На странице 354 Лагранж пришел к заключению, что уравнение
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) D m \cdot \mathbf{S}\left(x^{3}+z^{2}\right) D m \cdot \mathbf{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) D m= \\
=\mathbf{S}\left(x^{2}+y^{2}\right) D m \cdot(\mathbf{S} x y D m)^{2}+ \\
+\mathbf{S}\left(x^{2}+z^{2}\right) D m \cdot(\mathbf{S} x z D m)^{2}+ \\
+\mathbf{S}\left(y^{2}+z^{2}\right) D m \cdot(\mathbf{S} y z D m)^{2}+ \\
+2 \mathbf{S} x y D m \cdot \mathbf{S} x z D m+\mathbf{S} y z D m \\
\end{array}
\]
следует признать невозможным, но он не остановился на доказательстве әтой невозможности, так как беглый просмотр әтого уравпения привел Лагранжа к выводу, что эту невозможность трудно обосновать. Целью настоящей статьи являетея восполнение этого пробела, который, впрочем, послужил уже предметом исследования Бинә (Binet) Положим
\[
\begin{array}{l}
a=\mathbf{S} x^{2} D m, \quad b=\mathbf{S} y^{2} D m, \quad c=\mathbf{S} z^{2} D m, \\
d=\mathbf{S} x y D m, \quad e=\mathbf{S} x z D m, \quad f=\mathbf{S} y z D m ;
\end{array}
\]
следует доказать, что равенство
\[
(a+b)(a+c)(b+c)=d^{2}(a+b)+e^{2}(a+c)+f^{2}(b+c)+2 d e f
\]
ни в коем случае не может иметь места. С этой целью мы докажем. что если все члены перенести в левую часть уравнения, то результат будет существенно положительным.
После переноса членов мы получим на левой стороне
\[
\begin{aligned}
2 a b c+b^{2} c+a c^{2}+b c^{2}+c a^{2}+b a^{2} & +a b^{2}-(b+c) f^{2}- \\
& -(a+c) e^{2}-(a+b) d^{2}-2 d e f,
\end{aligned}
\]
что может быть написано и следующим образом:
\[
\begin{aligned}
2(a b c-d e f)+\left(a b-d^{2}\right) & (a+b)+ \\
& +\left(a c-e^{2}\right)(a+c)+(b c-f)(b+c) .
\end{aligned}
\]
Но мы имеем
\[
\begin{array}{l}
a b-d^{2}=\mathbf{S} x^{2} D m \cdot \mathbf{S} y^{2} D m-(\mathbf{S} x y D m)^{2}, \\
a c-e^{2}=\mathbf{S} x^{2} D m \cdot \mathbf{S} z^{2} D m-(\mathbf{S} x z D m)^{2}, \\
b c-f^{2}=\mathbf{S} y^{2} D m \cdot \mathbf{S} z^{2} D m-(\mathbf{S} y z D m)^{2},
\end{array}
\]
іриччм очень легко увидеть, что все эти три разности положительны; далее из неравенств
\[
\left.\begin{array}{l}
a b>d^{2}, \\
a c>e^{2}, \\
b c>f^{2}
\end{array}\right\}
\]
получается
\[
a^{2} b^{2} c^{2}>d^{2} e^{3}{ }^{2},
\]
и, следовательно,
\[
a b c>d e f ;
\]
теперь мы видим, что все члены выражения (3) существенно. иоложительны и, следовательно, что указавное выражение никогда не может стать равным нулю.
Неравенства (4) мы приняли как очевидные. В самом деле, если допустить; что число точек системы имеет какое-либо конечное значение $n$, то первое из указанных неравенств, отличающееся от двух других лишь заменой букв, примет следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
\left(m_{1} x_{1}^{2}+m_{2} x_{2}^{2}+\ldots+m_{n} x_{n}^{2}\right)\left(m_{1} y_{1}^{2}+m_{2} y_{2}^{2}+\ldots+m_{n} y_{n}^{2}\right)> \\
>\left(m_{1} x_{1} y_{1}+\ldots+m_{n} x_{n} y_{n}\right)^{2}
\end{array}
\]
но оно может быть представлено и в таком виде
\[
\sum \sum m_{i} m_{i}\left(x_{i} y_{i},-x_{i}, y_{i}\right)^{2}>0 ;
\]
в этом виде оно становится совершенно очевидным. Единственный случай исключения мы будем иметь, когда все әлементы суммы будут равны нулю. Но это условие может быть выполнено одновременно для всех трех неравенств (4) только в том случае, когда все точки системы лежат на одной и той же прямой ливии, проходящей через вачало координат.
