5. Возьмем теперь – что вполне допустимо – вместо координат $x, y, x^{\prime}, y^{\prime}, x^{\prime \prime}, y^{\prime \prime}, \ldots, \bar{x}, \bar{y}, \ldots$ соответствующие радиусы векторы $\rho, \rho^{\prime}, \rho^{\prime \prime}, \ldots, \bar{\rho}, \ldots$ и углы $\varphi, \varphi^{\prime}, \varphi^{\prime \prime}, \ldots, \bar{\varphi}, \ldots$, образуемые этими радиусами с осью $x$; тогда, как мы знаем,
\[
x=\rho \cos \varphi, \quad y=\rho \sin \varphi,
\]

и равным образом
\[
\begin{array}{l}
x^{\prime}=\rho^{\prime} \cos \varphi^{\prime}, y^{\prime}=\rho^{\prime} \sin \varphi^{\prime}, \ldots \\
\ldots, \bar{x}=\bar{\rho} \cos \bar{\varphi}, \quad \bar{y}=\bar{\rho} \sin \bar{\varphi}, \ldots \\
\end{array}
\]

Подставим эти выражения в общую формулу пункта 2 предыдущего параграфа и положим
\[
\varphi^{\prime}=\varphi+\sigma, \quad \varphi^{\prime \prime}=\varphi+\sigma^{\prime}, \ldots, \quad \bar{\varphi}=\varphi+\bar{\sigma} \ldots ;
\]

ясно, что $\sigma, \sigma^{\prime}, \ldots, \bar{\sigma}, \ldots$ – это углы, обравуемые радиусами $\rho^{\prime}, \rho^{\prime \prime}, \ldots, \bar{\rho}, \ldots$ с радиусом $\rho$; следовательно, расстояния тел, как взаимные, так и по отношению к плоскости $x y$ и к точке, избранной в качестве начала координат, будут зависеть только от величин $\rho, \rho^{\prime}, \rho^{\prime \prime}, \ldots, \bar{\rho}, \ldots, \sigma, \sigma^{\prime}, \ldots, \bar{\sigma}, \ldots, z, z^{\prime}$, $z^{\prime \prime}, \ldots, \bar{z}, \ldots$

Но если система может свободно вращаться вокруг этой точки параллельно плоскости $x y$, т. е. вокруг оси $z$, перпендикулярной к этой плоскости, то угол $\varphi$ будет независим от условий системы и, следовательно, дифференциал $d \varphi$ останется произвольным. Отсюда следует, что члены, связанные с $d \varphi$ в общем уравнении равновесия, должны в общей своей сумме равняться нулю.

Легко видеть, что все эти члены будут выражены с помощью $N d \varphi$, где
\[
N=P \frac{\partial p}{\partial \varphi}+P^{\prime} \frac{\partial p^{\prime}}{\partial \varphi}+P^{\prime \prime} \frac{\partial p^{\prime \prime}}{\partial \varphi}+\ldots+\bar{P} \frac{\partial \bar{p}}{\partial \varphi}+\ldots,
\]

так что для равновесия получается уравнение $\dot{N}=0$.
Если в выражения для $p, p^{\prime}, \ldots, \vec{p}, \ldots$ (п. 2) подставить значения $x, y, x^{\prime}, y^{\prime}, \ldots, \bar{x}, \ldots, \ldots$, и сверх того положить
\[
\begin{array}{rlrl}
a & =R \cos A, & b & =R \sin A, \\
a^{\prime} & =R^{\prime} \cos A^{\prime}, \quad b^{\prime} & =R^{\prime} \sin B^{\prime}, \ldots,
\end{array}
\]

то получится
\[
\begin{array}{l}
p=\sqrt{\rho^{2}-2 \rho R \cos (\varphi-A)+R^{2}+(z-c)^{2}}, \\
p^{\prime}=\sqrt{\rho^{\prime 2}-2 \rho^{\prime} R \cos \left(\varphi^{\prime}-A^{\prime}\right)+R^{\prime 2}+\left(z^{\prime}-c^{\prime}\right)^{2}}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\bar{p}=\sqrt{\rho^{2}-2 \rho \rho \cos (\varphi-\bar{\varphi})+\overline{\rho^{2}+(z-\bar{z})^{2}}}, \\
\end{array}
\]

ююда следует еще вместо $\varphi^{\prime}, \varphi^{\prime \prime}, \ldots, \bar{\varphi}, \ldots$ подставить $\varphi+\sigma, \varphi+\sigma^{\prime}, \ldots, \varphi+\bar{\sigma}, \ldots$

При выполнении этих подстановок становится прежде всего ясным, что величины $\bar{p}, \ldots$ уже не согержат угла $\varphi$, поэтому $\frac{\partial \bar{p}}{\partial \phi}=0, \ldots$; следовательно, внутренние силы $\bar{P}, \ldots$ исчезнут из уравнения и останутся только внешние силы $P, P^{\prime}, \ldots$
Но мы имеем
\[
\frac{\partial p}{\partial \varphi}=\frac{\rho R \sin (\varphi-A)}{p}, \quad \frac{\partial p^{\prime}}{\partial \varphi}=\frac{\rho^{\prime} R^{\prime} \sin \left(\varphi^{\prime}-A^{\prime}\right)}{p^{\prime}}, \ldots,
\]

поэтому величина $N$ приобретает следующий вид:
\[
N=\frac{P R \rho \sin (\varphi-A)}{p}+\frac{P^{\prime} R^{\prime} \rho^{\prime} \sin \left(\varphi^{\prime}-A^{\prime}\right)}{p^{\prime}}+\ldots
\]

Так как центры сил $P, P^{\prime}, \ldots$ можно избрать где угодно по направлению этих сил, то можно допустить, что эти силы изображаются линиями $p, p^{\prime}, \ldots$, которые являются прямолинейными расстояниями их точек приложения от соответствующих центров. Указанным путем мы получим более простое выражение
\[
N=R \rho \sin (\varphi-A)+R^{\prime} \rho^{\prime} \sin \left(\varphi^{\prime}-A^{\prime}\right)+\ldots
\]

В этой формуле радиусы $R$ и $\rho$, исходящие из начала координат и образующие между собою угол $\varphi-A$, составляют стороны треугольника, имеющего основанием проекцию отрезка $p$ на плоскость $x y$; следовательно, величина $R_{p} \sin (\varphi-A)$ выражает удвоенную площадь этого треугольника; то же самое можно сказать и о других аналогичных величинах.

Но так как мы обозначили (п. 3) через $\gamma, \gamma^{\prime}, \ldots$ углы, образуемые направлениями сил $P, P^{\prime}, \ldots$ с осью $z$, или с линиями, параллельными әтой оси, то ясно, что дополнительные к ним углы будут представлять собою наклонения линий $p, p^{\prime} \ldots \kappa$ плоскости $x y$; следовательно, $p \sin \gamma, p^{\prime} \sin \gamma^{\prime}, \ldots$ будут проекциями этих линий. Если из начала координат опустить на эти проекции перпендикуляры, которые мы назовем П, П’,.., то получится
\[
\begin{aligned}
R \rho \sin (\varphi-A) & =\Pi \rho \sin \gamma, \\
R^{\prime} \rho^{\prime} \sin \left(\varphi^{\prime}-A^{\prime}\right) & =\Pi^{\prime} \rho^{\prime} \sin \gamma^{\prime}, \ldots,
\end{aligned}
\]

и величина $N$ будет приведена к следующему виду:
\[
N=\Pi P^{\prime} \sin \gamma+\Pi^{\prime} P^{\prime} \sin \gamma^{\prime}+\Pi^{\prime \prime} P^{\prime \prime} \sin \gamma^{\prime \prime}+\ldots,
\]

если вместо $p, p^{\prime}, p^{\prime \prime}, \ldots$ снова подставить $P, P^{\prime}$, $P^{n}$, . .
6. Уравнение $N=0$ даст, таким образом, следующую теорему:

При равновесии системы, обладающей свободой врацения около оси и состоящей из тел, действующих друг на друга каким угодно образом и одновременно находяцихся под действием внешних сил, сумма этих сил, измеренных параллельно плоскости, перпендикулярной к оси, и у.множенных каждал соответственно на перпендикуляр, опущєнный из оси на направление силы, спроектированной на ту же плоскость, должсна равняться нулю,-если силам, стремлиімся вращать систему в противоположных направлениях, присвоить противоположсные знаки.

Обычно эту теорему излагают проще, а именно: для того чтобы имело место равновесие около какойлибо оси, моменты сил по отношению $\boldsymbol{\kappa}$ этой оси должны взаимно уничтожаться.

В настоящее время в механике под моментом силы по отнсшению к какой-либо линии понимают произведение этой силы, измеренной параллельно плоскости, перпендикулярной к этой линии, и умноженной на плечо рычага, где под плечом подразумевают перпендикуляр, опущенный из этой же линии на направление силы, отнесенной к той же плоскости. В самом деле, действие силы, стремящейся вращать систему около оси, зависит только от этого момента, так как если әту силу разложить на две, из которых одна будет параллельна оси, а другая будет лежать в плоскости, перпендикулярной к оси, то, очевидно, только последняя будет в состоянии вызывать вращение. Поэтому мы данному моменту присвоим особое название момента относительно оси врачения.
7. Коэффициент $N$ члена $N d \varphi$ (п. 5), как мы видим, выражает сумму моментов всех сил системы относительно оси мгновенного вращения $d \varphi$. Точно так же для того, чтобы найти сумму моментов относительно любой оси, следует только преобравовать общую формулу
\[
P d p+P^{\prime} d p^{\prime}+P^{\prime \prime} d p^{\prime \prime}+\ldots,
\]

представляющую сумму виртуальных моментов всех сил,-введя в качестве одной из независимых переменных угол вращения около заданной оси. Тогда коэффициентом дифферендиала этого угла будет сумма всех моментов относительно этой оси; настоящий прием может оказаться полезным во многих случаях.
8. Если система может вращаться в любом направлении вокруг точки, принятой нами за начало координат, следует одновременно рассмотреть мгновенные вращения около трех осей $x, y$ и $z$, и тогда мы получим по отношению к каждой из осей уравнение, выражающее свойство моментов, аналогичное тому, какое мы только что нашли. Однако представляется небесполезным ту же задачу рашить с помощью болеө простого и более общего анализа.
Для этой цели пусть, как и в пункте 5 ,
\[
\begin{aligned}
x & =\rho \cos \varphi, \quad y=\rho \sin \varphi, \\
x^{\prime} & =\rho^{\prime} \cos \varphi^{\prime}, \quad y^{\prime}=\rho^{\prime} \sin \varphi^{\prime}, \ldots ;
\end{aligned}
\]

если углы $\varphi, \varphi^{\prime}, \ldots$ изменить на одну и ту же разность $d \varphi$, то получится
\[
\begin{array}{l}
d x=-\dot{d} d \varphi, \quad d y=x d \varphi, \\
d x^{\prime}=-y^{\prime} d \varphi, \quad d y^{\prime}=x^{\prime} d \varphi, \ldots \\
\end{array}
\]

Таковы изменения $x, y, x^{\prime}, y^{\prime}, \ldots$, получающиеся в результате элементарног вращения $d \varphi$ системы около оси $z$.

Точно так же получаютея и изменения $y, z, y^{\prime}, z^{\prime}, \ldots$, вызываемые элементарным вращением $d \psi$ около оси $x$; для этого следует в приведенных выше формулах вместо $x, y, x^{\prime}, y^{\prime}, \ldots$ взять $y, z, y^{\prime}, z^{\prime}, \ldots$ и вмсто $d \varphi$ взять $d \psi$, в результате чего получится
\[
\begin{array}{l}
d y=-z d \psi, d z=y d \psi, \\
d y^{\prime}=-z^{\prime} d \psi, \quad d z^{\prime}=y^{\prime} d \psi, \ldots
\end{array}
\]

Если в последних формулах вместо $y, z, y^{\prime}, z^{\prime}, \ldots$ взять соответственно $z, x, z^{\prime}, x^{\prime}, \ldots$ и вместо $d \psi$ взять $d \omega$, получатся изменения, происходящие вследствие элементарного вращения $d \omega$ около оси $y$, которые составят
\[
\begin{aligned}
d z & =-x d \omega, \quad d x=z d \omega, \\
d z^{\prime} & =-x^{\prime} d \omega, \quad d x^{\prime}=z^{\prime} d \omega, \ldots
\end{aligned}
\]

Если допустить, что все три вращения происходят одновременно*), то полные изменения координат $x, y, z, x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}, \ldots$ будут согласно принципам дифференциального исчисления равны суммам частных
*) В действительности эти три вращения не могут происходить одновременно, а лишь последовательно. Тем не менее это нисколько не мешает тому, чтобы в анализе рассматривать их как происходящие одновременно; дело в том, что каждое из них, изменяя бесконечно малое положение тела, лишь бесконечно мало влияет на смещения, вызываемые другими вращениями, и видоизменяет движения, обязанные своим происхождением другим вращениям, лишь на величину, бесконечно малую по сравнению со своим собственным значением. (Прим. Бертрана.)

изменений, вызванных каждым из этих вращений, так что мы получим следующие полные выражения: $d x=z d \omega-y d \varphi, \quad d y=x d \varphi-z d \psi, \quad d z=y d \psi-x d \omega$, $d x^{\prime}=z^{\prime} d \omega-y^{\prime} d \varphi, \quad d y^{\prime}=x^{\prime} d \varphi-z^{\prime} d \psi, \quad d z^{\prime}=y^{\prime} d \psi-x^{\prime} d \omega$,

Подставив эти значения в общую формулу равновесия (п. 2), мы получим только члены, происходяцие от вращений $d \psi, d \omega, d \varphi$ около трех осей $x, y$ и $z$. Если система может свободно вращаться во всех направлениях около точки, являющейся началом координат, то указанные выше члены должны порознь равняться нулю.
Но путем дифференцирования мы получим
\[
\begin{array}{l}
d p=\frac{(x-a) d x+(y-b) d y+(z-c) d z}{p}, \\
d p^{\prime}=\frac{\left(x^{\prime}-a^{\prime}\right) d x^{\prime}+\left(y^{\prime}-b^{\prime}\right) d y^{\prime}+\left(z^{\prime}-c^{\prime}\right) d z^{\prime}}{p^{\prime}} . \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
d \bar{p}=\frac{(x-\bar{x})(d x-d \bar{x})+(y-\bar{y})(d y-d \bar{y})+(z-\bar{z})(d z-d z)}{\bar{p}}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Таким образом с помощью указанных выше подстановок мы будем иметь
\[
\begin{array}{l}
d p=\frac{(a y-b x) d \varphi+(b z-c y) d \psi+(c x-a z) d \omega}{p}, \\
d p^{\prime}=\frac{\left(a^{\prime} y^{\prime}-b^{\prime} x^{\prime}\right) d \varphi+\left(b^{\prime} z^{\prime}-c^{\prime} y^{\prime}\right) d \psi+\left(c^{\prime} x^{\prime}-a^{\prime} z^{\prime}\right) d \omega}{p^{\prime}}, \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

Подставив вместо $d \bar{x}, \overline{d y}, d \bar{z}, \ldots$ аналогичные выражения $\bar{z} d \omega-\bar{y} d \varphi, \bar{x} d \varphi-\bar{z} d \psi, \bar{y} d \psi-\bar{x} d \omega, \ldots$ мы найдем, что $d p=0, d p^{\prime}=0, \ldots$ Отсюда можно тотчас же сделать вывод, что в результате әтих подстановок члены $\widetilde{P} d \bar{p}, \bar{P}^{\prime} d \bar{p}^{\prime}, \ldots$, общего уравнения, связанные с внутренними силами, истезнут.

Но мы получим $d p=0$ и в том случае, если положим $a=0, b=0, c=0$, т. е. если центр силы $P$ будет лежать в начале координат; в этом случае действие данной силы тоже уничтожается.
9. Итак, отвлекаясь от внутренних сил, если таковые имеются, а также от всякой силы, направленной к центру координат, мы получим вообще для всех сил $P, P^{\prime}, \ldots$, направленных по линиям $p, p^{\prime}, \ldots$, следующее уравнение:
\[
L d \psi+M d \omega+N d \varphi=0,
\]

где положено
\[
\begin{array}{c}
L=\frac{P(b z-c y)}{p}+\frac{P^{\prime}\left(b^{\prime} z^{\prime}-c^{\prime} y^{\prime}\right)}{p^{\prime}}+\ldots, \\
M=\frac{P(c x-a z)}{p}+\frac{P^{\prime}\left(c^{\prime} x^{\prime}-a^{\prime} z^{\prime}\right)}{p^{\prime}}+\ldots, \\
N=\frac{P(a y-b x)}{p}+\frac{P^{\prime}\left(a^{\prime} y^{\prime}-b^{\prime} x^{\prime}\right)}{p^{\prime}}+\ldots,
\end{array}
\]

и тогда для всякой системы, способной свободно вращаться в любом направлении вокруг начала координат, мы получим следующие три уравнения:
\[
L=0, \quad M=0, \quad N=0,
\]

которые соответствуют уравнению пункта 5, отнесенному к трем осям координат.

В самом деле, если выразить координаты центров сил $a, b, c, a^{\prime}, \ldots$ через углы $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$, образуемые направлениями этих сил с тремя осями координат, и последовательно положить, как в п. 7 предыдуцего отдела,
\[
a=x-p \cos \alpha, \quad b=y-p \cos \beta, \quad c=z-p \cos \gamma,
\]

и аналогично для других подобных величин,-то мы получим
\[
\begin{aligned}
L & =P(y \cos \gamma-z \cos \beta)+P^{\prime}\left(y^{\prime} \cos \gamma^{\prime}-z^{\prime} \cos \beta^{\prime}\right)+\ldots \\
M & =P(z \cos \alpha-x \cos \gamma)+P^{\prime}\left(z^{\prime} \cos \alpha^{\prime}-x^{\prime} \cos \gamma^{\prime}\right)+\ldots \\
N & =P(x \cos \beta-y \cos \alpha)+P^{\prime}\left(x^{\prime} \cos \beta^{\prime}-y^{\prime} \cos \alpha^{\prime}\right)+\ldots
\end{aligned}
\]

А так как $P \cos \alpha, P \cos \gamma$ представляют собою значения силы $P$, измеренные по направлениям трех осей $x, y, z$, можно тотчас же увидеть, что $x P \cos \beta$ $-y P \cos \alpha \ldots$. является моментом по отношению к оси $z$, причем член $y P \cos \alpha$ имеет отрицательный знак, так как сила $P \cos \alpha$ стремится вращать систему по направлению, противоположному силе $P \cos \beta$. Точно так же $z P \cos \alpha-x P \cos \gamma$… является моментом относительно оси $y$ и $y P \cos \gamma-z P \cos \beta \ldots$ моментом относительно оси $x$. Подобные же значения имеют и остальные аналогичные выражения. ‘Тким образом приведенные три уравнения $L=0, M=0, N=0$ выражают, что сумма этих моментов относительно каждой из трех осей равна нулю.

Мы видим также, что коэффициенты $L, M, N$ мгновенных вращений $d \psi, d \omega, d \varphi$ представляют собою не что иное, как суммы моментов относительно осей мгновенных вращений $d \psi, d \omega, d \varphi$ (п. 7).
10. Можно было бы, пожалуй, усомниться в том, что вращений около трех осей координат достаточно для того, чтобы выразить все малые движения, какие система точек может выдолнить вокруг неподвижной точки без того, чтобы взаимное расположение этих точек изменилось. Для того чтобы устранить это сомнение, исследуем все эти движения более прямым путем.

Проведем прямую линию через данную точку, служащую началом координат $x, y, z$, и через другую точку системы, а через эту линию и какую-либо третью точку системы – плоскость; отнесем к этой линии и этой плоскости все прочие точки системы с помощью новых прямоугольных координат $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, имеющих то же начало, что и первые кооринаты $x, y, z$. Совершенно ясно, что эти новые координаты зависят только от взаимного расположения точек системы и, следовательно, остаются неизменными, когда система меняет свое положение в пространстве, и что в этом случае изменяются только первые координаты.

Известная теория цреобразования координат дает прежде всего нижеследующие соотношения между тремя первыми и тремя последними координатами:
\[
\begin{array}{l}
x=\alpha x^{\prime}+\beta y^{\prime}+\gamma z^{\prime}, \\
y=\alpha^{\prime} x^{\prime}+\beta^{\prime} y^{\prime}+\gamma^{\prime} z^{\prime}, \\
z=a^{\prime \prime} x^{\prime}+\beta^{\prime \prime} y^{\prime}+\gamma^{\prime \prime} z^{\prime} .
\end{array}
\]

Девять коэффициентов $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$ зависят только от взаимного расположения осей обеих систем координат и должны быть таковы, чтобы координаты $x, y, z$ относились к тем же самым точкам, к которым относятся и координаты $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$, и, следовательно, чтобы выражения
\[
x^{2}+y^{2}+z^{2} \quad \text { и } x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}
\]

были тождественны; отсюда получается шесть условных уравнений
\[
\begin{array}{ll}
\alpha^{2}+\alpha^{\prime 2}+\alpha^{\prime 2}=1, & \alpha \beta+\alpha^{\prime} \beta^{\prime}+\alpha^{\prime \prime} \beta^{\prime \prime}=0, \\
\beta^{2}+\beta^{\prime 2}+\beta^{\prime 2}=1, & \alpha \gamma+\alpha^{\prime} \gamma^{\prime}+\alpha^{\prime \prime} \gamma^{\prime \prime}=0, \\
\gamma^{2}+\gamma^{\prime 2}+\gamma^{\prime \prime}=1, & \beta \gamma+\beta^{\prime} \gamma^{\prime}+\beta^{\prime \prime} \gamma^{\prime \prime}=0 .
\end{array}
\]

Таким образом из числа 9 величин $\alpha, \beta, \gamma, \alpha^{\prime}, \ldots$ три величины остаются неопределенными.

В том случае, когда оси $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ совпадают с осями $x, y, z$, мы имеем
\[
x=x^{\prime}, \quad y=y^{\prime}, \quad z=z^{\prime}
\]
и, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
\alpha=1, \quad \beta=0, \quad \gamma=0, \\
\alpha^{\prime}=0, \quad \beta^{\prime}=1, \quad \gamma^{\prime}=0, \\
\alpha^{\prime \prime}=0, \quad \beta^{\prime \prime}=0, \quad \gamma^{\prime \prime}=1 . \\
\end{array}
\]

Если приведенные выше формулы продифференцировать и затем произвести соответствующие подстановки, можно получить результат некоторого бесконечно малого перемещения системы в пространстве вокруг заданной точки.

Продифференцировав выражения $x, y, z$ на основе допущения, что $x^{\prime}, y^{\prime}, z^{\prime}$ – величины постоянные, и подставив после дифференцирования вместо этих величин $x, y, z$, мы получим
\[
\begin{array}{l}
d x=x d \alpha+y d \beta+z d \gamma^{\prime}, \\
d y=x d \alpha^{\prime}+y d \beta^{\prime}+z d \gamma^{\prime}, \\
d z=x d \alpha^{\prime \prime}+y d \beta^{\prime \prime}+z d \gamma^{\prime \prime} .
\end{array}
\]

Но приведенные выше шесть условных уравне ний, после дифференцирования и после подстановки найденных только что значений $\alpha=1, \beta=0, \gamma=0, \ldots$, дадут
\[
\begin{aligned}
d \alpha & =0, & d \beta+d \alpha^{\prime} & =0, \\
d \beta^{\prime} & =0, & d \gamma+d \alpha^{\prime \prime} & =0, \\
d \gamma^{\prime \prime} & =0, & d \gamma^{\prime}+d \beta^{\prime \prime} & =0,
\end{aligned}
\]

откуда
\[
d \alpha^{\prime}=-d \beta, \quad d \alpha^{\prime \prime}=-d \gamma, \quad d \beta^{\prime \prime}=-d \gamma^{\prime} .
\]

Если эти значения подставить в выражения для $d x, d y, d z$, мы получим следующие выражения:
\[
\begin{array}{l}
d x=-y d \alpha^{\prime}+z d \gamma, \\
d y=x d \alpha^{\prime}-z d \beta^{\prime \prime}, \\
d z=-x d \gamma+y d \beta^{\prime \prime},
\end{array}
\]

которые совпадают с выражениями, приведенными в пункте 8 , если положить $d \alpha^{\prime}=d \varphi, d \gamma=d \omega, d \beta^{\prime \prime}=d \psi$.

Итак, приведенные формулы для изменений $x, y, z$ обладают всей той общностью, какая требуется по условиям задачи, и три уравнения $L=0, M=0$, $N=0$, получающиеся в результате исчезновения в общей формуле равновесия членов, относящихся к $d \psi$, $d \omega, d \varphi$, являются, таким образом, единственно необходимыми для удержания системы в равновесии около заданной точки, если отвлечься от всего того, что связано с взаимным расположением точек. Следовательно, если это взаимное расположение точек остается неизменным, то равновесие системы зависит только от приведенных выше трех уравнений.

Даламбер в своих «Исследованиях о предварении равноденствий» («Recherches sur la précession des équinoxеs») первый открыл законы равновесия нескольких сил, приложенных к неизменяемой системе точек. Он прищел к ним очень сложным путем, пользуясь сложением и разложением сил. Позднее эти законы были доказаны другими авторами более простыми путями, однако наши формулы обладают тем преимуществом, что они нецосредственно приводят к этим законам.