Пуассон в одном из своих мемуаров изложил весьма общую теорему, на которой он основал новый метод изложения теории вариации произвольных постоянных. Хотя эта теорема сама по себе представлялась чрезвычайно интересной, IIуассон удовольствовался применением еө к специальной цели, которую он себе поставил, не отметив даже того обстоятельства, что ее можно применить и в других случаях. Спустя больше чем тридцать лет после этого, уже в момент смерти Пуассона, внимание математиков снова было привлечено к этому вопросу знаменитым Якоби, который указал на теорему Пуассона как на замечательное достижение, по его мнению, – наиболее важное во всей науке о движении. Впрочем, Якоби не полкрепил какими-либо выводами своего утверждения, относительно которого, быть может, мы найдем более подробные указания в его посмертных трудах. Цель настоящей статьи заключается в том, чтобы изложить теорему Пуассона и указать ту пользу, какая может быть из нее извлечена для интегрирования дифференциальных уравнений механики.
I.
Рассмотрим какую-либо задачу механяки, к которой применимо изложенное в предыдущей статье преобразование Гамильтона. Пусть имеются дифференциальные уравнения этой
задачи
\[
\left.\begin{array}{lll}
\frac{d p_{1}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial q_{1}}, & \frac{d p_{2}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial q_{2}}, \ldots, & \frac{d p_{k}}{d t}=+\frac{\partial H}{\partial q_{k}}, \\
\frac{d q_{1}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, & \frac{d q_{2}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{2}}, \ldots, \quad \frac{d q_{k}}{d t}=-\frac{\partial H}{\partial p_{k}} .
\end{array}\right\}
\]

Если мы допустим, что нам известны два интеграла этой системы уравнений, причем каждый из них содержит произвольную постоянную и разрешен относительно этой постоянной
\[
\begin{aligned}
\alpha & =\varphi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}, t\right), \\
\beta & =\psi\left(q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}, p_{1}, p_{2}, \ldots, p_{k}, t\right),
\end{aligned}
\]

то теорема Пуассона сводится к тому, что выражение
\[
\frac{\partial \alpha}{\partial q_{1}} \frac{\partial \beta}{\partial p_{1}}-\frac{\partial \alpha}{\partial p_{1}} \frac{\partial \beta}{\partial q_{1}}+\frac{\partial \alpha}{\partial q_{2}} \frac{\partial \beta}{\partial p_{2}}-\frac{\partial \alpha}{\partial p_{\mathrm{s}}} \frac{\partial \beta}{\partial q_{2}}+\ldots+\frac{\partial \alpha}{\partial q_{k}} \frac{\partial \beta}{\partial p_{k}}-\frac{\partial \alpha}{\partial p_{k}} \frac{\partial \beta}{\partial q_{k}},
\]

которое он обозначает через ( $\alpha, \beta$ ), сохраняет во время движения постоянное значение, так что если равенство
\[
(\alpha, \beta)=\text { const }
\]

не является тождеством, то оно представляет собою интеграл рассматриваемой системы дифференциальных уравнений.

Для доказательства этого предложения составим производную выражения ( $\alpha, \beta$ ) и удостоверимся, что она равна нулю; мы имеем
\[
\frac{d(\alpha, \beta)}{d t}=\sum\left(\frac{\partial \alpha}{\partial q_{i}} \frac{d}{d t} \cdot \frac{\partial \beta}{\partial p_{i}}+\frac{\partial \beta}{\partial p_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \alpha}{\partial q_{i}}-\frac{\partial \alpha}{\partial p_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \beta}{\partial q_{i}}-\frac{\partial \beta}{\partial q_{i}} \frac{d}{d t} \frac{\partial \alpha}{\partial p_{i}}\right) .
\]

Но так как $\alpha$ и $\beta$ являются интегралами системы (1), то $\frac{d \alpha}{d t}$ и $\frac{d \beta}{d t}$, если принять во внимание эти уравнения, тождественно равны нулю, и тогда мы имеем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial \alpha}{\partial t}+\sum\left(\frac{\partial \alpha}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}-\frac{\partial \alpha}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}\right)=0 \\
\frac{\partial \beta}{\partial t}+\sum\left(\frac{\partial \beta}{\partial p_{i}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}-\frac{\partial \beta}{\partial q_{i}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}\right)=0
\end{array}
\]

если эти два уравнения продифференцировать по $p_{i}$ и $q_{i}$, где $i$ обозначает какой-либо индекс, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial t \partial p_{i^{\prime}}}+\sum\left(\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial p_{i} \partial p_{i^{\prime}}}\right. \frac{\partial H}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \alpha}{\partial p_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial p_{i^{\prime}}}- \\
\left.-\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial q_{i} \partial p_{i^{\prime}}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial \alpha}{\partial q_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{i} \partial p_{i^{\prime}}}\right)=0 \\
\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial t \partial q_{i^{\prime}}}+\sum\left(\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial p_{i} \partial q_{i^{\prime}}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}+\frac{\partial \alpha}{\partial p_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial p_{i^{\prime}}}-\right. \\
\left.-\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial q_{i} \partial q_{i^{\prime}}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}-\frac{\partial \alpha}{\partial q_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{i} \partial q_{i^{\prime}}}\right)=0
\end{array}
\]

и два других уравнения, отличающихся от приведенных лищь заменой буквы $\alpha$ буквой $\beta$.
Сверх того мы имеем
\[
\begin{aligned}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \alpha_{i}}{\partial p_{i^{\prime}}} & =\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial t \partial p_{i^{\prime}}}+\sum \frac{\partial^{2} \alpha}{\partial p_{i} \partial p_{i^{\prime}}} \frac{d p_{i}}{d t}+\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial q_{i} \partial p_{i^{\prime}}} \frac{d q_{i}}{d t}= \\
& =\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial t \partial p_{i^{\prime}}}+\sum \frac{\partial^{2} \alpha}{\partial p_{i} \partial q_{i^{\prime}}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}-\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial q_{i} \partial p_{i^{\prime}}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}} \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial \alpha^{\prime}}{\partial q_{i^{\prime}}} & =\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial t \partial q_{i^{\prime}}}+\sum \frac{\partial^{2} \alpha}{\partial p_{i} \partial q_{i^{\prime}}} \frac{d p_{i}}{d t}+\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial q_{i} \partial q_{i^{\prime}}} \frac{d q_{i}}{d t}= \\
& =\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial t \partial q_{i^{\prime}}}+\sum \frac{\partial^{2} \alpha}{\partial p_{i} \partial q_{i^{\prime}}} \frac{\partial H}{\partial q_{i}}-\frac{\partial^{2} \alpha}{\partial q_{i} \partial q_{i^{\prime}}} \frac{\partial H}{\partial p_{i}}
\end{aligned}
\]

в силу этих соотношений уравнения (6) и (7) могут быть написаны в следующем виде:
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \alpha}{\partial p_{i^{\prime}}}+\sum\left(\frac{\partial \alpha}{\partial p_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial p_{i^{\prime}}}-\frac{\partial \alpha}{\partial q_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{i} \partial p_{i^{\prime}}}\right)=0 \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial \alpha}{\partial q_{i^{\prime}}}+\sum\left(\frac{\partial \alpha}{\partial p_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial q_{i^{\prime}}}-\frac{\partial \alpha}{\partial q_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{i} \partial q_{i^{\prime}}}\right)=0
\end{array}
\]

точно так же мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t} \frac{\partial \beta}{\partial p_{i^{\prime}}}+\sum \frac{\partial \beta}{\partial p_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial p_{i^{\prime}}}-\frac{\partial \beta}{\partial q_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{i} \partial p_{i^{\prime}}}=0 \\
\frac{d}{d t} \frac{\partial \beta}{\partial q_{i^{\prime}}}+\sum \frac{\partial \beta}{\partial p_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial q_{i} \partial q_{i^{\prime}}}-\frac{\partial \beta}{\partial q_{i}} \frac{\partial^{2} H}{\partial p_{i} \partial q_{i^{\prime}}}=0 .
\end{array}
\]

Если из уравнений (8), (9), (10), (11) найти значения
\[
\frac{d}{d t} \frac{\partial \alpha}{\partial p_{i^{\prime}}}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial \alpha}{\partial q_{i^{\prime}}}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial \beta}{\partial p_{i^{\prime}}}, \quad \frac{d}{d t} \frac{\partial \beta}{\partial q_{i^{\prime}}}
\]

для всех значений индекса $i$ и внести их в уравнение (5), правильность которого мы хотели доказать, то мы получим тождество, в чем можно очень просто убедиться, если принять во ннимание, что после указанной подстановки все члены правой части уравнения будут содержать в качестве множителя вторую производную фунцции $\boldsymbol{H}$; если соединить все члены, соответствующие одной и той же производной, то мы увидим, что таких членов имеется четыре и что они попарно друг друга уничтожают. Отсюда мы получим
\[
\frac{d(\alpha, \beta)}{d t}=0
\]

и, следовательно, $(\alpha, \beta)=$ const, что дает нам в точности теорему Пуассона.

Если $(\alpha, \beta)$ – функция переменных $q_{1}, q_{2}, \ldots, q_{k}, p_{1}$, $p_{2}, \ldots, p_{k}$, которую вельзя рассматривать как функцию $\alpha$ и $\beta$, то это уравнение $(\alpha, \beta)=$ const будет третьим интегралом который можно скомбинировать с двумя интегралами $\alpha$ и $\beta$ таким образом, чтобы составить новое постоянное выражение, которое в некоторых случаях может послужить четвертым интегралом, и так далее. К сожалению, случаи, при которых этот продесс не приводит к новым интегралач, чрезвычайно многочисленны, Мы остановимся на некоторых частностях, связанных с этим важным вопросом.
II.
Іусть
\[
\alpha=\varphi_{1}, \quad \beta=\varphi_{2}, \quad \gamma=\varphi_{3}, \ldots, \lambda=\varphi_{2 k}
\]

представляют собою интегралы какой-либо механической задачи, причем $\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{2 k}$ выражают функции неизвестных коорлинат и времени $t$, сохраняющие одно и то же значение в течение всего времени движения. Очевидно, что любая функция величин $\varphi_{1}, \varphi_{3}, \ldots, \varphi_{2_{k}}$ будет обладать тем же свойством, вследствие чего величину
\[
A=F_{1}\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{2 k}\right)=F_{1}(\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \eta, \lambda)
\]

мы можем тоже рассматривать как некоторый интеграл дифференциальных уравнений двнжения.

Если мы рассмотрим второй интеграл
\[
B=F_{2}\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \ldots, \varphi_{2 k}\right)=F_{2}(\alpha, \beta, \gamma, \ldots, \eta, \lambda),
\]

причем $F_{1}$ и $F_{2}$ обозначают две произвольные фунжции, то, пользуясь только правилами дифференцирования, мы легко удостоверимся, что если скомбинировать оба интеграла $A$ и $B$, как это было указано в предыдущем параграфе, мы получим тождественно
\[
\begin{aligned}
(A, B)= & (\alpha, \beta)\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial \alpha} \frac{\partial F_{2}}{\partial \beta}-\frac{\partial F_{1}}{\partial \beta} \frac{\partial F_{3}}{\partial \alpha}\right)+(\alpha, \gamma)\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial \alpha} \frac{\partial F_{2}}{\partial \gamma}-\frac{\partial F_{1}}{\partial \gamma} \frac{\partial F_{3}}{\partial \alpha}\right)+\cdots+ \\
& +(\beta, \gamma)\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial \beta} \frac{\partial F_{2}}{\partial \gamma}-\frac{\partial F_{1}}{\partial \gamma} \frac{\partial F_{3}}{\partial \beta}\right)+\ldots+(\eta, \lambda)\left(\frac{\partial F_{1}}{\partial \eta} \frac{\partial F_{3}}{\partial \lambda}-\frac{\partial F_{1}}{\partial \lambda} \frac{\partial F_{2}}{\partial \eta}\right) .
\end{aligned}
\]

Эта формула дает результат сочетания двух интегралов $A$ и $B$ в функции результатов, полученных путем комбинирования интегралов, от которых зависят величины $A$ и $B$. Эта формула в дальнейшем нам очень пригодится.
III.
Когла нам известны два интеграла, которые мы для краткости обозначим через $\alpha$ и $\beta$ по наименованию входящих в них постоянных, можно двумя различными путями добиться того, чтобы результат их сочетания не дал нового интеграла: В самом деле, это будет в том случае, когда выражение $(\alpha, \beta)$ тождественно постоянно или когда, не будучи тождественно постоянным, оно является такой функцией $\alpha$ и $\beta$, которая может быть получена путем сочетания этих двух интегралов. Важно исследовать оба эти случая и определить, должны ли они часто встречаться. Докажем сначала теорему, которая позволяет связать әти два случая. Если $\alpha=\varphi$, $\beta=\psi$ представляют собою два таких интеграла одной и той юсе задачи, что $(\alpha, \beta)$ лвляется функцией $\alpha$ и $\beta$, то всегда существует некоторая функция $\alpha$ и $\beta$, которая, будуии приравнена постолнной $\gamma$, дает такой интеграл, что $(\alpha, \gamma)$ тождественно равно единице.

Действительно, согласно формуле предыдущего параграфа мы имеем
\[
(\alpha, \gamma)=(\alpha, \beta) \frac{\partial \gamma}{\partial \beta} ;
\]

следовательно, если ( $\alpha, \beta$ ), кан мы допустили, является функцией $\alpha$ и $\beta$, можно всегда определить $\gamma$ с помощью условия
\[
\frac{\partial \gamma}{\partial \beta}=\frac{1}{(\alpha, \beta)}
\]

и сделать так, чтобы величина ( $\alpha, \gamma$ ) была равна единице.

После того как мы доказали, что оба случая, для которых теорема Пуассона дает иллюзорные результаты, тесно связаны друг с другом, мы в дальнейшем ограничимся исследованием интегралов, которые, будучи скомбинированы с заданным интегралом, сообщают выражению Пуассона тождественно постоянное значение.
Докажем следующую теорему.
Каков бы ни был заданный интеграл а, всегда можно дополнить решение задачи, прибавив к нему другие интегралы $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{2} k-1$, которые, будучи скомбинированы $c$, сообщат уравнению Пуассона тождественный вид, так что мы будем иметь
\[
\left(\alpha, \beta_{1}\right)=1,\left(\alpha, \beta_{2}\right)=0,\left(\alpha, \beta_{3}\right)=0, \ldots,\left(\alpha, \beta_{2 k-1}\right)=0 .
\]

Орметим црежде всего, что каков бы ни был интеграл $\alpha$, невозможно, чтобы не существовал по крайней мере еще один интеграл $\beta$ такого рода, чтобы величина $(\alpha, \beta)$ была отлична от нуля.
В самом деле, если бы это было не так, то уравнение
\[
\sum \frac{\partial \alpha}{\partial p_{1}} \frac{\partial \beta}{\partial q_{1}}-\frac{\partial \alpha}{\partial q_{1}} \frac{\partial \beta}{\partial p_{1}}=0
\]

в котором $\beta$ рассматривается как неизвестная величина, допускало бы все решения уравнения
\[
\sum \frac{\partial H}{\partial p_{1}} \frac{\partial \beta}{\partial q_{1}}-\frac{\partial H}{\partial q_{1}} \frac{\partial \beta}{\partial p_{1}}=0,
\]

выражающего, что $\beta$ является интегралом. Но так как оба эти уравнения линейные и содержат одинаковое число независимых переменных, то они не могут иметь одного и того же общего интеграла, не будучи тождественными, а это, очевидно, требует того, чтобы $\alpha$ была функцией $H$, т. е. чтобы заданный интеграл был интегралом живых сил. Но даже в этом случае существует интеграл, который, будучи скомбинирован с $\alpha$, дает в качестве результата единицу; это – тот интеграл, постоянная которого грибавлена ко времени. Таким образом наше утверждение доказано для всех случаев.

Во-вторых, докажем, что заданному интегралу $\alpha$ всегда соотететвует по крайней мере один такой интеграл $\beta$, что
\[
(\alpha, \beta)=1 \text {. }
\]

В самом деле, пусть имеется такой интеграл $\gamma$, что величина $(\alpha, \gamma)$ отлична от нуля. Положим
\[
\begin{array}{l}
(\alpha, \gamma)=\delta, \\
(\alpha, \delta)=\varepsilon, \\
(\alpha, \varepsilon)=\eta,
\end{array}
\]

и остановимся тогда, когда один из интегралов $\delta, \varepsilon, \eta$ будет тождественно постоянен или будет функцией предыдущих интегралов. Невозможно, чтобы один из этих случаев не наступил, так как число различных интегралов необходимо ограничено. Предположим, например, что мы имеем
\[
\eta=F(\alpha, \gamma, \delta, \varepsilon),
\]

где функция $F$ может свестись к простой постоянной величине. Пусть $\bar{\omega}(\alpha, \gamma, \delta, \varepsilon)$ – новый интеграл, который я обозначу через $\zeta$, тогда мы имеем
\[
(\alpha, \zeta)=\delta \frac{\partial \bar{\omega}}{\partial \gamma}+\varepsilon \frac{\partial \bar{\omega}}{\partial \bar{\delta}}+\eta \frac{\partial \bar{\omega}}{\partial \varepsilon} ;
\]

положив $(\alpha, \zeta)=1$, мы получим дифференциальное уравнение, из которого выведем $\bar{\omega}$.

Теперь мы можем дать доказательство теоремы, составляющей предмет настоящего параграфа.

Если дан некоторый интеграл $\alpha$, можно всегда дополнить решение задачи с помощью таких интегралов $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{2 k-1}$, что
\[
\left(\alpha, \beta_{1}\right)=1,\left(\alpha, \beta_{2}\right)=0, \ldots,\left(\alpha, \beta_{2 k-1}\right)=0 .
\]

Выше было доказано еуществование такого интеграла $\beta_{1}$, что $\left(\alpha, \beta_{1}\right)=1$. Следовательно, остается доказать, что существует $2 k-2$ интегралов, отличных от $\alpha$ и $\beta$, которые, будучи скомбинированы с $\alpha$, сообщают уравнению Іуассона вид $0=0$. Действительно, назовем $\mu$ число интегралов, удовлетворяющих этому условию, п обозначим их через $\beta_{2}, \beta_{3}, \ldots, \beta_{\mu+1}$. Еели $\mu+1$ меньше $2 k-2$, то существуют интегралы, не зависимые от уномянутых, как от $\alpha$, так и от $\beta_{1}$. Пусть $\beta_{\mu+2}$ один из этих интегралов; положим
\[
\left(\alpha, \beta_{\mu+2}\right)=\beta_{\mu+3},
\]

где $\beta_{\mu+3}$ согласно допущению будет отлично от нуля. Оно будет также отлично от единицы, так кақ в противном случае мы имели бы
\[
\left(\alpha, \beta_{\mu+2}-\beta_{1}\right)=0,
\]

и тогда $\beta_{\mu+2}-\beta_{1}$ согласно нашему допущению было бы функцией $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{\mu+1}$, так что $\beta_{\mu+2}$ не было бы новым интегралом.
Положим
\[
\begin{array}{l}
\left(\alpha, \beta_{\mu+3}\right)=\beta_{\mu+4}, \\
\left(\alpha, \beta_{\mu+4}\right)=\beta_{\mu+5},
\end{array}
\]

и так далее, пока мы не дойдем до интеграла, который тождественно цостоянен или является функцией предыдущих интегралов. Пусть этот интеграл
\[
\beta_{\mu+i}=F\left(\beta_{\mu+i-1}, \beta_{\mu+i-2}, \quad \beta_{\mu+i-3}, \ldots, \beta_{1}, \alpha\right)
\]

и положим
\[
\gamma=\bar{\omega}\left(\beta_{\mu+i-1}, \quad \beta_{\mu+i-2}, \quad \beta_{\mu+i-3}, \ldots, \beta, \alpha\right),
\]

тогда мы будем иметь
\[
(\alpha, \gamma)=\frac{\partial \widetilde{\omega}}{\partial \beta_{\mu+i-1}} F+\frac{\partial \bar{\omega}}{\partial \beta_{\mu+i-2}} \beta_{\mu+i-1}+\ldots+\frac{\partial \widetilde{\omega}}{\partial \bar{\beta}_{1}} ;
\]

приравняв $(\alpha, \gamma$ ) нулю, мы, очевидно, получим уравнение относительно $\vec{\omega}$, интеграл которого даст решения для функций $\beta_{1}, \beta_{\mu+2}, \beta_{\mu+3}, \ldots, \beta_{\mu+i-1}$ и притом отличные от $\beta_{2}, \beta_{3} \ldots$, $\beta_{\mu+1}$; ибо если бы әтого не было, то в противоположность сделанному допущению существовало бы соотношение между интегралами, полученными до $\beta_{\mu+1}$. Следовательно, мы сделали невозможное допущение, ограничивши числом $\mu$ количество интегралов, которые, будучи скомбинированыс $\alpha$, дают результат, тождественно равный нулю, и стало быть число $\mu$ не может быть отлично от $2 k-2$.
Таким образом упомянутая выше теорема доказана.
V.
Согласно изложенному выше, если дан некоторый интеграл $\alpha$, то можно дополнить решение задачи с помощью интегралов $\beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{2 k-1}$, которые, булучи скомбинированы с $\alpha$, все сообщают формуле Пуассона тождественный вид. Не следует, однако, думать, что в силу этого все интегралы задачи заключаются в одном и том же случае.

В самом деле, рассмотрим наиболее общий интеграл
\[
\bar{\omega}\left(\alpha, \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{2 k-1}\right)=\eta ;
\]

тогда согласно формуле параграфа II мы имеем
\[
(\alpha, \eta)=\left(\alpha, \beta_{1}\right) \frac{\partial \eta}{\partial \beta_{1}}=\frac{\partial \eta}{\partial \beta_{1}},
\]

и, следовательно, выражение ( $\alpha, \eta$ ) будет тождественно постоянным только в том случае, если $\frac{\partial \eta}{\partial \beta_{1}}$ само по себе является постоянной величиной; но мы видим, что все интегралы, число которых бесконечно и которые полу́чаются путем комбинирования $\alpha, \beta_{2}, \ldots, \beta_{2 k-1}$, дают результат, тождественно равный нулю, если их сочетать с $\alpha$. Только те интегралы, которые содержат в себе $\beta_{1}$, могут привести к нетождественным результатам. Согласно этому два интеграла $\alpha$ и $\beta_{1}$ связаны между собою совершенно особым образом, вследствие чего я предложил бы их назвать сопряженными интегралами. Свойства этих сопряженных интегралов могли бы послужить темой для интересного исследования, которому адесь, однако, не может быть уделено место. По вопросу о применениях, какие могла бы получить теорема Пуассона для интегрирования дифференциальных уравнений механики я отошлю читателя к мемуару, опубликованному в XVII томе журнала Јиувилля, стр. 393.
VIII.
Г. ДАРБУ.

О БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ КОЛЕБАНИЯХ СИСТЕМЫ ТЕЛ.
В начале шестого отдела (стр. 438) Лагранж подвергает углубленному исследованию малые колебания, выполняемые различными телами системы, когда их лишь немного выводят из положения равновесия. Только применение замечательных результатов, которыми аналитическая механика обязана Лагранжу, позволяет ус пешно разрешить этот вопрос, один из наиболее ваяных и общих, какие только встречаются в теории движения. Но некоторые из выводов, приведенных Лагранжем, недостаточно обоснованы. Решение этой проблемы зависит от разрешения алгебраического уравнения, метод составления которого был указан Лагранжем; это уравнение никогда не имеет мнимых корней, но, в противоположность утверждевию знаменитого матөматика, может иметь равные корни. Сейчас мы покажем это, пользуясь методом приведения квадратичных форм, принадлежащим Кронекөру (Kronecker).
Рассмотрим две однородные квадратичные формы
\[
\left.\begin{array}{c}
f=a_{11} x_{1}^{2}+2 a_{12} x_{1} x_{2}+\ldots=\sum \sum a_{i k} x_{i} x_{k}, \\
\varphi=b_{11} x_{1}^{2}+2 b_{12} x_{1} x_{2}+\ldots=\sum \sum b_{i k} x_{i} x_{k},
\end{array}\right\}
\]

зависящих от $n$ неременных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Формула
\[
\lambda f-\varphi=\sum \sum\left(\lambda a_{i k}-b_{i k}\right) x_{i} x_{k},
\]

в которой $\lambda$ обозначает постоянную,способную принимать всевозможные значения, определяет то,что мы вместе с Кронекером назовем пучком квадратичных форм. Алгебраическое уравнение
\[
\left|\begin{array}{cc}
\lambda a_{11}-b_{11} & \lambda a_{12}-b_{12} \ldots \lambda a_{1 n}-b_{1 n} \\
\lambda a_{21}-b_{21} & \lambda a_{22}-b_{22} \ldots \lambda a_{2 n}-b_{2 n} \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\lambda a_{n 1}-b_{n_{1}} & \lambda a_{n 2}-b_{n_{2}} \cdots \lambda a_{n n}-b_{n n}
\end{array}\right|=0,
\]

как известно, определяет значения $\lambda$, для которых квадратичная форма $\lambda f-\varphi$ сводится к сумме, составленной по меньщей мере из $n$ квадратов; это уравнение никогда тождественно не удовлетворяется, если, какая-либо форма, например $f$, имеет детерминант, отличный от нуля.

На основе изложенного мы начнем с обоснования следующей леммы.

Будем, как обычно, называть определенной формой всякую квадратичную функцию $n$ переменных, которую можно свести к сумме $n$ квадратов, имөющих один и тот же знак, и которая, следовательно, может стать равной нулю только в том случае, когда мы присвоим нулевые значения всем переменным, от которых она зависит. Мы докажем, что если уравнение (2) имеет один мнимый корень, то квадратичная форма $f$ или всякая иная форма пучка не может быть определенной бормой.

В самом деле пусть $\lambda_{0}=\alpha+\beta i$ является этим мнимым корнем уравнения (2); квадратичная форма
\[
(\alpha+\beta i) f-\varphi
\]

будет представлять собою сумму, составленную по крайней мере из $n$ квадратов. Следовательно, можно написать
\[
(\alpha+\beta i) f-\varphi=\left(y_{1}+i z_{i}\right)^{2}+\left(y^{2}+i z_{2}\right)^{2}+\ldots+\left(y_{n-p}+i z_{n-p}\right)^{2},
\]

где $y_{i}, z_{k}$ обозначают линейные вещественные фувкции переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$. Если приравнять вещественные и мнимые части, стоящие в обеих частях равенства, то мы получим
\[
\begin{array}{c}
\beta f=2 y_{1} z_{1}+2 y_{2} z_{2}+\ldots+2 y_{n-p^{2}} z_{n-p}, \\
\alpha f-\varphi=y_{1}^{2}-z_{1}^{2}+y_{2}^{2}-z_{2}^{2}+\ldots+y_{n-p}^{2}-z_{n-p^{2}},
\end{array}
\]

и стало быть
\[
\lambda f-\varphi=(\lambda-\alpha) f+\alpha f-\varphi=\sum\left(y_{i}^{2}-z_{i}^{2}+2 \frac{\lambda-\alpha}{\beta} y_{i} z_{i}\right) .
\]

Этому уравнению можно, очевидно, придать следующий вид:
\[
\lambda f-\varphi=\sum\left(y_{i}-m_{i} z_{i}\right)\left(y_{i}+\frac{1}{m_{i}} z_{i}\right),
\]

где все постоянные величины $m_{i}$ являются вещественными. Следовательно, функция $\lambda f-\varphi$ обратится в нуль, если для всех значений $i$ мы положим
\[
y_{i}-m_{i} z_{i}=0 .
\]

Число полученных таким образом уравнений меньше $n$; әти уравнения линейны по отношению к переменным $x_{1}, \ldots$, $x_{n}$, сверх того все их коәффициенты вещественны. Следовательно, они могұт быть удовлетворены вещественными значениями $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$, которые не все равны нулю. Таким образом форма $\lambda f-\varphi$, обращающаяся в нуль при вещественных значениях независимых переменных, которые не всө равны нулю, не может быть определенной формой, каково бы ни было вообще значение, приписываемое $\lambda$.

Если бы мы захотели обосновать этот вывод только для формы $f$, можно – было бы приведенное выше рассуждение повторить, подставив в систему (4) уравнения $y_{i}=0$.

Из указанного выше предложения непосредственно следует, что если пучок квадратичных форм содержит одну определенную форму, то все корни уравнения относительно $\lambda$, соответствуюшего этому пучку, обяательно вещественны.

В частности, это имеет место в том случае, когда, как мы это примем в дальнейшем, $f$ язляется определенной формой.

Пусть теперь $k$-корень, необходимо вещественный, уравнения (2). Квадратичная функция $k f-\varphi$ может быть приведена к следующему виду:
\[
k f-\varphi=a_{1}, x_{1}^{\prime 2}+a_{2} x_{2}^{\prime \prime}+{ }_{i} \ldots+a_{p} x_{p}^{\prime 2},
\]

где $x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime}$ обозначают функции, линейно независимые от $x_{1}, \ldots, x_{n}$, а число $p$ не превншает $n-1$.

В качестве новых независимых переменных можно принять $x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime}$ и их подставить вместо равного числа гервоначальных переменных. Так, например, если из формул, выражающих $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime}$, можновывести значения $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p}$, то мы изберем в качестве новых независимых переменных
\[
x_{1}^{\prime}, \quad x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime}, x_{p+1}, \ldots, x_{n} .
\]

Тогда мы получим
\[
\begin{array}{l}
f=F\left(x_{1}^{\prime}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime}\right)+B\left\{\begin{array}{c}
x^{\prime}{ }_{1}, x_{2}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime} \\
x_{p+1}, \ldots, x_{n}
\end{array}\right\}+ \\
+\Phi\left(x_{p+1}, \ldots, x_{n}\right) \text {, } \\
\end{array}
\]

где $F$ обозначает часть, содержащую только переменные $x_{i}^{\prime}$, $B$ – часть содержащую произведения переменных $x_{i}^{\prime}$ на переменные $x_{k}$, и $\Phi$ – часть, содержащую только переменные $x_{k}$. Для дальнейшего преобразования $f$ мы воспользуемся следующим замечанием.

Пустъ дана опрелеленная форма $n$ переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots$ $\ldots, x_{n}$; если положить равными нулю некоторое количество цеременных, например $x_{p+1}, \ldots, x_{n}$, то остается определенная форма переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{p}$.

В самом деле, если бы эта форма не была определенной, то она обращалась бы в нуль для значений переменных $x_{1}, \ldots x_{p}$, которые не все были бы нулями; тогда одна из этих систем значений, взятая в сочетании с нулевыми значениями последующих переменных $x_{p+1}, \ldots, x_{n}$, превратила бы в нуль первоначальную форму, которая, в противоположность допущению, не оказалась бы определенной.

Из приведенного замечания следует, что в выражении (6) для $f$ части $F$ и $\Phi$ являются определенными формами по отношению к переменным, от которых они зависят. Стало быть, $\Phi$ можно свести к сумме квадратов
\[
x_{p+1}^{\prime 2}+x_{p+2}^{\prime 2}+\ldots+x_{n}^{\prime 2},
\]

имеющих одинаковые знаки, например положительные, если форма $f$ положительна, причем $x_{p+1}^{\prime}, \ldots, x_{n}^{\prime}$ обозначают функции, независимые от $x_{p+1}, \ldots, x_{n}$, которые мы подставляем вместо этих последних переменных.

Затем часть $B$ примет следующий вид:
\[
2 x_{p+1}^{\prime} P_{p+1}+2 x_{p+2}^{\prime} P_{p+\mathbf{2}}+\ldots+2 x_{n}^{\prime} P,
\]

где $P, \ldots, P_{n}$ являются линейными функциями $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime}$, и $f$ может быть написана слөдующим образом:
\[
f=\left(x_{p+1}^{\prime}+P_{p+1}\right)^{2}+\ldots+\left(x_{n}^{\prime}+P_{n}\right)^{2}+f_{1}\left(x_{1}^{\prime}, x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime}\right) .
\]

Наконец, если мы введем новые переменные
\[
x_{p+1}^{\prime \prime}=x_{p+1}^{\prime}+P_{p+1}, \ldots, x_{n}^{\prime \prime}=x_{n}^{\prime}+P,
\]

то мы получим следующее окончательное выражение для $f$ :
\[
f=x_{p+1}^{\prime \prime 2}+\ldots+x_{n}^{\prime \prime 2}+f_{1}\left(x_{1}^{\prime}, x_{\mathbf{2}}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime}\right) ;
\]

согласно сделанному выше замечанию $f_{1}$ mоже будет определенной формой переменных, от которых она вависит.

Уравнение (5) дает нам возможность определить $\varphi$ и мы получаем
\[
\varphi=k\left(x_{p+1}^{\prime \prime 2}+\ldots+x_{n}^{\prime \prime 2}\right)+\varphi_{1}\left(x_{1}^{\prime}, x_{8}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime}\right),
\]

где для краткости с помощью $\varphi_{1}$ обозначена квадратичная функция
\[
k f_{1}\left(x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime}\right)-a_{1} x_{1}^{\prime 2}-\ldots-a_{p} x_{p}^{\prime 2},
\]

зависящая исключительно от переменных $x_{1}^{\prime}, \ldots, x_{p}^{\prime}$.
Все доцущения, сделанные в начале этой статьи, можно теперь применить к двум формам $f_{1}$ и $\varphi_{1}$, анологичным $f$ и $\varphi$, но зависящим от меньшего количества переменных. Следовательно, к этим двум формам можно снова применить тот метод, которым мы воспользовались выше, и совершенно так же продолжать до тех пор, пока мы не исчерпаем всех переменных. Окончательный результат, очевидно, сведется к следующему.

Две квадратичных формы $f и$ ф можно всегда представить в следуюиен виде:
\[
f=\sum_{i=1}^{i=n} y_{i}^{2}, \quad \varphi=\sum_{i=1}^{i=n} a_{i} y_{i}^{2},
\]

где величины $y_{i}$ лвляются функциями линейными, вечественными и независимыми от первоначальных переменных, а постолнные величины $a_{i}$ являются корнями уравнения (2), необходимо вещественныии, но при әтом равными или неравными.

Приведенное предложение играет основную роль в большом количестве применений. Рассмотрим, в частности, проблему бесконечно малых колебаний; метод, которым пользовался Лагранж, сводился к тому, что все переменные, от которых зависит положение системы, выражаются в функции новых переменных
\[
\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n},
\]

которые независимы и в положении равновесия все равны нулю. Согласно’этому, если предположить, что все тела находятся очень близко от своего положения равновесия и что сообщенные этим телам скорости тоже бесконечно малы, то все упомянутые выше переменные будут очень малыми величинами и такими же будут их производные
\[
\xi_{1}^{\prime}=\frac{d \xi_{1}}{d t}, \ldots, \xi_{n}^{\prime}=\frac{d \xi_{n}}{d t} .
\]

Вычислим ноловину живой силы $T$ и функцию сил $\boldsymbol{V}$, orpaиичившись членами меньшего измерения. Мы получим
\[
T=f\left(\xi_{1}^{\prime}, \xi_{2}^{\prime}, \ldots, \xi_{n}^{\prime}\right),
\]

где $f$ обозначает квадратичную форму производных $\xi_{1}^{\prime}, \ldots, \xi_{n}^{\prime}$, которая в силу своей природы будет определенной формой.

Что касается функции сил, то если через $V_{0}$ обозначить ее значение в положении равновесия, то мы будем иметь
\[
\boldsymbol{V}=V_{0}+\varphi\left(\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots, \xi_{n}\right),
\]

где $ф$ обозначает квадратичную форму переменных $\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}$.
Применим метод Кронекера к двум функциям
\[
f\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right), \varphi\left(\xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right) ;
\]

с помощью той же линейной цодстановки с постоянными коэффициентами мы сможем свести их к простым формам
\[
f=\sum_{i=1}^{i=n} y_{i}^{2}, \quad \varphi=\sum_{i=1}^{i=n} a_{i} y_{i}^{2} .
\]

Величины $a_{i}$ будут корнями уравнения относительно $\lambda$ по отношөнию к пучку $\lambda f-\varphi$; они все будут положительными если в состоянии равновесия функция сил будет минимумом.
Если по отношению к перөменным $\xi_{i}, \xi_{i}{ }^{\prime}$ применить линейную подстановку, то они преобразуются подобным же образом; тогда мы нөобходимо получим
\[
T=\sum_{i=1}^{i=n} y_{i}^{\prime 2}
\]

и, следовательно, уравнения Лагранжа (стр. 443) примут следуюший вид:
\[
\frac{d^{2} y_{i}}{d t^{2}}+a_{i} y_{i}=0 \quad(i=1,2, \ldots, n) .
\]
fак мы показали выше, величины $a_{i}$, которые всегда вещественны, моаут быть, однако, и равныни между собою. Тем не менее основной вывод, указанный Лагранжем, остается в силе: өсли в состоянии равновесия функция сил является минимумом, то постоянные величины $a_{i}$ все положительны, и интегралы указанных выше дифференциальных уравнений никогда нө содержат времени вне знаков синуса или косинуса.