21. Рассмотрим теперь максимумы и минимумы, которые могут иметь место при равновесии; для этой цели мы снова возьмем общую формулу
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots=0
\]

равновесия между силами $P, Q, R, \ldots$, которые направлены по линиям $p, q, r, \ldots$, приводящим к центрам этих сил (отд. II, п. 4).

Можно допустить*), что эти силы выражены таким образом, что величина $P d p+Q d q+R d r+\ldots$ является полным дифференциалом некоторой функции от $p, q$, $r, \ldots$; обозначим последнюю через $\Pi$, так что мы имеем
\[
d \Pi=P d p+Q d q+R d r+\ldots
\]

Тогда для случая равновесия мы имеем уравнение $d \Pi=0$, которое показывает, что система должна занимать такое положение, чтобы функция П была, вообще говоря, максимумом или минимумом [11].

Я употребил выражение «вообще говоря», так как известно, что равенство нулю дифференциала не всегда указывает на наличие максимума или минимума, как это хорошо известно из теории кривых.

Указанное выше допущение вообще имеет место, когда силы $P, Q, R$ действительно направлены либо к неподвижным внешним точкам, либо к телам самой системы и при этом пропорциональны каким-либо функциям расстояний; в природе наблюдается именно этот случай.

Итак, при указанном допущении о характере сил система будет в равновесии, когда функция П будет $\qquad$
*) Лагранж не хотел утверждать, что это всегда так бывает. Он лишь предупреждает, что излагаемые ниже выводы огносятся к тому случаю, когда это имеет место. (Прим. Бертрана.)

мансимумом или минимумом; в этом заключается принцип, предложенный Мопертюи (Maupertuis) под названием закона покоя.

В системе тяжелых тел, находящейся в равновесии, силы $P, Q, R, \ldots$, вызываемые тяжестью. как известно, пропорциональны массам тел и, следова’ельно, постоянны, а линии $p, q, r, \ldots$ сходятся в центре Земли. Поэтому в данном случае мы имеем
\[
\mathrm{II}=P p+Q q+R r+\ldots ;
\]

так как линии $p, q, r, \ldots$ можно признать параллельными, то величина
\[
\frac{\Pi}{P+Q+R+\ldots}
\]

выразит расстояние дентра тяжести всей системы от центра Земли; следовательно, это расстояние будет минимумом или максимумом, когда система будет находиться в равновесии. Так, например, оно является минимумом в случае цепной линии и максимумом в случае большого числа шариков, поддерживающих друг друга, когда они расположены в виде свода. Этот принцип известен уже с давних пор.
22. Если теперь мы рассмотрим ту же систему в движении и если через $u^{\prime}, u^{\prime}, u^{\prime \prime}, \ldots$ обозначим скорости, а через $m^{\prime}, m^{n}, m^{n \prime}, \ldots$ соответствующие массы различных тел, входящих в состав системы, то принцип, столь хорошо известный под названием принципа сохранения живых сил, прямое и общее доказательство которого будет нами представлено в «Динамике», — даст нам следующее уравнение:
\[
m^{\prime} u^{\prime 2}+m^{\prime \prime} u^{\prime 2}+m^{\prime \prime} u^{\prime \prime 2}+\cdots=\text { const }-2 \Pi .
\]

Так как в состоянии равновесия величина П бывает минимумом или максимумом, то отсюда следует, что величина $m^{\prime} u^{\prime 2}+m^{\prime \prime} u^{n 2}+m^{\prime \prime} u^{\prime \prime 2}+\ldots$, представляющая собою живую силу всей системы, будет одновременно максимумом или минимумом. Отсюда получается стедующий второй принцип статики: 1 всех положений, последовательн зани.иеных систеной, то положение, при которо.и она обладает наибольией или наименьией жсивой силой, является фдноременно тем положением, в которое ер следовало бы вначале поместить, чтобы она осталась в равновесии. (Cim. Mémoires de l’Académie des Sciences 3a 1748 II 1749 гг.*).
23. Мы видели, что функция II бывает минимумом или максимумом, когда положение системы таково, џто она находится в равновесии. Докажем теперь, џто юогда әта функция является минимумом, то 1) этом слутае имеет место устойчивое равновесие в том смысле, что если сначала система находилась в состоянии равновесия, а затем была немного из пего выведена, то она сама собою стремится вернуться Ii этому состоянию, совершая около него бесконечно малые колебания,-и что, наоборот, в том случае, когда та же функция является максимумом, имеет иесто неустойчивое равновесие, так что система, будучи однажды выведена из этого состояния, может совершать колебания, которые не будут уже очень малыми и нот рые могут все более и более отклонять систему от ее первоначального состояния [12].

Для тоюо чтобы доказать это положение в общем виде, я принимаю во внимание то обстоятельство, что каков бы ни был вид системы, ее положение, т. е. положение различных тел, из которых она составлена, всегда определяется с помощью известого числа переменных, и что величина П будет здданної функцией этих же переменных. IІредполоঈাм, тто при положении равновесия упомянутые перемснные равны $a, b, c, \ldots$, а при положении, очень
*) Этот принцип был высказан, без достаточного, однако, бӧоснования, мапоизвестным геометром де-Куртивоном (dе (ourtivron). B первом издании \»Аналитической механики\» Гагранж упомянул его пмя; во втором же издании он его не назвал, ограничивпись указанием даты мемуара. (Iри.и. Бермрина.)

близком к положению равновесия, они равны $a+x$, $b+y, c+z, \ldots$, где $x, y, z, \ldots$ очень малые величины. Если эти последние значения подставить в функцию $\Pi$ и разложить ее в ряд по степеням очень малых величин $x, y, z, \ldots$, то функция $\Pi^{*}$ ) получит следующий вид:
\[
\begin{array}{r}
\Pi=A+B x+C y+D z+\cdots+F x^{2}+G x y+ \\
+H y^{2}+K x z+L y z+M z^{2}+\cdots,
\end{array}
\]

где величины $A, B, C, \ldots$ заданы в виде функций $a, b, c, \ldots$ Но в состоянии равновесия $d$ П должно равняться нулю, каким бы образом мы ни изменяли положение системы; следовательно, дифференциал II должен вообще равняться нулю, когда $x, y, z, \ldots$ равны нулю. Таким обравом
\[
B=0, \quad C=0, \quad D=0, \ldots
\]

Итак, для любого состояния, очень близкого к состоянию равновесия, получается следующее выражение для П:
\[
\Pi=A+F x^{2}+G x y+H y^{2}+K x z+L y z+M z^{2}+\ldots ;
\]

поскольку переменние $x, y, z, \ldots$ очень малы, в приведенном выражении достаточно принимать во внимание лишь вторые степени этих переменных.
24. Теперь ясно, что для того чтобы величина П была минимумом в то время, когда $x, y, z, \ldots$ равны нулю, необходимо, чтобы функция
\[
F x^{2}+G x y+H y^{2}+K x z+L y z+M z^{2}+\ldots,
\]

которую я назову $X$, была неизменно положительной, независимо от того, каковы значения переменных $x, y, z, \ldots$
*) Лежен-Дирихле (Lejeune-Dirichlet) упростил это доказательство и придал ему ббльшую строгость (CM. Crelles, Journal, т. 32 и Journal de Liouville, $1^{\text {re }}$ sèr., т. XII, стр. 474.) (Iрим. Бертрана.)

Но эта функция может быть приведена к следующему виду:
\[
X=f \xi^{2}+g \eta^{2}+h \zeta^{2}+\ldots
\]

если положить
\[
\begin{array}{l}
f=F, \\
\xi=x+\frac{G y}{2 f}+\frac{K z}{2 f}+\ldots, \\
g=H-\frac{G^{2}}{4 f}, \\
\eta=y+\left(L-\frac{G K}{2 f}\right) \frac{z}{2 g}+\ldots, \\
h=M-\frac{K^{2}}{4 f}-\frac{L^{2}}{4 g}, \\
\zeta=z+\ldots, \\
\ldots \ldots \ldots . . . . .
\end{array}
\]

Следовательно, для того чтобы упомянутая функция была положительной, необходимо, чтобы коэффициенты $f, g, h, \ldots$ были положительными; в то же время ясно, что если эти коәффициенты положительны, то $X$ необходимо будет положительно, так как величины $\xi, \eta, \zeta, \ldots$ вещественны, если таковы же и переменные $x, y, z, \ldots$

Если же, наоборот, величина П должна быть максимумом в то время, как $x, y, z, \ldots$ равны нулю, функция $X$ должна быть постоянно отрицательной и, следовательно, коэффициенты $f, g, h, \ldots$ должны иметь отрицательные значения. И, наоборот, если эти коэффициенты отрицательны, то отсюда следует, что значение $X$ необходимо будет отрицательным.
25. Итак, если принимать во внимание лишь вторые степени очень малых величин $x, y, z$, мы будем иметь
\[
\Pi=A+f \xi^{2}+g \eta^{2}+h \zeta^{2}+\cdots
\]

п уравнение сохранения живых сил (п. 22) примет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
M^{\prime} u^{\prime 2}+M^{\prime \prime} u^{\prime 2}+M^{\prime \prime} u^{\prime \prime 2}+\ldots= \\
\quad=\text { const }-2 A-2 f \xi^{2}-2 g \eta^{2}-2 h^{\prime}{ }_{2}^{2}-\ldots .
\end{array}
\]

Іо в состоянии равновесия мы согласно допущению имеем
\[
x=0, \quad y=0, z=0, \ldots,
\]

а следовательно, также (и. 19)
\[
\xi=0, \quad \eta=0, \quad \zeta=0, \ldots
\]

Поэтому, если мы предположим, что выводим систему из этого состояния, сообщив телам $M^{\prime}, M^{\prime \prime}, M^{\prime \prime \prime}, \ldots$ очень малые скорости $V^{\prime}, V^{\prime \prime}, V^{\prime \prime \prime}, \ldots$, то необходимо должно быть $u^{\prime}=V^{\prime}, u^{n}=V^{n}, u^{\prime \prime \prime}=V^{\prime \prime}, \ldots$, когда $\xi=0, \eta=0, \zeta=0, \ldots$ Таким обрдзом мы получим
\[
M^{\prime} V^{\prime 2}+M^{\prime \prime} V^{\prime 2}+M^{\prime \prime} V^{\prime \prime 2}+\cdots=\text { const }-2 A ;
\]

это уравнение послужит для определения произвольной постоянной.

Итак, приведенное выше уравнение примет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
M^{\prime} u^{\prime 2}+M^{\prime \prime} u^{\prime 2}+M^{\prime \prime \prime} u^{\prime \prime \prime} 2+\cdots= \\
=M^{\prime} V^{\prime 2}+M^{\prime \prime} V^{\prime 2}+M^{\prime \prime \prime} V^{\prime \prime \prime}+\cdots- \\
-2 f \xi^{2}-2 g \eta^{2}-2 h \zeta^{2}-\ldots,
\end{array}
\]

на основании которого легко сделать следующие два заключения:
1) В том случае, когда П минимум, и, следовательно, когда коэффициенты $f, g, h, \ldots$ все положительны, величина
\[
2 f \xi^{2}+2 g \eta^{2}+2 h \zeta^{2}+\ldots,
\]

имеющая всегда положительное значение, необходимо должна быть меньше, или во всяком слу»ае не может быть больше заданной величины $M^{\prime} V^{\prime 2}+M^{\prime \prime} V^{\prime 2}+M^{\prime \prime \prime} V^{\prime \prime 2}+\ldots$, готорая сама по себе очень, мала; следовательно, если эту величину назвать $T$, то для каждой из переменных $\xi, \eta, \zeta, \ldots$ будут существовать стедующие пределы:

между которыми они необхходимо будут заключаться. Отсюда следует, что в данном случае система будет в состоянии лишь очень мало отклоняться от своего положения равновесия и сможет выполнять лишь очень малые колебания с ограниченным размахом.
2) В том случае, когда II максимум, и, следовательно,когда коэффициенты $f, g, h, \ldots$ все отрицательны, величина
\[
-2 f \xi^{2}-2 g \eta^{2}-2 h \zeta^{2}-\ldots,
\]

пмеющая всегда положительное значение, может возрастать до бесконетности и, следовательно, система может все больше отклоняться от своего положения равновесия. По крайней мере приведенное уравнение позволяет убедиться в том, что в данном \»тучае ничто не препятствует постоянному увеличению переменных $\xi, \eta, \zeta, \ldots$ однако отсюда еще не следует, что он действительно должны увеличиваться; это последнее положение мы локажем в пестом отделе \»Динамики\» $\left[{ }^{13}\right]$.

Если бы все коәффициенты $f, g, h, \ldots$ оказались равными нулю, то, как это нам известно из теории иасимумов и минимумов, для существования максимума или минимума требуется, чтобы члены третьегч пзмерения были равны нулю, а члены четвертого пзмерения были все время положительными или отрицательными [14]. Нользуясь әтим приемом и мжно судити об устойчивости равновесия, которое имеет место при обращении в нуль членов первого порядка, ссли одновременно с иимисчезают п тлены второго порядіа.

26. Впрочем, изложенные выше свойства максимумов и минимумов, проявляющиеся при равновесии системы любых сил, являются только непосредственным следствием доказательства, данного нами в конце первого отдела для принципа виртуальных скоростей.

В самом деле, пусть $p$ — расстояние между двумя первыми полиспастами, из которых один неподвижен, а другой может перемещаться; они соединяются друг c. другом с помощью $P$ витков веревки, создающих силу, пропорциональную $P$, которую можно выразить просто через $P$, если груз, действующий на веревку, принять за еданицу; пусть, далее, $q$-расстояние между двумя полиспастами, создающими силу $Q$, $r$-расстояние между полиспастами, создающими силу $R, \ldots$ Ясно, что $P p$ будет длиной участка веревки, охватывающего оба первых полиспаста; аналогично $Q q, R r, \ldots$ представят собою соответствующие длины частей веревки, охватывающих другие полиспасты, так что общая длина веревки, охватывающей все неподвижные и подвижные полиспасты, составит $P p+Q q+R r+\cdots$

К этой длине прибавим еще и длину различных частей веревки, которые находятся между нешодвижными поворотными блоками, необходимыми для изменения направления веревкі; эту длину мы обозначим через a. Прибавим сюда еще ту часть веревки, которая находится между последним поворотным блоком и грузом, подвешенным на конце веревки; ее мы обозначия через $u$; наконец, пусть $l$ — общая длина веревки, один конец которой закреплен в некоторой неподвижной точке пространства, а другой несет на себе груз. Очевидно, что мы имеем равенство
\[
l=P p+Q q+R r+\cdots+a+u,
\]

откуда следует
\[
u=l-a-P p-Q q-R r-\cdots
\]

Но если предположить, что силы $P, Q, R, \ldots$ являются постоянными, т. е. независимыми от $p, q, r, \ldots$, — а это всегда допустимо при равновесии, где мы рассматриваем лишь бесконечно малые перемещения,-то ліегко видеть*), что величина $P p+Q q+$ $+R r+\ldots$ будет той самой, которую мы выше, в пункте 21 , обозначили через П; таким образом мы будем иметь вообще
\[
u=l-a-\Pi,
\]

где $l$ и $a$ — постоянные величины.
27. Теперь ясно, что так как груз стремится опуститься как можно ниже, равновесие может наступить вообще только тогда, когда значение $u$, выражающее снижение груза, отсчитываемое от неподвижного блока, будет максимумом, и, следовательно, когда значение II будет минимумом; в то же время ясно, что в данном случае равновесие будет устойчивым, так как любое незначительное изменепие системы может вызвать лишь поднятие груза, который, однако, будет стремиться снова снизиться и вернуть систему в состояние равновесия.

Но мы видели, что для равновесия достаточно наличня условия $d \Pi=0$ и, следовательно, $d u=0$. Это условие имеется налицо и в том случае, когда значение и представляет собою минимум, т. е. когда
*) Подобная замена переменных сил постоянными может, наоборот, совершенно изменять природу функции П. Так, например, если рассмотреть притяжение, обратно пропорциональное расстоянию и равное $\frac{\mu}{p}$, то мы будем иметь
\[
\int P d p=\int \frac{\mu}{p} d p=\mu \log p ;
\]

если же $P$ заменить постоянной величиной, то после интегрирования мы будем иметь $P p$, что сильно отличается от полученного выше результата. Можно лишь утверждать, что притех значениях переменных, которые соотнетствуют состоянию равновесия, обе функции, хотя и сильно между собою различающиеся, пмеют одинаковое изменение. (Iрим. Бертрана.)

груз вместо того, чтобы занимать самое низіое положение, занимает, наоборот, самое высокое. Легко видеть, что в данном случае небольшое изменение в положении системы сможет вызвать лишь снижение груза, который после этого не будет стремиться вновь подняться, а будет стремиться еще более сизиться и тем самым все более и более удалять систему от ее первоначального положения равновесия. Отсюда следует, что это равновесю совершенно не будет обладать устойчивостью: будучи однажды нарушено, оно не будет стремиться $k$ своему восстановлению.