1. Пусть $a, b, c$-значения прямоугольных координат $x, y, z$ тела $m$ системы в положении равновесия. Так как согласно допущению система при своем движении лишь очень мало удаляется от своего положения равновесия, то мы имеем вообще
\[
x=a+\alpha, \quad y=b+\beta, \quad z=c+\gamma,
\]

где переменные $\alpha, \beta, \gamma$ всегда очень малы; следовательно, в дифференциальных уравнениях движения достаточно принимать во внимание первое измерение этих величин. То же самое имеет силу и по отношению к другим аналогичным выражениям, которые мы будем отличать одним, двумя и т. д. штрихами для различных тел $m^{\prime}, m^{\prime \prime}$ и т. д. той же системы.

Рассмотрим сначала условные уравнения, которые должны иметь место в соответствии с природой системы и которые можно представить в виде $\boldsymbol{L}=0$, $M=0, \ldots$, где $L, M, \ldots$ являются заданными алгебраическими функциями координат $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, \ldots$ Так как положение равновесия есть одно из тех положений, которые система может занимать, то отсюда следует, что әти уравнения $L=0, M=0, \ldots$ будут оставаться в силе, если допустить, что $x, y, z, x^{\prime}, \ldots$ получили значения $a, b, c, a^{\prime}, \ldots$; отсюда легко притти квыоду, что эти уравнения не должны содержать времени $t$.

Пусть $A, B, \ldots$ – величины, в которые обращаются $L, M, \ldots$, когда $x, y, z, x^{\prime}, \ldots$ становятся равными $a, b, c, a^{\prime}, \ldots ;$ ясно, что если вместо $x, y, z, x^{\prime}, \ldots$ подставить их значения $a+\alpha, b+\beta, c+\gamma, a^{\prime}+\alpha^{\prime}, \cdots$, то вследствие незначительности величин $\alpha, \beta, \gamma, \alpha, \ldots$ мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
L=A+\frac{\partial A}{\partial a} \alpha+\frac{\partial A}{\partial b} \beta+\frac{\partial A}{\partial c} \gamma+\frac{\partial A}{\partial a^{\prime}} \alpha^{\prime}+\ldots, \\
M=B+\frac{\partial B}{\partial a} \alpha+\frac{\partial B}{\partial b} \beta+\frac{\partial B}{\partial c} \gamma+\frac{\partial B}{\partial a^{\prime}} \alpha^{\prime}+\ldots,
\end{array}
\]

и так далее.
Таким образом, во-первых, мы будем иметь
\[
A=0, \quad B=0, \ldots
\]

по отношению к положению равновесия; во-вторых, мы будем иметь уравнения
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial A}{\partial a} \alpha+\frac{\partial A}{\partial b} \beta+\frac{\partial A}{\partial c} \gamma+\frac{\partial A}{\partial a^{\prime}} \alpha^{\prime}+\ldots=0, \\
\frac{\partial B}{\partial a} \alpha+\frac{\partial B}{\partial b} \beta+\frac{\partial B}{\partial c} \gamma+\frac{\partial B}{\partial a^{\prime}} \alpha^{\prime}+\ldots=0, \\
\cdots \cdots \cdot \cdots \cdot \ldots . \cdots \cdot
\end{array}
\]

Эти уравнения дадут нам соотношения, которые должны существовать между переменными $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$

Если сначала пренебречь очень малыми величинами второго и высших порядков, то получаются линейные уравнения, пользуясь которыми можно значения некоторых из этих переменных выразить через другие; затем с помощью этих первых значений можно найти более точные значения, приняв во внимание вторые, а по желанию и более высокие степени. Этим путем можно получить значения некоторых из переменных $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$, выраженных в виде разложенных в ряд функций остальных переменных, а эти оставшиеся переменные будут тогда совершенно независиімы друг от друга.

Таким образом в большинстве случаев, если принять во внимание условия задачи, можно уменьшить число координат непосредственной подстановкой вместо них целых рациональных функций других переменных, независимых друг от друга и очень малых, значение которых в состоянии равновесия равно нулю.
Итак, допустим вообще, что мы имеем
\[
\begin{array}{l}
x=a+a_{1} \xi+a_{2} \psi+a_{3} \varphi+\ldots+a_{1}^{\prime} \xi^{2}+\ldots, \\
y=b+b_{1} \xi+b_{2} \psi+b_{3} \varphi+\ldots+b_{1}^{\prime} \xi^{2}+\ldots, \\
z=c+c_{1} \xi+c_{2} \psi+c_{3} \varphi+\ldots+c_{1}^{\prime} \xi^{2}+\ldots,
\end{array}
\]

и совершенно так же относительно других координат $x^{\prime}, y^{\prime}, \ldots ;$ величины $a, b, c, a_{1}, b_{1}, \ldots$ – постоянные, а величины $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ – переменные, очень малые и при равновесии равные нулю.
2. Теперь необходимо лишь произвести указанные подстановки в значениях $T$ и $V$ пункта 10 отд. IV. При этом достаточно принять во внимание только вторые степени, чтобы таким образом получить линейные дифференциальные уравнения. Прежде всего ясно, что ?начение $T$ будет иметь следующий вид:
\[
\begin{aligned}
\eta=\frac{1}{2} & {\left[(1) \frac{d \xi^{2}}{d t^{2}}+(2) \frac{d \psi^{2}}{d t^{2}}+(3) \frac{d \varphi^{2}}{d t^{2}}+\ldots\right]+} \\
& +(1,2) \frac{d \xi}{d t} \frac{d \psi}{d t}+(1,3) \frac{d \xi}{d t} \frac{d \varphi}{d t}+(2,3) \frac{d \psi}{d t} \frac{d \varphi}{d t}+\ldots
\end{aligned}
\]

если для сокращения положить
\[
\begin{array}{l}
(1)=\mathbf{S} m\left(a_{1}^{2}+b_{1}^{2}+c_{1}^{2}\right) \\
(2)=\mathbf{S} m\left(a_{2}^{2}+b_{2}^{2}+c_{2}^{2}\right), \\
(3)=\mathbf{S} m\left(a_{3}^{2}+b_{3}^{2}+c_{3}^{2}\right) \\
\cdots \cdots \cdots \\
(1,2)=\mathbf{S} m\left(a_{1} a_{2}+b_{1} b_{2}+c_{1} c_{2}\right), \\
(1,3)=\mathbf{S} m\left(a_{1} a_{3}+b_{1} b_{3}+c_{1} c_{3}\right), \\
(2,3)=\mathbf{S} m\left(a_{2} a_{3}+b_{2} b_{3}+c_{2} c_{3}\right), \\
\cdots \cdots
\end{array}
\]

где знак $\mathbf{S}$ означает интегрирования или суммирования, произведенные по отношению ко всем различным телам $m$ системы и в то же время независимые от переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, а равно от времени $t$.

Далее, если через $F$ обозначить значение алгебраической функции П, в которой вместо $x, y, z$ поставлены $a, b, c$, то ясно, что общее значение П выразится следующим образом:
\[
\begin{aligned}
F & +\left(a_{1} \xi+a_{2} \psi+a_{3} \varphi+\ldots\right) \frac{\partial F}{\partial a}+ \\
& +\left(b_{1} \xi+b_{2} \psi+b_{3} \varphi+\ldots\right) \frac{\partial F}{\partial b}+ \\
& +\left(c_{1} \xi+c_{2} \psi+c_{3} \varphi+\ldots\right) \frac{\partial F}{\partial c}+ \\
& +\frac{\left(a_{1} \xi+a_{2} \psi+a_{3} \varphi+\ldots\right)^{2}}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial a^{2}}+ \\
+\left(a_{1} \xi+a_{2} \psi\right. & \left.+a_{3} \varphi+\ldots\right)\left(b_{1} \xi+b_{2} \psi+b_{3} \varphi+\ldots\right) \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial b}+ \\
& +\frac{\left(b_{1} \xi+b_{2} \psi+b_{3} \varphi+\ldots\right)^{2}}{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial b^{2}}+ \\
& +\ldots \ldots \ldots
\end{aligned}
\]

где достаточно принять во внимание только вторые степени переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$

Если эту функцию умножить на $m$ и проинтегрировать согласно символу $\mathbf{S}$, то мы получим вообще
\[
\begin{array}{c}
V=H+H_{1} \xi+H_{2} \psi+H_{3} \varphi+\ldots+\frac{[1] \xi^{2}+[2] \psi^{2}+[3] \varphi^{2}+\ldots}{2}+ \\
+[1,2] \xi \psi+[1,3] \xi \varphi+[2,3] \psi \varphi+\ldots ;
\end{array}
\]
\[
\begin{array}{l}
H=\mathbf{S} m F, \\
H_{\mathbf{1}}=\mathbf{S} m\left(a_{\mathbf{1}} \frac{\partial F}{\partial a}+b_{\mathbf{i}} \frac{\partial F}{\partial b}+c_{\mathbf{1}} \frac{\partial F}{\partial c}\right), \\
H_{2}=\mathbf{S} m\left(a_{2} \frac{\partial F}{\partial a}+b_{2} \frac{\partial F}{\partial b}+c_{2} \frac{\partial F}{\partial c}\right), \\
H_{3}=\mathbf{S} m\left(a_{3} \frac{\partial E}{\partial a}+b_{3} \frac{\partial F}{\partial b}+c_{3} \frac{\partial F}{\partial c}\right), \\
{[1]=\mathbf{S} m\left\{\begin{array}{l}
a_{1}^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial a^{2}}+b_{1}^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial b^{2}}+c_{1}^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial c^{2}}+ \\
+2 a_{1} b_{1} \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial b}+2 a_{1} c_{1} \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial c}+2 b_{1} c_{1} \frac{\partial^{2} F}{\partial b \partial c}
\end{array}\right\},} \\
{[2]=\mathbf{S} m\left\{\begin{array}{l}
a_{2}^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial a^{2}}+b_{2}^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial b^{2}}+c_{2}^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial c^{2}}+ \\
+2 a_{2} b_{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial b}+2 a_{2} c_{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial c}+2 b_{2} c_{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial b \partial c}
\end{array}\right\},} \\
{[3]=\mathbf{S} m\left\{\begin{array}{l}
a_{3}^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial a^{2}}+b_{3}^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial b^{2}}+c_{3}^{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial c^{2}}+ \\
+2 a_{3} b_{3} \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial b}+2 a_{3} c_{3} \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial c}+2 b_{3} c_{3} \frac{\partial^{2} F}{\partial b \partial c}
\end{array}\right\},} \\
{[1,2]=\mathbf{S} m\left\{\begin{array}{r}
a_{1} a_{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial a^{2}}+b_{1} b_{2} \frac{\partial^{2} \dot{F}}{\partial b^{2}}+c_{1} c_{2} \frac{\partial^{2} F}{\partial c^{2}}+ \\
+\left(a_{1} b_{2}+a_{2} b_{1}\right) \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial b}+\left(a_{1} c_{2}+a_{2} c_{1}\right) \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial c} \\
+\left(b_{1} c_{2}+b_{2} c_{1}\right) \frac{\partial^{2} F}{\partial b \partial c}
\end{array}\right\},} \\
{[1,3]=\mathbf{S} m\left\{\begin{array}{r}
a_{1} a_{3} \frac{\partial^{2} F}{\partial a^{2}}+b_{1} b_{3} \frac{\partial^{2} F}{\partial b^{2}}+c_{1} c_{3} \frac{\partial^{2} F}{\partial c^{2}}+ \\
+\left(a_{1} b_{3}+a_{3} b_{1}\right) \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial b}+\left(a_{1} c_{3}+a_{3} c_{1}\right) \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial c}+ \\
+\left(b_{1} c_{3}+b_{3} c_{1}\right) \frac{\partial^{2} F}{\partial b \partial c}
\end{array}\right\} \text {, }} \\
\end{array}
\]

\[
[2,3]=\mathbf{S} m\left\{\begin{array}{c}
a_{2} a_{3} \frac{\partial^{2} F}{\partial a^{2}}+b_{2} b_{3} \frac{\partial^{2} F}{\partial b^{2}}+c_{2} c_{3} \frac{\partial^{2} F}{\partial c^{2}}+ \\
+\left(a_{2} b_{3}+a_{3} b_{2}\right) \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial b}+\left(a_{2} c_{3}+a_{3} c_{2}\right) \frac{\partial^{2} F}{\partial a \partial c}+ \\
+\left(b_{2} c_{3}+b_{3} c_{2}\right) \frac{\partial^{2} F}{\partial b \partial c}
\end{array}\right\}
\]
3. Когда таким образом значения $T$ и $V$ выражены в функции величин $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, независимых между собой, уже не приходится больше удовлетворять какому-либо условному уравнению; а так как величина $T$ содержит только дифференциалы переменных, то для движения системы тотчас же получаются следующие уравнения:

число которых, как видим, равно числу переменных.
Эти уравнения должны иметь силу и в состоянии равновесия, так как если система однажды находилась в равновесии, то она всегда сама собою остается в этом положении. Но в состоянии равновесия согласно условию мы всегда имеем $x=a, \quad y=b, \quad z=c$; $x^{\prime}=a^{\prime}, \ldots ;$ следовательно, $\quad \xi=0, \quad \psi=0, \varphi=0, \ldots$, равно как $\frac{d \xi}{d t}=0, \frac{d \psi}{d t}=0, \ldots ; \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}=0, \ldots$ Поэтому члены $d \frac{\delta T}{\delta d \xi}, d \frac{\delta T}{\delta d \psi}, \ldots$ равны нулю, и члены $\frac{\delta V}{\delta \xi}, \frac{\delta V}{\delta \psi}$, $\frac{\delta V}{\delta \varphi}, \ldots$ обращаются в $H_{1}, H_{2}, H_{3}, \ldots$ Следовательно, мы будем иметь
\[
H_{1}=0, \quad H_{2}=0, \quad H_{3}=0, \ldots
\]

Таковы условия, необходимые для того, чтобы $a, b$, $c, a^{\prime}, \ldots$ являлись значениями $x, y, z, x^{\prime}, \ldots$ в состоянии равновесия, как мы әто предположили.
В самом деле ясно, что
\[
d V=\mathbf{S} m(P d p+Q d q+R d r+\ldots)
\]

выражает сумму моментов всех сил $m P, m Q, m R, \ldots$, которые приложены ко всем телам $m$ системы и которые в состоянии равновесия должны взаимно друг друга уничтожить; поэтому согласно общей формуле, данной в отд. II части I, необходимо, чтобы $d V$ равнялось нулю по отношению к каждой из независимых переменных; следовательно,
\[
\frac{\delta V}{\delta \xi}=0, \quad \frac{\delta V}{\delta \psi}=0, \quad \frac{\delta V}{\delta \varphi}=0, \ldots
\]

будут условиями равновесия; а так как последние согласно допущению соответствуют $\xi=0, \quad \psi=0$, $\varphi=0, \ldots$, то мы будем иметь
\[
H_{1}=0, \quad H_{2}=0, \quad H_{3}=0, \ldots
\]

Таким образом в выражении $V$ первые измерения переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ всегда исчезают.

Поэтому, если в общие уравнения подставить значения $T$ п $V$ и приравнять $H_{1}, H_{2}, H_{3}, \ldots$ нулю, то мы получим следующие уравнения движения системы:
\[
\begin{aligned}
0= & (1) \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+(1,2) \frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}+(1,3) \frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}+\ldots+ \\
& +[1] \xi+[1,2] \psi+[1,3] \varphi+\ldots \\
0= & (2) \frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}+(1,2) \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+(2,3) \frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}+\ldots+ \\
& +[2] \psi+[1,2] \xi+[2,3] \varphi+\ldots \\
0= & (3) \frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}+(1,3) \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+(2,3) \frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}+\ldots+ \\
& +[3] \varphi+[1,3] \xi+[2,3] \psi+\ldots \\
& \ldots \ldots+\ldots
\end{aligned}
\]

Так как эти уравнения имеют линейную форму с постоянными коэффициентами, то с помощью известных методов они могут быть проинтегрированы совершенно точно и в общем виде.
4. Можно сначала допустить, что в этого рода уравчениях переменные находятся между собою в постоянных отношениях, так что мы имеем
\[
\psi=f \xi, \quad \varphi=g \xi, \ldots ;
\]

после выполнения этих подстановок приведенные уравнения примут следующий вид:
\[
\begin{array}{l}
{[(1)+(1,2) f+(1,3) g+\ldots] \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+} \\
+([1]+[1,2] f+[1,3] g+\ldots) \xi=0, \\
{[(2) f+(1,2)+(2,3) g+\ldots] \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+} \\
+([2] f+[1,2]+[2,3] g+\ldots) \xi=0, \\
{[(3) g+(1,3)+(2,3) f+\ldots] \frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+} \\
+([3] g+[1,3]+[2,3] f+\ldots) \xi=0, \\
\end{array}
\]
……………….
из них получается $\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+k \xi=0$, если положить
\[
\begin{array}{l}
k=\frac{[1]+[1,2] f+[1,3] g+\ldots}{(1)+(1,2) f+(1,3) g+\ldots}= \\
=\frac{[2] f+[1,2]+[2,3] g+\ldots}{(2) f+(1,2)+(2,3) g+\ldots}=\frac{[3] g+[1,3]+[2,3] f+\ldots}{(3) g+(2,3)+(2,3) f+\ldots} .
\end{array}
\]

Как видим, число этих уравнений равно числу неизвестных $f, g, \ldots, k$; следовательно, они полностью определяют эти неизвестные. Сохраняя член $k$ в качестве левой части и умножая его на знаменатель правой части, мы получаем линейное уравнение относительно $f, g, \ldots$; если затем, пользуясь одним из известных методов, исключить эти величины, то, как это легко увидеть из общих формул исключения, для $k$ получится уравнение, степень которого равна числу уравнений, а следовательно, и числу рассматриваемых дифференциальных уравнений. Таким образом для $k$ получится такое же число различных значений, причем каждое из этих значений, будучи поставлено в выражения $f, g, \ldots$, даст соответствующие значения этих величин.

Интегрирование уравнения $\frac{d^{2} \xi}{d t^{2}}+k=0$ приводит к следующему результату:
\[
\xi=E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon),
\]

где $E, \varepsilon$ – произвольные постоянные; а поскольку мы допустили, что $\psi=f \xi, \varphi=g \xi, \ldots$, мы получим также значения $\psi, \varphi, \ldots$

Приведенное решение является, правда, только частным, но можно в то же время получить и второе, третье и т. д. решения – соответственно числу значений $k$; следовательно, если все эти решения соединить, то мы получим общее решение, так как, с одной стороны, сумма частных значений $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ равным образом удовлетворит дифференциальным уравнениям в силу их линейного вида, а с другой стороны, эта сумма будет содержать вдвое большее число произвольных постоянных, чем имеется уравнений, и, следовательно, – как раз такое число этих постоянных, сколько их могут допустить общие интегралы.

Обозначим через $k^{\prime}, k^{\prime \prime}, k^{\prime \prime}, \ldots$ различные значения $k$, т. е. корни уравнения относительно $k$, а через $f^{\prime}, g^{\prime}, \ldots, f^{\prime \prime}, g^{\prime \prime}, \ldots, f^{\prime \prime \prime}, g^{\prime \prime \prime}, \ldots$ – соответствующи значения $f, g, \ldots$ и возьмем равное количество произвольных постоянных $E^{\prime}, E^{\prime \prime}, E^{\prime \prime \prime}, \ldots$, а также произвольных углов $\varepsilon^{\prime}, \varepsilon^{\prime \prime}, \varepsilon^{\prime \prime \prime}, \ldots$; тогда мы получим следующие полные значения $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ :
\[
\begin{array}{l}
\xi=E^{\prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime}}+\varepsilon^{\prime}\right)+E^{\prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime}\right)+ \\
+E^{\prime \prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime \prime}\right)+\ldots, \\
\psi=f^{\prime} E^{\prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime}}+\varepsilon^{\prime}\right)+f^{\prime \prime} E^{\prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime}\right)+ \\
+f^{\prime \prime \prime} E^{\prime \prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime \prime}\right)+\ldots, \\
\varphi=g^{\prime} E^{\prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime}}+\varepsilon^{\prime}\right)+g^{\prime \prime} E^{\prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime}\right)+ \\
+g^{\prime \prime \prime} E^{\prime \prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime \prime}\right)+\ldots, \\
\end{array}
\]

в которых произвольные величины $\boldsymbol{E}^{\prime} ; \boldsymbol{E}^{\prime \prime}, \boldsymbol{E}^{\prime \prime \prime}, \ldots$; $\varepsilon^{\prime}, \varepsilon^{\prime \prime}, \varepsilon^{\prime \prime} ; \ldots$ зависят от тех значений, какие $\xi, \psi$, $\varphi, \ldots$ и $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d \varphi}{d t}, \ldots$ принимают, когда $t=0$, т. е. от начального состояния системы.

В самом деле, если в найденных выражениях для $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ положить $t=0$ и принять в качестве заданных значения $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, то мы получим линейныө уравнения между $E^{\prime} \sin \varepsilon^{\prime}, E^{\prime \prime} \sin \varepsilon^{\prime \prime}, \ldots$, с помощью которых можно определить каждую из этих величин. Точно так же, если в дифференциалах этих же выражений положить $t=0$ и опять принять в качестве заданных значения $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d \varphi}{d t}, \ldots$, то мы получим вторую систему линейных уравнений между $E^{\prime} \cos \varepsilon^{\prime}, E^{\prime \prime} \cos \varepsilon^{\prime \prime}, \ldots$, которые послужат для их определения. Указанным путем можно легко получить значения $E^{\prime}, E^{\prime \prime}, \ldots$, равно как $\operatorname{tg} \varepsilon^{\prime}, \operatorname{tg} \varepsilon^{\prime \prime}, \ldots$ и, наконец, значения самих углов $\varepsilon^{\prime}, \varepsilon^{\prime \prime}, \ldots$

Однако мы изложим здесь более простой способ прямого определения этих неизвестных, при котором не приходится прибегать к весьма многочисленным операциям исключения.
5. Отмечу прежде всего, что если сложить дифференциальные уравнения п. 3 , умножив предварительно второе из них на $f$, третье на $g$ и т. д. и положив для краткости
\[
\begin{array}{l}
p=(1)+(1,2) f+(1,3) g+\ldots \\
P=[1]+[1,2] f+[1,3] g+\ldots \\
q=(2) f+(1,2)+(2,3) g+\ldots \\
Q=[2] f+[1,2]+[2,3] g+\ldots \\
r=(3) g+(1,3)+(2,3) f+\ldots \\
R=[3] g+[1,3]+[2,3] f+\ldots \\
\ldots \ldots
\end{array}
\]

мы получим следующее уравнение:
\[
P \frac{d^{2 \xi}}{d t^{2}}+q \frac{d^{2} \psi}{d t^{2}}+r \frac{d^{2} \varphi}{d t^{2}}+\ldots+P \xi+Q \psi+R \varphi+\ldots=0 .
\]

Но уравнения пункта 4 дают
\[
P=k p, \quad Q=k q, \quad R=k r, \ldots .
\]

Следовательно, предыдущее уравнение принимает вид:
\[
\frac{d^{2}(p \xi+q \psi+r \varphi+\ldots)}{d t^{2}}+k(p \xi+q \psi+r \varphi+\ldots)=0,
\]

интеграл которого есть
\[
p \xi+q \psi+r \varphi+\ldots=L \sin (t \sqrt{k}+\lambda),
\]

где $L$ и $\lambda$-две произвольные постоянные.
Приведенное уравнение должно иметь силу одинаково для всех различных значений $k$, которые вытекают из тех же условных уравнений и которые мы обозначили через $k^{\prime}, k^{\prime \prime}, \ldots$ Следовательно, обозначив через $p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots, q^{\prime}, q^{\prime \prime}, \ldots$, соответствующие значения $p, q, \ldots$ и введя различные произғольные постоянные $L^{\prime}, \dot{L}^{\prime \prime}, \ldots, \lambda^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}, \ldots$, мы получим следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
p^{\prime} \xi+q^{\prime} \psi+r^{\prime} \varphi+\ldots=L^{\prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime}}+\lambda^{\prime}\right), \\
p^{\prime \prime} \xi+q^{\prime \prime} \psi+r^{\prime \prime} \varphi+\ldots=L^{\prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{n}}+\lambda^{\prime \prime}\right), \\
p^{\prime \prime \prime} \xi+q^{\prime \prime \prime} \Psi+r^{\prime \prime \prime} \varphi+\ldots=L^{\prime \prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime \prime}}+\lambda^{\prime \prime \prime}\right), \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Эти уравнения вообще могли бы служить для определения значений $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, причем ясно, что эти значения должны совпасть с найденными выше (п. 4), так как и те и другие получаются из одних и тех же дифференциальных уравнений. Таким образом, если в приведенные уравнения подставить значения, найденные в указанном пункте, то они должны тождественно удовлетвориться.

Отсюда легко притти к заключению, что для первого уравнения мы получим
\[
\lambda^{\prime}=\varepsilon^{\prime}, \quad L^{\prime}=\left(p^{\prime}+f^{\prime} q^{\prime}+g^{\prime} r^{\prime}+\ldots\right) E^{\prime},
\]

и затем
\[
p^{\prime}+f^{\prime \prime} q^{\prime}+g^{\prime \prime} r^{\prime}+\ldots=0, p^{\prime}+f^{\prime \prime \prime} q^{\prime}+g^{\prime \prime \prime} r^{\prime}+\ldots=0, \ldots ;
\]

аналогично для второго уравнения мы получим
\[
\lambda^{\prime \prime}=\varepsilon^{\prime \prime}, \quad L^{\prime \prime}=\left(p^{\prime \prime}+f^{\prime \prime} q^{\prime \prime}+g^{\prime \prime} r^{\prime \prime}+\ldots\right) E^{\prime \prime \prime},
\]

и затем
\[
p^{\prime \prime}+f^{\prime} q^{\prime \prime}+g^{\prime} r^{\prime \prime}+\ldots=0, p^{\prime \prime}+f^{\prime \prime \prime} q^{\prime \prime}+g^{\prime \prime \prime} r^{\prime \prime}+\ldots=0 \ldots,
\]

и так далее во всех остальных случаях.
Подставив в указанные выше уравнения вместо $\lambda^{\prime}, L^{\prime}, \lambda^{\prime \prime}, L^{\prime \prime}, \lambda^{\prime \prime \prime}, L^{\prime \prime \prime}, \ldots$ найденные нами только что значения, мы получим следующие уравнения:
\[
\begin{array}{l}
E^{\prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime}}+\varepsilon^{\prime}\right)=\frac{p^{\prime} \xi+q^{\prime} \psi+r^{\prime} \varphi+\ldots}{p^{\prime}+q^{\prime} f^{\prime}+r^{\prime} g^{\prime}+\ldots}, \\
E^{\prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime}\right)=\frac{p^{\prime \prime} \xi+q^{\prime \prime} \psi+r^{\prime \prime} \varphi+\ldots}{p^{\prime \prime}+q^{\prime \prime} f^{\prime \prime}+r^{\prime \prime} g^{\prime \prime}+\ldots}, \\
E^{\prime \prime \prime} \sin \left(t \sqrt{k^{\prime \prime \prime}}+\varepsilon^{\prime \prime \prime}\right)=\frac{p^{\prime \prime \prime} \xi+q^{\prime \prime \prime} \psi+r^{\prime \prime \prime} \varphi+\ldots}{p^{\prime \prime \prime}+q^{\prime \prime \prime} f^{\prime \prime \prime}+r^{\prime \prime \prime} g^{\prime \prime \prime}+\ldots}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

которые являются обратными по отношению к уравнениям пункта 4.

Определение произвольных величин $E^{\prime}, E^{\prime \prime}, \ldots$, $\varepsilon^{\prime}, \varepsilon^{\prime \prime}, \ldots$ теперь уже не вызывает никаких трудностей; в самом деле:
1) если положить $t=0$, то левые части приведенных выше уравнений обратятся в $E^{\prime} \sin \varepsilon^{\prime}$, $E^{\prime \prime} \sin \varepsilon^{\prime \prime}, \ldots$, правые же части все известны, если допустить, что з начения $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ в первое мгновение заданы;

2) если эти же уравнения продифференцировать и затем положить $t=0$, то левые части будут равны
\[
\sqrt{k^{\prime} E^{\prime} \cos \varepsilon^{\prime},} \quad \sqrt{k^{\prime \prime}} E^{\prime \prime} \cos \varepsilon^{\prime \prime}, \ldots,
\]

правые же части тоже будут все известны, если считать заданными значения $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d \varphi}{d t}, \therefore$ при $t=0$. Следовательно, и так далее.
6. Таким образом решение задачи свелось только к определению величин $k, f, g, h, \ldots$; но, как мы видели в пункте 4, это определение зависит от решения уравнений
\[
p k-P=0, \quad q k-Q=0, \quad r k-R=0, \ldots,
\]

если для величин $p, q, r, \ldots, P, Q, R, \ldots$ сохранить выражения, данные в пункте 5 .

Но если через $A$ обозначить значение, которое принимает величина $T$, когда вместо $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d \varphi}{d t}, \ldots$ поставлено $e, f, g, \ldots$, п через $B$-значение той части величины $V$, в которой переменные $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ образуют функцию второй степени, когда эти переменные точно так же заменены величинами $e$, $f$, $g, \ldots$, то легко увидеть, в чем можно было бы убедиться и a priori, что мы получим
\[
\begin{array}{ll}
p=\frac{\partial A}{\partial e}, \quad q=\frac{\partial A}{\partial f}, \quad r=\frac{\partial A}{\partial g}, \ldots, \\
P=\frac{\partial B}{\partial e}, \quad Q=\frac{\partial B}{\partial f}, \quad R=\frac{\partial B}{\partial g}, \ldots,
\end{array}
\]

если затем положить $e=1$.
Следовательно, вообще, если положить $A k-B=K$, то уравнения для определения неизвестных $k, f, g, \ldots$. приобретут следующий вид:
\[
\frac{\partial K}{\partial e}=0, \quad \frac{\partial K}{\partial f}=0, \quad \frac{\partial K}{\partial g}=0, \ldots,
\]

если положить $e=1$. Таким образом, так как величина $K$ образуется непосредственно из величин $T$ и $V$, можно искомые уравнения найти прямо, не прибегая к выводу их из дифференциальных уравнений движения системы.

Теперь замечу, что так как $K$ представляет собою однородную функцию двух измерений величин $e, f, g, \ldots$, то в силу свойства этого рода функций, доказанного в пункте 15 отдела IV, мы имеем
\[
2 K=e \frac{\partial K}{\partial e}+f \frac{\partial K}{\partial f}+g \frac{\partial K}{\partial g}+\ldots
\]

Поэтому мы имеем также $K=0$; следовательно, неизвестные величины $f, g, h, \ldots$ должны быть текими, чтобы не только величина $K$ была равна нулю, но чтобы и каждый из ее дифферендиалов по этим неизвестным тоже был равен нулю; отсюда следует, что величина $k$, которую мы рассматривали как функцию әтих неизвестных и которая зависит от уравнения $K=0$, должна быть максимумом или минимумом.

Если положить сначала $e=1$ и вместо $\frac{\partial K}{\partial e}=0$ взять уравнение $K=0$, то для определения неизвестных $f, g, h, \ldots$ мы получим уравнения
\[
K=0, \quad \frac{\partial \boldsymbol{K}}{\partial f}=0, \quad \frac{\partial \boldsymbol{K}}{\partial g}=0, \ldots
\]

Следовательно, если сначала определить значение $f$ из уравнения $\frac{\partial K}{\partial f}=0$ и подставить его в уравнение $K=0$, то это уравнение перейдет в $K^{\prime}=0$; затем следует лишь положить $\frac{\partial K^{\prime}}{\partial g}=0$, и значение $g$, найденное из этого последнего уравнения, тоже подставить в уравнение $K^{\prime}=0$; тогда, написав полученное уравнение в виде $K^{\prime \prime}=0$, мы снова положим $\frac{\partial K^{\prime \prime}}{\partial h}=0$, и так далее. Указанным путем мы придем к өкончательному уравнению, которое уже не будет содержать неизвестных $f, g, h, \ldots$, а лишь величину $k$, и которое будет искомым уравнением относительно $k$, корни которого были выше обозначены через $k^{\prime}, k^{\prime \prime}, k^{\prime \prime \prime}, \ldots$

Это уравнение можно представить и в общем виде, если принять во внимание, что так как величины $f, g, h, \ldots$ образуют в значении $K$ только выражения двух измерений, то величина $2 K \frac{\partial^{2} K}{\partial f^{2}}-\frac{\partial K^{2}}{\partial f^{2}}$ по необходимости будет свободна от $f$, так как ее дифференциал по $f$ будет иметь вид $2 K \frac{\partial^{2} K}{\partial f^{3}} d f$ и, следовательно, будет равен нулю. Таким образом можно будет положить $K^{\prime}=2 K \frac{\partial^{2} K}{\partial f^{2}}-\frac{\partial K^{2}}{\partial f^{2}}$, а так как оставшиеся в этой величине $K^{\prime}$ неизвестные $g, h, \ldots$ будут тоже представлены только во втором измерении, то можно будет точно так же положить $K^{\prime \prime}=2 K^{\prime} \frac{\partial^{2} K^{\prime}}{\partial g^{2}}-\frac{\partial K^{\prime 2}}{\partial g^{2}}$, и так далее. Последняя из величин $K, K^{\prime}, K^{\prime \prime}, \ldots$, будучи приравнена нулю, и даст искомое уравнение относительно $k$. Конечно, это уравнение может повыситься до более высокой степени, чем это необходимо, вследствие существования посторонних множителей, введенных в уравнения $K^{\prime \prime}=0, K^{\prime \prime \prime}=0, \ldots$; но если эти уравнения разложить п постараться постепенно освободиться от этих множителей и затем взять для значений $K^{\prime \prime}, K^{\prime \prime \prime}, \ldots$ только первые члены, упрощенные указанным выше путем, то окончат льное уравнение само собою сведется к тому виду и (тепени, которые оно должно иметь.

Что касается значений $t, g, \ldots$, то их можно затем определить с помощью уравнений $\frac{\partial K}{\partial f}=0, \frac{\partial K^{\prime}}{\partial g}=0, \ldots$, причем следует начать с последнего уравнения и затем путем последовательной подстановки найденных значений дойти до первого.
7. Так как приведенное выше решение основано на допущении, что переменные $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ представляют собою очень малые величины, то для того, чтобы это решение было законным, требуется, чтобы указанное допущение фактически осуществлялось; а это требует, чтобы все корни $k^{\prime}, k^{\prime \prime}, \ldots$ были вещественными, положительными и неравными между собою с тем, чтобы время $t$, возрастающее до бесконечности, всегда находилась под знаком синуса или косинуса. Есқи бы некоторые из этих корней были отрицательными или мнимыми, то вместо соответствующих синусов или косинусов они ввели бы вещественные экспоненциальные величины, а если бы они были просто равны между собою, то ввели бы алгебраические степени дуги; в этом можно убедиться с помощью известных методов: в первом случае введя вместо синуса или косинуса их мнимые экспоненциальные выражения, а во втором случае допустив, что равные корни отличаются друг от друга на бесконечно малыө неопределенные величины; но так как изложение этих случаев не представляет интереса для рассматриваемого намп вопроса, то мы на нем не будөм останавливаться $\left[{ }^{29}\right]$.

Если условия вещественности и неравенства коэффициентов при $t$ выполнены, то ясно, что наибольщие значения $\xi, \varphi, \ldots$ будут меньше суммы величин $E^{\prime}, E^{\prime \prime}, E^{\prime \prime \prime}, \ldots, f^{\prime} E^{\prime}, f^{\prime \prime} E^{\prime \prime}, f^{\prime \prime \prime} E^{\prime \prime \prime}, \ldots$, если все эти величины взять положительными; следовательно, если эти различные суммы очень малы, то мы можем быть уверены, что и значения переменных тоже будут всегда очень малыми.

Но так как коэффициенты $E^{\prime}, E^{\prime \prime}, E^{\prime \prime \prime}, \ldots$ являются произвольными постоянными и зависят только от начального смещения системы, то возможно, что переменные $\xi, \psi, \ldots$ будут очень малыми, хотя бы среди величин $\boldsymbol{V} \overline{k^{\prime}}, \sqrt{\boldsymbol{k}^{\prime \prime}}, \ldots$ некоторые были мнимыми или равными между собюю. В самом деле, для этого достаточно, чтобы соответствующиө величины $E^{\prime}, E^{\prime \prime}, \ldots$ были равны нулю, и тогда члены, возрастающй вместе со врөменөм $t$, исчезнут. В этом случае решение, не будучи верным в общем смысле, будет, однако, пригодно в частном случае, когда имеет место указанное выше условие $\left[{ }^{30}\right]$.
8. Существуют методы, с помощью которых можно определить, имеет ли заданное уравнение, какой бы степени оно ни было, сплошь вещественные корни или же нет, и в случае их вещественности – судить об их знаке и о существовании между ними равных корней; но так как применение этих методов всегда несколько затруднительно, то мы сейчас изложим несколько простых и общих признаков, с помощью которых в большом числе случаев можно судить о виде интересующих нас корней.

Если взять уравнения $K=0$ или $A k-B=0$ (п. 6), то мы имеем $k=\frac{B}{A}$; но легко видеть, что величина $A$ всегда имеет положительное значение, в то время как $f, g, \ldots$ являются вещественными величинами, ибо функция $T$, из которой $A$ получается путем подстановқи $1, f$, $g, \ldots$ вместо $\frac{d \xi}{d t}, \frac{d \psi}{d t}, \frac{d \varphi}{d t}, \ldots$ (указанный выше пункт), составлена из суммы нескольких квадратов, умноженных на положительные коэффициенты. Следовательно, если и величина $B$ всегда положительна, что имеет место в том случае, когда часть функции $V$, в которой переменные $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ образуют функцию второй степени, может быть приведена к тому же виду, что и функция $T$ – ведь вөличина $B$ тоже получается из указанной части $V$ путем подстановки $1, f, g, \ldots$ вместо $\xi, \psi, \varphi, \ldots$, – то мы уверены, что значения $k$, т. е. корни уравнения относительно $k$, будут всегда положительными во всех тех случаях, когда они будут вещественными.

Наоборот, если величина $B$ всегда отрицательна, что бывает в том случае, когда \”она составлена ив большого количества квадратов, умноженных на отридательные коэффициенты, то вещественные корни $k$ все будут отрицательными. В этом последнем случае решение не может быть удовлетворительным, так как тогда корни уравнөния огносительно $k$ могут быть только мнимыми или же вещественными отрицательными, и, следовательно, выражения для переменных $\xi, \psi, \ldots$ необходимо будут содержать в себе время $t$ вне знаков синуса и косинуса.
$B$ первом случае, когда $B$ положительно, мы видим только, что если корни вещественны, то они необходимо должны быть положительными; однако, пожалуй, было бы трудно доказать, что все они действительно должны быть вещественными; можно, однако, иным путем убедиться, что это должно быть именно так.

В самом деле, принцип сохранения живых сил, доказанный нами в § V отд. III, дает уравнение $T+V=$ const (п. 14 отд. IV), которое всегда имеет место, так как $T$ и $V$ являются функциями, не содержащими $t$ (п. 2). Но если обозначить через $V^{\prime}$ ту часть $V$, которая содержит члены второй степени, то $V=$ $=H+V^{\prime}$, так как $H_{1}=0, H_{2}=0, H_{3}=0, \ldots$ (п. 3); тогда мы имеем
\[
T+H+V^{\prime}=\text { const }=(T)+H+\left(V^{\prime}\right),
\]

если обозначить через $(T)$ и $\left(V^{\prime}\right)$ значения $T$ и $V^{\prime}$ в первое мгновение. Следовательно,
\[
T+V^{\prime}=(T)+\left(V^{\prime}\right) .
\]

Так как $T$ по своему виду – всегда величина положительная, то если и $V^{\prime}$ положительно, мы необходимо имеем $V^{\prime}>0$ п $V^{\prime}<(T)+\left(V^{\prime}\right)$; таким образом значение $V^{\prime}$, а следовательно, и значения переменных $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ будут всегда находиться в заданных пределах, которые зависят только от начального состояния. Отсюда ясно, что упомянутые переменные не могут содержать времени $t$ вне знаков синуса и косинуса, так как в этом случае они могли бы возрастать до бесконечности. Но если значение $B$ постоянно положительно, то и значение $V$ ! тоже положитель но; следовательно, корни уравнения относительно $k$ необходимо все будут вещественными положительными и неравными (п. 7) и, стало быть, решение будет всегда удовлетворительным.

В последнем случае состояние равновесия, из которого система была смещена, является устойчивым, так как система возвращается $к$ нему или всегда стремится вернуться с помощью очень малых колебаний; во всяком случае система всегда может отклониться от него лишь на очень незначительную величину $\left[{ }^{31}\right]$.
9. Совершенно таким же путем в конце отдела III «Статики» (п. 23 и след.) мы доказали, что когда функция П является минимумом в состоянии равновесия, то это состояние является устойчивым; в самом деле, легко видеть, что функция, обозначенная в п. 21 упомянутого отдела через П, представляет собою ту же самую фуннцию, которую мы здесь обозначили через $V$, так как и та и другая являются интегралом суммы моментов сил, действующих на различные тела системы, – суммы, которая при равновесии должна равняться нулю. Но так как мы имеем $V=H+V^{\prime}$, a $V^{\prime}$, содержит переменные $\xi, \psi, \varphi, \ldots$ только во второй степени, то отсюда следует, что $V$ будет минимумом или максимумом в зависимости от того, будет ли значение $V$ положительным или отрицательным, если этим переменным дать произвольные значения. Следовательно, равновесие необходимо будет устойчивым в том случае, когда $V$ является минимумом (п. 8).

Если же, наоборот, $V$ является максимумом, то так как в этом случае величина $V^{\prime}$ всегда отрицательна, величина $\dot{B}$ тоже будет отрицательна, ибо если положить
\[
\psi=f \xi, \quad \varphi=g \xi, \ldots,
\]

то значение $V^{\prime}$ будет равно $\xi^{2} B$ (п. 6 ); а в силу того, qто мы доказали в предыдущем пункте, выражения переменных необходимо будут содержать члены, в которых $t$ будет находиться вне знаков синуса и косинуса; следовательно, в этом случае равновесие не может быть устойчивым, так как система, будучи хоть сколько-нибудь смещена из него, будет все больше от него удаляться. Эта вторая часть теоремы, упомянутой в указанном месте «Статики», не могла там быть доказана за отсутствием необходимых для өтого положений; поэтому мы перенесли ее доказательство в. Динамику», и приведенное нами выше обоснование әтой части теоремы является вполне исчерпывающим.
10. Впрочем, кроме двух указанных состояний абсолютной устойчивости или абсолютной неустойчивости, при которых система, будучи каким-нибудь образом хоть немного выведена из состояния равновесия, либо сама собою стремится вернуться к носледнему, либо стремится от него все больше и больше удалиться,-могут существовать и согтояния условной и относительной устойчивости, при которых восстановление равновесия зависит от начального смещения системы. Если некоторые из значений $\sqrt{k}$ являются мнимыми, то соответствующие члены в значениях переменных содержат круговые дуги и равновесие, вообще говоря, не является устойчивым; но если коэффициенты этих членов оказываются равными нулю, что зависит от начального состояния системы, то круговые дуги исчезают и равновесие можно еще считать устойчивым, по крайней мере по отношению к этому частному случаю [32].
11. Когда все значения $\sqrt{k}$ вещественны и не равны между собою и, следовательно, когда равновесие является устойчивым, выражения всех переменных составлены из такого количества членов вида
\[
E \sin (t \sqrt{k}+\varepsilon),
\]

сколько имеется переменных.
Но әтот член представляет очень малые и изохронные колебания простого маятника, имеющего длину $\frac{g}{k}$, гдө g означает силу тяжести. Таким образом
колебания различных тел системы можно считать как бы составленными из простых колео̄аний, аналогичных колебаниям маятников, длины которых равны $\frac{g}{k^{\prime}}, \frac{g}{k^{\prime \prime}}, \frac{g}{k^{\prime \prime \prime}}, \ldots$

Но так как коэффициенты $E^{\prime}, E^{\prime \prime}$, .. являются произвольными и зависят только от начального состояния системы, можно это состояние всегда предцоложить таким, что все коәффициенты, за исключением какого-нибудь одного, равны нулю; тогда все тела системы будут совершать простые колебания, аналогичные колебаниям одного и того же маятника; отсюда видно, что одна и та же система способна совершать столько различных простых колебаний, сколько она содержит движущихся тел*). Таким образом, вообще говоря, любые колебания системы составляются лишь из всех тех простых колебаний, которые могут иметь место в силу природы системы.

Даниил Бернулли отметил это сложение простых и изохронных колебаний при движении колеблющейся струны, нагруженной множеством мелких грузов; он рассматривал его как общий закон всех малых взайных движений, которые могут иметь место в любой системе тел. Единственного случая, подобного случаю колеблющихся струн, было недостаточно для того, чтобы установить этот общий закон; однако тот анализ, который мы только что дали, обосновывает этот закон вполне надежно и в общем виде; из него видно, что сколь неправильными ни могли бы нам показаться малые колебания, наблюдаемые в природе, они всегда могут быть сведены к простым колебаниям, число которых равно числу колеблющихся в той же системе тел.

Изложенное является следствием, вытекающим из природы линейных уравнений, к которым сводятся
*) Число простых колебаний равно не числу движущихся тел, но числу независимых переменных. Впрочем, это отмечает и сам Лагранж в начале параграфа. (Прим. Бертрана.)

движения тел, составляющих любую систему, когда эти движения очень малы.
12. Когда значения величин $\sqrt{k^{\prime}}, \sqrt{k^{\prime \prime}}, \sqrt{k^{\prime \prime}}, \ldots$ несоизмеримы, то ясно, что и периоды этих колебаний тоже несоизмеримы, и, следовательно, что система никогда не может вернуться к своему первоначальному положению.

Но если әти величины относятся между собою как рациональные числа и если их общая наибольшая мера равна $\mu$, то легко видеть, что по истечении времени $\theta=\frac{2 \pi}{\mu}$, где $\pi$ соответствует углу в $180^{\circ}$, система всегда возвращается в одно и то же положение. Таким образом $\theta$ является периодом сложного колебания всей системы.
13. Данное нами только что решение требует, чтобы заданные координаты могли быть выражены с помощью функций, которые разлагаются в ряд по степеням очень малых переменных величин и которые в состоянии равновесия равны нулю, как мы әто допустили в пункте 3 .

Но, как мы видели, это всегда возможно в том случае, когда условные уравнения, будучи разложены в ряд, содержат первыө степени переменных, рассматриваемых нами как очень малые величины, так как прежде всего эти члены дают уравнения, разрешимые рационально, а затем, пользуясь методом рядов, можно получить все более и более точные рациональные решения.

Тем не менее, может случиться, что в одном или нескольких условных уравнениях отсутствуют члены первого измерения; это может, например, случиться, когда в уравнении $L=0$ значения координат для равновесия таковы, что они обращают в нуль не только $L$, но и каждый из первых его дифференциалов; в самом деле, тогда мы имеем
\[
\frac{\partial A}{\partial a}=0, \quad \frac{\partial A}{\partial b}=0, \ldots ;
\]

и уравнение $L=0$ содержит только вторые и более высокие степени $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$ (п. 1). Следовательно, если в этом случае координаты выразить в функции независимых переменных, то эти функции уже не могут быть рациональными, и дифферендиальные уравнения не будут ни линейными, ни даже рациональными. Таким образом допущение очень малых движений системы тогда уже не приведет к упрощению решения задачи или во всяком случае не даст возможности применить к ней тот общий метод, который мы изложили выше.

Для того чтобы разрешить такого рода задачи простейшим образом, следует сначала отвлечься от условных уравнений, в которых первые степени переменных уже не представлены, и этим путем притти к тем выражениям для $T$ и $V$, которые приведены в п. 2. К этому выражению $V$ следует затем прибавить первые члены условных уравнений, которые еще не были приняты во внимание, причем каждое из них следует умножить на неопределенный коэффициент, который при дифференцированиях в смысле $\delta$ следует рассматривать в качестве постоянной величины; тогда в этих членах, полученных из условных уравнений, достаточно будет принимать во внимание более низкие степени очень малых переменных. Отсюда можно будет обычным образом найти дифференциальные уравнения, после чего все дело сведется к исключению неопределенных коэффициентов.

Если бы условные уравнения оказались второй степени и если бы неопределенные коэффициенты можно было рассматривать как постоянные величины, то значение $V$ сохранило бы еще тот же вид, какой оно имеют в общем решении; следовательно, его можно было бы применить и в этом случае; после этого следовало бы определить коэффициенты таким образом, чтобы были удовлетворены условные уравнения. Таким образом можно всегда начинать с того, чтобы сделать указанное выше допущение, а затем посмотреть, могут ли удовлетворить условным уравнениям те значения, которые при этом получаются для переменных; в случае положительного ответа на этот вопрос допущение будет законным и решение верным, в противном случае следует изыскать особые методы для интегрировантя дифференциальных уравнений.