad$
*) Для того чтобы у можно было рассматривать как известную величину, необходимо, чтобы $E$ и $е$ были тоже известными величинами; однако в действительности этого нет: $E$ является неизвестной функцией $e$ и не поддается прямому определению. (Прим. Бертрана.)

ничто нам не мешает исключить ее вместе с другими величинами $\lambda$ и $\mu$, то ясно, что в настоящем случае мы имеем те же самые уравнения, какие были найдены нами в пунктах 21 и 22 ; а для того, чтобы получить седьмое уравнение, нам достаточно будет исключить $\lambda$ из первых трех уравнений, или же $\mu$ из последних трех, входящих в состав девяти частных уравнений пункта 20 , – и затем вместо $
u$ подставить его значение – $\frac{E h}{f g \sin e}$.
27. Впрочем, если бы мы в значении de не пожелали принять $d f$ и $d g$ равными нулю, то мы имели бы выражение следующего вида:
\[
d e=-\frac{h d h}{f g \sin e}+A d f+B d g,
\]

где $A$ и $B$ являются функциями $f, g, h, \sin e$. В этом случае три члена $E d e+\lambda d f+\mu d g$ общего уравнения приняли бы следующий вид:
\[
-\frac{E h}{f g \sin e} d h+(E A+\lambda) d f+(E B+\mu) d g .
\]

Но так как $\lambda$ и $\mu$ являются двумя неопределенными величинами, то ясно, что вместо них можно подставить $\lambda-E A, \mu-E B$, в результате чего упомянутая величина получает следующий вид:
\[
-\frac{E h}{f g \sin e} d h+\lambda d f+\mu d g,
\]

как если бы $f$ и $g$ в выражении для de были постоянными величинами.

Если бы с помощью упругих стержней было связано друг с другом бо́льшее количество тел, то уравнения, необходимые для равновесия этих тел, можно было бы найти, пользуясь тем же способом. И вообще наш метод дает всегда с одинаковой легкостью условия равновесия системы тел, связанных между собою любым образом и находящихся под действием любых внешних сил. Расчет ведется, как видим, всегда одинаковым способом, что следует признать одним из главнейших преимуществ этого метода.