20. Предположим теперь, что три тела соединены между собою с помощью негибкого стержня таким образом, что они все время должны сохранять неизменными свои взаимные расстояния; в этом случае должны иметь место не только равенства $d f=0$ и $d g=0$, но и дифференциал расстояния между первым телом и третьим, которое мы обозначим через $h$, тоже должен быть равен нулю; следовательно, если взять три неопределенных коэффициента $\lambda, \mu,
u$, то получится следующее общее уравнение равновесия:
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime} d x^{\prime}+Y^{\prime} d y^{\prime}+Z^{\prime} d z^{\prime}+X^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}+Y^{\prime \prime} d y^{\prime \prime}+Z^{\prime \prime} d z^{\prime \prime}+ \\
\quad+X^{\prime \prime \prime} d x^{\prime \prime \prime}+Y^{\prime \prime \prime} d y^{\prime \prime \prime}+Z^{\prime \prime \prime} d z^{\prime \prime \prime}+\lambda d f+\mu d g+
u d h=0 .
\end{array}
\]

Значения $d f$ и $d g$ были уже даны выше; что касается значения $d h$, то ясно, что
\[
h=\sqrt{\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}\right)^{2}}
\]

и, следовательно,
\[
d h=\frac{\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}\right)\left(d x^{d \prime \prime}-d x^{\prime}\right)+\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}\right)\left(d y^{\prime \prime \prime}-d y^{\prime}\right)+\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}\right)\left(d z^{\prime \prime \prime}-d z^{\prime}\right)}{h} .
\]

Произведя эти подстановки и приравняв нулю суммы членов, в состав которых входит каждый из дифференциалов $d x^{\prime}, d y^{\prime}, \ldots$, мы получим следующие
девять частных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime}-\lambda \frac{x^{\prime \prime}-x^{\prime}}{f}-
u \frac{x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}}{h}=0 \\
Y^{\prime}-\lambda \frac{y^{\prime \prime}-y^{\prime}}{f}-
u \frac{y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}}{h}=0, \\
Z^{\prime}-\lambda \frac{z^{\prime \prime}-z^{\prime}}{f}-
u \frac{z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}}{h}=0, \\
X^{\prime \prime}+\lambda \frac{x^{\prime \prime}-x^{\prime}}{f}-\mu \frac{x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime \prime}}{g}=0, \\
Y^{\prime \prime}+\lambda \frac{y^{\prime \prime}-y^{\prime}}{f}-\mu \frac{y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}}{g}=0, \\
Z^{\prime \prime}+\lambda \frac{z^{\prime \prime}-z^{\prime}}{f}-\mu \frac{z^{\prime \prime}-z^{\prime \prime}}{g}=0, \\
X^{\prime \prime \prime}+\mu \frac{x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime \prime}}{g}+
u \frac{x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}}{h}=0, \\
Y^{\prime \prime \prime}+\mu \frac{y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}}{g}+
u \frac{y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}}{h}=0, \\
Z^{\prime \prime \prime}+\mu \frac{z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime \prime}}{g}+
u \frac{z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}}{h}=0,
\end{array}
\]

из которых следует исключить три неизвестные неопределенные величины $\lambda, \mu,
u$, в результате чеғо для условий равновесия останется только шесть уравнений.
21. Прежде всего из самого вида этих уравнений явствует, что если три первых уравнения сложить соответственно со следующими тремя уравнениями и затем с последними тремя, то мы тотчас же получим нижеприведенные три уравнения, свободные от $\lambda, \mu,
u$,
\[
\begin{array}{c}
X^{\prime}+X^{\prime \prime}+X^{\prime \prime \prime}=0 \\
Y^{\prime}+Y^{\prime \prime}+Y^{\prime \prime \prime}=0 \\
Z^{\prime}+Z^{\prime \prime}+Z^{\prime \prime \prime}=0
\end{array}
\]

Ничего нет легче, чем найти еще три других уравнения путем исключения $\lambda, \mu, v$; однако для того, чтобы этого достичь наиболее простым и наиболее
общим способом, я из уравнений предыдущего пункта сначала вывожу следующиө девять преобразованных уравнений:
\[
\begin{aligned}
X^{\prime} y^{\prime}-Y^{\prime} y^{\prime}-\lambda \frac{y^{\prime} x^{\prime \prime}-x^{\prime} y^{\prime \prime}}{f}-
u \frac{y^{\prime} x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime} y^{\prime \prime \prime}}{h}=0, \\
X^{\prime} z^{\prime}-Z^{\prime} x^{\prime}-\lambda \frac{z^{\prime} x^{\prime \prime}-x^{\prime} z^{\prime \prime}}{f}-
u \frac{z^{\prime} x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime} z^{\prime \prime \prime}}{h}=0, \\
Y^{\prime} z^{\prime}-Z^{\prime} y^{\prime}-\lambda \frac{z^{\prime} y^{\prime \prime}-y^{\prime} z^{\prime \prime}}{f}-
u \frac{z^{\prime} y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime} z^{\prime \prime \prime}}{h}=0, \\
X^{\prime \prime} y^{\prime \prime}-Y^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\lambda \frac{y^{\prime} x^{\prime \prime}-x^{\prime} y^{\prime \prime}}{f}-\mu \frac{y^{\prime \prime} x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime \prime} y^{\prime \prime \prime}}{g}=0, \\
X^{\prime \prime} z^{\prime \prime}-Z^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+\lambda \frac{z^{\prime} x^{\prime \prime}-x^{\prime} z^{\prime \prime}}{f}-\mu \frac{z^{\prime \prime} x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime \prime} z^{\prime \prime \prime}}{g}=0, \\
Y^{\prime \prime} z^{\prime \prime}-Z^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+\lambda \frac{z^{\prime} y^{\prime \prime}-y^{\prime} z^{\prime \prime}}{f}-\mu \frac{z^{\prime \prime} y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime} z^{\prime \prime \prime}}{h}=0, \\
X^{\prime \prime \prime} y^{\prime \prime \prime}-Y^{\prime \prime \prime} x^{\prime \prime \prime}+\mu \frac{y^{\prime \prime} x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime \prime} y^{\prime \prime \prime}}{g}+
u \frac{y^{\prime} x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime} y^{\prime \prime \prime}}{h}=0, \\
X^{\prime \prime \prime} z^{\prime \prime \prime}-Z^{\prime \prime \prime} x^{\prime \prime \prime}+\mu \frac{z^{\prime \prime} x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime \prime} z^{\prime \prime \prime}}{g}+
u \frac{z^{\prime} x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime} z^{\prime \prime \prime}}{h}=0, \\
Y^{\prime \prime \prime} z^{\prime \prime \prime}-Z^{\prime \prime \prime} y^{\prime \prime \prime}+\mu \frac{z^{n} y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime \prime} z^{\prime \prime \prime}}{g}+
u \frac{z^{\prime} y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime} z^{\prime \prime \prime}}{h}=0 .
\end{aligned}
\]

Последние, как видим, аналогичны первоначальным уравнениям и совершенно так же путем простого сложения дают следующие три уравнения:
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime} y^{\prime}-Y^{\prime} x^{\prime}+X^{\prime \prime} y^{\prime \prime}-Y^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+X^{\prime \prime \prime} y^{\prime \prime \prime}-Y^{\prime \prime \prime} x^{\prime \prime \prime}=0, \\
X^{\prime} z^{\prime}-Z^{\prime} x^{\prime}+X^{\prime \prime} z^{\prime \prime}-Z^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+X^{\prime \prime \prime} z^{\prime \prime \prime}-Z^{\prime \prime \prime} x^{\prime \prime \prime}=0, \\
X^{\prime} z^{\prime}-Z^{\prime} y^{\prime}+Y^{\prime \prime} z^{\prime \prime}-Z^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+Y^{\prime \prime \prime} z^{\prime \prime \prime}-Z^{\prime \prime \prime} y^{\prime \prime \prime}=0 .
\end{array}
\]

Три найденных выше уравнения показывают, что сумма сил, параллельных каждой из трех осей координат, должна равняться нулю, а три найденные только что уравнения содержат в себе известный закон моментов (если под моментом понимать произведение силы на соответствующее ей плечо рычага), согласно которому сумма моментов всех сил, под влиянием которых тело стремится вращаться вокруг каждой из трех осей, должна равняться нулю. Таким образом приведенные шесть уравнений представляют
собою лишь частные случаи общих уравнений, данных в отделе III, § I и II.
22. Если бы первое тело было неподвижно, то дифференциалы $d x^{\prime}, d y^{\prime}, d z^{\prime}$ были бы нулями и первые из девяти уравнений пункта 20 отпали бы; следовательно, в этом случае у нас осталось бы только шесть уравнений, которые по исключении трех неизвестных величин $\lambda, \mu$, v свелись бы к трем.

Для того чтобы получить эти три уравнения, можно воспользоваться тем же приемом, какой был применен для нахождения трех последншх уравнений в предыдущем пункте; для этого следует повести дело таким образом, чтобы преобразованные уравнения уже не содержали неопределенных величин $\lambda$ и $
u$, которые входят в первые три уравнения и от которых мы теперь должны отвлечься; а этого можно достигнуть с помощью следующих преобразованных уравнений:
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime \prime}\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)-Y^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)- \\
-\mu \frac{\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime \prime}\right)-\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}\right)}{g}=0, \\
X^{\prime \prime}\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)-Z^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)- \\
-\mu \frac{\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime \prime}\right)-\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime \prime}\right)}{g}=0, \\
Y^{\prime \prime}\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)-Z^{\prime \prime}\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)- \\
-\mu \frac{\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}\right)-\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime \prime}\right)}{g}=0, \\
X^{\prime \prime \prime}\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}\right)-Y^{\prime \prime \prime}\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}\right)+ \\
+\mu \frac{\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}\right)\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime \prime}\right)-\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}\right)\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}\right)}{g}=0, \\
X^{\prime \prime \prime}\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}\right)-Z^{\prime \prime \prime}\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}\right)+ \\
+\mu \frac{\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}\right)\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime \prime}\right)-\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}\right)\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime \prime}\right)}{g}=0, \\
Y^{\prime \prime \prime}\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}\right)-Z^{\prime \prime \prime}\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}\right)+ \\
+\mu \frac{\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}\right)\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}\right)-\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}\right)\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime \prime}\right)}{g}=0 ; \\
\end{array}
\]

если мы теперь сложим соответственно три первых уравнения с тремя последними, то тотчас же получим нижеследующие три уравнения:
\[
\begin{array}{c}
X^{\prime \prime}\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)-Y^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)+ \\
\quad+X^{\prime \prime \prime}\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}\right)-Y^{\prime \prime \prime}\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}\right)=0, \\
X^{\prime \prime}\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)-Z^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)+ \\
\quad+X^{\prime \prime \prime}\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}\right)-Z^{\prime \prime \prime}\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}\right)=0, \\
Y^{\prime \prime}\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)-Z^{\prime \prime}\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)+ \\
\quad+Y^{\prime \prime \prime}\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}\right)-Z^{\prime \prime \prime}\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}\right)=0,
\end{array}
\]

которые всегда будут иметь место независимо от состояния первого тела, так как они не связаны с уравнениями, относящимися к этому телу. Эти уравнения, как видим, содержат тот же принцип моментов, но только по отношению к осям, проходящим через первое тело.
23. Предположим, что имеется, еще и четвертое тело, укрепленное на таком же негибком стержне; пусть его прямоугольные координаты будут $x^{\mathrm{IV}}, y^{\mathrm{IV}}$, $z^{\mathrm{IV}}$ и силы, параллельные этим координатам, ‘ $X^{\mathrm{Iv}}$, $Y^{\mathrm{IV}}, Z^{\mathrm{IV}}$.

В таком случае к сумме моментов сил следует прибавить величину
\[
X^{\mathrm{IV}} d x^{\mathrm{IV}}+Y^{\mathrm{IV}} d y^{\mathrm{IV}}+Z^{\mathrm{IV}} d z^{\mathrm{IV}} .
\]

Далее, так как расстояния между всеми телами должны оставаться неизменными, то по условиям задачи мы имеем не только $d f=0, d g=0, d h=0$, как это было в предыдущем случае, но и $d l=0$, $d m=0, d n=0$, если через $l, m, n$ назвать расстояния четвертого тела от первых трех. Таким образом в данном случае общее уравнение равновесия будет таково:
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime} d x^{\prime}+Y^{\prime} d y^{\prime}+Z^{\prime} d z^{\prime}+X^{\prime \prime} d x^{\prime \prime}+Y^{\prime \prime} d y^{\prime \prime}+Z^{\prime \prime} d z^{\prime \prime}+ \\
+X^{\prime \prime \prime} d x^{\prime \prime \prime}+Y^{\prime \prime \prime} d y^{\prime \prime \prime}+Z^{\prime \prime \prime} d z^{\prime \prime \prime}+X^{\mathrm{IV}} d x^{\mathrm{IV}}+Y^{\mathrm{IV}} d y^{\mathrm{IV}}+ \\
+Z^{\mathrm{IV}} d z^{\mathrm{IV}}+\lambda d f+\mu d g+
u d h+\omega d l+\rho d m+\sigma d n=0 .
\end{array}
\]

Значения $d f, d g, d h$ здесь те же, что и раньше; что касается значений $d l, d m, d n$, то ясно, что
\[
\begin{aligned}
l & =\sqrt{\left(x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime}\right)^{2}+\left(z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime}\right)^{2}}, \\
m & =\sqrt{\left(x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime \prime}\right)^{2}+\left(z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime \prime}\right)^{2}}, \\
n & =\sqrt{\left(x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime \prime \prime}\right)^{2}+\left(y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime \prime \prime}\right)^{2}+\left(z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime \prime \prime}\right)^{2}},
\end{aligned}
\]

а следовательно,
\[
\begin{array}{l}
d l=\frac{\left(x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime}\right)\left(d x^{\mathrm{IV}}-d x^{\prime}\right)+\left(y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime}\right)\left(d y^{\mathrm{IV}}-d y^{\prime}\right)+\left({ }_{2} \mathrm{IV}_{-z^{\prime}}\right)\left(d_{2} \mathrm{IV}_{-d z^{\prime}}\right)}{l}, \\
d m=\frac{\left(\mathrm{IV}_{-} x^{\prime \prime}\right)\left(d x^{\mathrm{I}} \mathrm{V}_{-d x^{\prime \prime}}\right)+\left(y^{\mathrm{I}} \mathrm{V}_{-y^{\prime}}\right)\left(d y^{\mathrm{I}} \mathrm{V}_{-d y^{\prime \prime}}\right)+\left({ }_{2} \mathrm{IV}_{-z^{\prime \prime}}\right)\left(d z^{\mathrm{I}} \mathrm{V}_{-d z^{\prime \prime}}\right)}{m}, \\
d n= \\
=\frac{\left(x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime \prime \prime}\right)\left(d x^{\mathrm{IV}}-d x^{\prime \prime \prime}\right)+\left(y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime \prime \prime}\right)\left(d y^{\mathrm{IV}}-d y^{\prime \prime \prime}\right)+\left(z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime \prime \prime}\right)\left(d_{2} \mathrm{IV}-d z^{\prime \prime \prime}\right)}{n} . \\
\end{array}
\]

Произведя эти подстановки и приравняв нулю суммы всех членов, в состав которых входит каждый из дифференциалов $d x^{\prime}, d y^{\prime}, \ldots$, мы получим двенадцать частных уравнений, из которых первые девять будут тождественны с уравнениями пункта 20 , если к их первым членам соответственно прибавить следующие величины:
\[
\begin{array}{lll}
-\omega \frac{x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime}}{l}, & -\omega \frac{y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime}}{l}, & -\omega \frac{z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime}}{l}, \\
-\rho \frac{x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime \prime}}{m}, & -\rho \frac{y^{\mathrm{I}}-y^{\prime \prime}}{m}, & -\rho \frac{z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime \prime}}{m}, \\
-\sigma \frac{x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime \prime \prime}}{n}, & -\sigma \frac{y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime \prime \prime}}{n}, & -\sigma \frac{z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime \prime \prime}}{n} ;
\end{array}
\]

последние же три уравнения будут следующие:
\[
\begin{array}{l}
X^{\mathrm{IV}}+\omega \frac{x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime}}{l}+\rho \frac{x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime \prime}}{m}+\sigma \frac{x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime \prime \prime}}{n}=0, \\
Y^{\mathrm{IV}}+\omega \frac{y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime}}{l}+\rho \frac{y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime \prime}}{m}+\sigma \frac{y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime \prime \prime}}{n}=0, \\
Z^{\mathrm{IV}}+\omega \frac{z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime}}{l}+\rho \frac{z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime \prime}}{m}+\sigma \frac{z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime \prime \prime}}{n}=0 .
\end{array}
\]

24. Так как мы имеем здесь всего двенадцать уравнений и шесть неопределенных величин $\lambda, \mu$, $
u, \omega, \rho, \sigma$, которые подлежат исключению, то для условий равновесия у нас останется только шесть уравнений, как это было раньше в случае трех тел. Пользуясь методом, аналогичным изложенному в в пункте 21 , мы найдем следующие шесть уравнений. аналогичных уравнениям, приведенным в упомянутом пункте:
\[
\begin{array}{c}
X^{\prime}+X^{\prime \prime}+X^{\prime \prime \prime}+X^{\mathrm{IV}}=0, \\
Y^{\prime}+Y^{\prime \prime}+Y^{\prime \prime \prime}+Y^{\mathrm{IV}}=0, \\
Z^{\prime}+Z^{\prime \prime}+Z^{\prime \prime \prime}+Z^{\mathrm{IV}}=0, \\
X^{\prime} y^{\prime}-Y^{\prime} x^{\prime}+X^{\prime \prime} y^{\prime \prime}-Y^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+X^{\prime \prime \prime} y^{\prime \prime \prime}-Y^{\prime \prime \prime} x^{\prime \prime \prime}+X^{\mathrm{IV}} y^{\mathrm{IV}}-Y^{\mathrm{IV}} x^{\mathrm{IV}}=0 \\
X^{\prime} z^{\prime}-Z^{\prime} x^{\prime}+X^{\prime \prime} z^{\prime \prime}-Z^{\prime \prime} x^{\prime \prime}+X^{\prime \prime \prime} z^{\prime \prime \prime}-Z^{\prime \prime \prime} x^{\prime \prime \prime}+X^{\mathrm{IV}} Z^{\mathrm{IV}}-Z^{\mathrm{IV}} x^{\mathrm{IV}}=0, \\
Y^{\prime} z^{\prime}-Z^{\prime} y^{\prime}+Y^{\prime \prime} z^{\prime \prime}-Z^{\prime \prime} y^{\prime \prime}+Y^{\prime \prime \prime} z^{\prime \prime \prime}-Z^{\prime \prime \prime} y^{\prime \prime \prime}+Y^{\mathrm{IV}} z^{\mathrm{IV}}-Z^{\mathrm{IV}} y^{\mathrm{IV}}=0 .
\end{array}
\]

Три последних уравнения можно заменить тремя нижеприведенными уравнениями, которые можно получить, пользуясь приемом, указанным в пункте 22; эти уравнения, не будучи связаны с уравнениями, относящимися к первому телу, имеют то преимущество, что они всегда сохраняют свою силу- независимо от состояния указанного тела
\[
\begin{array}{l}
X^{\prime \prime}\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)-Y^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)+X^{\prime \prime \prime}\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}\right)- \\
-Y^{\prime \prime \prime}\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}\right)+X^{\mathrm{IV}}\left(y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime}\right)-Y^{\mathrm{IV}}\left(x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime}\right)=0, \\
X^{\prime \prime}\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)-Z^{\prime \prime}\left(x^{\prime \prime}-x^{\prime}\right)+X^{\prime \prime \prime}\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}\right)- \\
\quad-Z^{\prime \prime \prime}\left(x^{\prime \prime \prime}-x^{\prime}\right)+X^{\mathrm{IV}}\left(z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime}\right)-Z^{\mathrm{IV}}\left(x^{\mathrm{IV}}-x^{\prime}\right)=0, \\
Y^{\prime \prime}\left(z^{\prime \prime}-z^{\prime}\right)-Z^{\prime \prime}\left(y^{\prime \prime}-y^{\prime}\right)+Y^{\prime \prime \prime}\left(z^{\prime \prime \prime}-z^{\prime}\right)- \\
\quad-Z^{\prime \prime \prime}\left(y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}\right)+Y^{\mathrm{IV}}\left(z^{\mathrm{IV}}-z^{\prime}\right)-Z^{\mathrm{IV}}\left(y^{\mathrm{IV}}-y^{\prime}\right)=0 .
\end{array}
\]
25. Отсюда уже видно, как следует поступать для того, чтобы определить условия равновесия любого числа тел, укрепленных на негибком стержне или рычаге. Вообще ясно, что для того, чтобы взаимное положение тел оставалось неизменным, достаточно,
чтобы взаимные расстояния между первыми тремя телами оставались постоянными и чтобы расстояния каждого из остальных тел от первых трех тоже оставались неизменными, – так как положение любой точки всегда определяется расстоянием этой точки от трех заданных точек. Следовательно, по отношению к каждому новому телу, которое прибавляется на рычаге, надо применить те же самые рассуждения и те же самые операции, какие были применены в п. 23 по отношению к четвертому телу; каждое из них даст три новых частных уравнения с тремя новыми неопределенными величинами, подлежащими исключению; таким образом окончательные уравнения всегда будут представлены в таком же количестве, как и в случае трех тел, и они будут иметь тот же самый вид, как и уравнения, которые мы нашли в предыдущем пункте.

Впрочем, ясно, что эти уравнения содержатся в тех уравнениях, которые были найдены нами в общем случае в п. 3 и 9 отд. III для равновесия любой свободной системы тел. В самом деле, так как вследствие несгибаемости стержня расстояния между телами не могут изменяться, то отсюда следует, что равновесие будет иметь место, если будут уничтожены поступательные и вращательные движения; следовательно, исходя уже из одних этих соображений, можно было бы предыдущую задачу разрешить на основании формул, приведенных в указанных выше пунктах; нам, однако, показалось в данном случае небесполезным дать непосредственное решение, основанное на частных условиях задачи.