1. Общий закон равновесия машин заключается в том, что силы относятся друг $к$ другу обратно отношению скоростей точек, к которым они приложены, причем скорости должны измеряться по направлению этих сил.

В этом законе заключается плложение, которое обычно называют принципом ви ртуальных скоростей. Как мы показали в предыдущем отделе, этот принцип уже давно известен в качестве основного принципа равновесия, в силу чего его можно рассматривать как своего рода аксиому механики.

Для того чтобы выразить этот принцип в виде формулы, допустим, что силы $P, Q, R, \ldots$, действующие по определенным направлениям, взаимно друг друга уравновешивают. Представим себе, что из точек, к которым приложены силы, отложены отрезки [8], равные $p, q, r, \ldots$ и расположенные по направлению этих сил; обозначим вообще через $d p, d q, d r, \ldots$ вариации, или дифференциалы, этих отрезков, поскольку они могут получиться в результате какого-либо бесконечно малого изменения положеңия различных тел или точек системы.

Ясно, что эти дифференциалы выразят величины путей, которые будут пройдены в одно и то же мгновение силами $P, Q, R, \ldots$ по своим собственным направлениям, если допустить, что эти силы стремятся удлинить соответственно отрезки $p, q, r, \ldots$ Таким образом дифференциалы $d p, d q, d r, \ldots$ будут пропорциональны виртуальным скоростям сил $P, Q, R, \ldots$. и, следовательно, могут быть для простоты подставлены вместо этих скоростей.

Установив это, рассмотрим сначала только две силы $P$ и $Q$, находящиеся в равновесии. Согласно закону равновесия двух сил величины $P$ и $Q$ должны быть обратно пропорциональны дифференциалам $d p, d q$; но легко понять, что равновесия между двумя силами не будет, если только они не будут расположены таким образом, что, когда одна из них движется по собственному своему направлению, другая сила вынуждена двигаться в сторону, противоположную своему собственному направлению; отсюда следует, что дифференциалы $d p$ и $d q$ должны иметь противоположные знаки; поэтому, если допустить, что обе силы $P$ и $Q$ положительны, то для равновесия получается
\[
\frac{P}{Q}=-\frac{d q}{d p} \text { или } P d p+Q d q=0 ;
\]

такова общая формула равновесия двух сил.
Рассмотрим теперь равновесие трех сил $P, Q, R$, виртуальные скорости которых представлены дифференциалами $d p, d q, d r$. Положим $Q=Q^{\prime}+Q^{\prime \prime}$ и примем, а это допустимо, что часть $Q^{\prime}$ силы $Q$ такова *), что
\[
P d p+Q^{\prime} d q=0
\]
*) Это рассуждение является вполне точным только в том случае, когда рассматривают определенное перемещение системы. Если же подобное ограничение не сделано, то $\frac{d p}{d q}$ может принять любые возможные значения, и уравнение $P d p+Q^{\prime} d q=0$ не может быть удовлетворено никаким определенным значением $Q^{\prime}$. Следовательно, для того чтобы дополиить доказа4 ж. Лагранж, т. I

таким образом сила $P$ будет находиться в равновесии с силой $Q^{\prime}$, и для полного равновесия необходимо, чтобы другая часть $Q^{n}$ той же силы $Q$ находилась в равновесии с третьей силой $R$, что дает нам уравнение
\[
Q^{\prime \prime} d q+R d r=0
\]

если это уравнение связать с предыдушим, то в силу равенства $Q^{\prime}+Q^{n}=Q$ получается следующее уравнение:
\[
P d p+Q d q+R d r=0 .
\]

Если имеется еще четвертая сила $S$, виртуальная скорость которой представлена дифференциалом $d s$, то можно положить
\[
Q=Q^{\prime}+Q^{\prime \prime} \quad \text { и } P d p+Q^{\prime} d q=0,
\]

а также
\[
R=R^{\prime}+R^{\prime \prime} \text { и } Q^{\prime \prime} d p+R^{\prime} d r=0 .
\]

Таким образом часть $Q^{\prime}$ силы $Q$ будет находиться в равновесии с силой $P$; часть $R^{\prime}$ силы $R$ будет в равновесии с другой частью $Q^{\prime \prime}$ силы $Q$, и для того, чтобы имело место полное равновесие между силами $P, Q, R, S$, оставшаяся часть $R^{\prime \prime}$ силы $R$ должна находиться в равновесии с последней силой $S$; таким образом должно быть
\[
R^{\prime \prime} d r+S d s=0 .
\]

Если все эти три уравнения соединить в одно, то получается
\[
P d p+Q d q+R d r+S d s=0 .
\]

тельство Лагранжа, его следует применять последовательно ко всем возможным положениям системы, вгодя каждый раз новые связи, которые помешали бы осуществлению других пер емещений. Впрочем, это обстоятельство отметил и сам Лагранж (Отд. II, пункт 13). (Прим. Бертрана.)

И так далее, как бы ни было велико число сил, находящихся в равновесии.
2. Итак, вообще для равновесия любого числа сил $P, Q, R, \ldots$, направленных по линиям $p, q, \boldsymbol{r}, \ldots$ и шриложенных к любой системе тел или точек, расположенных любым образом, мы имеем уравнение следующего вида:
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots=0 .
\]

Это – общая формула статики для равновесия любой системы сил.

Мы назовем каждый член этой формулы, например $P d p$, моментом силы $P$ и примем слово момент в том смысле, какой ему придал Галилей, т. е. как произведение силы на ее виртуальную скорость; тогда приведенная выше общая формула статики гласит: сумма моментов всєх сил равна нулю.

При применении этой формулы вся трудность сводится к тому, чтобы определить значения дифференциалов $d p, \dot{d} q, d r, \ldots$ в соотеетствии с природой заданной системы.

Рассмотрим теперь систему в двух различных, но бесконечно близких, положениях и станем искать наиболее общие выражения для интересующих нас дифференциалов, введя в них столько неопределенных величин, сколько имеется произвольных элементов при изменении положения системы. Полученные таким образом выражения мы подставим в заданное уравнение; это уравнение должно иметь силу независимо от всех неопределенных величин, для того чтобы равновесие системы вообще существовало и, кроме того, – во всех направлениях. Приравняем тогда нулю отдельно сумму членов, в которые входят одни и те же неопределенные величины, и таким путем получим столько отдельных уравнений, сколько имеется этих неопределенных величин; однако нетрудно убедиться, что их число всегда будет равно числу неизвестных в положении системы. Таким образом с помощью этого метода мы получим столько уравнений, сколько их требуется для одределения состояния равновесия системы.

Этим именно методом и пользовались все авторы, применявшие до сих пор принцип виртуальных скоростей для разрешения проблем статики; однако этот метод применения указанного принципа зачастую требует геометрических построений и рассуждений, благодаря которым решения становятся столь же длинными, как если бы их искали с помощью обыкновенных принципов статики; в әтом, быть может, и заключается причина, препятствовавшая применению этого принципа во всех тех случаях, когда его еледовало бы, казалось, применить благодаря его простоте и общности.
3. Задачей настоящей работы является сведение механики к чисто аналитическим операциям, и формула, которую мы выше нашли, чрезвычайно приспособлена для выполнения әтой задачи. Все дело сводится только к тому, чтобы выразить аналитически и в наиболее общем виде значения отрезков $p, q, r, \ldots$, взятых по направлению сил $P, Q, R, \ldots$, ч тогда путем простого дифференцирования получаются значения виртуальных скоростей $d p, d q, d r, \ldots$

Следует при этом только отметить, что в дифференциальном исчислении во всех тех случаях, когда несколько величин изменяются одновременно, допускают, что все они в течение одного и того же времени увеличиваются на величину своего дифференциала, и если согласно природе вопроса некоторые из них должны убывать в то время, как другие возрастают, то дифференциалам убывающих величин приписывают знак минус.

Дифференциалы $d p, d q, d r, \ldots$, представляющие виртуальные скорости сил $P, Q, R, \ldots$, следует, таким образом, считать положительными или отрицательными, в зависимости от того, стремятся ли силы увеличить или уменьшить отрезки $p, q, r, \ldots$, определяющие их направления. Но так как общая формула равновесия не изменяется при изменении знаков всех ее членов, можно с одинаковым основанием прииять в качестве положительных дифференциалы тех отрезков, которые увеличиваются или же уменьшаются одновременно, и в качестве отрицательных дифференциалы тех отрезков, которые изменяются в противоположном смысле. Таким образом, если считать силы положительными величинами, то их моменты $P d p, Q d q, \ldots$. будут положительными или отрицательными в зависимости от того, будут ли виртуальные скорости $d p, d q, \ldots$ положительными или отрицательными; а если мы пожелаем заставить силы действовать в противоположном направлении, то нам придется только приписать знак минус тем величинам, которые представляют эти силы, или же изменить знак их «моментов».

Отсюда вытекает основное свойство равновесия, заключающееся в том, что любая система сил, находящихся в равновесии, продолжает оставаться в этом состоянии, когда каждая из этих сил изменяет направление своего действия на противоположное,если только структура этой системы не претерпевает какого-либо изменения вследствие изменения направления всех сил.
4. Каковы бы ни были силы, действующие на заданную систему тел или точек, всегда можно считать, что они как бы стремятся к некоторым точкам, расположенным на линиях, по которым они направлены.

Назовем эти точки центрами сил; можно принять за отрезки $p, q, r, \ldots$ соответствующие расстояния этих центров от тех точек системы, в которых приложены силы $P, Q, R, \ldots$ В этом случае ясно, что данные силы стремятся уменьшить отрезки $p, q, r, \ldots$; следовательно, их дифференциалам следует сообщить знак минус но если изменить все знаки, то общая формула сохранит свой вид
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots=0 .
\]

Но центры сил могут находиться как вне системы, так и внутри самой системы, составляя часть ее; по әтому признаку различают силы внешние и внутренние.

В первом случае ясно, что дифференциалы $d p, d q, d r, \ldots$ выражают полные вариации отрезков $p, q, r, \ldots$, связанные с изменением положения системы; они являются, следовательно, полными дифференциалами величин $p, q, r, \ldots$, если рассматривать в качестве переменных все величины, относящиеся к положению системы, и в качестве постоянных – величины, относящиеся к положению различных центров сил.

Во втором случае некоторые из тел системы сами будут центрами сил, действующих на другие тела системы, а в силу равенства действия и противодействия эти последние в свою очередь будут одновременно центрами сил, действующих на первые.

Рассмотрим два тета*), действующих друг на друга с некоторой силой $P$, причем эта сила может происходить вследствие притяжения или отталкивания этих тел, либо вследствие наличия пружины, находящейся между ними, либо, наконец, может происходить от какой-нибудь другой причины. Пусть $p$ – расстояние между этими двумя телами, $d p^{\prime}$ – вариация этого расстояния, поскольк она зависит от изменения положения одного из тел; ясно, что по отношению к этому телу $P d p^{\prime}$ будет моментом силы $P$. Точно так же, если через $d p^{\prime \prime}$ обозначить вариацию того же расстояния $p$, происходящую вследствие изменения положения другого тела, то по отношению к этому второму телу мы будем иметь момент $P d p^{\prime \prime}$ той же силы $P$. Следовательно, весь момент, обязанный своим существованием этой силе, может быть выражен через $P\left(d p^{\prime}+d p^{\prime \prime}\right)$. Но ясно, что $d p^{\prime}+d p^{\prime \prime}$ представляет собой полный дифференциал $p$, который
*) Слово ктело обозначает здесь, как и раньше, материальную точку. (Прим. Берпрана.)

мы обозначаем через $d p$, так как расстояние $p$ может изменяться только вследствие смещения обоих этих тел; таким образом рассматриваемый момент выразится просто через $P d p$. Этот вывод можно распространити на любое количество тел $\left[{ }^{9}\right]$.
5. Отсюда следует, что для получения суммы момелтов всех сил заданной системы, будь то силы внешние или внутренние, следует рассмотреть в отдельности каждую из сил, действующих на различные тела или точки системы, и взять сумму произведений әтих различных сил, помноженных каждая на дифференциал соответствующего расстояния между обеими точками каждой силы, а именно, между точкой, на которую эта сила действует, и точкой, к которой она стремится. В этих дифференциалах следует рассматривать в качестве переменных все величины, зависящие от положения системы, и в качестве постоянных – величины, относящиеся к внешним точкам или центрам, т. е. эти последние точки следует рассматривать как постоянные, когда положение системы подвергается изменению.

Указанная сумма, будучи приравнена нулю, даст общую формулу статики.
6. Для того чтобы дать аналитическому выражению этой формулы всю возможную общность, а также простоту, отнесем положение всех тел или точек заданной системы, а также положение центров, к прямоугольным координатам, параллельным трем неподвижным осям в пространстве.

Мы будем вообше обозначать через $x, y, z$ координаты тех точек, к которым приложены силы, и в дальнейшем будем для отличия снабжать их одним или несколькими штрихами, соответственно различным точкам системы.

Аналогично через $a, b, c$ мы будем обозначать координаты центров сил.

Ясно, что расстояния $p, q, r, \ldots$ между точками приложения сил и их центрами выразятся вообще с помощью формулы $\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}$, в
которой $a, b, c$ являются постоянными величинами, или по крайней мере должны рассматриваться при изменениях $x, y, z$ как пс стоянные величины в том случае, когда они относятся к точкам, лежащим вне системы, т.е.когда силы являются внешними. Однако в том случае, когда силы являются внутренними и они исходят от некоторых тел самой системы, әти величины $a, b, c$ переходят в $x^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime \prime}, z^{\prime \prime \prime}$ и, следовательно, становятся переменными.

Если, таким образом, имеются выражения конечных величин $p, q, r, \ldots$ в известных функциях координат различных тел системы, остается их только обычным образом продифференцировать, рассматривая эти координаты как единственно изменяющиеся величины, и тогда получаются искомые значения дифференциалов $d p, d q, d r, \ldots$, входящих в общую формулу равновесия.
7. Хотя можно всегда считать, что силы $P, Q, R, \ldots$ направлены к заданным центрам, но рассмотрение этих центров выходит за пределы задачи, в которой в качестве заданных обычно рассматриваются лишь величина и направление каждой силы. Обратимся поэтому к более общим методам определения дифференциалов $d p, d q, d r, \ldots$,

Прежде всего, если предположить,- а это всегда допустимо, – что сила $P$ направлена к неподвижному центру, то мы имеем
\[
p=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}} ;
\]

если это выражение продифференцировать, не считая $a, b, c$ переменными, поскольку сила $P$ является внешней, то получим
\[
d p=\frac{x-a}{p} d x+\frac{y-b}{p} d y+\frac{z-c}{p} d z .
\]

Но легко видеть, тто $\frac{x-a}{p}, \frac{y-b}{p}, \frac{z-c}{p}$ представляют собою коеинусы углов, образуемых линией $p$ с линиями $x-a, y-b, z-c$. Если вообще через $\alpha, \beta, \gamma$ обозначить углы, образуемые направлением силы $P$ с осями $x, y, z$, или с прямыми, параллельными этим осям, то
\[
\frac{x-a}{p}=\cos \alpha, \quad \frac{y-b}{p}=\cos \beta, \quad \frac{z-c}{p}=\cos \gamma ;
\]

следовательно,
\[
d p=\cos \alpha d x+\cos \beta d y+\cos \gamma d z .
\]

Аналогичным образом могут быть выражены и другие дифференциалы $d q, d r, \ldots$

Но если та же сила $P$ будет внутренней силой и будет действовать на две точки, имеющие координаты $x, y, z$ и $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, стремясь их сблизить или удалить друг от друга, то в выражении для $p$ мы имеем $a=x^{\prime}, b=y^{\prime}, c=z^{\prime}$, и, следовательно,
\[
d p=\cos \alpha\left(d x-d x^{\prime}\right)+\cos \beta\left(d y-d y^{\prime}\right)+\cos \gamma\left(d z-d z^{\prime}\right) .
\]

Заметим, прежде всего, относительно углов $\alpha, \beta, \gamma$, что
\[
\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+\cos ^{2} \gamma=1 ;
\]

это очевидно из приведенных выше формул. Во-вторых, если обозначить через $\varepsilon$ угол, образуемый проекцией линии $p$ на плоскость $x$ и $y$ с осью $x$, то
\[
\frac{x-a}{\pi}=\cos \varepsilon, \quad \frac{y-b}{\pi}=\sin \varepsilon,
\]

где $\pi=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}} ;$ а подставив вместо $x-a, y-b$ их значения $p \cos \alpha, p \cos \beta$, мы получим
\[
\pi=p \sqrt{\cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta}=\rho \sqrt{1-\cos ^{2} \gamma}=p \sin \gamma ;
\]

таким образом
\[
\frac{x-a}{p}=\sin \gamma \cos \varepsilon, \frac{y-b}{p}=\sin \gamma \sin \varepsilon,
\]

и, следовательно,
\[
\cos \alpha=\sin \gamma \cos \varepsilon, \quad \cos \beta=\sin \gamma \sin \varepsilon .
\]
8. Далее, я принимаю во внимание, что поскольку $d p$ представляет собою малый путь, который тело или точка приложения силы $P$ может пройти по направлению әтой силы, то если положить $d p=0$, эта точка сможет двигаться только по направлениям, перпендикулярным к направлению самсй силы. Таким образом $d p=0$ представляет собою дифференциальное уравнение поверхности, по отношению к кэторой сила направлена перпендикулярно.

Эта поверхность будет сферой, если величины $a, b, c$ постоянны, но она может быть какой угодно иной поверхностью, если допустить, что эти величины являются переменными.

Предположим теперь вообще, тто сила $P$ действует перпендикулярно н поверхности, выраженной уравнением
\[
A d x+B d y+C d z=0 .
\]

Для того чтобы это уравнение совпало с уравнением
\[
(x-a) d x+(y-b) d y+(z-c) d z=0,
\]

вытекающим из допущения, что $d p=0$, остается только положить
\[
\frac{A}{C}=\frac{x-a}{z-c}, \frac{B}{C}=\frac{y-b}{z-c},
\]

что дает
\[
x-a=\frac{A}{C}(z-c), \quad y-b=\frac{B}{C}(z-c) ;
\]

подставив әти значения в выражение для $p$, будем иметь
\[
d p=\frac{A d x+B d y+C d z}{\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}} .
\]

Таким образом, если имеется диффференциальное уравнение поверхности, к которой сита $P$ направлена перпендикулярно, можно получить и выражение для ее виртуально\”̈ скорости $d p$.
Можно положить
\[
A d x+B d y+\dot{C} d z=d u,
\]

где $u$ – некоторая функция $x, y, z$; но известно, что дифференцильное уравнение первого порядка с тремя переменими выражает поверхность только в том случае, если оно мокет быть проинтегрировано или приведено к интегрируемому виду с помощью множителя. Тогда с помощью алгоритма частных дифференциалов можно написать
\[
A=\frac{\partial u}{\partial x}, \quad B=\frac{d u}{\partial y}, \quad C=\frac{\partial u}{\partial z},
\]

и выражение для $d p$ принимает следующий вид:
\[
d p=\frac{d u}{\sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^{2}}}
\]

Таким образом момент силы $P$, перпендикулярной к поверхности, заданной уравнением $d u=0$, будет равен
\[
\frac{P d u}{\sqrt{\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^{2}+\left(\frac{\partial u}{\partial z}\right)^{2}}}
\]

Тем же путем могут быть определены и значения других дифференциалов $d q, d r, \ldots$, а именно, с помощью дифференциальных уравнений поверхностей, по отношению к которым силы $Q, R, \ldots$ направлены перпендикулярно.
9. Но можно обойтись и без рассмотрения поверхности, к которой сила направлена перпендикулярно; так как любую величину можно выразить с помощью линии, то $p$ можно рассматривать как некоторую функцию координат, а $P$ как силу, стремящуюся изменить значение $p$. Тогда $P d p$ тоже будет виртуальным моментом силы $P$; точно так же $Q d q, R d r, \ldots$ будут моментами сил $Q, R, \ldots$, если их рассматривать таким образом, как если бы они стремились изменить значения величин $q, r, \ldots$, о которых мы предполагаем, что они являются некоторыми функциями тех же координат. Этот метод рассмотрения моментов придает общей формуле равновесия гораздо более широкий смысл, благодаря чему она становится пригодной для значительно большего числа приложений *).
10. Если значения дифференциалов $d p, d q, d r, \ldots$ в функции дифференциалов координат разлит. ных тел системы известны, то остается только подставить их в общую формулу:
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots=0,
\]

и затем удовлетворить этому уравнению независимо от дифференциалов, которые оно содержит.

Таким образом, если рассматриваемая система является совершенно свободной, так что не существует никаких заданных соотношений между координатами различных тел и, следовательно, между их дифференциалами, следует удовлетворить приведенному выше уравнению независимо от дифференциалов и для этого приравнять отдельно нулю суммы всех членов, которые умножаются на каждый из этих дифференциалов. Это даст столько уравнений,
*) Если настоящий пункт 9 сопоставить с пунктами 6 и 28 отдела IV, то мы придем к следующему их истолкованию. Когда силы имеют в качестве суммы своих виртуальных моментов произведение вида $P d p$, где $p$ – некоторая функция координат, то говорят, что система рассматриваемых сил эквивалентна некоторой силе $P$, стремящейся изменить величину функции $p$. Эта формулировка представляется совершенно условной. В данном случае слову сила придается смысл, совершенно отклоняющийся от обычного. Впрочем, эта ћопмулировка не была принята геометрами. (I рим. Бертрана.)

гколько имеется переменных координат и, следовагельно, сколько их необходимо для определения всех этих переменных и для нахождения с их помощью положения всей системы в состоянии равновесия.

Но если природа системы такова, что тела при своих движениях подчинены особым условиям, следует сначала эти условия выразить с помощью анатитических уравнений, ноторые мы назовем условными уравнениями, что всегда легко выполнить. Так, например, если некоторые из тел вынуждены двигаться по заданным линиям или поверхностям, то мы имеем в качестве уравнений для координат этих тел заданные уравнения линий или поверхностей; если бы два тела были связаны друг с другом таким образом, что они постоянно должны находиться друг от друга на одном и том же расстоянии $k$, то, очевидно, мы имели бы уравнение
\[
k^{2}=\left(x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}-y^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(z^{\prime}-z^{\prime \prime}\right)^{2} .
\]

Когда условные уравнения найдены, следует с их помощью в выражениях для $d p, d q, d r, \ldots$ исключить столько дифференциалов, сколько возможно, так что оставшиеся дифференциалы будут уже совершенно независимы друг от друга и будут выражать лишь то, что имеется произвольного при изменении положения системы. А так как общая формула равновесия должна сохранить свою силу независимо от того, каковы бы ни были эти изменения, следует отдельно приравнять нулю суммы всех членов, в состав которых входит каждый из неопределенных дифференциалов; тогда отсюда получится столько отдельных уравнений, сколько имеется таких дифференциалов; эти уравнения, будучи затем соединеңы с заданными условными уравнениями, будут содержать в себе все условия, необходимые для определения состояния равновесия системы, так как легко понять, что общее число всех этих уравнений булет всегда равно чиялу различных переменных, вляющихся координатами всех тел системы, и, следовательно, что их будет всегда достаточно для определения каждой из этих переменных.
11. Впрочем, если до сих пор мы все время определяли положение тел с помсщью прямоугольных координат, то мы это делали потому, что этот способ имеет известное преимущество простоты и легкости в вычислениях, но это не значит, что при применении изложенного выше метода нельзя пользоваться другими координатами; ясно, что при изложенном методе нас ничто не заставляет отдавать предпочтение прямоугольным координатам перед иными линиями или величинами, определяющими положения тел. Так, вместо двух координат $x, y$ можно было бы, если бы обстоятельства этого потребовали, воспользоваться радиусом-вектором $\rho=\sqrt{x^{2}-y^{2}}$ и углом $\varphi$, тангенс которого равен $\frac{y}{x}$, что дало бы нам
\[
\begin{array}{l}
x=\rho \cos \varphi, \\
y=\rho \sin \varphi ;
\end{array}
\]

третья координата $z$ могла бы при этом сохранить свой прежний вид. Но можно было бы также ввести радиус-вектор $\rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ с двумя углами $\varphi$ и $\psi$, так что
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{tg} \varphi=\frac{y}{x}, \\
\operatorname{tg} \psi=\frac{z}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},
\end{array}
\]

откуда получается
\[
\begin{array}{l}
x=\rho \cos \psi \cos \varphi, \\
y=\rho \cos \psi \sin \varphi, \\
z=\rho \sin \psi
\end{array}
\]

точно так же можно воспользоваться другими какими-либо углами или линиями.

Отметим еще, что, так как при излагаемом нами методе рассматриваются лишь дифференциалы $d x, d y$, $d z$, натало координат может быть избрано в любом месте: этим можно воспользоваться, чтобы упростить выражения для этих дифференциалов.

Если вместо $x$ и $y$ подставить $\rho \cos \varphi$ и $\rho \sin \varphi$, то мы вообще получим
\[
\begin{array}{l}
d x=\cos \varphi d \rho-\rho \sin \varphi d \varphi, \\
d y=\sin \varphi d \rho+\rho \cos \varphi d \varphi ;
\end{array}
\]

но если положить $\varphi=0$, а это значит, что величину угла $\varphi$ мы будем отсчитывать от радиуса $\rho$, то мы получим более простые выражения $d x=d \rho$ и $d y=$ $=\rho d \varphi$. Точно так же мы можем поступить в других аналогичных случаях.
12. Вообще, какова бы ни была система сил, равновесие которой определяется, и каким бы образом ни были связаны друг с другом точки приложения этих сил, всегда можно свести переменные, определяющие положения этих точек в пространстве, к небольшому числу независимых переменных; для этого следует с помощью условных уравнений, заданных природой системы, исключить столько переменных, сколько имеется условий, т. е. выразить все переменные, которых имеется по три на каждую точку, при помощи небольшого числа их или при помощи других переменных, которые, не будучи уже подчинены какимлибо условиям, остаются независимыми и неопределенными. Таким образом равновесие должно иметь место по отношению к каждому из әтлх независимых переменных*), так как последние дают место такому же числу различных изменений в положении системы.
13. В самом леле, если обозначить черєз $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ эти независимые переменные и рассматривать $p, q, r, \ldots$
*) То-есть необходимо, чтобы коэфициенты вариаций каждого из этих переменных были порознь равны нулю. (Прим. Бертрана.)

как функции этих переменных, то получится
\[
\begin{array}{l}
d p=\frac{\partial p}{\partial \xi} d \xi+\frac{\partial p}{\partial \psi} d \psi+\frac{\partial p}{\partial \varphi} d \varphi+\ldots, \\
d q=\frac{\partial q}{\partial \xi} d \xi+\frac{\partial q}{\partial \psi} d \psi+\frac{\partial q}{\partial \varphi} d \varphi+\ldots, \\
d r=\frac{\partial r}{\partial \xi} d \xi+\frac{\partial r}{\partial \psi} d \psi+\frac{\partial r}{\partial \varphi} d \varphi+\ldots \\
\ldots . . . . . . . . . . . .
\end{array}
\]

и условие равновесия $P d p+Q d q+R d r+\ldots=0$ примет следующий вид:
\[
\begin{aligned}
& \left(P \frac{\partial p}{\partial \xi}+Q \frac{\partial q}{\partial \xi}+R \frac{\partial r}{\partial \xi}+\ldots\right) d \xi+ \\
+ & \left(P \frac{\partial p}{\partial \psi}+Q \frac{\partial q}{\partial \psi}+R \frac{\partial r}{\partial \psi}+\ldots\right) d \psi+ \\
+ & \left(P \frac{\partial p}{\partial \varphi}+Q \frac{\partial q}{\partial \psi}+R \frac{\partial r}{\partial \varphi}+\ldots\right) d \varphi+\ldots=0 .
\end{aligned}
\]

Так как значения $d \xi, d \psi, d \varphi, \ldots$ должны оставаться неопределенными, то должны существовать отдельно следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
P \frac{\partial p}{\partial \xi}+Q \frac{\partial q}{\partial \xi}+R \frac{\partial r}{\partial \xi}+\ldots=0 \\
P \frac{\partial p}{\partial \psi}+Q \frac{\partial q}{\partial \psi}+R \frac{\partial r}{\partial \psi}+\ldots=0 \\
P \frac{\partial p}{\partial \varphi}+Q \frac{\partial q}{\partial \varphi}+R \frac{\partial r}{\partial \varphi}+\ldots=0 \\
\cdots \cdots
\end{array}
\]

Число этих уравнений будет равно числу переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ и, следовательно, их будет достаточно для определения всех этих переменных.

Каждое из этих уравнений, как видим, представляет собою частный случай равновесия, при котором виртуальные скорости подчинены определенным соотношениям: из соединения же всех этих частных равновесий создается общее равновесие системы.

Можно также отметить, что собственно к этим частным и определенным случаям применимо в полном объеме рассуждение первого параграфа настоящего отдела, и так как в случае двух сил их равновесие всегда можно свести к равновесию прямолинейного рычага, плечи которого находятся в отношении виртуальных скоростей, то можно этим путем общий принцип виртуальных скоростей поставить в зависимость только от принципа рычага. 14. Если величина $P d p+Q d q+R d r+\ldots$ не будет равна нулю по отношению ко всем независимым переменным, то силы $P, Q, R, \ldots$ не будут находиться в равновесии, и тела, находясь под действием сил, приобретут движения, определяемые как этими силами, так и взаимодействиями тел [10].

Предположим, что на тела той же системы действуют другие силы $P^{\prime}, Q^{\prime}, R^{\prime}, \ldots$, направленные по линиям $p^{\prime}, q^{\prime}, r^{\prime}, \ldots$, и сообщают им те же самые движения; тогда эти силы будут эквивалентны первым и смогут быть во всех случаях поставіены на их место, так как согласно допущению их действие в точности такое же. А если эти же силы $P^{\prime}, Q^{\prime}, R^{\prime}, \ldots$, сохраняя свою величину, изменят свои направления и примут направления, противоположные прежним, то ясно, что они тем же телам точно так же сообщат движения равные, но противоположно направленные. Следовательно, если в этом новом состоянии они будут действовать на тела той же самой системы одновременно с силами $P, Q$, $R, \ldots$, то тела будут оставаться в покое, так как движения, сообщаемые им в одном направлении, будут уничтожаться равными и противоположно направленными движениями. Таким образом, между всеми этими силами будет существовать равновесие, что дает нам уравнение (пункт 2)
\[
\begin{aligned}
P d p+Q d q+R d r & +\ldots-P^{\prime} d p^{\prime}- \\
& -Q^{\prime} d q^{\prime}-R^{\prime} d r^{\prime}-\ldots=0
\end{aligned}
\]

откуда следует
\[
\begin{array}{l}
P d p+Q d q+R d r+\ldots= \\
\quad=P^{\prime} d p^{\prime}+Q^{\prime} d q^{\prime}+R^{\prime} d r^{\prime}+\ldots
\end{array}
\]
5 ж. Лагранж, т. I

Таково условие, необходимое для того, чтобы силы $P^{\prime}, Q^{\prime}, R^{\prime}, \ldots$, действующие по линиям $p^{\prime}, q^{\prime}$, $r^{\prime}, \ldots$, были эквивалентны силам $P, Q, R, \ldots$, действующим по линиям $p, q, r, \ldots$ А так как две системы сил могут быть совершенно эквивалентными*) только единственным образом, поскольку движение тела всегда бывает единым и определенным, то отсюда следует, что если две системы сил $P, Q$, $R, \ldots$ и $P^{\prime}, Q^{\prime}, R^{\prime}, \ldots$ таковы, что во всех случаях и по отношению ко всем независимым переменным существует уравнение
\[
\begin{array}{l}
P d p+Q d q+R d r+\ldots= \\
\quad=P^{\prime} d p^{\prime}+Q^{\prime} d q^{\prime}+R^{\prime} d r^{\prime}+\ldots
\end{array}
\]

то эти две системы эквивалентны и во всех случаях могут быть подставлены одна вместо другой.
15. Отсюда следует важная теорема статики, согласно которой две системы сил эквивалентны и могут быть заменены одна другой в одной и той же системе тел, связанных между собою каким угодно образом, если суммы моментов сил в обеих системах всегда между собою равны; и обратно, если сумма моментов сил одной системы всегда равна сумме моментов сил другой системы, то эти две системы сил эквивалентны и могут быть подставлены одна вместо другой в одной и той же системе тел.

Если допустить, что линии $p, q, r, \ldots$ зависят от линий $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, то формула
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots
\]

преобразуется, как в пункте 13 , в следующую:
\[
\Xi d \xi+\Psi d \psi+\Phi d \varphi+\ldots,
\]
*) То-есть две системы, эквивалентвые в том смысле, что они создают равновесие с одной и той же третьей системой, по этому одному признаку могут быть рассматриваемы как совершенно әквивалентные системы. (I рим. Бертрана.)

в готорой
\[
\begin{array}{l}
\Xi=P \frac{\partial p}{\partial \xi}+Q \frac{\partial q}{\partial \xi}+R \frac{\partial r}{\partial \xi}+\ldots, \\
\Psi=P \frac{\partial p}{\partial \psi}+Q \frac{\partial q}{\partial \psi}+R \frac{\partial r}{\partial \psi}+\ldots \\
\Phi=P \frac{\partial p}{\partial \varphi}+Q \frac{\partial q}{\partial \varphi}+R \frac{\partial r}{\partial \varphi}+\ldots \\
\ldots . \ldots
\end{array}
\]

Таким образом, мы имеем
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots=\Xi d \xi+\Psi d \psi+\Phi d \varphi+\ldots
\]

Итак, система сил $P, Q, R, \ldots$, направленных по линиям $p, q, r, \ldots$, эквивалентна системе $\Xi, \Psi$, $\Phi, \ldots$, действующих по направлению линий $\xi$, $\psi$, $\varphi, \ldots$ и, значит, может быть заменена последней в оцной и той же системе тел, подверженных действию этих сил*).
*) Для того чтобы это было так, необходимо выполнение следуюцего условия: линии $5, \psi, \varphi, \ldots$ должны быть таковы, чтобы их дифференциалы $d \xi, d \psi, d \varphi, \ldots$ выражали виртуальные скорости точек приложения сил $\Xi, \Psi, \Phi, \ldots$, т. е. чтобы кандый из них представлял собою прямоугольную проекцию перемещения точки на направление силы. См. по этому вопросу заметку Пуансо (Poinsot), напечатанную в Journal de Liouville (1ére série, t. XI, p. 241), которую мы помещаем в конце настояцего тома. (I рим. Бертрана.)