1. Допустим, что требуется найти законы равновесия любого количества сил $P, Q, R, \ldots$, которые все приложены к одной и той же точке и направлены к заданным точкам.

Назовем $p, q, r, \ldots$ прямолинейные расстояния от общей точки приложения этих сил до соответствующих точек, к которым эти силы направлены; тогда для суммы моментов этих сил мы получим выражение
\[
P d p+Q d q+R d r+\ldots,
\]

которое при состоянии равновесия должно равняться нулю.

Пусть $x, y, z$-три прямоугольные координаты точки, к которой приложены все силы; и пусть $a$, $b, c$ – прямоугольные координаты точки, к которой направлена сила $P ; f, g, h$ – координаты точки, к которой направлена сила $Q ; l, m, n$ – координаты точки, к которой направлена сила $R$, и так далее для других точек, – причем все эті координаты отнесены к одним и тем же неподвижным в пространстве осям. В таком случае мы, очевидно, имеем
\[
\begin{array}{l}
p=\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}}, \\
q=\sqrt{(x-f)^{2}+(y-g)^{2}+(z-h)^{2}}, \\
r=\sqrt{(x-l)^{2}+(y-m)^{2}+(z-n)^{2}}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

и величина $P d p+Q d q+R d r+\ldots$ преобразуется в следующую:
\[
X d x+Y d y+Z d z,
\]

где
\[
\begin{array}{l}
X=\frac{x-a}{p} P+\frac{x-f}{q} Q+\frac{x-l}{r} R+\ldots, \\
Y=\frac{y-b}{p} P+\frac{y-g}{q} Q+\frac{y-m}{r} R+\ldots, \\
Z=\frac{z-c}{p} P+\frac{z-h}{q} Q+\frac{z-n}{r} R+\ldots
\end{array}
\]

Не бесполезно отметить, что в последних выражениях величины $\frac{x-a}{p}, \frac{y-b}{p}, \frac{z-c}{p}$ равны косинусам углов, образуемых линией $p$, т. е. направлением силы $P$, с осями $x, y$ и $z$; точно так же $\frac{x-f}{q}, \frac{y-g}{q}$, $\frac{z-h}{q}$ представляют собою косинусы углов, образуемых направлением силы $Q$ с теми же осями, и так далее (отд. II, п. 7).