2. Пусть дано некоторое количество тел, рассматриваемых в качестве точек и расположенных или связанных между собою каким угодно образом, и пусть они находятся под действием сил $P, P^{\prime}$, $p^{\prime \prime}, \ldots$, расположенных по линиям $p, p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots$, Для равновесия этих тел мы имеем (см. предыдущий отдел) общую формулу
\[
P d q+P^{\prime} d p^{\prime}+P^{\prime \prime} d p^{\prime \prime}+\ldots=0 .
\]

Если отнести к прямоугольной системе координат различные точки, находящиеся под действием сил $P, P^{\prime}, \ldots$, равно как и центры этих сил, подобно тому как это было сделано в пункте 6 предыдущего отдела, то мы получим в случае внешних сил
\[
\begin{array}{l}
p=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}, \\
p^{\prime}=\sqrt{\left(x^{\prime}-a^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}-b^{\prime}\right)^{2}+\left(z^{\prime}-c^{\prime}\right)^{2}} \text {. } \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Но если тела, соответствующие, например, координатам $x, y, z$ и $\bar{x}, \bar{y}, \bar{z}$, действуют друг на друга взаимно некоторой силой, которую мы обозначим через $\bar{P}$, то для взаимного их расстояния, которое мы назовем $\vec{p}$, мы будем иметь
\[
\bar{p}=\sqrt{(x-\bar{x})^{2}+(y-\bar{y})^{2}+(z-\bar{z})^{2}},
\]

и, следовательно, в общей формуле следует прибавить еще член $\bar{P} d \bar{p}$, получающийся от внутренней силы $\bar{P}$. Точно так же следует поступать и дальше, если на одни и те же тела действует несколько сил.
3. Положим, что вполне допустимо,
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=x+\xi, \quad y^{\prime}=y+\eta, \quad z^{\prime}=z+\zeta, \\
x^{n}=x+\xi^{\prime}, \quad y^{\prime \prime}=y+\eta^{\prime}, \quad z^{\prime \prime}=z+\zeta^{\prime}, \\
\cdot \dot{\vec{x}}=x+\bar{\xi}, \quad \bar{y}=y+\bar{\eta}, \quad \dot{\bar{z}}=z+\bar{\zeta}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

и предшоложим, что эти значения координат подставлены в предыдущую формулу.

Так как $x, y, z$ – абсолютны координаты тела, находящегося под действием силы $P$, то ясно, что $\xi, \eta, \zeta, \xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \ldots$ являются относительными координатами других тел по отношению к данному, принятому в качестве общего начала координат; в таком случае взаимное положение тел зависит исключительно от последних координат и нисколько не зависит от первых. Следовательно, если мы предположим, что система совершенно свободна, т. е. что тела просто связаны между собою каким-либо образом, но не задерживаются какими-либо неподвижными опорами, или внешними препятствиями, то легко понять, что условия, вытекающие из природы системы, могут касаться только величин $\xi, \eta, \zeta, \xi^{\prime}, \eta^{\prime}, \zeta^{\prime}, \ldots$, но ни в коем случае не величин $x, y, z$, дифференциалы которых остаются, следовательно, независимыми и неопределенными.

Поэтому после того, как указанные выше подстановки произведены, следует отдельно приравнять нулю каждый из членов, содержащих $d x, d y, d z$, что даст следующие три уравнения (п. 2):
\[
\begin{array}{l}
P \frac{\partial p}{\partial x}+P^{\prime} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}+P^{n} \frac{\partial p^{n}}{\partial x}+\ldots+\bar{P} \frac{\partial \bar{p}}{\partial x}+\ldots=0 \\
P \frac{\partial p}{\partial y}+P^{\prime} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial y}+P^{\prime \prime} \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial y}+\ldots+\bar{P} \frac{\partial \bar{p}}{\partial y}+\ldots=0 \\
P \frac{\partial p}{\partial z}+P^{\prime} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial z}+P^{n} \frac{\partial p^{n}}{\partial z}+\ldots+\bar{P} \frac{\partial \bar{p}}{\partial z}+\ldots=0
\end{array}
\]

Прежде всего очевидно, что переменные $x, y, z$ не входят в выражение для $\bar{p}$; поэтому мы имеем
\[
\frac{\partial \bar{p}}{\partial x}=0, \quad \frac{\partial \bar{p}}{\partial y}=0, \quad \frac{\partial \bar{p}}{\partial z}=0 \ldots
\]

Вследствие этого отпадают члены, содержащие внутренние силы $\bar{P}, \ldots$.
Далее, мы видим, что значения
\[
\frac{\partial p^{\prime}}{\partial x}, \frac{\partial p^{\prime}}{\partial y}, \frac{\partial p^{\prime}}{\partial z}, \frac{\partial p^{n}}{\partial x}, \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial y}, \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial z}, \ldots
\]

тождественны со значениями
\[
\frac{\partial p^{\prime}}{\partial x^{\prime}}, \quad \frac{\partial p^{\prime}}{\partial y^{\prime}}, \quad \frac{\partial p^{\prime}}{\partial z^{\prime}}, \quad \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial x^{\prime \prime}}, \quad \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial y^{\prime \prime}}, \frac{\partial p^{n}}{\partial z^{\prime \prime}}, \ldots
\]

Если обозначить через $\alpha, \beta, \gamma$ углы, образуемые линией $p$ с осями $x, y, z$ или параллельными осями, а через $\alpha^{\prime} \beta^{\prime}, \gamma^{\prime}$ – углы, которые линия $p^{\prime}$ образует с теми же осями, то в силу указанного выше (п. 7 предыдущего отдела) имеем:
\[
\frac{\partial p}{\partial x}=\cos \alpha, \quad \frac{\partial p}{\partial y}=\cos \beta, \quad \frac{\partial p}{\partial z}=\cos \gamma,
\]

а также
\[
\frac{\partial p^{\prime}}{\partial x^{\prime}}=\cos \alpha^{\prime}, \quad \frac{\partial p^{\prime}}{\partial y^{\prime}}=\cos \beta^{\prime}, \quad \frac{\partial p^{\prime}}{\partial z^{\prime}}=\cos \gamma^{\prime}, \ldots
\]

Вследствие этого приведенные выше уравнения принимают вид
\[
\begin{array}{l}
P \cos \alpha+P^{\prime} \cos \alpha^{\prime}+P^{\prime \prime} \cos \alpha^{\prime \prime}+\ldots=0, \\
P \cos \beta+P^{\prime} \cos \beta^{\prime}+P^{\prime \prime} \cos \beta^{\prime \prime}+\ldots=0, \\
P \cos \gamma+P^{\prime} \cos \gamma^{\prime}+P^{\prime \prime} \cos \gamma^{\prime \prime}+\ldots=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения должны необходимо иметь место в случае равновесия свободной системы. Таковы уравнения, необходимые для того, чтобы воспрепятствовать поступательному движению.
4. Если силы $P, P^{\prime}, P^{\prime \prime}, \ldots$ параллельны, то
\[
\begin{array}{c}
\alpha=\alpha^{\prime}=\alpha^{\prime \prime}=\ldots, \quad \beta=\beta^{\prime}=\beta^{\prime \prime}=\ldots \\
\gamma=\gamma^{\prime}=\gamma^{\prime \prime}=\ldots
\end{array}
\]

и три указанных выше уравнения сводятся к одному следующему:
\[
P+P^{\prime}+P^{\prime \prime}+\ldots=0,
\]

которое показывает, что сумма параллельных сил должна быть равна нулю.

Вообще легко понять, что если $P$ выражает полное действие силы $P$ по ее собственному направлению, то $P \cos \alpha$ выражает ее относительное действие, измеренное по направлению оси $x$, образующей с направлением силы $P$ угол $\alpha$; точно так же $P \cos \beta$ и $P \cos \gamma$ представляют собою относительные действия той же силы, измеренные по направлению осей $y$ и $z$; сказанное относится и к другим силам $P^{\prime}, P^{\prime \prime}, \ldots$

Отсюда вытекает следующая теорема статики: при равновесии свободной системы сумма сил, измеренных по направлению трех взаимно перпендикулярных осей, должна быть равна нулю по отношению $\kappa$ каждой из этих осей.