42. До сих пор мы предполагали, что нить нерастяжима; теперь же рассмотрим ее в предположении, что она подобно пружине способна растягиваться и сокращаться, и пусть $F$ будет та сила, с которой каждый элемент кривой, образуемой нитью, стремится сократиться; тогда, аналогично тому, как это было в пункте 18 (поставив $d s$ вместо $f$ и переменив символ $d$ на $\delta$ ), мы получим момент этой силы $F \delta d s$ и в качестве суммы моментов всех сил сокращения, действующих по всей длине нити, выражение $\mathbf{S} F \delta d s$. Этот интеграл $\mathbf{S} F \delta d s$ следует в данном случае прибавить к интегралу
\[
\mathbf{S}(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z) d m,
\]

выражающему сумму моментов всех внешних сил, действующих на нить (п. 28); приравняв всю сумму нулю, мы получим общее уравнение равновесия упругой нити.

Легко видеть, что это уравнение будет иметь такой же вид, как уравнение, приведенное в пункте 29 для случая нерастяжимой нити, и что при замене $F$ величиной $\lambda$ эти уравнения станут тождественными. Таким образом для рассматриваемого теперь случая мы имеем те же частные уравнения равновесия
нити, какие были найдены нами в пункте 30; в последних следует лишь подставить $F$ вместо $\lambda$. Если же величину $F$ исключить – подобно тому, как мы исключали величину $\lambda$, -то для кривой, образуемой растяжимой нитью, мы получим два уравнения, которые будут совершенно тождественны с уравнениями, имеющими силу для нерастяжимой нити.
43. Что касается величины $F$, выражающей упругость или силу сокращения каждого элемента $d s$, то представляется естественным выразить ее с помощью функции растяжения, испытываемого этим элементом под действием сил $X, Y, Z$. Таким образом, если допустить, что $d \sigma$ – это первоначальная длина $d s$, можно на $F$ смотреть как на заданную функцию $\frac{d s}{\overline{d \sigma}}$; но так как согласно природе дифференциального исчисления абсолютное значение элемента $d s$ остает ся неопределенным, то и значение $F$ тоже остастся неопределенным и может быть установлено только с помощью одного из трех уравнений равновесия нити. Таким образом, хотя в настоящем случае наш анализ как будто дает одно лишнее уравнение, однако в действительности он дает только те уравнения, которые необходимы для определения кривой, образуемой нитью, а также сопротивления каждого из ее элементов.

Так как величина $\lambda$ решения, приведенного в пункте 30 , в точности соответствует величине $F$, выражающей фактическую силу, с какой каждый элемент нити натягивается под действием внешних сил, то отсюда следует, что и величину $\lambda$ можно рассматривать как выражающую натяжение нерастяжимой нити. Последнее мы уже установили a priori в пункте 31 .
44. Применим теперь те же принципы к определению равновесия поверхности, все элементы $\mathrm{dm}$ которой способны растягиваться и сокращаться. Элемент поверхности, координаты которого равны $x, y, z$, – если $z$ рассматривается как функция $x$ и $y$,-выражается с помощью формулы
\[
\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}} d x d y .
\]

Поэтому, если обозначить через $F^{*}$ ) силу упругости, с которой этот элемент стремится сократиться, то сумма моментов всех эгих сил выразится с помощью двойного интеграла
\[
\mathbf{S S} F \delta\left[\sqrt{1+\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^{2}} d x d y\right] .
\]

Еэли этот интеграт прибавить к двойному интегралу $\left[{ }^{16}\right]$
\[
\mathbf{S S}(X \delta x+Y \delta y+Z \delta z) d m,
\]

в котором $d m$ является элементом поверхности, то мы получим сумму моментов всех сил, которая при равновесии долкна равняться нулю.
IIоложив, гак в нункте 31 отдела IV,
\[
\frac{\partial z}{\partial x}=z^{\prime}, \quad \frac{\partial z}{\partial y}=z, \text { п } \sqrt{1+z^{\prime 2}+z^{2}}=U,
\]

мы получим
\[
d m=U d x d y \quad \text { и } \quad \frac{\partial U}{\partial z^{\prime}}=\frac{z^{\prime}}{U}, \quad \frac{\partial U}{\partial z}=\frac{z}{U} ;
\]
*) Приведенный способ опредетения совокупности сил, развиваемых упруғостью в одной төчке, представляется недостаточно обосновапиы. Правда, здесь, равно как и раные в ряде случаев, Ґагранд употребляет слово сила в таком смысле, который отклоняется от обычного; однако ниоткуда не следует, чтобы сумма моментов сит, действующих на один әлемент, была пропорциональна сокращению әлемента. Мы можем даже прибавить, что это утверждение неточно. Пуассон отметит это обстоятельство в Mémoires de l’Institut за 1812 г.; впрочем, предложенное им решение тоне не обладает достаточной общносью: -оно предполагает, что силы натянепия прямоугольного элемента паправлены перпендикулярно і сторонам этого элемента, а это в обцем стучае пе имеет места.: (I рин. Бертрана.).

следовательно (п. 33,34 отд. IV),
\[
\begin{aligned}
\delta U & =\frac{\partial U}{\partial x} \delta x+\frac{\partial U}{\partial y} \delta y+\frac{1}{U}\left(z^{\prime} \frac{\partial \delta u}{\partial x}+z, \frac{\partial \delta u}{\partial y}\right), \\
\delta(U d x d y) & =\left[\delta U+U\left(\frac{\partial \delta x}{\partial x}+\frac{\partial \delta x}{\partial y}\right)\right] d x d y .
\end{aligned}
\]

Если эти значения подставить в двойной интеграл $\mathbf{S S} F \delta(U d x d y)$ и путем интегрирования по частям избавитьея от частных дифференциалов вариадий, обозначенных через $\delta$, то мы получим
\[
\begin{array}{l}
\mathbf{S}\left(U \delta y+\frac{z_{l}}{U} \delta u\right) F d x+\mathbf{S}\left(U x+\frac{x^{\prime}}{U} \delta u\right) F d y+ \\
+\mathbf{S S}\left[\left(F \frac{\partial U}{\partial x}-\frac{\partial F U}{\partial x}\right) \delta x+\left(F \frac{\partial U}{\partial y}-\frac{\partial F U}{\partial y}\right) \delta y-V \delta u\right] d x d y,
\end{array}
\]

где
\[
V=\frac{\partial \frac{F z^{\prime}}{U}}{c^{\prime} x}+\frac{\partial \frac{F z}{U}}{\partial y}
\]

и
\[
\delta u=\delta z-z^{\prime} \delta x-z, \delta y \text { (см. указ. пункты). }
\]

Простые интегралы но $x$ и $y$ относятся к границам; в случае, если мы допустим, что края поверхности закреплены неподвижно, эти интегралы сами собою исчезают, так как при этих условиях вариации $\delta x, \delta y, \delta z$ во всех точках контура поверхности равны нулю.

Если члены, стоящие под двойным знаком $\mathbf{S}$, сложить с членами двойного интеграла $\mathbf{S}(X \delta x+$ $+Y \delta y+Z \delta z) U d x d y$ и отдельно приравнять нулю коэффициенты вариаций $\delta x, \delta y, \delta z$, то мы получим
следующие три уравнения *):
\[
\begin{aligned}
X U+F \frac{\partial U}{\partial x}-\frac{\partial U F}{\partial x}+V z^{\prime} & =0, \\
Y U+F \frac{\partial U}{\partial y}-\frac{\partial U F}{\partial y}+V z^{\prime} & =0, \\
Z U-V & =0 .
\end{aligned}
\]

Первые два уравнения дадут значение силы $F$, которую следует подставить в выражение $V$ третьего уравнения, так что при окончательном анализе мы получим для определения поверхности равновесия только одно уравнение в частных производных.

Хотя мы и должны предположить, что сила $F$ является известной функцией элемента $d m$ поверхности в ее состоянии сжатия или расширения, она в действительности не становится от этого менее неопределенной, так как абсолютный размер элемента поверхности не может быть введен в расчет; таким образом знауение $F$ может быть определено только с помощью самих условий равновесия: здесь мы имеем дело со случаем, аналогичным случаю, рассмотренному в п. 43.
*) Здесь следует отметить, что заключения Јагранжа оказались бы несостоятельными, если бы допустить, что $\delta x$ является функцией одной только переменной $x$, а $\delta y$ – функцией одной только переменной $y$, как можно было бы попыгаться сделать, вспомнив о предпосылках, на которых основаны (отд. IV, п. 33, 34) формулы, примененные здесь Лагранжем. Действительно, для того чтобы интеграл
\[
\text { SS }(A \delta x+B \delta y+C \delta z) d x d y
\]

был равен нулю на основе этих предпосылок, уже необязательно, чтобы в каждой точке было $A=B=C=0$, но достаточно, чтобы было $\mathbf{S} A d y=0$ для всех значений $x, \mathbf{S} B d x=0$ для всех значений $y$ п $C=0$ для всех значений $x$ и $y$. Сопоставьте это замечание с примечанием, относящимся, к пункту 31 отд. IV. (Прия. Дарбу.)

45. Для того чтобы исключить величину $F$, подставим в два первых уравнения значение $V$, найденное из последнего; тогда эти уравнения примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
U\left(X+Z \frac{\partial z}{\partial x}\right)+F \frac{\partial U}{\partial x}-\frac{\partial U F}{\partial x}=0, \\
U\left(X+Z \frac{\partial z}{\partial y}\right)+F \frac{\partial U}{\partial y}-\frac{\partial U F}{\partial y}=0 .
\end{array}
\]

Пусть, как в пункте 28 ,
\[
X d x+Y d y+Z d z=d \Pi ;
\]

тогда, поскольку $z$ считается функцией $x$ и $y$, мы имеем
\[
\frac{\partial \Pi}{\partial x}=X+Z \frac{\partial z}{\partial x}, \quad \frac{\partial \Pi}{\partial y}=Y+Z \frac{\partial z}{\partial y},
\]

и шриведенные два уравнения, по разделении их на $U$, преобразуются к следующему виду:
\[
\frac{\partial \Pi}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial x}, \quad \frac{\partial \Pi}{\partial y}=\frac{\partial F}{\partial y},
\]

из чего получается просто следующее:
\[
d \Pi=d F,
\]

откуда
\[
F=\mathrm{II}+a .
\]

Этот вывод совпадает с выводом пункта 36 отдела IV. Далее, если $\Pi$ рассматривать как функцию $x, y$, $z$, то третье уравнение даст
\[
U \cdot \frac{\partial \Pi}{\partial z}-\frac{\partial z^{\prime}}{\partial x}-\frac{\partial \frac{F z}{U}}{\partial y_{1}}=0 ;
\]

это и есть уравнение поверхности.
Если поверхность очень мало отличается от плогкости, так что ордината $z$ очень мала, тогда, отбросив бесконечно малые величины второго порядка, мы получим
\[
U=1 \text {; }
\]

но
\[
F=\Pi+a,
\]

где $a$ – постоянная величина; следовательно, уравнение поверхности имеет следующий вид:
\[
\frac{\partial \Pi}{\partial z}-\frac{\partial(\Pi+a)-\frac{\partial z}{\partial x}}{\partial x}-\frac{\partial(\Pi+a) \frac{\partial z}{\partial y}}{\partial y}=0 .
\]

Если предположить, что пмеется только сила тяжести $g$, действующая по направлению координаты $z$ в сторону ее увеличения, то мы получим $\Pi \equiv-g z$; следовательно, отбрасывая вторые измерения $z$, мы будем иметь
\[
a\left(\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}\right)=-g .
\]

Это уравнение вообще интегрируемо, но только с помощью мнимых функций, благодаря которым это решение становится мало пригодным для применения $\left[{ }^{17}\right]$.